Bất đẳng thức phụ bất đẳng thức và cực trị diễn đàn toán học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.43 KB, 9 trang )
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Bất đẳng thức và cực trị
Bất đẳng thức phụ
Bắt đầu bởi vietfrog, 25102011 20:51
Quyên góp,
Tổng hợp,
Trang 1 / 6
Đã gửi 25102011 20:51
vietfrog
BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Phổ biến
Trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ở cấp THPT, ta thường bắt gặp các Bất đẳng thức phụ , các
Bổ đề nhỏ.
Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng. Nhưng cũng có khi ta băn khoăn không hiểu vì
sao lại sử dụng bất đẳng thức phụ đó và đôi khi ta không biết về nó.
Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ.
Biết càng nhiều Bất đẳng thức phụ xem như ta có thêm nhiều vũ khí, khi cần có thể đem ra dùng để đối phó với các bài
toán Bất đẳng thức.
Rất mong được mọi người ủng hộ.
* Một số yêu cầu nhỏ:
Các Bất đẳng thức phụ đưa ra phải có hình thức ngắn gọn.
Cách chứng minh các Bất đẳng thức phụ đó cần rõ ràng, mạch lạc, càng ngắn gọn càng tốt.
Mọi người đưa BĐT phụ lên nếu có thể thì chứng minh luôn.
Mọi người có thể post nhiều cách chứng minh bổ đề.
Topic ứng dụng các BĐT phụ này sẽ được mở sau khi đã có số lượng BĐT phụ phong phú.
Hy vọng mọi người tham gia nhiệt tình để tổng hợp thành một tài liệu hay cho VMF.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25102011 22:25
Đã gửi 25102011 21:06
vietfrog
BĐT 1:
Chứng minh rằng: Với a, b, c > 0 và abc ≤ 1 thì ta luôn có:
Phổ biến
a b
c
+ + ≥a+b+c
c a b
Chứng minh
1
≥ a
bc
Theo BĐT AMGM ta có:
Ta có: abc ≤ 1 ⇒
2a c
a a c
+ = + + ≥3
c
b
c
c b
3
√
a2
bc
≥3
3
√a2. a = 3a(1)
Tương tự ta cũng có được:
2b
a
+
a
c
≥ 3b(2);
2c
b
+
b
a
≥ 3c(3)
/>
1/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
Từ (1); (2); (3) ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25102011 21:07
Đã gửi 25102011 21:11
vietfrog
BĐT 2:
Với ab ≥ 1 ta luôn có:
1
+
a2
1+
1
1+
b2
2
1 + ab
≥
Chứng minh
Biến đổi tương đương:
1
1+a
⇔
⇔
2
+
1
1+b
1
1+a
2
−
≥
2
2
1 + ab
1
+
1 + ab
1
1+b
2
(a − b) 2(ab − 1)
−
1
1 + ab
≥0
≥0
(1 + a 2)(1 + b 2)(1 + ab)
Ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26102011 00:37
Đã gửi 26102011 00:46
vietfrog
BĐT 3:
Cho a, b ∈ R; n ∈ N ∗ . Chứng minh rằng:
an + b n
2
≥
( )
a+b
n
2
Chứng minh:
Trước tiên ta xét:
f(x) = x n + (c − x) n ; c > 0, n ∈ N ∗
.
Ta có: f ′ (x) = nx n − 1 − n(c − x) n − 1;f ′ (x) = 0 ⇔ x =
BBT → f(x) ≥ f
c
2
. Lập BBT.
()
c
2
⇔ x n + (c − x) n ≥ 2
()
c
n
2
Chọn x = a; c = a + b ta có:
an + b n ≥ 2
( )
a+b
2
n
⇔
an + b n
2
≥
( )
a+b
n
2
BĐT trên là BĐT tổng quát giúp ta dễ nhớ.
Từ BĐT trên ta có thể thay n=2,3,4...
Sẽ được một số BĐT phụ khá hữu ích. ( cái mà ta muốn nói đến)
/>
2/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
a3 + b 3
≥
2
( )
a+b
2
3
;
a4 + b 4
≥
2
( )
a+b
2
4
....
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26102011 00:51
Đã gửi 26102011 02:03
alex_hoang
BĐT4
Cho các số thức dương a, b.CMR
1
1
4
+ ≥
a b
a+b
Chứng minh
Ta thấy
(a + b)
(
1
1
+
a b
)
≥ 2√ab2
1
√ab
= 4
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:42
Đã gửi 26102011 19:34
hxthanh
Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức:
¯
Với các số thực dương a i, i = 1, n
a1 + a2 + . . . + an
n
≥
n
1
1
1
+
+... +
a1 a2
an
là BĐT "Trung bình điều hoà" mà
Đã gửi 26102011 19:51
Ispectorgadget
BĐT trên có tên quốc tế là AMHM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means
BĐT 5
Với a,b,c dương ta có: (a + b + c). (ab + bc + ac) ≥ 9abc
Chứng minh
Áp dụng BĐT AMGM cho 2 cái ngoặc ta có:
3
(a + b + c)(ab + ac + bc) ≥ 3 √abc.3
3
√a2b 2c2 = 9abc
Ta có đpcm.
BĐT 6:
Cho a,b,c là số thực dương.
Ta luôn có a 2 + b 2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Chứng minh:
2(a 2 + b 2 + c2) ≥ (2ab + 2bc + 2ac)
/>
3/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
2
2
(a − b) + (b − c) + (a − c) 2 ≥ 0 (luôn đúng)
=> BĐT ban đầu đúng
BĐT 7
Với a,b,c dương ta có:
ab bc ac
+
+
≥ a + b + c
c
a
b
Chứng minh
BĐT tương đương:
abc
⇔
(
1
a2
1
a2
1
+
+
b2
1
b2
+
+
1
c2
1
c2
)
≥
≥a+b+c
1
1
1
+
+
(1)
ab bc ac
Dễ thấy (1) luôn đúng với BĐT AMGM ( hay chính là BĐT số 6 )
BĐT 8:
Cho a,b,c là số thực dương
Ta luôn có:(a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ac)
Chứng minh:
VT=a 2 + b 2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Tới đây sử dụng BĐT 6 ta có
VT ≥ 3(ab + bc + ac)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26102011 23:56
Đã gửi 26102011 20:12
vietfrog
Vào lúc 26 Tháng 10 2011 18:34, hxthanh đã nói:
Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức:
¯
Với các số thực dương a i, i = 1, n
a1 + a2 + . . . + an
n
≥
n
1
1
1
+
+ ... +
a1 a2
an
là BĐT "Trung bình điều hoà" mà
@hxthanh : Thưa thầy, ý bạn Hoàng muốn nói tới BĐT AGHM dạng đó. Ta sẽ xét những BĐT phụ thường dùng, nhiều
ứng dụng, không nhất thiết phải là BĐT tổng quát.
Vào lúc 26 Tháng 10 2011 18:51, Ispectorgadget đã nói:
BĐT trên có tên quốc tế là AMHM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means
Với a,b,c dương ta có: (a + b + c). (ab + bc + ac) ≥ 9abc
ab bc ac
+
+
≥ a + b + c
c
a
b
2 BĐT này chỉ cần sử dụng BĐT AMGM
@spectorgadget : Bạn nên đánh số thứ tự BĐT nhé. Chứng minh 2 BĐT trên không dài dòng lắm nên bạn có thể
chứng minh luôn nhé. Theo mình thì mỗi BĐT và cách chứng minh nó nên để ở 1 post. Cảm ơn bạn đã tham gia!
khanh3570883
/>
Đã gửi 26102011 23:25
4/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
BĐT 8: bất đẳng thức này khá hay và rất nhiều ứng dụng, mọi người nghĩ ra trường hợp tổng quát hơn nữa nha!
Cho a 1, a 2, . . . , a n là các số dương; m và k là các số nguyên dương, ta có bất đẳng thức sau:
+k
+k
+k
am
+ am
+ . . . + am
≥ am
ak + am
ak + . . . + am
a k
1
2
n
1 2
2 3
n 1
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AMGM cho (m+k) số:
+k
+k
ma m
+ ka m
≥ (m + k)a m
a k
1
2
1 2
Làm lại tương tự như vậy rồi cộng lại ta được đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:36
Đã gửi 27102011 00:01
vietfrog
@Ispectorgadget : Bạn nên trình bày cho đẹp hơn chút, để cho nhưng bạn chưa biết có thể dễ dàng đọc được.
Các BĐT phụ được đưa ra đều là những BĐT đơn giản, dễ chứng minh nhưng bạn vẫn nên chứng minh ra nhé.
Mình đã chứng minh BĐT 5 và 7 phía trên cho bạn.
Mong rằng bạn sẽ tiếp tục đóng góp những BĐT phụ hay.
@khánh: Khánh có thể nêu một số dạng đơn giản để dễ áp dụng được không? Nêu ngay dưới bài post của Khánh cũng
được.
Đã gửi 27102011 12:19
HÀ QUỐC ĐẠT
BĐT9,
Với mọi a,b,c>0 ta có(a + b)(b + c)(c + a) ≥
8
9
(a + b + c)(ab + bc + ca)(1)
Chứng minh:
(a + b)(b + c)(c + a) = (ab + bc + ca)(a + b + c) − abc ≥ (ab + bc + ca)(a + b + c) −
=
8
9
1
9
(ab + bc + ca)(a + b + c)
(ab + bc + ca)(a + b + c)
BĐT10,
Cho ab ≥ 0vàa, b, a + b ≥ − 1 ta có:
√1 + a + √1 + b ≥ 1 + √1 + a + b(2)
Chứng minh:
(2) ⇔ 2 + a + b + 2√(1 + a)(1 + b) ≥ 2 + a + b + 2√1 + a + b
⇔ (1 + a)(1 + b) ≥ 1 + a + b ⇔ ab ≥ 0(đúng)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:43
Đã gửi 27102011 14:55
Ispectorgadget
BĐT 11:
Cho x,y 2 là số thực dương ta có
(x + y + z) 2
x 2 + y 2 + z2 ≥
3
Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchyschwarz
x 2 y 2 z2
(x + y + z) 2
+
+
≥
1
1
1
3
BĐT 12: cho 2 số x,y thực dương ta có (x + y) 2 ≥ (x + y) 2 − (x − y) 2 = 4xy
/>
5/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:36
Đã gửi 27102011 22:54
HÀ QUỐC ĐẠT
BĐT12:
Với mọi a,b,c >0 ta có:
a 2b 2 + b 2c2 + c2a 2 ≥
(ab + bc + ca) 2
≥ abc(a + b + c)(*)
3
Chứng minh:
(*) ⇔ (ab − bc) 2 + (bc − ca) 2 + (ca − ab) 2 ≥ 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:37
Đã gửi 27102011 23:17
Ispectorgadget
BĐT 13: Với mọi số a,b thực ta có
a 4 + b 4 ≥ a 3b + b 3a
Chứng minh:
⇔ a 3(a − b) − b 3(a − b) ≥ 0
BĐT
(luôn đúng)
⇔ (a − b) 2(a 2 + b 2 + ab) ≥ 0
Suy ra BĐT ban đầu đúng
*Các dạng kháca 3 + b 3 ≥ ab(a + b)
a 5 + b 5 ≥ a 2b 2(a + b)
Việc chứng minh hoàn toàn tương tự
BĐT 14:Cho a,b thực dương ta có
√2a − 1
≤ 1
a
Chứng minh:
√2a − 1
a
≤
2a − 1 + 1
2a
Các dạng khác của BĐT này là
3
√3a − 2
≤ 1
a
Cách chứng minh tương tự sử dụng AMGM 3 số ta có
3
√3a − 2
3a − 2 + 1 + 1
≤
= 1
a
3a
Bổ đề này áp dụng cho một số bài toán khá thú vị do chủ topic không yêu cầu gửi những bài tập áp dụng nên mình không
dám gửi
Mà sao không ai góp thêm vậy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:41
Đã gửi 31102011 00:47
vietfrog
BĐT 15:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ac)
Chứng minh
Theo nguyên lý Diricle thì luôn tồn tại 2 trong 3 số :(a − 1); (b − 1); (c − 1)cùng dấu.
Giả sử:
(a − 1)(b − 1) ≥ 0
/>
6/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
⇔ ab + 1 ≥ a + b
⇔ 2abc + 2ab + 2c ≥ 2(ab + bc + ca)
Ta chứng minh:
a 2 + b 2 + c2 + 1 ≥ 2ab + 2c
BĐT trên luôn đúng theo BĐT AMGM.
Đã gửi 01112011 23:46
Ispectorgadget
BĐT 16: BĐT này cũng khá quen thuộc
Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác ta có abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(a + c − b)
Chứng minh
a 2 ≥ a 2 − (b − c) 2 = (a − b + c)(a + b − c)
Cmtt ta có b 2 ≥ (b − a + c)(b + a − c)
c2 ≥ (c − a + b)(c + b − a)
Nhân lại lấy căn suy ra đpcm dấu bằng xảy ra khi a = b = c
@vietfrog: BĐT 16 vẫn đúng với a, b, c là các số dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05112011 22:30
Đã gửi 02112011 00:03
perfectstrong
Một số bổ đề mà mình gom được khi học bđt:
BĐT 17
∀x :
1
1+x
≥1−
2
x
2
Tổng quát hơn chút,
∀x :
1
k+x
2
≥
1
k
−
x
2 √k
BĐT 18
(1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 + abc)
3
(a
3
+ b 3 + c3
)(m
3
+ n3 + p 3
3
)(x
3
3
3
)
+ y 3 + z 3 ≥ (amn + bny + cpz) 3
Ispectorgadget
/>
Đã gửi 02112011 00:15
7/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé
mình đang cần cái chứng minh của holder
Đã gửi 02112011 13:09
Mai Duc Khai
Vào lúc 01 Tháng 11 2011 23:15, Ispectorgadget đã nói:
BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé
mình đang cần cái chứng minh của holder
Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AMGM ta có:
a3
a3
+
b3
+
c3
+
x3
x3
+
y3
+
z3
+
m3
m3
+
n3
+
p3
≥
3axm
√ (a3 + b 3 + c3 )(x3 + y 3 + z3 )(m3 + n3 + p3 )
3
Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với (b; y; n) và (c; z; p) rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.
Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05112011 22:31
Đã gửi 08112011 14:35
Ispectorgadget
BĐT 19:
Với a,b,c là 3 số thực dương ta có
a 2 b 2 c2
a b
c
+
+
≥ + +
b
c a
b 2 c2 a 2
Chứng minh:
Áp dụng BĐT CauchySchwarz ta có
a 2 b 2 c2
a b
c
3(
+
+
) ≥ ( + + ) 2
2
2
2
b
c
a
b
c
a
a 2 b 2 c2
Áp dụng BĐT AMGM ta được (
+
+
) ≥ 3
b 2 c2 a 2
a 2 b 2 c2 2
a b
c
3(
+
+
) ≥ 3( + + ) 2
2
2
2
b
c a
b
c
a
Từ đây ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10112011 23:16
Trở lại Bất đẳng thức và cực trị · Chủ đề chưa đọc tiếp theo →
Trang 1 / 6
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Tài liệu đề thi THPT → Thi TS ĐH →
[Ebook hay] Tổng hợp kiến thức thi THPT Quốc Gia môn toán (2015 về sau)
Bắt đầu bởi firing, 05052015
ebook, tổng hợp, môn toán
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Tài liệu đề thi THPT → Tài liệu tham
khảo khác → Tổng hợp tài liệu TOÁN theo chuyên đề
Bắt đầu bởi A4 Productions, 11032015 tài liệu, toán, tai lieu, toan và .
1 Trả lời
1388 Views
Hong Y
10102015
1 Trả lời
5188 Views
hshdhccjchjcjh
13082015
5 Trả lời
2336 Views
namcpnh
26072014
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic → Số học → Các bài toán và vấn đề về Số học →
TỔNG HỢP CÁC BÀI SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP TRONG CÁC KÌ OLYMPIC THI
NĂM 20132014
Bắt đầu bởi namcpnh, 24072014
tổng hợp
Toán Trung học Cơ sở → Hình học → BÌNH CHỌN Hình Học Tổng Hợp Lớp 7
Bắt đầu bởi Linda Johnson, 15072014 hinh hoc, tổng hợp
2 Trả lời
569 Views
/>
Linda Johnson
16072014
8/9
23/8/2016
Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học
∡BAC
Toán Trung học Cơ sở → Đại số → <90 độ
Bắt đầu bởi kuromeomeo, 31102013 hình học, đại số, tổng hợp
0 Trả lời
275 Views
kuromeomeo
31102013
Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Bất đẳng thức và cực trị
/>
9/9
