ÔN THI THPT QUỐC GIA HÌNH HỌC PHẲNG ĐẦY ĐỦ

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 1.1.1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H,
tâm đường tròn nội tiếp I và J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB; D, E, F lần lượt là chân đường
cao kẻ từ A, B, C; A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng với A, B, C qua O;
A1;B1;C1 lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH, CH với
đường tròn (O); K là giao điểm thứ hai của AI với đường tròn (O).
a) Chứng minh CHBA’ là hình bình hành, AH POM , AH = 2OM . Chứng
minh O, H, G thẳng hàng và OH = 3OG (G là trọng tâm tam giác ABC).
b) Chứng minh A1 đối xứng với H qua BC; B1 đối xứng với H qua AC;
C1 đối xứng với H qua AB từ đó suy ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
HBC, HCA, HAB lần lượt đối xứng với đường tròn (O) qua BC, CA, AB.
c) Chứng minh OA ⊥ EF , OA ⊥ B1C1 .
d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
e) Chứng minh O là trực tâm tam giác MNP.
f) Chứng minh các điểm M, N, P, D, E, F và trung điểm của các đoạn HA,
HB, HC cùng thuộc một đường tròn.
g) Chứng minh K là trung điểm
cung BC, các tam giác KBI và KCI cân.
h) K là trung điểm của IJ.
Giải:
·
a) Ta có: CH ⊥ AB,ABA
' = 90o
·
⇒ CH PBA ' BH ⊥ AC,ACA
' = 90o
⇒ BH PCA ' ⇒ CHBA’ là hình bình hành
M là trung điểm BC, suy ra M là trung

điểm của HA’.
3


1
1
OM ⊥ BC ⇒ OM PAH ⇒ OM = AH . Do GM = GA ⇒ O,G,H thẳng hàng
2
2
uuur uuur
và OH = 3OG ⇒ OH = 3OG .
·
·
·
b) HBC
(cùng phụ với góc ACB
)
= HAC
·
·
·
·
A1C ), suy ra HBC
HBA1
DBA
= DBA
1 = HAC (cùng chắn cung
1 ⇒ tam giác
cân tại H, suy ra H, A1 đối xứng với nhau qua BC.
Tương tự, B1 đối xứng với H qua AC và C1 đối xứng với H qua AB.

Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB lần lượt đối xứng với
đường tròn (O) qua BC, CA, AB.
c) Cách 1: Dựng tiếp tuyến At của đường tròn (O).
·
·
·
·
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra FBC
= FEA
⇒ FEA
= EAt
⇒ EF PAt ⇒ EF ⊥ OA
EF là đường trung bình của tam giác B1HC1 ⇒ B1C1 ⊥ OA .
Cách 2: Tứ giác BHCA’ là hình bình hành suy ra M là trung điểm HA’.
Gọi Q là trung điểm AH, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm Q. Tứ
giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M, suy ra QM ⊥ EF ⇒ OA ⊥ EF
⇒ OA ⊥ B1C1 .
·
·
·
d) ABE
(cùng phụ với góc BAC
)
= ACF
Hai tứ giác BDHF và CDHE nội tiếp, suy
·
·
·
·
ra FDH

= FBH;EDH
= ECH
·
·
hay DH là phân giác
⇒ FDH
= EDH
·
trong góc EDF
, tương tự suy ra H là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
e) OM ⊥ BC,OP ⊥ AB suy ra O là trực
tâm của tam giác MNP.

4


1
f) Giả sử D nằm giữa B và M. DM PPN, DP = MN = AB, suy ra DMNP là
2
hình thang cân nên tứ giác DMNP nội tiếp, tương tự suy ra sáu điểm D, E, F, M,
N, P cùng thuộc một đường tròn.
Gọi T là trung điểm HC. Do tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính HC,
·
·
·
·
suy ra HNT
= 2HCE
= 2HDE

= EDF
⇒ tứ giác DTEF nội tiếp, tương tự ta có 9
điểm D, E, F, M, N, P và ba trung điểm của các đoạn HA, HB, HC cùng thuộc
mọt đường tròn.
·
g) Do AK là phân giác trong góc BAC
, suy
ra K là trung điểm cung BC.
Gọi S là giao điểm thứ hai của đường thẳng
BI với đường tròn (O).
Do S là trung điểm cung AC và K là trung
·
·
điểm cung BC, suy ra BIK
hay tam
= KBI
giác BKI cân tại K. Tương tự ta có tam giác
KIC cân tại K.
h) Do IB ⊥ JB,IC ⊥ JC suy ra tứ giác BICJ
nội tiếp đường tròn đường kính IJ, K là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC, suy ra K
là trung điểm IJ.
Bài 1.1.2. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm trên cạnh AB (khác A và
B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DM. Chứng minh
AH ⊥ CH .
Giải:
·
Do BHD
= 90o ⇒ H thuộc đường tròn đường
kính DB. Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp

hình chữ nhật ABCD. Suy ra H thuộc đường tròn
·
đường kính AC hay AHC
= 90o ⇒ AH ⊥ CH .

5


Bài 1.1.3. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của BC. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của D trên AC, N là trung điểm đoạn AH. Chứng minh
·
DNM
= 90o .
Giải:
Cách 1: Gọi E là trung điểm của DH, suy ra
1
NE PAD , NE = AD = MC ⇒ tứ giác CMNE
2
là hình bình hành, CE PMN . Do NE ⊥ DC nên
E là trực tâm của tam giác NDC, ta có CE ⊥ DN suy ra MN ⊥ DN .
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 2: Ta có: 2MN = BA + CH,2DN = DA + DH .
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4MN.DN
= BA + CH DA + DH = CH.DA + CD.DH
Suy ra

(

)(

)

= CH.HA − DH 2 = 0 ⇒ MN ⊥ DN .
Bài 1.1.4. Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của D trên cạnh AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh
BH ⊥ AM .
Giải:
Gọi N là trung điểm của HC ⇒ MN PCD ,
DN PBH , MN ⊥ AD ⇒ M là trực tâm của
tam giác AND.
Suy ra AM ⊥ DN ⇒ AM ⊥ BH .
Bài 1.1.5. Cho hình vuông ABCD có M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD.
Chứng minh AM ⊥ BN .
Giải:
Xét hai tam giác ABM và tam giác BCN có:
·
·
ABM
= BCN,AB
= BC,BM = CN
·
·
⇒ ∆ABM = ∆BCN ⇒ BAM
= CBN
·
·
·
·

Do BAM
+ AMB
= 90o ⇒ CBN
+ AMB
= 90o
6


⇒ AM ⊥ BN .
Bài 1.1.6. Cho hình vuông ABCD tâm I, M là điểm đối xứng với D qua C. Gọi
H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D trên AM. Chứng minh IK / /BH
và D, K đối xứng qua đường
thẳng HI.
Giải:
·
Do AHC
= 90o suy ra năm
điểm A, B, H, C, D cùng
thuộc một đường tròn tâm I
nên

·
·
AHB
= ADB
= 45o

và

·

·
·
·
AHD
= ABD
= 45o . Tứ giác ADIK nội tiếp, suy ra IKH
= ADI
= 45o
·
⇒ KI PBH , KI là phân giác của góc vuông DKH
suy ra KI ⊥ DH ⇒ tam giác
DKH cân tại K nên D, H đối xứng với nhau qua đường thẳng KI.
Bài 1.1.7. Cho tam giác ABC nhọn, dựng
ra bên ngoài tam giác ABC các tam giác
MAB và NAC vuông cân tại A. Gọi I là
trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ MN .
Giải:
Cách 1: Dựng hình bình hành ABDC, ta có
·
·
·
(cùng bù với góc ABC
),
ACD
= NAM
CD = AB = AM,AN = CA .
·
·
suy ra ∆ΑCD = ∆NAM ⇒ MNA
.

= DAC
Gọi H là giao điểm của AI và MN.
Do
·
·
·
·
HAN
+ DAC
= 90o ⇒ MNA
+ HAN
= 90o ⇒ AI ⊥ MN .
uur uuur uuur uuuur uuur uuuur
·
·
Cách 2: Ta có: MAC
= NAB,2AI
= AB + AC,MN = AN − AM .
uur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
2AI.MN = AB + AC AN − AM = AB.AN − AC.AM

(

)(

)

7

·
·
= AB.AN.cos NAB
− AC.AM.cos MAC
= 0 ⇒ AI ⊥ MN .
Bài 1.1.8. Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm bên ngoài (O). Dựng các
tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm), C là điểm đối xứng với A
qua O. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh
IE ⊥ MC .
Giải:
Cách 1:
Dựng hình bình hành ADCE, suy ra
ba điểm D, O,E thẳng hàng.
OM ⊥ AB,AC ⊥ DM ⇒ O là trực
tâm của tam giác MCD nên
DE ⊥ AC .
Cách 2: Gọi I = BC ∩ EO
·
·
·
·
·
Ta có: BCE
= BAC
= BMO,MBO
= CBE
= 90o ⇒ ∆BOM ∽ ∆BEC
⇒

BM BO

· BM = EBO
·
·
·
=
. Lại có: C
⇒ ∆BEO ∽ ∆BMC ⇒ BEO
= BCM
BC BE

·
·
·
·
⇒ OIC
+ BCM
= BIO
+ BEI
= 90o ⇒ AC ⊥ IE .
Bài 1.1.9. Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu vuông góc của B trên AC.
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho
·
BE = AC . Chứng minh ADE
= 45o .
Giải:
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của E
lên các đường thẳng AB, DC.
·
·
·

·
·
Ta có: EBK
và
= ABH
= ACB
⇒ BEK
= ABC
BE = AC ,
suy ra ∆ABC = ∆EKB
⇒ KE = AB = CD,BC = BK ⇒ BKIC là hình vuông. Suy ra tam giác DIE
vuông cân tại I

8


·
·
⇒ EDI
= 45o ⇒ ADE
= 45o .
Bài 1.1.10. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh
BC). Gọi D là điểm đối xứng với B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên
đường thẳng AD. Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh HM ⊥ AK .
Giải:
Do tam giác ABD cân tại A và H là trung điểm
·
·
·
của BD, ta có KDC

= BDA
= ABD
·
·
.
⇒ BAH
= KCD
Do tam giác HMC cân tại C và AH ⊥ BC , suy
·
·
·
ra MHD
= MCH
= BAH
·
·
·
·
⇒ MHD
+ ADH
= BAH
+ ABH
= 90o ⇒ HM ⊥ AK .
1.2. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.2.1. Cho đường tròn ( O;R ) , đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên
tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với ( O )
tại M.
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BM POP .
c) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh

rằng tứ giác OBNP là hình bình hành.
d) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại
J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 1.2.2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa
đường tròn (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ
tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn
tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh rằng từ giá EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AI 2 = IM.IB .
c) Chứng minh BAF là tam giác cân.
9


d) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thang cân.
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 1.2.3. Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB > AC ) , đường cao AH. Trên nửa
mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại
E. Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp được.
b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh rằng AE.AB=AF.AC.
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
Bài 1.2.4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng
đường tròn tâm O có hán kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn O tại D.
Đường thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại S.
a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp được.
·
b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB
.
c) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn tâm O. Chứng minh ằng các

đường thẳng BA, EM, CD đồng qui.
d) Chưng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 1.2.5. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B.
Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lân lượt cắt
đường tròn đường kính BD tại F, G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC đồng dạng tam giác EBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp.
c) AC PFG .
d) Các đường thẳng AC, DE, FB đồng qui.
Bài 1.2.6. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M
bất kì (M không trùng với B, C). Từ M kẻ MP, MQ lần lượt vuông góc với các
cạnh AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
10


b) Chứng minh rằng MP + MQ = AH .
c) Chứng minh OH ⊥ PQ .
Bài 1.2.7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H
bất kì (H không trùng O); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một
điểm M ở ngoài đường tròn. Đường thẳng MA và MB theo thứ tự cắt đường
tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I.
c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID. Chứng minh KCOH
là tứ giác nội tiếp.
Bài 1.2.8. Cho đường tròn ( O ) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B
tùy ý (B khác O và C). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung
DE vuông góc với AB. Nối CD, kẻ BI vuông góc với CD.

a) Chứng minh rằng tứ giác BMDI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ADBE là hình thoi.
c) Chứng minh BI PAD .
d) Chứng minh I, E, B thẳng hàng.
Bài 1.2.9. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các
hình vuông ABHK, ACDE.
a) Chứng minh ba điểm H, A, D thằng hàng.
b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng
minh FBC là tam giác vuông cân.
·
c) Cho ABC
> 45o .Gọi M là giao điểm của BF và ED. Chứng minh năm
điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.
d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
·
Bài 1.2.10. Cho tam giác ABC nhọn có ABC
= 45o . Vẽ đường tròn đường kính
AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E.
a) Chứng minh AE = EB .
11


b) Gọi H là giao điểm của CD và AE. Chứng minh rằng đường trung trực
của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Bài 1.2.11. Trong hình chữ nhật ABCD điểm M là trung điểm của cạnh AD, N
là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên phần kéo dài của đoạn thẳng CD về phía
D lấy điểm P. Giao điểm của các đường thẳng PM và AC là Q. Chứng minh
·

·
rằng QNM
.
= MNP
Bài 1.2.12. Trên các cạnh BC và CD của hình bình hành ABCD dựng về phía
ngoài các tam giác đều BCK và DCL. Chứng minh rằng tam giác AKL đều.
Bài 1.2.13. Trên các cạnh góc vuông CA và CB của tam giác vuông cân ABC
lấy các điểm D và E sao cho CD = CE . Phần kéo dài của các đường thẳng
vuông góc hạ từ các điểm D và C xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyền AB
tương ứng tại các điểm K và L. Chứng minh rằng KL = LB .
·
·
Bài 1.2.14. Bên trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho PAC
. Từ điểm
= PBC
P xuống các BC và CA hạ các đường vuông góc PM và PK tương ứng. Giả sử D
là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng DK = AM.BN .
Bài 1.2.15. Cho hình bình hành ABCD với góc ở đỉnh A nhọn. Trên các tia AB
và CB lấy các điểm H và K tương ứng sao cho CH = BC và AK = AB . Chứng
minh rằng:
a) DH = DK .
b) ∆DKH ∽ ∆ABK .
Bài 1.2.16. Qua một điểm P bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC kẻ các
đường thẳng song song với các trung tuyến AK và CL, cắt các cạnh BC và AB
tại E và F tương ứng. Chứng minh rằng các trung tuyến AK và CL chia đoạn
thẳng EF thành ba đoạn bằng nhau.
Bài 1.2.17. Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm M và K. Qua M và K kẻ các
đường thẳng AB và CD tương ứng, cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm A và C,
cắt đường tròn thứ hai tại các điểm B và D. Chứng minh rằng AC PBD .

12


Bài 1.2.18. Từ Một điểm M bất kì nằm trong góc đỉnh A cho trước hạ các đường
vuông góc MP và MQ xuống các cạnh của góc. Từ điểm A hạ đường vuông góc
·
·
AK xuống đoạn thẳng PQ. Chứng minh rằng PAK
.
= MAQ
Bài 1.2.19. Đường tròn nội tiếp xúc với các cạnh AB và AC của tam giác ABC
tại các điểm M và N. Giả sử P là giao điểm của đường thẳng MN và đường phân
·
giác góc B (hay kéo dài của nó). Chứng minh rằng BPC
vuông.
Bài 1.2.20. Cho tam giác cân ABC tại B và góc ở đỉnh B là góc nhọn. CD là
đường phân giác của góc C. Qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc với CD.
Đường thẳng này cắt phân kéo dài của cạnh đáy AC tại điểm E. Chứng minh
1
AD = EC .
2
Bài 1.2.21. Cho tam giác vuông ABC kẻ đường cao Ck từ đỉnh của góc vuông C
và trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE. Chứng minh rằng CB = BE .
Bài 1.2.22. Trong tam giác vuông ABC kẻ đường cao CK từ đỉnh của góc vuông
C, còn trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE, D là trung điểm của đoạn
thẳng AC, F là giao điểm của các đường thẳng DE và CK. Chứng minh rằng
BF PCE .
Bài 1.2.23. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc
cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của HA sao cho

AD HE 1
=
= . Chứng minh
AC HA 3

·
rằng BED
= 90o .
Bài 1.2.24. Cho D thuộc trung tuyến AM của tamm giác ABC. BD cắt AC tại H,
CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK PBC .
Bài 1.2.25. Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB, BC lần lượt láy các điểm
D, E sao cho BD = BE . Gọi E là trọng tâm của tam giác DBE, K là trung điểm
của đoạn thẳng AE. Tính

MG
.
MC

13


Bài 1.2.26. Cho hình vuông ABCD tâm E. Gọi M là trung điểm của AB. Trên
các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm G, H sao cho MG và AH song song với
·
nhau. Tính góc GEH
.
Bài 1.2.27. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi D
và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên các đường thẳng HK. Chứng minh
rằng DK = EH .
Bài 1.2.28. Cho hình thang ABCD. Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh A

và D cắt nhau tại H. Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở
K. Chứng minh rằng HK PDC .
Bài 1.2.29. Cho hình thang ABCD ( AB PCD , AD khác BC). Gọi E, F lần lượt
là trung điểm của các đường chéo nhau BD, AC và G là giao điểm của đường
thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng
minh rằng GD = GC .
Bài 1.2.30. Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhỏ. Độ dài dường cao BH
bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD. Chứng minh rằng
BD ⊥ AC .
Bài 1.2.31. Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB, AH là đường cao (H thuộc
DC), E là trung điểm của cạnh bên BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AE và DE, gọi I là giao điểm của Dm và AN. Chứng minh rằng
2
EI = HC .
3
Bài 1.2.32. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho DB = CE , BC cắt DE tại F. Chứng minh rằng F
là trung điểm của đoạn thẳng DE.
µ µ cắt nhau tại M,
Bài 1.2.33. Cho hình bình hành ABCD, các phân giác góc A,D
µ µ cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MN PAB .
các phân giác góc B,C

14


Bài 1.2.34. Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từ một điểm D trên cạnh đáy BC vẽ
đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và
F. Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH. Chứng minh rằng A là trung điểm của
đoạn GH.

Bài 1.2.35. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > BC ) . Các phân giác trong của các
góc A, D cắt nhau tại M, các phân giác trong của góc B, C cắt nhau tại N. Chứng
minh tứ giác DMNC là hình thang cân.
Bài 1.2.36. Cho hình chữ nhật BACD ( AB > BC ) Lấy điểm E trên cạnh AD, lấy
các điểm F, K trên cạnh CD, sao cho DF = CK (F nằm giữa D và H). Vẽ đường
·
thẳng vuông góc với EK tại K, cắt BC tại M. Chứng minh rằng EFM
= 90o .
Bài 1.2.37. Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC (H thuộc AC)
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC . Chứng minh rằng
·
ADE
= 45o .
Bài 1.2.38. Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD, M là điểm bất
kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là
trung điểm của đoạn thẳng AM, ID cắt EF tại K. Chứng minh rằng ba điểm M,
H, K thẳng hàng.
Bài 1.2.39. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông
ABDE, ACFG. Chứng minh rằng đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung
điểm M cảu đoạn thẳng EG.
Bài 1.2.40. Cho tam giác ABC có gó A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC
dưng các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DF.
Chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân đỉnh M.
CHƯƠNG 2. VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG VÀO
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG.
2.1. MỘT SỐ VÍ DỤ

15

Để giải được các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, trước tiên
học sinh cần phải nắm được các tính chất hình học phẳng, biết cách chứng minh
các tính chất hình học phẳng như chứng minh vuông góc, song song, tam giác
đồng dạng, tính số đo góc… Trong phần này tôi xin đưa ra một số ví dụ để thấy
thấy rõ được tầm quan trọng của việc cần phải nắm chắc các tính chất hình học
phẳng để giải các bài toán hình giải tích trong mặt phẳng.
Bài 2.1.1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là
giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm D ( −1; − 1) ,
đường thẳng IG có phương trình 6x − 3y − 7 = 0 và điểm E có hoành độ bằng 1.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc
năm học 2015-2016).
Trong ví dụ này, để giải được thì điều quan trọng nhất là học sinh cần
phải chứng minh được DE ⊥ CE, DE PIG . Chính vì vậy tôi xin đưa ra một số
cách để chứng minh như sau:

y

Cách 1:
Xét bài toán phụ, chọn hệ
trục tọa độ Axy như hình vẽ
và giả sử AB = AC = 2 thì ta
có: A ( 0;0 ) ,B ( 0;2 ) ,C ( 2;0 ) ,
suy

ra

H ( 1;1) ,D ( −1; − 1) ,

x

2 2
E ( 0;1) , G  ; ÷
3 3
uuur
uuur
⇒ DE ( 1;2 ) ,CE ( −2;1) ,
uur uuur
2  uur 2 4  uuur uuur

I  0; − ÷⇒ IG  ; ÷. DE.CE = 0,IG.CE = 0 ⇒ DE ⊥ CE,IG ⊥ CE .
3

3 3
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
Cách 2: DE = DA + AE = AB + AC + AB = AB + AC
2
2
2

(

)

16


uuur 1 uuur uuur
uuur uuur
CE = AB − AC . Suy ra DE.CE = 0 ⇒ DE ⊥ CE , tứ giác CDEH nội tiếp suy ra

2
·
·
·
·
ECD
= EHD
= 45o ⇒ ECD
= ABH
= 45o ⇒ tứ giác AGCI nội tiếp nên IG ⊥ CE
Vậy DE ⊥ CE,IG ⊥ CE .
Giải:
Gọi K là trung điểm của BI, suy ra
HK PCD ⇒ A là trung điểm của KI,
1
1
HK = DI = IC ; AK = BK
2
2
⇒ GK PAC ⇒ GK ⊥ AB
⇒ GB = GI = GC hay G là tâm
đường tròn đi qua ba điểm C, I, B.
1
·
·
CGI
= 2IBC
= 90o , ID = IC ⇒ DE PIG .
2
Phương trình đường thẳng DE: 2x − y + 1 = 0 ⇒ E ( 1;3)

CE ⊥ IG , suy ra phương trình CE :x + 2y − 7 = 0 . Tọa độ của G là nghiệm của

7

x
=

 x + 2y − 7 = 0
7 7
3
⇔
⇒ G  ; ÷ ⇒ C ( 5;1)
hệ phương trình 
3 3
6x − 3y − 7 = 0  y = 7

3
uuur 5 uuur
DG = AG ⇒ A ( 1;1) ⇒ B ( 1;5 ) .
2
Vậy, A ( 1;1) ,B ( 1;5 ) và C ( 5;1) .
Bài 2.1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm
H ( 3;0 ) , I ( 6;1) là trung điểm của BC và đường thẳng AH có phương trình
x + 2y − 3 = 0 . Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác
ABC. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương
trình x − 2 = 0 và điểm D có tung độ dương.
17


Giải:

Gọi K là trung điểm của AH. Tứ giác
ADHE nội tiếp đường tròn tâm K và
BCDE nội tiếp đường tròn tâm I. Suy ra
IK ⊥ DE ⇒ phương trình IK :y − 1 = 0 .
Tọa độ K ( 1;1) ⇒ A ( −1;2 )
D ( 2;a ) ∈ DE . Ta có
a = 3
2
KA = KD ⇔ 5 = 1 + ( a − 1) ⇔ 
⇒ D ( 2;3)
 a = −1( loaïi)
Phương trình AC :x − 3y + 7 = 0 . Phương trình BC :2x − y − 11 = 0 .
Tọa độ C ( 8;5 ) ⇒ B ( 4; − 3)
Vậy, A ( −1;2 ) , B ( 4; − 3) và C ( 8;5 ) .
Bài 2.1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có trực
tâm H thuộc đường thẳng d : 2x − y = 0 và có hoành độ nhỏ hơn

9
. Gọi M là
5

điểm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, gọi D là điểm
đối xứng của M qua AB. Đường tròn đi qua ba điểm A, B, D có phương trình
2

2

2 
14  65


x
+
+
y
−

÷ 
÷ = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết A ( 2;5 ) , đường thẳng
3
3
9

 

BC đi qua điểm E ( 9;0 ) và B, C có tọa độ nguyên.
Giải:
Vì M và D đối xứng với nhau
·
·
qua AB nên ADB
= AMB
·
·
Mặt khác ACB
,
= AMB
·
·
ACB
+ AHB

= 1800
18


·
·
nên ADB
+ AHB
= 1800 .
Do đó tứ giác AHBD là tứ giác nội tiếp
⇒ A,D,B,H cùng thuộc một đường tròn.
5

a
=

 5 10 
2
14
65
3
H ( a;2a ) ⇒  a + ÷ +  2a − ÷ =
⇔
⇒ H ; ÷
3 
3
9
3 3 

a = 9 ( loaïi )


5
2

2

Phương trình đường thẳng BC : x + 5y − 9 = 0 ⇒ B ( −5b + 9;b )
b = 2
2
2
29
14
65

 

⇔
⇒ B ( −1;2 ) .
Mà B ∈ ( C ) nên  −5b + ÷ +  b − ÷ =
27

b
=
loaï
i
(
)
3
3
9


 

13

Phương trình đường thẳng AC : 2x + y − 9 = 0 ⇒ C ( 4;1) .
Vậy B ( −1;2 ) , C ( 4;1) .
Bài 2.1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D
có CD = 2AB . Gọi H ( −1;0 ) là hình chiếu vuông góc của D trên AC và N là
trung điểm của HC. Tìm tọa độ các điểm A, C, D biết phương trình đường thẳng
DN là x − 2y − 2 = 0 và điểm B ( 1;2 ) .
Giải: Gọi K là trung điểm DH. Ta có
ABNK là hình bình hành nên KN ⊥ AD
⇒ K là trực tâm tam giác AND
⇒ AK ⊥ DN ⇒ BN ⊥ DN
Phương trình đường thẳng BN là 2x + y − 4 = 0 tọa độ N ( 2;0 ) ⇒ C ( 5;0 )
Phương trình đt AC là y = 0 nên phương trình đường thẳng DH là x + 1 = 0 . Tọa
uuur uuur
3
5


độ điểm D  −1; − ÷. Ta có CD = 2BA ⇒ A  −2; ÷.
2
4


Bài 2.1.5. Trong mặt phẳng với hê tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 2
điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD sao cho EB = 2EA, FA = 2FD .

19


Biết F ( 2;1) và phương trình đường thẳng CE : x − 3y − 9 = 0 ,tam giác CEF
vuông tại F. Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương.
Giải:
·
·
Ta có tứ giác CBEF là tứ giác nội tiếp ⇒ FCE
= FBE
·
·
·
FEA
= FCB
= CFD
Đặt AB = y , AD = x ( x, y > 0 ) .
⇒ AF =

2x
x
y
2y
;DF = ;AE = ;BE =
3
3
3
3

Ta có:

2
·
·
tan CFD
= tan FEA
⇔ y2 = x 2
3
uuur
r
Giả sử C ( 3a + 9;a ) ⇒ FC = ( 3a + 7;a − 1) . ( a > −3 ). Vtcp của CE là u = ( 3;1)
·
cos FCE
=

10a + 20
10 10a 2 + 40a + 50

=

a+2
a 2 + 4a + 5

a+2
2 2
15
15
2
·
⇒

=
Với y = x ta có: cos FCE
=
5
3
5
a 2 + 4a + 5

−4 + 6
a =
2
⇔

−4 − 6
( lo¹i )
a =

2

 6 + 3 6 −4 + 6 
C
;
Vậy tọa độ 
÷
2
2


Bài 2.1.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
điểm C thuộc ( d ) : x + 3y + 7 = 0 và A ( 1; 5 ) . Gọi M là điểm thuộc tia đối của tia

BC sao cho MC = 2BC , N là hình chiếu vuông
 5 1
góc của B trên MD. Tìm B,C biết N  − ; ÷.
 2 2

20


Giải:
Ta có ngũ giác ADCBN nội tiếp đường tròn đường kính BD ⇒ Ngũ giác cũng
nội tiếp đường tròn đường kính AC
⇒ AN ⊥ NC
Vì AN ⊥ NC ⇒ ( NC ) : 7x + 9y + 13 = 0

( NC ) ∩ ( d ) = C ⇒ C ( 2; −3)
Gọi B ( a;b ) ⇒ M ( 2a − 2;2b + 3) .
5

a
=
 
2

 b = − 219
uuur uuur
2
2
 
22
AB ⊥ BC

4a + 11a + 4b + 3b = 0
⇔
Ta có:  uuuur uuur ⇔  2

2
a − 3a + b − 2b − 13 = 0
 NM ⊥ NB
 a = 7
 
5

421
 b = −
55
 
 5 219 
 7 421 
Kết luận: Vậy C ( 2; −3) ,B  ; −
÷ hoặc C ( 2; −3) ,B  ; −
÷
 2 22 
 5 55 
2.2. BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 2.2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
4 8
B(0; 2) , trọng tâm và trực tâm của tam giác lần lượt là các điểm G  ; ÷ và
 3 3

H(1; 3) . Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ lớn hơn 2.
Bài 2.2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1) ,

7 7
trọng tâm là điểm G  ; ÷ và đường tròn ngoại tiếp (C) có phương trình
3 3

2x 2 + 2y 2 − 9x − 9y + 14 = 0 . Viết phương trình cạnh BC.
Bài 2.2.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

B(0; 2), C(3; 2) và đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình là

21


(C) :x 2 + y 2 − 3x − 5y + 6 = 0 . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC, biết
rằng điểm H nằm trên đường thẳng d :x − y + 2 = 0 .
Bài 2.2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có A ( 3; −7 ) ,
trực tâm H ( 3; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp là I ( −2;0 ) . Xác định tọa độ đỉnh
C biết C có hoành độ dương.
Bài 2.2.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
A ( 0;3) , trực tâm H ( 0;1) và trung điểm M ( 1;0 ) của cạnh BC. Tìm tọa độ điểm
B, biết B có hoành độ âm.
Bài 2.2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đỉnh A ( 2;6 ) , tâm đường
 1 
tròn nội tiếp D ( 2;1) và tâm đường tròn ngoại tiếp E  − ;1÷. Tìm tọa độ các
 2 

đỉnh B và C, biết rằng đỉnh C có hoành độ dương.
Bài 2.2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
3

A ( 2;6 ) , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm D  2; − ÷ và tâm

2

 1 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm I  − ;1÷. Tìm tọa độ các đỉnh B, C
 2 

của tam giác đã cho.
Bài 2.2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các điểm
 18 6 
D  ; ÷;E ( 3;0 ) ;F ( 2;2 ) lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của
 5 5

tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

22


Bài 2.2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh

A(2; 3) , tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là I(6; 6) , tọa độ tâm đường tròn nội
tiếp là K(4; 5) . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 2.2.10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; − 3) ,
trực tâm H(1; − 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(2; − 2) . Tìm tọa độ
các đỉnh B, C của tam giác ABC.
Bài 2.2.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm

H(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 0) . Trung điểm BC nằm trên đường
thẳng x − 2y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C; biết rằng đường tròn ngoại tiếp
tam giác HBC đi qua điểm E(6; − 1) và hoành độ của B nhỏ hơn 4.
Bài 2.2.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

A(−2; − 1) , trực tâm H(2; 1) và BC = 20 . Gọi B’, C’ lần lượt là chân đường
cao kẻ từ các đỉnh B, C. Lập phương trình đường thẳng BC, biết rằng trung điểm
M của cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình x − 2y − 1 = 0 , tung độ
của M dương và đường thẳng B’C’ đi qua điểm E(3; − 4).
Bài 2.2.13. Cho đường tròn (T) tâm I, bán kính R = 2 . Từ điểm K ( 3;2 ) ở ngoài
đường tròn (T) kẻ các tiếp tuyến KA, KB tới (T) (A, B là các tiếp điểm). Lấy C
đối xứng với A qua I. Tiếp tuyến của (T) tại C cắt AB tại E, biết C thuộc đường
thẳng d :2x + y − 7 = 0,IE :x − 3y − 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn (T).
Bài 2.2.14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là
tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) (đường tròn (I) có tâm là I); điểm
H ( 2;2 ) là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn
(I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M ( 5;3) , N ( 1;3) và đường thẳng
BC đi qua điểm P ( 4;2 ) .

23


Bài 2.2.15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có A ( 2;3) , đường
phân giác trong góc A có phương trình x − y + 1 = 0 và tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC là I ( 6;6 ) . Viết phương trình cạnh BC, biết S∆ABC = 3S∆IBC .
Bài 2.2.16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân
đường phân giác trong của góc A là điểm D ( 1; − 1) . Đường thẳng AB có phương
trình 3x + 2y − 9 = 0 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
có phương trình x + 2y − 7 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 2.2.17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội
tiếp đường tròn tâm I ( 0;5 ) . Đường thẳng AI cắt đường tròn tại M ( 5;0 ) ( M
 17 6 
khác A). Đường cao đi qua C cắt đường tròn I tại N  − ; − ÷, N ≠ C . Tìm tọa
 5 5

độ các đỉnh A,B,C biết hoành độ điểm B lớn hơn O.
Bài 2.2.18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm
B thuộc đường thẳng 5x + 3y − 10 = 0 . Gọi M là điểm đối xứng với D qua C; H,
K lần lượt là hình chiếu của D, C trên AM. Biết K ( 1;1) , phương trình đường
thẳng đi qua điểm H và tâm hình vuông ABCD là 3x + y + 1 = 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh B, D.
Bài 2.2.19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai

 1 
đáy AB, CD. Biết diện tích là 14, đỉnh A ( 1;1) , trung điểm của BC là H  − ;0 ÷.
 2 
Viết phương trình đường thẳng AB biết D có hoành độ dương và D thuộc đường
thẳng d :5x − y + 1 = 0 .
Bài 2.2.20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có
µ =D
µ = 90o , CD = 2AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường
A
 22 14 
chéo AC. Biết M  ; ÷ là trung điểm của HC, đỉnh D ( 2;2 ) , đỉnh B thuộc
 5 5
24


đường thẳng x − 2y + 4 = 0 , đường thẳng BC qua E ( 5;3) . Tìm tọa độ các đỉnh
A, B, C.
Bài 2.2.21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A.
Đường thẳng AC có phương trình 3x − y − 5 = 0 . Gọi H là trung điểm của BC, D
là hình chiếu vuông góc của H trên AC và M là trung điểm của HD. Đường
thẳng BD đi qua E ( 8; − 5 ) và phương trình đường thẳng AM :11x − 7y − 5 = 0 .

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 2.2.22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M
là một điểm trên đoạn BD; E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AD;
 48 4 
H  − ; ÷ là giao điểm của CM và ED. Xác định tọa độ các đỉnh của hình
 13 13 
vuông ABCD, biết các đường thẳng FC :x + y + 4 = 0 ; EF :6x − 7y +

109
=0.
4

Bài 2.2.23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân
đường cao hạ từ B, C xuống cạnh đối diện lần lượt là K ( −2;2 ) ,E ( 2;2 ) . Điểm
 16 2 
P  ; − ÷ là hình chiếu vuông góc của E xuống BC. Tìm tọa các đỉnh của tam
5
 5
giác ABC.
Bài 2.2.24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

( C ) :( x − 2 )

2

2
+ ( y + 3 ) = 4 và hai điểm A ( 2; − 1) , B ( 2; − 5 ) . Một đường kính

MN thay đổi sao cho các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến của (C) tại B lần
lượt tại P và Q. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ biết điểm H nằm trên

đường thẳng d :x − y + 3 = 0 .
Bài 2.2.25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp
3 5
đường tròn có A ( 2;9 ) . Trung điểm của BC là D  ; ÷. Biết BC vuông góc với
2 2
đường thẳng 3x − y + 2015 = 0 . Gọi M là điểm túy ý thuộc cung nhỏ BC. Điểm
25


P, Q tương ứng đối xứng với M qua AC và AB. Biết phương trình đường thẳng
chứa PQ là y = 6 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.
Bài 2.2.26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông

1
 1 
tại A và B, có AD = AB = BC . Điểm A ( −2;3) , điểm E  − ;3 ÷ là giao điểm
2
 3 
của hai đường chéo AC và BD, điểm D nằm trên đường thẳng d :3x + y − 4 = 0 .
Tìm tọa độ đỉnh B, C, D của hình thang ABCD.
Bài 2.2.27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
(I) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 . Từ một điểm A nằm ngoài (I) kẻ hai tiếp tuyến AB,
2

2

AC đến (I) với B,C là các tiếp điểm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC.
 17 
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết điểm M  ;4 ÷ nằm trên đường thẳng EF,
 4 

điểm A có hoành độ nguyên thuộc đường thẳng x + y − 10 = 0 .
Bài 2.2.28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

E ∈ AB;F(2;1) ∈ AD sao cho EB = 2EA ; FA = 3FD và tam giác CEF vuông tại
F. Biết rằng phương trình CE : x − 3y − 9 = 0 và x C > 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC.
Bài 2.2.29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A

( AB < AC )

có tọa độ đỉnh B ( 2;1) . Đường cao AH có phương trình

x + 2y − 10 = 0 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB = CD . Kẻ MD vuông
·
góc với AH tại M. Đường phân giác góc CBM
cắt đường thẳng AH tại N. Tìm
tọa độ điểm N.
3 1 
Bài 2.2.30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có I  ; ÷
 2 16 
và E ( 1;0 ) lần lượt là tâm đường trong ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Đường

26


tròn (T) bàng tiếp góc A của tam giác ABC có tâm F ( 2; − 8 ) . Xác định tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm.
KẾT LUẬN
Đề tài này, tôi đã trình bày được một số vấn đề sau:
1. Đưa ra một số ví dụ về các tính chất hình học phẳng. Đưa ra hệ thống

bài tập rèn luyện các tính chất hình học phẳng.
2. Vận dụng các tính chất hình học phẳng vào làm các bài tập hình học
giải tích trong mặt phẳng.
3. Đưa ra hệ thống bài tập tham khảo về hình học giải tích trong mặt
phẳng.
Đề tài này nhằm cung cấp cho giáo viên và các em học sinh một tài liệu
tham khảo về chủ đề đại hình học giải tích trong mặt phẳng. Với việc đưa ra các
tích chất quan trọng trong hình học phẳng để áp dụng vào giải các bài toán hình
học giải tích trong mặt phẳng. Đề tài sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về
chủ đề này, giúp cho việc học chủ đề hình học giải tích trong mặt phẳng, vốn là
một chủ đề khó trở nên dễ dàng.
Đối với trường trung học phổ thông Trần Phú, đề tài đã, đang và sẽ góp
phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, nâng cao chất lượng thi học sinh
giỏi và chất lượng thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.

27