Đề thi HSG tỉnh HD 2007

Họ và tên : Nguyễn Xuân Phan
Đơn vị công tác : T.H.C.S Nguyễn Huệ Cẩm Giàng
Đề thi môn : Toán
Nơi nhận : Phòng khảo thí và kiểm định CLGD
Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dơng
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
năm học 2007 - 2008
Câu 1: (2điểm)
Rút gọn biểu thức :
( )
( )
3 2 2 2
3 2 2 2
8 16 9 5 48
8 16 9 5 48
a a a a a
M
a a a a a
+ +
=
+ +
Câu 2: (2điểm)
a/ Giải phơng trình:
2 2
3 2 6 3 3 2 2 2 3x x x x x x + + = + + +
b/ Cho phơng trình
2
29 3 0x x + =
. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
, x

2

Tính giá trị của biểu thức A =
1 2
15 222x x
Câu 3: (2điểm)
Cho các đờng thẳng 2x 3y = 4 (d) ; 3x + 4y = 5 (d

)
Tìm trên trục Oy điểm có tung độ là số nguyên dơng nhỏ nhất, sao cho nếu
qua điểm đó ta dựng đờng vuông góc với Oy thì đờng vuông góc ấy cắt các đ-
ờng thẳng d và d

tại các điểm có toạ độ là các số nguyên.
Câu 4: (2điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC, lấy N đối
xứng với M qua AB. Gọi E là giao điểm của AB và MN. AB cắt CN tại I. Hạ
IH

BC. Các tia CI, HE cắt nhau tại K. Chứng minh :
I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHK.
Câu 5: (2điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD. Trên cung AD của đ-
ờng tròn (O) không chứa C lấy điểm E . BE cắt AC tại M, MO cắt DE tại N.
Kẻ CH vuông góc với MN ( H thuộc đờng tròn (O)). Chứng minh :
a/ Tứ giác HENM nội tiếp.
b/ Tam giác BCN vuông.
1
2
1

2
h
k
i
m
b
c
a
n
1
e
2
1
2
1
hớng dẫn chấm
Câu 1: (2điểm)
2
2
( 4) ( 3) ( 4)( 4) ( 3)( 3)
( 4) ( 3) ( 4)( 4) ( 3)( 3)
a a a a a a
M
a a a a a a
+ + + +
=
+ + + +
:0,5đ
*a > 3
( 4) 3[( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3

( 4) 3[( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3
a a a a a a a a
M
a a a a a a a a
+ + + + +
= =
+ + + + +
:0,5đ
*a = 3 , M không xác định. :0,25đ
*a = - 4, M không xác định :0,25đ
*a -3, a

- 4

( 4) 3[ ( 4) 3 ( 4) 3 ] (4 ) 3
( 4) 3 [ ( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3
a a a a a a a a
M
a a a a a a a a
+ +
= =
+ + + +
:0,5đ
Câu 2: (2điểm)
a/ ĐKXĐ:
3x

. Đa phơng trình về dạng:
2 2
3 2 6 3 3 2 2 2 3

1 . 2 6. 3 3. 2 2 1 . 3
x x x x x x
x x x x x x
+ + = + + +
+ = +
( 1 3)( 2 2 3 ) 0x x x =
:0,5đ
Giải phơng trình tiếp đợc
14
8;
3
x x= =
, :0,25đ
cả hai nghiệm đều thoả mãn ĐKXĐ.
Vậy phơng trình có hai nghiệm là:
14
8;
3
x x= =
:0,25đ
b/ Theo Viét ta có
1 2 1 2
29; . 3x x x x+ = =
:0,25đ
C/m đợc
1 1
15 222x x =
suy ra A =
1 2
222 222x x

:0,25đ
2
1 2 1 2
222 222 2 (222 )(222 )A x x x x= +
1 2 1 2 1 2
444 ( ) 2 49284 222( ) .x x x x x x= + + +
:0,25đ
=
444 29 2 49284 222.29 3 1 + =
. Vì
0A
1A =
:0,25đ
Câu 3: (2điểm)
Gọi toạ độ của điểm phải tìm là: (0; a) với a là số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho đ-
ờng thẳng y = a cắt các đờng thẳng d và d

thứ tự tại B(b; a) và C(c; a) trong đó b; c là
các số nguyên. Nh vậy phải tìm số nguyên dơng a nhỏ nhất sao cho các số nguyên b,
c thoả mãn:
2 3 4
3 4 5
b a
c a
=


+ =

:0,5đ

Khử a tìm đợc
31 9 1
8 9 31 4
8 8
c c
b c b c
+
+ = = =
Do b; c là số nguyên nên
1
8
c
k
+
=
, k là số nguyên :0,5đ
Tính đợc
8 1; 9 5; 6 2c k b k a k= = + = +
:0,5đ
Do a là số nguyên dơng nhỏ nhất nên
0 2; 5; 1k a b c= = = =
Vậy điểm cần tìm là (0; 2) :0,5đ
Câu 4: (2điểm)
h
m
n
o
d
b
c

a
e
Tứ giác AIHC nội tiếp , có:

H1 =

C2 (1) : 0,25đ
MN // AC



C2 =

N =

M1 (đối xứng)(2) : 0,25đ
Tứ giác HEIM nội tiếp



M1 =

H2 (3)
Từ (1); (2); (3)



H1 =

H2

HI là phân giác

AHK (*) :0,25đ



BHK =

AHC ; tứ giác AIHC nội tiếp


AHC =

AIC;

AIC =

KIB(đối đỉnh)



BHK =

BIK

tứ giác BHIK nội tiếp :0,5đ
có

BHI = 1v suy ra

BKI = 1v. Do đó

BKC =

BAC = 1v

tứ giác BCAK nội tiếp



A1 =

C1
Tứ giác AIHC nội tiếp


C1 =

A2. :0,25đ
Do đó

A1 =

A2

AI là phân giác

HAK (**) :0,25đ
Từ (*) và (**)

I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHK. :0,25đ
Câu 5: (2điểm)
a/ Xét (O) có OM

CH

OM đi qua trung điểm của CH

H đối xứng với C qua MN.


HMN =

CMN = 90
0
-

MCH =

HCD. :0,5đ
Lại có tứ giác HEDC nội tiếp (O)


HCD +

HED = 180
0

Do đó

HMN +

HED = 180
0


Tứ giác HENM nội tiếp. :0,5đ
b/ Xét (O) có

BCH =

BEH. (1)
Tứ giác HENM nội tiếp


BEH =

MNH.(2)
Mặt khác có

MNH =

MNC ( đối xứng). (3)
Từ (1); (2); (3)


BCH =

MNC. :0,5đ

Lại có OM

CH


MNC = 90
0
-

HCN


BCH = 90
0
-

HCN


BCN = 90
0


tam giác BCN vuông tai C. :0,5đ