Bat dang thuc va cuc tri cua ham da bien

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh:
Giải: Đpcm (đúng)
Bài tập áp dụng:
1.Cho a, b, c 1. Chứng minh
2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh
3.Cho Chứng minh
Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh:
1. (a
m
+ b
m
)(a
n
+ b
n
) 2(a
m+n
+ b
m+n
)
2. a
m
b
n
+ a
n
b

m
a
m+n
+ b
m+n
Giải: Cả hai BĐT trên cùng tơng đơng với BĐT : (a
n
-b
n
)(a
m
-b
m
) 0 (đúng)
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
1) (a + b)(a
2
+ b
2
)(a
3
+ b
3
) 4(a
6
+ b
6
)
2) với mọi n nguyên dơng
3)

4) với abc =1
Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b)
2
+(b - c)
2
+ (c - a)
2
0 (đúng).
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh:
1) a
4
+ b
4
+ c
4
abc(a + b + c)
2) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c)
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
1
ab
ba

+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
0)1()(
2

abba
abc
cba
+

+
+
+
+
+
1
3
1
1
1

1
1
1
333
abcde
edcba
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
55555

5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
dcba
abcd
dcba
121
4
251
1
161
1
91
1
41
1
2222
+

+
+
+

+
+
+
+
22
nn
n
baba
+









+
abc
abcacabccbabcba
1111
333

++
+
++
+
++
1

555555

++
+
++
+
++ acca
ac
bccb
bc
abba
ab
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bài tập tự luyện
1) Cho ab>0, c . Chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
a)
b)
II. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1. CMR: với mọi x
1
,x
2
, ,x
n
dơng
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
và Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc
Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x
1

= x
2
= = x
n
.
Bài tập áp dụng:
1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh:
2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh:
Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau.
Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
1)
2)
Giải:
1)
Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
2
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba

a
++

++
+
++
+
++
2
21
21
)
1
..
11
)(...( n
xxx
xxx
n
n
++++++
n
nn
xxxnxxx ......
2121
+++
n
nn
xxx
n

xxx ...
11
..
11
2121
+++
cbacbacbacba 4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
++
++
+
++
+
++
cbacpbpap
222111
++

+

+

2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++

+
+
+
+

+
( )
[ ]
2
3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3







+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+

=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222
bc
bc
ac
ac
+
+

+
+
3
2
22
3
ba
baba
a

++
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh
thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta đợc Đpcm.
Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể
sử dụng kết quả của BĐT 1).
Bài tập áp dụng :
1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
3) Với mọi tam giác ABC chứng minh
Ví dụ 3:
1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh
2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh
Giải:
1)
2)
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
3
.
4
2
a
cb

cb
a

+
+
+
cba
bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
2
1
2
1
2
1
222222
++
+
+
+
+
+
bcac
ab
cbab
ac

caba
bc
222222
+
+
+
+
+
2
3
33
3
33
3
33
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
)())(( xyabybxa
+++

3
3
3
)())()(( xyzabczcybxa ++++
VPxyabxyaybxabxybxayabVT
=+=+++++=
2
)(2)(
VPxyzabc
xyzxyzabcxyzabcabcxyzcxybzxayzacybcxabzabcVT
=+=
++++++++++=
3
3
3
3
2
3
2
)(
)(3)(3)()(
)1)(1)(1( zyxM
+++=

+












+

+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+ zyx
8

1
xyz
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ta cũng có thêm 2BĐT tơng tự nh thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu
gọn ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và
Chứng minh
Ví dụ 5 : Cho x, y dơng, . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5.
Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm min của
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh vậy.
Công các BĐT đó lại ta đợc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z = 2. Vậy minA = 6.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
4
)1)(1(
2
111
1
1
1
1
1
1

1
zy
yz
z
z
y
y
zyx
++

+
+
+
=








+
+

+

+
3
1
1
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
+
+
tzyx
81
1

xyzt
4
5
=+ yx

yx
S
4
14
+=
( ) ( )
525
4
14
425
4
11111
4









++

++++++++
S
yx
yx
yxxxx
yxxxx





=
=
4
1
1
y
x
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+

=
zyx
P
( ) ( ) ( )
[ ]
4
9
3
9
9
1
1
1
1
1
1
111 =
+++







+
+
+
+
+

+++++
zyx
P
zyx
zyx
3
1
=== zyx
4
9
min =P
111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
Q
yx
z
xz
y
zy
x

A
+
+
+
+
+
=
333
x
zy
zy
x
32
2
3
+
+
+
+
6A
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 8 : Cho x, y, z dơng. Chứng minh:
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT t-
ơng tự nh thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta đợc Đpcm
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh :

Ví dụ 9 : Cho x, y, z dơng và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các phân thức đó lại ta đợc A3. Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy maxA = 3.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất
của
Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y 4. Chứng minh:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
5
yx
z
xz
y
zy
x
B
+
+
+
+
+
=
444
yx
z
xz
y

zy
x
C
+
+
+
+
+
=
222
4))(())(())((
333
zyx
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
++

++
+
++
+
++
4
3
88))((
3

xzx
yx
zxyx
x

+
+
+
+
++
))(())(())((
333
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
P
++
+
++
+
++
=
4
222
zyx
xyz
z

zxy
y
yzx
x
++

+
+
+
+
+
3
33
333 xzzyyxA +++++=
3
113
1.1).3(3
33
+++
+=+
yx
yxyx
4
1
z y x ===
4
44
444 xzzyyxB +++++=
4
+

yx
2
32
2
4
43
y
y
x
x
M
+
+
+
=
2
9
2
4
4
.
4
.
2
.3
1
.
4
2
244

21
4
3
22
=++
+
+








+++








+=
yy
y
x
x
yxyy

y
x
x
A
2
9
min =A
18
106
32 +++
yx
yx
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ví dụ 11 : Cho x, y, z dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Cách 1 :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Cách 2:

Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?!
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất
Ví dụ 12 : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24
Bài tập áp dụng
1) Cho x, y , z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh:

Giải:
Ta có . Ta cũng có 3 BĐT tơng tự nh
vậy. Cộng các BĐT đó lại ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh
1)
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
6
2
3
++ zyx
zyx
zyxP
111
+++++=
( )
2
15
2
9
4443
1
4
1
4
1
4 =++++

++








++








+= zyx
z
z
y
y
x
xP
2

1
z y x ===
2
15
minP =
2
15
2
3
.36.2)(3
9
)(4
9111
P =++
++
+++=
++
++++++++= zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
xy
xyQ
1
+=
CBA
CBAM

sin
1
sin
1
sin
1
sinsinsin +++++=
333
zyxA ++=
24
72)(12.83.83.83)88()88()88(48
3
32
3
32
3
32333

=++=++++++++++=+
B
zyxzyxzyxB
666
zyxB ++=
2
sin
2
sin
2
sin
666

CBA
M ++=
33335
2
5
2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
335
2
3335
2
5
2
5
2
253511
abb

a
baab
a
b
a
b
a
++++
44447
3
7
3
7
3
7
3
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++