Đề thi HSG tỉnh HD 2008

§Ò thi tuyÓn sinh THPT m«n : To¸n
Hä, tªn ngêi so¹n : NguyÔn Xu©n Phan
§¬n vÞ c«ng t¸c : Trêng T.H.C.S NguyÔn HuÖ
CÈm Giµng
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
năm học 2008 - 2009
Câu 1: (2,5 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức:
3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
A = + + + +
2) Tìm a biết:
3 3
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008 1
3 3 3 3
a a
a
+ +
+ + =
, với a > 1.
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm nghiệm dơng của hệ phơng trình:
2 2 2
2 2
1 1
4
1 1
12

x y
x y
x y z z
x y

+ + + =




+ + + = +


2) Cho phơng trình
2
2008 1 0x ax b+ + + =
trong đó
,a b Â
. Chứng tỏ rằng nếu ph-
ơng trình có hai nghiệm đều là số nguyên thì
2 2
4a b+
là hợp số.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của
3
x
là số nguyên khác 0 và khác - 1.
Biết
(2007) 2008P =

và
(2008) 2009P =
.
Chứng minh rằng:
(2009) (2006)P P
là hợp số.
Câu 4: (3 điểm)
Cho (O) đờng kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C tuỳ ý. Qua C kẻ tiếp
tuyến CD với (O). Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại E (khác D) và cắt
AB tại M. Đờng tròn đờng kính EC cắt (O) tại K ( khác E). Hạ DH

AE (H

AE). AK
cắt DH tại I.
1) Chứng minh tứ giác IDKM nội tiếp.
2) Chứng minh I là trung điểm của HD.
3) Xác định vị trí của C trên tia đối của tia BA sao cho tam giác EKC cân.
Câu 5: (1 điểm)
Cho
3; 4; 5a b c

và
2 2 2
61a b c
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
A a b c
= + +

hớng dẫn chấm
Câu ý Nội dung Điểm
1
1
3
3
3 3
3
125 125
6 3 (3 9 )(3 9 )
27 27
125
6 3 . 6 5 5 6 0
27
A A
A A A A A
= + + + +
= + = + =
2
2
1
( 1)( 6) 0
6 0(*)
A
A A A
A A
=

+ + =

+ + =

Phơng trình (*) vô nghiệm. Vậy A = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Đặt
3 3
1 8 1 1 8 1
3 3 3 3
a a a a
B a a
+ +
= + +
(1)
, với a > 1
2
3 2
3
3 3
2
2
( 1) 8 1
2 3 .
9 3
2 (1 2 ) (1 2 ) 2 0
1
( 1)( 2 ) 0

2 0(*)
a a
B a B a
B a a B B a B a
B
B B B a
B B a
+
= +
= + =
=

+ + =

+ + =

Phơng trình (*) vô nghiệm (vì a > 1). Do đó B = 1
thay a = 2008 ta có:
3 3
2008 1 8.2008 1 2008 1 8.2008 1
2008 2008 1
3 3 3 3
+ +
+ + =
(2)
Mặt khác theo đề bài ta có:

3 3
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008 1

3 3 3 3
a a
a
+ +
+ + =
(3)
Trừ từng vế của (1) cho (3), của (2) cho (3) ta đợc:
3 3
3 3
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
3 3 3 3
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
3 3 3 3
a a
a
a a
a

+ +

=



+ +
+ = +

0,25
0,25
0,25
0,25
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
3 3 3 3
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
3 3 3 3
2 2.2008 2008
a a
a
a a
a
a a

+ +
=




+ +

+ = +


= =
0,25

0,25
2
1
2 2 2
2 2
1 1
4(1)
1 1
12 (2)
x y
x y
x y z z
x y

+ + + =




+ + + = +


Do x; y > 0 nên
1 1
2; 2x y
x y
+ +
suy ra
1 1
4x y

x y
+ + +
. Dấu = xảy ra khi x = y = 1
Từ (1) suy ra x = y = 1. Thay vào phơng trình (2) đợc:

2 2
2 2 2
12 4 12 4
4 0 4
12 16 8 4 2 0
4
2 2
2 2
z z z z
z z
z z z z z
z
z
z
+ = =




= + + =




=

=



Nghiệm dơng của hệ là:
1
2 2
x y
z
= =



=



0,25
0,25
0,25
0,25
2
2
2008 1 0(*)x ax b+ + + =
có nghiệm nguyên là
1 2
;x x
+ Nếu b = 0 phơng trình (*) trở thành:
2

1 2
1 0 1x ax x x+ + = =
Do
1 2
;x x
nguyên
1 2
1x x = =
2 2
2 4 4a a b = + =
là hợp số.
+ Nếu b

0, theo Viét có
1 2
2008 1x x b= +
là số lẻ suy ra
1 2
;x x
là số lẻ
1 2
a x x =
là số chẵn
2 2
4 4a b + M
nên là hợp số.
0,25
0,25
0,25
0,25

3
1
Gọi hệ số của
3
x
trong P(x) là a,
, 0, 1a a a Â
Đặt
( ) ( 2006)( 2007)( 2008) ( 2007)( 2008) ( 2008)P x a x x x b x x c x d
= + + +

Có
(2007) 2008 2008P d c= =

(2008) 2009 2009P d= =
. Do đó c = 1
(2009) 6 2 ; (2006) 2 2
(2009) (2006) 6 3 3(2 1)
P a b c d P b c d
P P a c a
= + + + = +
= + = +
Do
0; 1 2 1 1 3(2 1)a a a a + +
là hợp số.
0,25
0,25
0,25
Suy ra
(2009) (2006)P P

là hợp số.
0,25
0,5
4
1
e
a
c
b
d
k
o
I
m
r
h
Có E đối xứng với D qua đờng kính AB nên CE là tiếp tuyến
của (O)
ã
ã
KEC KAE =
có
ã
ã
KEC KMC=
ã
ã
KMC KAE =
ã
ã

ã
ã
ã
ã
ã
KMC KAM KAE KAM AKM EAM HDE = = =
ã
ã
ã
ã
AKM HDE IKM IDM = =
tứ giác IDKM nội tiếp.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Xét (O) có
ã
ã
ã
KDE KEC KMC= =
ã
ã
ã
ã
ã
0 0
90 90KDE DMK KMC DMK DKM + = + = =
(1)

Có tứ giác IDKM nội tiếp
ã
ã
0
180DIM DKM + =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
ã
0
90 / /DIM IM DH IM HE=
Có MD = ME suy ra I là trung điểm của DH.
0,5
0,25
0,25
3
Gọi r là bán kính của (O). Có tam giác EKC vuông tại K
nên
EKC
cân
ã
ã
0 0
45 45KEC KAE = =
2.HI HA HD HA = =
(3).
Có
ã
ã
ã
1

( ) ~ ( . )
2
DAH COE DOE AHI OEC g g= =
2 2. 2 5
EC HD
EC EO r OC r
EO HA
= = = = =
Cách xác định điểm C:
Dựng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là r và 2r,
khi đó cạnh huyền của tam giác vuông là
5r
.
Dựng (O;
5r
) cắt tia OB tại C. Khi đó C là điểm cần tìm.
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1
Đặt
3 ; 4 ; 5 ; ; 0a x b y c z x y z= + = + = +
Có
2 2 2 2 2 2
61 (3 ) (4 ) (5 ) 61a b c x y z+ + = + + + + + =