BAI TAP HOC KI i TOAN 10

BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

PHẦN ĐẠI SỐ
CHƢƠNG I. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP
I.MỆNH ĐỀ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa :
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai .
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2. Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P
Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3  5 ”
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P  Q. Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P  Q. Khi đó mệnh đề Q  P gọi là mệnh đề đảo của P  Q
4. Mệnh đề tương đương
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương
đương , ký hiệu P  Q.Mệnh đề P  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5. Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x) ”
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x) ”
Bài 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề và mệnh đề đó đúng hay sai :
a. Các em có vui không ?
b. Phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghiệm.
c. x + 3 = 5
d. 16 không là số nguyên tố .
e. 5 là số hữu tỉ.

f. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc.
g. 13 biểu diễn được về tổng của hai số chính phương.
h. 2016 là năm nhuận.
i. Nếu “3+7=12” thì 9 là số chính phương.
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ
định đó:
a. Phương trình x2 – x – 4 = 0 vô nghiệm
b. 6 là số nguyên tố
c. Hình chử nhật có hai đường chéo bằng nhau
d. Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba.
e.  là số hữu tỉ
f. Mọi học sinh trong lớp đều thích môn toán .
Bài 3: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích? Viết mệnh đề phủ định của chúng?
a. “x R, x2  0”.
b. “ x N: x chia hết cho x +1”.
2
c. "  x  , x  5x  4  0".
d. "  x  ,3x  x 2  1".
e. " x  , x  x  1".

f. " n  , 2n  n  2".

Bài 4: Phát biểu mệnh đề P  Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a. P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
0987.377.505

Page 1


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

b. P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c. P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P  Q và xét tính đúng sai của nó
a. P: “ABCD là hình bình hành ” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b. P: “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 92 + 1 là số nguyên tố ”
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a. P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD”
b. Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều”
c. R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo :
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A  B
Bài 7: Cho mệnh đề P :"x  , x  1  x 2  1",
Q: “Tam giác ABC vuông tại A  BC2  AB2  AC 2 "
R :" n  ,(n 2  n  5) 5".

Hãy cho biết các mệnh đề sau đúng hay sai
a) P  Q, Q  R, R  P.

b) P  Q, Q  R.

Bài 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng
a. A: “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
b. B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều ”
c. C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương
d. D: “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 9: Phát biểu thành lời các mệnh đề và xét tính đúng sai của chúng:
b. x  , x 2  3 .

d. n N * : n 2 2 chia hết cho 3.
Bài 10: Sử dụng thuật ngử “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau:
a. Nếu một tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường.
b. Nếu một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông.
c. Nếu x  5 thì x 2  25 .
d. Nếu số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3.
II.TẬP HỢP
a. x  Q : 4x 2 1= 0 .
c. n  N * : 2 n  3 là một số nguyên tố .

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa . Có 2 cách xác định
tập hợp
+Liệtkê các phần tử :
VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N =  0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . 
+Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp .
VD : A = x N/ x lẻ và x < 6  A = 1 ; 3; 5
*Tập con : A B (  x, xA  xB)
0987.377.505

Page 2


BI TP HC Kè I TON 10

Gv: Phan Hu Th

2. cỏc phộp toỏn trờn tp hp :

Phộp giao

AB = x /xA v
xB

Phộp hp

Hiu ca 2 tp hp

AB = x /xA hoc
xB

A\ B = x /xA v
xB

Chỳ ý: Nu A E thỡ CEA = A\ B = x /xE v xA
3. cỏc tp con ca tp hp s thc
Tờn gi, ký hiu
Tp hp
on [a ; b]
xR/ a x b

Hỡnh biu din
//////////// [

] ////////

Khong (a ; b )

xR/ a < x < b

Khong (- ; a)

xR/ x < a

Khong(a ; + )

xR/ a< x

Na khong [a ; b)

R/ a x < b

////////////[

) /////////

Na khong (a ; b]

xR/ a < x b

////////////(

] /////////

Na khong (- ; a]

xR/ x a

Na khong [a ; )

xR/ a x

////////////(

) /////////

)/////////////////////
///////////////////(

]/////////////////////
///////////////////[

Bài 1: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau.
a. A = 3k 1| k , 4 k 2 .

b. B = {x

c. C = {x | (x 1)(x2 + 6x + 5) = 0}
e. E = {x / x = 2k| k Z và 3 < x < 13}

d. D = {x | | x-1 | 3}
f. F = x | x 4k, k N, k 5 .

g. G = {x

h.H = x | x 3 4;5x 3 3x 10 .

| x2 4x + 2= 0}.

| x2 9 = 0}

i. I = n | 4 n 2 26 .
Bi 2: Tỡm tớnh cht c trng ca tp hp sau :
A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13}.
C = {1 ; 4; 7; 10; 13...}.

B = { 0, 2, 4, 6, 8, 10}.
D = {9 ; 36; 81; 144}.

Bi 3: Cho A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, B = {2 ; 4 ; 6 ; 8} v E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ; 10}.
a. Xỏc nh cỏc tp A B, A B, A \ B, B \ A, CE A , CE B .
b. Bng cỏch lit kờ phn t cỏc tp hp hóy chng t rng :
0987.377.505

Page 3


BI TP HC Kè I TON 10

Gv: Phan Hu Th

(A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A) ;

CE A CE B = CE (A B)

Bi 4: Cho A = {x R/ x2 +x 12 = 0 v 2x2 7x + 3 = 0}
B = {x R / 3x2 -13x +12 =0 hoc x2 3x = 0 }
Xỏc nh cỏc tp hp sau A B ; A \ B ; B \ A ; AB
Bài 5: Tỡm tất cả các tập hợp con của tập: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} c/ C = {a, b, c, d}

Bài 6*: a.Xỏc nh cỏc tp hp X sao cho{a ; b} X {a ; b ;c ;d ; e}
b. Cho A = {1 ; 2}; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5}. Xỏc nh cỏc tp hp X sao cho A X = B
c. Tỡm A; B bit A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}
Bi 7*:Cho A = {1 ; 2; 3; 4}; B = { 2 ; 4; 6; 8}.
a. Hóy xỏc nh tt c cỏc tp X bit rng X A v X B.
b. Xỏc nh cỏc tp Y bit rng A Y v Y (A B).
Bi 8*: Cho A {2 3k | k }, B {2 6k | k }, C {-1 3k | k }.
a. Chng minh rng 2 A, 7 C. S 16 cú thuc tp hp A khụng?
b. Chng minh rng B A, A C.
Bi 9*: Cho A = {0 ; 2; 4; 6}; B = { 4 ; 5; 6 }.
Hóy xỏc nh tt c cỏc tp con khỏc rng X, Y ca A bit rng X Y A, (A B) X
v X Y .
Bi 10*: Chng minh rng:
a. Nu A B thỡ A B A .
b. Nu A C v B C thỡ (A B) C .
c. Nu A B A B thỡ A = B.
d. Nu A B v A C thỡ A (B C).
e. A \(B C) = (A\B)(A\C)
f. A \(B C) = (A\B)(A\C)
Bi 11:Tỡm A B, A B, A \ B, B \ A vi:
a) A = [4; 4], B = [1; 7]
b) A = [4; 2], B = (3; 7]
c) A = [4; 2], B = (3; 7)
d) A = (; 2], B = [3; +)
e) A = [3; +), B = (0; 4)
f) A = (1; 4), B = (2; 6)
Bi 12: Tỡm A B C, A B C vi:
a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2)
b) A = (; 2], B = [3; +), C = (0; 4)
c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (3; 1]

d) A = (; 2], B = [2; +), C = (0; 3)
e) A = (5; 1], B = [3; +), C = (; 2)
Bi 13: Cho A = {x | -4 x 4} ;
B = {x | -5 < x -1 8 }
Vit cỏc tp hp sau di dng khong on na khong
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 14: Tỡm A B ; A B ; A \ B ; B \ A;
a. A = (2, + ) ; B = [1, 3]

\ A; \ (A B),

B bieỏt raống :

b. A = (, 4] ; B = (1, +)

c. A = {x R / 1 x 5}; B = {x R / 2 < x 8}
Bài 15: Xỏc nh mi tp hp sau v biu din chỳng lờn trc s
a. (5;3) (0;7)
d.

\ 0;1.

0987.377.505

b. ( 1;5) (3;7).

c.

\ (0; ).

e. (;3) (2; ).

f. (1;3] [0;5].
Page 4


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

Bài 16*: Cho hai tập A  [m; m  2), B  (1;5] . Xác định m để:
a. A  B  

b. A  B

c. (A  B)  (0;3].

Bài 17*: Cho hai tập khác rỗng: A  (m 1;4], B  (2;2m  2) với m  . Xác định m trong
mỗi trường hợp sau:
a. A  B  

b. A  B

c. B  A

d. (A  B)  (1;3).

Bài 18*: Cho A  ( x; x  2), B   5;5 . Tìm x để A  B là một khoảng.
Bài 19*: Cho ba tập hợp A   x  | x  3 hoặc x > 6}, B   x  | x  5
và C   x  | x  a , D  x  | x  b

a/ Tìm A  B; C  A  B  .
b/ Xác định a, b biết C  B và D  B là các đoạn có độ dài lần lượt bằng 5 và 9.
Bài 20*: Cho X  {x  | x  m  1} . Tìm m  sao cho X  (5;1] .
Bài 21 *: Tìm m sao cho :
a. (2; )  (; m) chứa đúng 3 số nguyên.
b. (1; 4)  (m;6)  (1;6).

CHƢƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT , BẬC HAI
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. HÀM SỐ

1: Cho D  R. hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi xD là 1 và chỉ 1 số
Khi đó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác định
2: Sự biến thiên hàm số
Cho f(x) xác định trên K
f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2  f(x1) < f(x2)
f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2  f(x1) > f(x2)
3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
f gọi là chẵn trên D nếu xD  -x D và f(-x) = f(x)
f gọi là lẻ trên D nếu xD  -x D và f(-x) = - f(x)
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Hàm số dạng y = ax = b , a;b R và a≠ 0.
Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R
a > 0 hàm số đồng biến trên R
a < 0 hàm số nghịch biến trên R
2. Bảng biến thiên :
X
y = ax + b
(a > 0)

0987.377.505

-
+
+
-

x
y = ax + b
(a < 0)

-
+
+
-

Page 5


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

III. HÀM SỐ BẬC HAI
Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0
a>0
a<0
 Tập xác định là R
 Tập xác định là R



b
b
 Đỉnh I (  ; 
)
 Đỉnh I (  ; 
)
4a
4a
2a
2a
 Trục đối xứng là đường x = 
 Bảng biến thiên
x
-



b

 Trục đối xứng là đường x = 

2a

 Bảng biến thiên
x
-

b

y


b
2a


4a

 Đồ thị

2a




4a

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;


)

và đồng biến trên khoảng ( 

b

-
-

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;


2a

+

2a

+
+
+

y



b

b
2a

; +)

b
2a

)

và đồng biến trên khoảng ( 
 Đồ thị

b
2a

; +)

Bµi 1: Tìm tập xác định của các hàm số :
a) y 
d) y 
g) y =

 3x
x2

b) y= 12-3x
x

( x  1) 3  x

11  3x
x 2  9x  14

e. y 

c) y 

x
 3 x

x2

3 x
x4

f ) y  x 2  7 x

 4x  1 khi x  2
i. y  2  x  x  2
2
11  4x khi x  2

h) y = 

Baøi 2*: Tìm m để hàm số
3x  1
2x  1
xác định trên .
b. y  2
xác định trên
x  2mx  4
x  6x  m  2
x
y  xm2 
xác định trên [0,1) .
x  m 1

a. y 
c.

2

Baøi 3: Cho hàm số

 x
,
x  1

f ( x)   x  1
 x 2  x  5, x  1


a. Tìm tập xác định của hàm số y=f(x).
0987.377.505

.

b. Tính f(-2), f(2), f(-1), f(0).
Page 6


BÀI TẬP HỌC KÌ I TỐN 10

Gv: Phan Hữu Thế

Bài 4: xét tính chẵn  lẻ của mỗi hàm số sau :
a. y= 4x3 + 3x
b. y = x4  3x2  1
d. y = x3 + 2x
g. y 

c. y  x 4  2 x  5
f. y  3x 2  2x  2

e. y  x

x 1
x  2x  13

h. y 

2

x 1  x 1
x 1  x 1

i. y  2  x  x  2

Bµi 5*: Tìm giá trị m để hàm số
a. y  f (x)  (m  2)x 3  mx 2  (m2  4)x  m  6 là hàm số lẻ.
b. y  f (x)  x 4  m(m  1)x 3  x 2  mx  m2 là hàm số chẵn.
Bµi 6*: Cho hàm số f(x) xác định trên . Chứng minh rằng f(x) ln biểu diễn được dưới
dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ.
Bài 7*: a. Cho hàm số f xác định trên thỏa f (x  y)  f (x)  f (y); x, y  .
chứng minh rằng f là hàm số lẻ.
b. Cho hàm số f xác định trên thỏa f (x  y)  f (x)  f (y)  2xy; x, y  .
chứng minh rằng f là hàm số chẵn.
Bài 8*: Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện:
1
x

a. f (x  )  x 2 

1
(x  0).
x2

1
x

b. f (x  )  x 2 

1
 3(x  0).
x2

Bài 9: Vẽ đồ thị các hàm số sau
a. y  2x  4

2x  1, khi x  0
 x  5, khi x  0

c. y  

b. y  x  5

Bài 10: Tìm hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó:
a. Qua hai điểm A(3; -4) và B(1; -1).
b. Qua hai điểm M(-1; 3) và N(1; 2).
c. Qua điểm A(3; -4) và cắt trục tng tại điểm có tuong độ bằng 2.

d. Qua gốc tọa độ và qua điểm B(1; -1).
Bµi 11: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số sau :
a/ y = x 2 - 4x+3

c/ y = x2 + 2x + 3

d) y = x2 + 2x

Bµi 12: X¸c ®Þnh parabol y=ax2+bx+1 biÕt parabol ®ã:
a. Qua A(1;2) vµ B(-2;11)
b. Cã ®Ønh I(1;0)
c. Qua M(1;6) vµ cã trơc ®èi xøng cã ph-¬ng tr×nh lµ x=-2
d. Qua N(1;4) cã tung ®é ®Ønh lµ 0.
Bµi 13: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó:
a. §i qua hai ®iĨm A(1; -2) vµ B(2; 3)

b. Cã ®Ønh I(-2; -2)

c. Cã hoµnh ®é ®Ønh lµ -3 vµ ®i qua ®iĨm P(-2; 1)
d. Cã trơc ®èi xøng lµ ®-êng th¼ng x = 2 vµ c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm (3; 0)
Bài 14: Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c . Biết parabol đó thoả điều kiện
a. Đi qua ba điểm A( 2 ; 1), B(3 ; 2), C(0 ; 1) ;
0987.377.505

Page 7


BÀI TẬP HỌC KÌ I TỐN 10

Gv: Phan Hữu Thế

b. Đi qua điểm A(2 ; 3) và có đỉnh là I(1 ; 1) ;
Bài 15*: Vẽ đồ thị của hàm số y   x 2  5 x  6 . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số
m số điểm chung của parabol y   x 2  5 x  6 và đường thẳng y = m
Bài 16*: Cho hàm số y  f (x)  mx 2  (2m  1)x  3m  2 . Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số
ln đi qua khi m thay đổi.

CHƢƠNG III. PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Bµi 1: Giải các phương trình sau :
a. x  3  x  1  x  3

b. x  2  2  x  1

d. 3x 2  5x  7  3x  14

e.

g.

3x2  1
4

x-1
x-1

h.

c. x x  1  2 x  1

x4 2

f.

2

x  1 (x  x  6) = 0

x 2  3x  4
 x+4
x+4

Bµi 2: Giải các phương trình sau :
a. x  1 
c.

2
x 2



2x  2

b. 1 +

x 2

x 2 1
2
 
x  2 x x ( x  2)

d.

7  2x
1
=
x 3
x 3

2x 1
x 1

x

1

Bµi 3: Giải các phương trình sau :
a. 2 x  1  x  3

b. x2  2x = x2  5x + 6

c. x + 3 = 2x + 1

d. x  2 = 3x2  x  2

Bµi 4: Giải các phương trình sau :
b. x  2x  5 = 4

c. 5  2x = x  1

d. 3x  2 = 1 -2x

e. x  1  2 x  1  5

f.

h. 15  x  3  x  6

i. x  9  x  18  1

a.

x 2  3x  2 = x  2

3x  4  x  4  2 x

Bµi 5: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
a.

x 4  5x 2  4  0

b. 4 x 4  3x 2  1  0

c. x 2  3x  2 = x2  3x  4

d. x2  6x + 9 = 4 x 2  6x  6

e. x2 – x + x 2  x  9 = 3

f. x2 + 2 x 2  3x  11 = 3x + 4

Bµi 6*: Giải các phương trình sau :
a.  x  3 x 2  5 x  4  2 x  6
2
c. x  2 7  x  2 x  1   x  8 x  7  1

0987.377.505

b.  x  3 10  x 2  x 2  x  12
d . x  2 x  1   x  1 x  x 2  x  0

Page 8


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

e. x  2  4  x  2 x  5 x  1
2

g.

x  2  4  x  x 2  6 x  11

f . x2  24  x2  15  3x  2

h. 2 x2  x  3  21x  17  x 2  x  0

k. 2 x  4 x  9  5 x  6  7 x  11  0

i. x 2  x  1   x  2  x 2  2 x  2

l. x 2  6 x  1   2 x  1 x 2  2 x  3

m. x  2  10  x  x2 12 x  40

2

n.

x2  x 1  x  x2  1  x2  x  2

o. x2  2 x  3  2 x2  x  1  3x  3x 2

Bµi 7: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a. 2mx + 3 = m  x

b.(m  1)(x + 2) + 1 = m2

c. (m2 + m)x = m2  1

d. m2(1  x) = x + 3m

Bµi 8: Cho phương trình x2  2(m  1)x + m2  3m = 0. Tìm m để phương trình
a. Có hai nghiệm phân biệt

b.vô nghiệm

c. Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

d. Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm
còn lại

e. Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)= - 4 x1 x2

f. Có hai nghiệm thoả x12+x22=2

Bài 9 Cho pt x2 + (m  1)x + m + 2 = 0
a.Giải phương trình với m = -8

b. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm
nghiệm kép đó

c. Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu

d. Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu

e. Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 9
Bµi 10 Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
a. x2  2(m + 1)x + m + 7 = 0

b. x2 + 5x + 3m  1 = 0

c. mx2 + 2(m + 3)x + m = 0

d. (m  2)x2  2(m + 1)x + m = 0

Bài 11 Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.
a. mx2  2(m  2)x + m  3 = 0

b. x2  6x + m  2 = 0

c. x2  2x + m  1 = 0
d. 3x2  10x  3m + 1 = 0
Bài 12: .Tìm một số gồm hai chữ số biết nếu lấy số đó trừ đi 3 lần tổng hai chữ số thì được
11,nếu 3 lần chữ số hàng đơn vị trừ 2 lần chữ số hàng chục thì bằng 9
Bµi 12: Giaỉ các hệ phương trình sau :
2 x  3 y  5
a. 
3x  y  3

0987.377.505

2 x  y  3
b. 
4 x  2 y  6

 x  2 y  3
c. 
2 x  4 y  1

4
7
x  y  41

d.  3 3
 3 x  5 y  11

2

5

Page 9


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

Hệ phương trình bậc hai:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
2 x  y  1

1. 

2
2
 x  xy  y  19
2 x  y  7  0
4.  2 2
 y  x  2x  2 y  4  0

x  3y  6

2. 

2 x  3xy  y  18  0
4 x  9 y  6
5.  2
3x  6 xy  x  3 y  0

2

2

 x  y  2  2 x  2 y  1  0
2
2
3 x  32 y  5  0

3. 

2 x 2  x  y  1  0
6.  2
 x  12 x  2 y  10  0

 x 2  4y 2  8
Bài 2.Cho hệ phƣơng trình: 
 x  2y  m

a) Giải hệ phương trình với m= 4
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

9x 2  16y 2  144

 x  y  m

Dạng II. Hệ đối xứng loại 1 : Hệ thay x bởi y và y bởi x thì từng pt của hệ không đổi
Cách giải:
Đặt S = x + y,P = xy giải hệ tìm S,P  x,y là nghiệm phương trình: X2-SX+P=0

Chú ý hệ có nghiệm: (x;y) và (y;x)
( Hoặc đặt S = x – y, P = xy, giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y)
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
x  y  5

1. 

2
2
 x  xy  y  7
 x 2  xy  y 2  7
4. 
 x  xy  y  5
7

 x  y  xy  2
7. 
 xy  x  y   5

2
 x + y + xy = 11
10.  2 2
 x + y + 3(x + y) = 28

 x + y = 1 - 2xy

13. 

2

2

x + y = 1

16.

 x 4  y 4  1
 6
6
 x  y  1

 x  y  xy  5

 xy  x  y  11

3. 

2. 

2
2
x  y  5
x  y  2
6.  3 3
 x  y  26

2
2
 x y  xy  30
 x3  y 3  19

5. 
 xy  8  x  y   2

2
2

 x  x  1 y  y  1  3
8. 

1  x 1  y   6
2
2
 x  y  1
3
3
 x  y  1

2
2
 x y  xy  30
3
3
 x  y  35

11. 

12. 

x  y  4

 xy  5

14. 

 x 2  xy  y 2  4
9. 
 x  xy  y  2

 x  y  x  y  42
 x y 13
  
17.  y x 6
x  y  5

2

2

15. 

2
2
3
3
(x  y )(x  y )  280

 x 2  y 2 - x - y  102
18. 
 xy  x  y  69

Dạng III. Hệ đối xứng loại 2: hệ thay x bởi y và y bởi x thì pt1 thành pt 2 và ngược lại.
Cách giải:
-Trừ vế theo vế hai phương trình ta được một phương trình.
-Đặt (x-y) nhân tử chung được phương trình tích trường hợp x = y thay vào hệ để giải và
xét trường hợp còn lại.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
2 x  y 2  4 y  5
1. 
2
2 y  x  4 x  5
0987.377.505

 y 2  13 x  4 y
2.  2
 x  13 y  4 x

 x  y 2  2
3. 
2
 y  x  2
Page 10


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

 x  5x  y
4.  3
3

 y  5 y  x

7.

 x 2 - 2x  y
 2
 y - 2y  x

 x  y  20
5.  4 2
2

 2x 2  xy  3x

4

6. 

2
2y  xy  3y
x 2 = 3x+2y
9.  2
 y =3y+2y

 x  y  20

8.

 x 2 - 2y 2  2x  y

 2
2
 y - 2x  2y  x

3 x  y 


3 y  x 


1
x2
1
y2

2 x 2  y  3y 2  2
10.  2
2
2 y  x  3 x  2

11.


y2  2
3
y


x2


13. 
2
3x  x  2

y2

x3  2x 2  2x  1  2y
14.  3
2
y  2y  2y  1  2x

 y 2  x 3  3 x 2  2 x
12.  2 3
2
 x  y  3y  2 y

Dạng IV. Hệ đẳng cấp:
Cách giải:
Phƣơng pháp 1: Khử số hạng tự do dẫn tới phương trình Ax 2  Bxy  Cy2  0 . Đặt y = kx 
x 2 (Ak 2  Bk  C  0)

Xét x = 0 thay vào hệ. Xét Ak 2  Bk  C  0 nếu có nghiệm k0 thì thế y = k0x vào hệ để xét hệ
với một ẩn x.
Phƣơng pháp 2: Từ hệ khử số hạng x2 (hoặc y2) để dẫn tới phương trình khuyết x2 (hoặc
y2). Từ phương trình này tính x qua y (hoặc y qua x) rồi thế vào một trong hai phương trình
ban đầu ta có phương trình trùng phương ẩn y (hoặc ẩn x).
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
 x 2  3xy  y 2  1

1. 

2
2
3x  xy  3y  13
3 x 2  xy  y 2  0
4.  2
2
 2 x  3 xy  y  1

 x 2  2 xy  3 y 2  0
 x x  y y  2

3 x 2  5 xy  4 y 2  3
2
2
9 y  11xy  8 x  6

2. 

3. 

3 x 2  2 xy  y 2  11
5.  2
2
 x  2 xy  3 y  17

3 x 2  5 xy  4 y 2  38
6.  2
2
5 x  9 xy  3 y  15

MỘT SỐ BÀI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
 xy  x  y  x 2  2y 2
1.D08 
 x 2y  y x  1  2x  2y
(x  1)(x  4y)  4y(y  1)  5  3x
3. 
 y  4(1  y y  4)  2 x  y  y

 xy  x  2  0
2.D12  3
2
2
2
2x  x y  x  y  2xy  y  0

2x 2  y 2  3xy  3x  2y  1  0
5.B13  2
2
4x  y  x  4  2 x  y  x  4y

3x 2  y 2  2xy  3x  3y  0
6. 
2
 x  y  1  2x  1  x  1

(1  y) x  y  x  2  (x  y  1) y
7.B14 
2
2y  3x  6y  1  2 x  2y  4x  5y  3

 x 12  y  y(12  x 2 )  12
8.A14 . 
3
 x  8x  1  2 y  2

 x(x  21)  y(x - 33)  2(y 2  50)
9. 
3
 x  2  2 y  11  (4y - x  14)

2
2
17(x  y)  3xy  2x  y
10. 
2
 x  3  10  y  x  7y  11

 x  3y  2  xy  y 2  x  y  0
11. 
2
3 8  x  4 y  1  x  14y  12

 x 3  6x 2 y  9xy 2  4y3  0
12. 
 x  y  x  y  2

0987.377.505

4

2
3
2y  (x  3)  y (x  6)  2xy  9
4. 
 x  2  y  2  6

*

Page 11


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

CHƢƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: a. chứng minh rằng : a2 + b2 _ ab  0 đẳng thứ xảy ra khi nào ?
b. cmr : a. a2 +b2 +c2  ab +bc +ca
c. cho ba số dương a,b,c cmr: ( a +b +c )(ab + bc + ca )  9abc
Bài 2 : a. cho a,b,c là ba số dương cmr:

ab bc ca
 
 abc
c
a
b

a 2  b2  a  b 


 . Đẳng thức xảy ra khi nào?
2
 2 
2

b.

c. a 2  b2  8  4  a  b  . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a.  a  b      4
a b
1



1



b.  ab  1 a  b   4ab

c.  a  2b  c  

Bài 4. Cho các số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng:

1
1 

4
 ab bc 

a
b
c
3



bc ca a b 2

Bài 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thoả điều kiện: a + b + c = 1 .
1
1
1


4
ab bc ca
Bài 6. Chứng minh: a 2  b2  1  ab  b  a ,  a,b.
1 1
2
Bài 7. Cho a,b > 0 , ab = 1. Chứng minh :  
 3.
a b ab

Chứng minh rằng

x 2  x  2025
 91 với x > 1
Bài 8. Chứng minh rằng: y =

x 1

Bài 9. Cho số thực x > 1. Chứng minh rằng:

x 

1
 3.
x 1

Bài 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
c
a
b


 3.
a bc bc a a c b
a b
c
1 1 1
Bài 11. Với mọi a, b, c > 0 Chứng minh:    2     .
bc ca ab
a b c
a
b
c
Bài 12. Cho ba số dương a,b,c chứng minh rằng: (1 + )(1 + )(1 + )  8.
b
a

c
a
b
c
Bài 13. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :  4   9   25    240 .
b 
c 
a

2 2
Bài 14. Chứng minh rằng : Với a > 0, b > 0 ta có a  b .    8 .
a b

Chứng minh rằng

Bài 15. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng

bc ca ab
 
a bc
a
b
c

.

..........................................................................................................

0987.377.505

Page 12


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

PHẦN HÌNH HỌC
CHƢƠNG I: VECTƠ
I. VECTƠ
Dạng 1. Xác định vectơ, cùng phƣơng, cùng hƣớng:
* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ.
+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a)Tìm các vectơ cùng phương với AB .
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB .
c)Tìm các vectơ ngược hướng với AB .
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA .
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB .
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O.
a) bằng vectơ AB ; OB .
b) Có độ dài bằng  OB .

Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
* Phương pháp : Ta có thể dùng một trong các cách sau:
A
B

| a || b |

a

b
+ Sử dụng định nghĩa:
.
o

a, b cuøng höôùng 

D thì.
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành
AB  DC, BC  AD ,…(hoặc viết ngược lại).

C

+ Nếu a  b, b  c  a  c .
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
EF  CD

Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB  DC

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  DC thì AD  BC

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN  QP ; NP  MQ
0987.377.505

Page 13


BÀI TẬP HỌC KÌ I TỐN 10

Gv: Phan Hữu Thế

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là
đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
 Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
B

A

C

D

 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB  OA  AB (hoặc OA  OB  BA )hay AB  OB  OA

 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0
 Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0
Bài 1:
a. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
b. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : AB + CD + EA = CB + ED
c. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : AD + BE + CF = AE + BF + CD
d. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
Cmr: AC + BF + GD + HE = AD + BE +GC + HF
Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và
CD.Gọi O là tâm của hình bình hành .CMR:












a. DO + AO = AB

b. OD + OC = BC







+
+
+
=
OB
OC
OA
OD
0
c.

d. AB  CD  AD  CB  0

e. AB  AD  AM  AN

f. PA + PC = PB + PD (với P tùy ý)









Bài 3 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung
điểm của EF. CMR :







a. AD + BC = 2 EF
0987.377.505











b. OA + OB + OC + OD = 0
Page 14


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế










c. MA + MB + MC + MD = 4 MO (vôùi M tuøy yù)
Bài 4 : Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy
ý. CMR :




















a. AM + BN + CP = 0

b. OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 5: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a. Chứng minh: 2IA  IB  IC  0 .
b. Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI .




Bài 6: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M  BC sao cho BM = 2 MC














a. CMR : AB + 2 AC = 3 AM
b. CMR : MA + MB + MC = 3 MG
Bài 7: Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm
đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:
a) AH  2OM
b) HA  HB  HC  2HO
c) OA  OB  OC  OH .

Bài 8: Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G.
Chứng minh AA  BB  CC  3GG .
Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
 sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC  AB  BC  AC
+ Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
 AB  AD  AC

B

A

C

D

+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB  OA  AB (hoặc OA  OB  BA )hay AB  OB  OA  AB  OB  OA
 Sử dụng tính chất hai véctơ :
+ Nếu hai véc tơ a , b cùng hướng thì | a + b | = | a |+| b |
+ Nếu hai véc tơ a  b và | b | ≥ | a | thì | a + b |=| b || a |
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.












a/ Tính  AD  AB 
b/ Dựng u = CA  AB . Tính  u 
Bài 2 Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
0987.377.505

Page 15


BÀI TẬP HỌC KÌ I TỐN 10

Gv: Phan Hữu Thế








a/ Tính  AB  AC 

b/ Tính  BA  BI 




Bài 3 Cho ABC vng tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB  AC 
Bài 4 Cho hình vng ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm đối xứng
của C qua D. Hãy tính độ dài các vectơ sau : MD, MN




Bài 5 Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính  AB  AD  theo a
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.












a/ Tính  AB  AD 
b/ Dựng u = AB  AC . Tính  u 
Bài 7. Cho tam giác ABC vng tại A, có ABC  30o và BC  a 5. Tính độ dài các vectơ
AB  BC, AC  BC, AB  AC .

Dạng 5. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng cùng phƣơng :
Bài 1. Cho ABC, G là trọng tâm và M, N là trung điểm BC,AB. I là trung điểm của AG

a. Phân tích AG theo
 



 

AB

và

 

AC .

b.



AI

theo

 

AB

 

và AC

 

theo AB ; AC
d. AG theo AN và BM .
Bài 2. Cho ABC, G là trọng tâm và I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm
BC. Phân tích
c.

CI

 

 



 

 

 



 

a. AG theo AB và AC .
b. AI theo AB và AC

c. CI theo AB ; AC
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O với H là trung điểm của OD, AH cắt CD
tại F. Phân tích BD, BH , AF theo a  BC và b  AB .
Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC.
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 5. Cho tam giác ABC , Gọi I là là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên
BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a. Tính AJ theo AB và AC
b. AJ theo AB và AC
Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộc AC sao cho CN  2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
1
4

1
4

1
6

a. AK  AB  AC

1
3

b. KD  AB  AC .

Bài 7. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
1
1

3
3
1
Bài 8. Cho ABC với I, J, K lần lượt xác định bởi: IB  2 IC ; JC   JA ; KA   KB .
2
Tính IJ và IK theo AB và AC .
Bài 9. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
1
1
1
a) AM  OB  OA
b) BN  OC  OB
c) MN  OC  OB  .
2
2
2
Bài 10. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
2
4
AB   CM  BN
3
3

0987.377.505

4
3

2
3

b. AC   CM  BN

c. MN  BN  CM

Page 16


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

2
1
1
a) Chứng minh: AH  AC  AB và CH    AB  AC  .
3

3

3

1
6

5
6

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH  AC  AB .
Dạng 6*: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường
ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM  a , trong đó O và a đã được xác định.
Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …
Cho hai điểm A, B cố định . Xác định điểm M sao cho MA  2 MB  0
Baøi 2. Cho hai điểm A, B cố định . Xác định điểm I sao cho IA  3IB  0
Baøi 3. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  0 .
Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC .
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM  AB  AC  AD .
Baøi 5. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Baøi 1.

1
2

a) Chứng minh: MN  ( AB  DC ) .
b) Xác định điểm O sao cho: OA  OB  OC  OD  0 .
Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IB  3IC  0
b) 2JA  JC  JB  CA
c) KA  KB  KC  2BC
d) 3LA  LB  2LC  0 .
Baøi 7. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IA  3IB  3BC
b) JA  JB  2JC  0
c) KA  KB  KC  BC

d) LA  2LC  AB  2 AC .
Baøi 8. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IA  IB  IC  BC
b) FA  FB  FC  AB  AC
c) 3KA  KB  KC  0
d) 3LA  2LB  LC  0 .
Baøi 6.

Dạng 7*: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
thức AB  k AC , với k  0.
Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA  2OB  3OC  0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng
hàng.

Baøi 1.
Baøi 2.

1
2

Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB  2IC , JC   JA , KA   KB .

0987.377.505

Page 17


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

4
3

a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC . (HD: IJ  AB  AC )
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB).
Baøi 3. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
sao cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  0 .
a) Tính PM , PN theo AB, AC .
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 4. Cho ABC. Lấy các điểm M N, P: MB  2 MC  NA  2 NC  PA  PB  0
a) Tính PM , PN theo AB vaø AC .
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
1
1
BC , BK  BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
5
6
HD: BH  AH  AB; BK  AK  AB .
BH 

Cho ABC, G là trọng tâm. Lấy các điểm I, J sao cho: 2IA  3IC  0, 2JA  5JB  3JC  0
a. Chứng minh rằng M, N, J thẳng hàng, với M, N lần lượt là trung điểm của
AB và BC.

Baøi 6.

Dạng 8*: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để

đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là
điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA  MB  MA  MB
b) 2MA  MB  MA  2MB .
HD: a) Đường tròn đường kính AB
b) Trung trực của AB.
Baøi 2. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Baøi 1.

a) MA  MB  MC 

3
MB  MC
2

b) MA  BC  MA  MB

c) 2 MA  MB  4 MB  MC
d) 4 MA  MB  MC  2 MA  MB  MC .
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
Baøi 3. Cho ABC.
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA  2IB  IC  0 .
b) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA  2HB  HC  HA  HB .
c) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA  KB  KC  3 KB  KC
Baøi 4. Cho ABC.

a) Xác định điểm I sao cho: IA  3IB  2IC  0 .
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB  2DC  0 .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  3MB  2 MC  2 MA  MB  MC .
0987.377.505

Page 18


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

Dạng 9*: Chứng minh một biểu thức vectơ không phụ thuộc điểm di động
Baøi 1. Cho M là điểm bất kì chứng minh rằng v  MA  2MB  3MC không phụ thuộc vào vị
trí của điểm M.
Baøi 2. Cho tam giác ABC và điểm M di động. Chứng minh rằng v  MA  4MB  5MC không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Baøi 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a chứng minh rằng v  MA  2MB  3MC  2MD không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

II.

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Hệ trục toạ độ
 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt
là i , j .
O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:

u  ( x; y)  u  x.i  y. j .
M ( x; y)  OM  x.i  y. j .
 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
 Tính chất: Cho a  ( x; y), b  ( x; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C( xC ; yC ) :



 y  y


+ a  b  x  x

+ a  b  ( x  x; y  y ) + ka  (kx; ky)

x  y
+ b cùng phương với a  0  k  R: x  kx vaø y  ky .   (nếu x  0, y  0).
x

y

+ AB  ( xB  x A ; yB  y A ) .
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI 
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG 

x A  xB

; yI 

2
x A  xB  xC

3

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: xM 

y A  yB
2

; yG 

x A  kxB
1 k

.

y A  yB  yC

.

y A  kyB

.

3

; yM 

1 k
( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  kMB ).

Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau :



 

1  
3 
i + j ;
a= i 3 j
c=i +
j;
b=
2
2



Baøi 2. Viết dưới dạng u = x i + y j , biết rằng :



u = (1; 3) ;
u = (4; 1) ;
u = (0; 1) ;


d







= 3 i ; e = 4 j .


u = (1; 0) ; u = (0;

0)


Baøi 3. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :








1 
a. u = 3 a  2 b
b. v = 2 a + b
c. w = 4 a  b
2

Baøi 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

0987.377.505

Page 19


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế






a. Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC
b. Tính u  2AB  2AC, V  AC  2AB  BC .
c. Tìm tọa độ trung điểm I của AB
d. Tìm tọa độ điểm F sao cho C là trung điểm của AF.






e. Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2 AB  3 AC








f. Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2 BN  4 CN = 0
Baøi 5. Trong mp Oxy cho C có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a. CMR A, B, C không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
d. Tìm tọa độ điểm P sao cho A là trọng tâm cuẩ tam giác BCP.
Baøi 6. Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a. CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b. Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c. Tính chu vi tam giác.
d. Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN  2BN  4CN  0 .
Baøi 7. Cho A(1;3) và B(4;2)

a.
b.
c.
d.

Tìm chu vi và diện tích tam giác OAB.
Tìm D  Ox sao cho D cách đều A và B.
Tìm tọa đọ trọng tâm tam giác OAB.
Tìm tọa độ điểm N đối xứng với A qua B.

Baøi 8. Cho ba vectơ : x   2;1 , y   3; 2  , z   1; 4 

a.Biểu diển vectơ x qua hai vectơ y và z
b.Biểu diển vectơ y qua hai vectơ x và z
c. Biểu diển vectơ z qua hai vectơ y và x
Baøi 9. Cho hai đỉnh của hình vuông là : A(1; 2) ;B (3; 5). Tìm hai đỉnh C, D còn lại của
hình vuông.
Baøi 10. Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0). Xác định điểm D sao cho ABCD là hình thang cân
đáy AB.
III. GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
Baøi 1. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a. sinA = sin(B+C) .
b. cosA = cos(B+C).
o

Baøi 2. Chứng minh rằng mọi góc (0    180 ) ta đều có sin   cos   1 .

0987.377.505

o

2

2

Page 20


BI TP HC Kè I TON 10

Gv: Phan Hu Th

Baứi 3. Cho gúc x vi cos x

4
2
2
. Tớnh giỏ tr biu thc P 3sin x cos x .
5

Baứi 4. Cho tam giỏc ABC u, M l trung im ca BC tớnh:

a.sin(AB,AC)

b.sin(AB,BC)

c.sin(AC,BC) d.sin(AM,BC)

a.cos(AB,CA) b.cos(AM,AC)
Baứi 5. Cho hỡnh vuụng ABCD. Tớnh:
a.sin(AB,AO) b.cos(AB,DC)

c.cos(AB,MA)

d.cos(AB,CB)

c.sin(AC,OC) d.cos(AO,BC)

IV. TCH Vễ HNG CA HAI VECT
1. Gúc gia hai vect
Cho a, b 0 . T mt im O bt kỡ v OA a, OB b .
Khi ú a, b AOB vi 00 AOB 1800.

Chỳ ý:
+ a, b = 900 a b

a
a

b

A

O
b

B

+ a, b = 00 a , b cựng hng
+ a, b = 1800 a , b ngc hng
+ a, b b , a
2. Tớch vụ hng ca hai vect
a.b a . b .cos a, b .
nh ngha:
2

a.a a 2 a .
c bit:
Tớnh cht: Vi a, b , c bt kỡ v kR, ta cú:
+ a.b b .a ; a b c a.b a.c ; ka .b k a.b a. kb ; a 2 0; a 2 0 a 0 .
2
2
a 2 b 2 a b a b .

+ a b a 2 2a.b b 2 ; a b a2 2a.b b 2 ;
+ a.b > 0 a, b nhoùn
+ a.b < 0 a, b tuứ a.b = 0 a, b vuoõng.
3. Biu thc to ca tớch vụ hng
Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi ú: a.b a1b1 a2b2 .

a a12 a22 ;

cos(a, b )

a1b1 a2 b2
a12

a22 .

b12

b22

;

a b a1b1 a2 b2 0

Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi ú: AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 .

Dng 1: TNH TCH Vễ HNG
Baứi 1. Cho tam giỏc ABC u cnh bng a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a) AB.AC
b) AC.CB
c) AB.BC

Baứi 1. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AB = AC = a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a) AB.AC
b) BC.BA
c) AB.BC
Baứi 2. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = a, BC = 2a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a) AB.AC
b) AC.CB
c) AB.BC
0987.377.505

Page 21


BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Gv: Phan Hữu Thế

Cho tam giác ABC có BC =a, AC = 2a, AB =3a. Tính AB.AC và cos Atheo a.
Baøi 4. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA.CB .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Baøi 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB.AC
b) ( AB  AD)(BD  BC )
c) ( AC  AB)(2 AD  AB)
d) AB.BD
e) ( AB  AC  AD)(DA  DB  DC )
Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB.AC , rồi suy ra cosA.

b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG.BC .
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA .
Baøi 7. * Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 11.
a. Chứng minh góc A tù.
b. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 và gọi N là trung điểm của AC. Tính
AM.AN và đoạn MN.
Baøi 3.

Dạng 2*: CHỨNG MINH ĐẢNG THỨC VECTƠ
Baøi 1. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: AM .AI  AB.AI , BN .BI  BA.BI .
b) Tính AM.AI  BN .BI theo R.
Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC.AB  0 .
Baøi 3. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC.AD  CA.BE  AB.CF  0 .
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh AB2  BC2  CD2  DA2  2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB2  CD2  BC2  DA2 .
Baøi 5. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH .MA 

1
BC 2 .
4

Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a) MA2  MC2  MB2  MD2

b) MA.MC  MB.MD
c) MA2  MB.MD  2MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).

Baøi 6.

Dạng 3: BÀI TOÁN TỌA ĐỘ
Baøi 1. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
0987.377.505

Page 22


Gv: Phan Hữu Thế

BÀI TẬP HỌC KÌ I TOÁN 10

Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính AB.AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.

l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.

Baøi 2.

0987.377.505

Page 23