Định lý Sylvester Gallai và một số mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THANH DANH

ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THANH DANH

ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015


Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

Chương 1 . Định lý Sylvester – Gallai

3

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Mặt phẳng xạ ảnh thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Mặt phẳng affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Nguyên lý cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Bài toán của Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Định lý Sylvester – Gallai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2 . Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai
2.1

2.2

13

Số đường thẳng tầm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1

Giả thuyết của Dirac và một số kết quả chính . . . . . . . . . 13

2.1.2

Kết quả của Kelly và Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Số đường liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1

Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết . . . . . . . . . 21

2.2.2

Một bài toán tổ hợp của Bruijn và Erd¨os . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3

Chứng minh của Kelly và Moser . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32

i


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Ngô Văn Định. Qua đây em xin
được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, TS
Ngô Văn Định, người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải
đáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến Thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạo thuộc Trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em được
theo học lớp học. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học N khóa
06/2013 - 06/2015 và lớp cao học Y khóa 01/2014 - 01/2016 đã động viên giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh Nam Định, Sở Giáo dục và Đào tạo Nam
Định, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Quất Lâm đã tạo điều kiện
cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.
Tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, 2015

Bùi Thanh Danh

ii


Mở đầu
Năm 1893, Sylvester [16] đã đưa ra một bài toán mà sau đó đã được rất nhiều nhà

toán học quan tâm. Bài toán yêu cầu chứng minh rằng không thể sắp xếp hữu hạn
điểm trong mặt phẳng Euclid, không cùng nằm trên một đường thẳng, sao cho mọi
đường thẳng đi qua hai điểm sẽ đi qua một điểm thứ ba. Năm 1943, Erd¨os [8] đã đặt
lại bài toán này và ngay sau đó Gallai đã tìm được lời giải cho bài toán. Cũng đã có rất
nhiều nhà toán học khác đã tìm ra lời giải cho bài toán này, chẳng hạn như Melchior,
Steinberg, Buck, Kelly, ...
Sau này, kết quả của bài toán của Sylvester được phát biểu thành định lý và được
gọi là định lý Sylvester – Gallai. Nội dung và các chứng minh của định lý này hoàn
toàn sơ cấp, không sử dụng đến các công cụ của toán học hiện đại. Tuy nhiên, có thể
nói rằng định lý Sylvester – Gallai là sự khởi đầu cho rất nhiều nghiên cứu toán học,
đặc biệt trong lĩnh vực Hình học tổ hợp.
Ngoài việc nghiên cứu tìm lời giải cho bài toán của Sylvester, các nhà toán học còn
nghiên cứu để mở rộng các kết quả liên quan đến bài toán này. Có những nghiên cứu
nhằm mở rộng số chiều của không gian, tức là không chỉ xét bài toán trong mặt phẳng
mà còn tiếp tục nghiên cứu bài toán tương tự trong không gian ba chiều hay không
gian có số chiều cao hơn nữa; có nhiều nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường
xác định bởi một họ hữu hạn điểm không thẳng hàng (đường thẳng đi qua đúng hai
điểm của họ); có nhiều nghiên cứu về số đường thẳng liên kết xác định bởi họ hữu hạn
điểm; có những nghiên cứu mở rộng bài toán cho bài toán tổ hợp, bài toán tô màu; ....
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một số nghiên cứu về định lý Sylvester –
Gallai và một số mở rộng của nó. Cụ thể, luận văn trình bày lại sơ lược lịch sử bài toán
và các chứng minh của Gallai, của Kelly, của Steinberg. Sau đó, luận văn trình bày
1


lại một số kết quả trong các nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường và số đường
thẳng liên kết xác định bởi hữu hạn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng. Các tài
liệu tham khảo chính mà chúng tôi sử dụng cho luận văn là [1], [2], [4], [6] và [12].

Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 2 chương:
• Chương 1: Định lý Sylvester – Gallai. Phần đầu tiên của chương, chúng tôi
trình bày một số kiến thức chuẩn bị về mặt phẳng xạ ảnh thực, mặt phẳng affine thực
và nguyên lý cực hạn. Sau đó, chúng tôi trình bày sơ lược lịch sử của bài toán của
Sylvester và các chứng minh của Gallai, của Kelly và của Steinberg.
• Chương 2: Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai. Trong mục đầu tiên
của chương này, sau khi trình bày sơ lược về lịch sử nghiên cứu vấn đề số đường thẳng
tầm thường, chúng tôi trình bày kết quả chính của Kelly và Moser [12]. Mục tiếp theo
của chương, chúng tôi trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về số đường thẳng liên
kết. Cụ thể, chúng tôi trình bày lại kết quả của Bruijn và Erd¨os [2] và kết quả của
Kelly và Moser [12].

2


Chương 1

Định lý Sylvester – Gallai
Nội dung của chương đầu tiên này là trình bày một số kiến thức chuẩn bị để sử
dụng trong luận văn, đồng thời chúng tôi giới thiệu sơ lược về lịch sử bài toán của
Sylvester dẫn đến định lý Sylvester – Gallai và một số chứng minh cho định lý này.
Cụ thể chúng tôi trình bày các chứng minh của Gallai (trong mặt phẳng affine), của
Kelly (trong mặt phẳng Euclid) và của Steinberg (trong mặt phẳng xạ ảnh thực).

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Toàn bộ nội dung của luận văn này là trình bày lại một số kết quả trong mặt phẳng
Euclid, mặt phẳng affine và mặt phẳng xạ ảnh thực. Mặt phẳng Euclid là một khái

niệm được nhiều người biết đến do được giảng dạy trong chương trình toán trung học.
Trong mục này, chúng tôi trình bày một cách sơ lược về mặt phẳng affine và mặt
phẳng xạ ảnh thực theo tài liệu [4]. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày thêm về nguyên
lý cực hạn. Đây là một nguyên lý rất đơn giản nhưng lại được sử dụng rất nhiều trong
chứng minh toán học, đặc biệt trong các chứng minh trong luận văn này.

1.1.1

Mặt phẳng xạ ảnh thực

Mặt phẳng xạ ảnh thực được xây dựng theo phương pháp tiên đề với hai khái niệm
cơ bản: điểm; đường thẳng và hai quan hệ cơ bản: liên thuộc; tách. Ở đó, một điểm
và một đường thẳng có thể liên thuộc nhau, có thể không liên thuộc nhau. Nếu chúng
liên thuộc nhau thì ta nói đường thẳng đi qua điểm hay điểm nằm trên đường thẳng.
Một đường thẳng đi qua hai điểm được gọi là đường thẳng nối hai điểm đó. Một điểm
3


nằm trên hai đường thẳng được gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Quan hệ tách được áp dụng cho hai cặp điểm cùng nằm trên một đường thẳng
hoặc cho hai cặp đường thẳng cùng đi qua một điểm. Cụ thể, nếu bốn điểm (đường
thẳng) A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng và xuất hiện theo thứ tự như vậy
thì ta nói A và C tách B và D và ta viết AC//BD.
Với các khái niệm cơ bản và các quan hệ cơ bản nói trên, mặt phẳng xạ ảnh thực
được xây dựng dựa trên một hệ các tiên đề. Hệ tiên đề của mặt phẳng xạ ảnh thực
được chia thành ba nhóm: Các tiên đề về liên thuộc; các tiên đề về thứ tự và tiên đề
liên tục.
I. Nhóm các tiên đề về liên thuộc:
I, 1. Tồn tại một điểm và một đường thẳng không liên thuộc nhau;
I, 2. Mọi đường thẳng đều đi qua ít nhất ba điểm;

I, 3. Hai điểm bất kì xác định duy nhất một đường thẳng đi qua chúng;
I, 4. Hai đường thẳng bất kì đều có ít nhất một giao điểm;
I, 5. Nếu ba đường thẳng P P , QQ , RR cùng đi qua một điểm thì các giao điểm của
QR và Q R , của QP và Q P , của P R và P R cùng nằm trên một đường thẳng.
Nguyên lý đối ngẫu: Nguyên lý này khẳng định rằng mọi khái niệm còn giá trị
và mọi mệnh đề còn đúng khi chúng ta hoán đổi các khái niệm điểm và đường nối với
các khái niệm đường thẳng và giao điểm. Theo nguyên lý này, tiên đề I,1 đối ngẫu với
chính nó, gọi là tự đối ngẫu. Tuy nhiên các tiên đề khác đều thay đổi khi ta lấy đối
ngẫu. Chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng các tiên đề tự đối ngẫu tương đương với
các tiên đề I, 1-5.
II. Nhóm các tiên đề thứ tự:
II, 1. Nếu A, B, C là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì tồn tại một điểm D
sao cho AB//CD;
II, 2. Nếu AB//CD thì bốn điểm A, B, C, D phân biệt;
II, 3. Nếu AB//CD thì AB//DC;
II, 4. Nếu A, B, C, D là bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng thì một
trong ba mối quan hệ sau phải đúng: BC//AD; CA//BD; AB//CD;
4


II, 5. Nếu AB//CD và AC//BE thì AB//DE;
II, 6. Nếu AB//CD và nếu A , B , C , D là bốn điểm phân biệt thẳng hàng mà giao
điểm của ABCD và A B C D luôn nằm trên một đường thẳng cố định thì ta có
A B //C D ;
Định nghĩa 1.1.1. Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng thì ta định nghĩa đoạn AB/C
là tập hợp tất cả các điểm X sao cho AB//CX. Đoạn AB/C cùng với hai điểm A và
B được gọi là một khoảng, kí hiệu AB/C.
Như vậy, đoạn AB/C không chứa điểm C và trong mặt phẳng xạ ảnh thực, hai
điểm A, B xác định hai đoạn khác nhau.
Định nghĩa 1.1.2. Ta định nghĩa một phép biến hình là một ánh xạ biến mỗi điểm

trong mặt phẳng thành một điểm trong mặt phẳng. Một phép biến hình trong mặt
phẳng xạ ảnh được gọi là bảo toàn thứ tự nếu nó bảo toàn quan hệ tách, tức là nếu bốn
điểm A, B, C, D lần lượt biến thành A , B , C , D và nếu AB//CD thì A B //C D .
Một điểm M được gọi là điểm bất động đối với một phép biến hình nếu nó biến thành
chính nó qua phép biến hình đó.
III. Tiên đề liên tục: Nếu một phép biến hình biến khoảng AB/C thành khoảng
A B /C thì khoảng A B /C chứa một điểm bất động M sao cho không tồn tại một
điểm bất động nào khác nằm giữa A và M trong khoảng AB/C.

1.1.2

Mặt phẳng affine

Mặt phẳng affine có thể được xây dựng từ mặt phẳng xạ ảnh thực bằng cách chọn
ra một đường thẳng o, gọi là đường thẳng tại vô cùng. Mỗi điểm nằm trên o được gọi
là điểm tại vô cùng, hai đường thẳng được gọi là song song nếu giao điểm của chúng
là một điểm tại vô cùng. Nói một cách khác, trong mặt phẳng affine, chúng ta chỉ xét
các điểm và các đường thẳng thông thường (không phải tại vô cùng). Do vậy, ta có thể
nói rằng mặt phẳng affine thu được từ mặt phẳng xạ ảnh bằng cách bỏ đi đường thẳng
o. Hai đường thẳng trong mặt phẳng affine được gọi là song song nếu chúng không
có giao điểm (thông thường).
5


Với ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng, ta nói rằng điểm B nằm
giữa A và C nếu DB//AC, trong đó D là điểm tại vô cùng thuộc đường thẳng AC.
Trong mặt phẳng affine hai điểm A và B xác định duy nhất một đoạn thẳng, kí hiệu
AB, bao gồm tất cả các điểm nằm giữa A và B. Điều này có nghĩa là đoạn thẳng AB
chính là đoạn AB/C, trong đó C là điểm tại vô cùng nằm trên đường thẳng AB.
Ngoài ra, trong mặt phẳng affine chúng ta còn xây dựng thêm khái niệm về khoảng

cách dựa trên quan hệ toàn đẳng. Khái niệm này làm cho mặt phẳng affine rất gần với
mặt phẳng Euclid. Trong luận văn này, chúng tôi không sử dụng đến khái niệm này.

1.1.3

Nguyên lý cực hạn

Nguyên lý cực hạn là nguyên lý nói về sự tồn tại của phần tử bé nhất và phần tử
lớn nhất cho tập sắp thứ tự. Hai nguyên lý dưới đây là nội dung của nguyên lý cực hạn
đối với các tập số thực hữu hạn và tập các số tự nhiên.
Nguyên lý 1: Trong tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn tồn tại một số bé
nhất và một số lớn nhất.
Nguyên lý 2: Trong tập hợp khác rỗng các số tự nhiên luôn tồn tại một số bé nhất.
Hai nguyên lý này tuy rất đơn giản nhưng chúng lại được vận dụng rất hữu ích
trong việc giải nhiều lớp bài toán, đặc biệt là giải các bài toán tổ hợp. Nguyên lý cực
hạn thường được áp dụng kết hợp với phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
Trong các chứng minh của luận văn này, rất nhiều kết quả được chứng minh bằng
cách sử dụng nguyên lý cực hạn.

1.2

Bài toán của Sylvester

Năm 1893, Sylvester1 đã đặt ra một bài toán rất nổi tiếng sau [16]: Chứng minh
rằng không thể sắp xếp hữu hạn điểm trên mặt phẳng Euclid sao cho mọi đường thẳng
1

Sylvester (3/9/1814–15/3/1897), tên đầy đủ là James Joseph Sylvester, là một nhà Toán học người Anh.

Ông có những công trình nghiên cứu đặt nền móng cho Lý thuyết ma trận (Matrix Theory), Lý thuyết bất

biến (Invariant Theory), Lý thuyết số (Number Theory), Lý thuyết phân hoạch (partition Theory) và Tổ hợp
(Combinatorics). Ông đã đóng vai trò tiên phong trong nền toán học Mỹ nửa cuối thế kỷ 19 khi ông là Giáo sư
tại trường Đại học Jonhs Hopkins và sáng lập ra tap chí American Journal of Mathematics [17].

6


đi qua hai điểm (trong số các điểm đã cho) sẽ đi qua một điểm thứ ba, trừ khi tất cả
các điểm này cùng nằm trên một đường thẳng.

Hình 1.1: Bài toán của Sylvester [16]

Ngay trong năm 1893, tạp chí Educational Times cũng đăng một lời giải ngắn gọn
của nhà toán học người Anh Woodall. Tuy nhiên, ngay tại thời điểm công bố thì người
ta đã phát hiện ra lời giải này chưa đầy đủ.
Bài toán của Sylvester có thể được phát biểu bằng cách khác: chứng minh rằng
mọi tập hữu hạn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng đều tồn tại hai điểm mà
đường thẳng nối chúng không đi qua điểm thứ ba nào khác của tập hợp điểm đó. Nói
cách khác, tập hợp điểm đó luôn xác định một đường thẳng đi qua đúng 2 điểm của
nó.
Định nghĩa 1.2.1. Cho P là một tập hợp hữu hạn điểm trên mặt phẳng. Mỗi đường
thẳng đi qua ít nhất hai điểm của P được gọi là đường thẳng liên kết xác định bởi P .
Mỗi đường thẳng đi qua đúng hai điểm của P được gọi là đường thẳng tầm thường
xác định bởi P .
Năm 1941, nhà toán học người Đức Melchior [13] đã chứng minh được kết quả
đối ngẫu (xạ ảnh) của bài toán của Sylvester: mọi họ hữu hạn đường thẳng trong mặt
phẳng, không đồng quy tại một điểm, đều có một giao điểm đơn, tức là giao điểm của
đúng hai trong số các đường thẳng của họ đó.
Do không biết đến bài toán của Sylvester cũng như kết quả của Melchior, năm
1943, Erd¨os [8] đã đặt lại bài toán này như một giả thuyết trên tạp chí American

Mathematical Monthly. Ngay sau đó, Gallai (còn có tên khác là Gr¨unwald) đã tìm
được một chứng minh ngắn gọn cho bài toán này trong mặt phẳng affine. Lời giải này
7


được đăng năm 1944 [10]. Năm 1982, Erd¨os [9] đã kể lại rằng: "Ban đầu ông nghĩ
rằng đây là một bài toán đơn giản. Tuy nhiên, ông thật bất ngờ rằng ông không thể tìm
ra một lời giải nào cho nó. Sau đó, ông đã trao đổi bài toàn này với Gallai và Gallai
đã tìm ra lời giải một cách nhanh chóng." Về sau này, cả dạng nguyên bản và dạng đối
ngẫu của kết quả này được gọi là Định lý Sylvester – Gallai.
Sau Gallai, có nhiều nhà toán học khác tìm ra lời giải cho bài toán của Sylvester
cũng như cho bài toán đối ngẫu của nó, chẳng hạn như: chứng minh cho bài toán trong
mặt phẳng xạ ảnh thực đã được tìm ra bởi Steinberg [15] và một số nhà toán học khác
như Buck, Steenrod; chứng minh cho bài toán trong mặt phẳng Euclid được tìm ra
bởi Kelly. Ngoài ra, bài toán còn được nhiều nhà toán học khác nghiên cứu, đặc biệt,
Coxeter [3] đã chứng minh được rằng khẳng định của bài toán không còn đúng trong
mặt phẳng xạ ảnh phức, cũng như trong một số hình học hữu hạn. Trong khuôn khổ
luận văn này chúng tôi chỉ xét bài toán này trong mặt phẳng Euclid, mặt phẳng affine
và mặt phẳng xạ ảnh thực.

1.3

Định lý Sylvester – Gallai

Như mục trước đã nêu, nội dung của định lý Sylvester – Gallai chính là khẳng
định của bài toán do Sylvester đặt ra từ năm 1893. Cụ thể, định lý này có thể được
phát biểu như sau:
Định lý 1.3.1 (Sylvester – Gallai). Mọi tập hữu hạn điểm P không thẳng hàng trong
mặt phẳng Euclid đều xác định một đường thẳng tầm thường.
Định lý Sylvester – Gallai không chỉ đúng cho mặt phẳng Euclid mà còn đúng cho

mặt phẳng xạ ảnh. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một số chứng minh của định lý
này. Đầu tiên là chứng minh của Gallai cho định lý trong mặt phẳng affine.
Chứng minh của Gallai trong mặt phẳng affine. Chọn một điểm p1 bất kỳ của tập P .
Nếu p1 nằm trên một đường thẳng tầm thường thì ta chứng minh xong. Vì vậy, ta có
thể giả sử rằng không có đường thẳng tầm thường nào đi qua p1 . Trong mặt phẳng,
ta coi p1 là điểm vô cùng và xét các đường thẳng liên kết đi qua p1 . Các đường thẳng
8


này đôi một song song với nhau và mỗi đường đi qua p1 và ít nhất hai điểm khác nữa
của P .
Chú ý rằng một đường liên kết bất kỳ không đi qua p1 đều tạo với các đường song
song nói trên một góc. Do số các đường liên kết (và do đó số các góc được tạo thành)
là hữu hạn nên ta có thể chọn s là đường liên kết (không đi qua p1 ) tạo với các đường
song song trên góc bé nhất (Hình 1.2).

Hình 1.2: chọn s tạo với các đường song song góc bé nhất
Ta sẽ chứng minh đường liên kết s đã chọn ở trên là một đường thẳng tầm thường
xác định bởi P . Thật vậy, giả sử phản chứng rằng s đi qua ba điểm của P . Đánh số ba
điểm này là p2 , p3 , p4 sao cho p3 nằm giữa p2 và p4 (Hình 1.3).

Hình 1.3: Giả sử s đi qua ba điểm p2 , p3 , p4 của P
Chú ý rằng đường thẳng liên kết nối p3 và p1 sẽ đi qua một điểm thứ ba p5 của P
(do không phải là đường thẳng tầm thường). Khi đó, dễ thấy rằng một trong hai đường
9


thẳng p2 p5 và p4 p5 sẽ tạo với các đường song song nói trên một góc nhỏ hơn góc được
tạo bởi s. Điều này mâu thuẫn với việc chọn s.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại chứng minh định lý Sylvester – Gallai trong mặt

phẳng Euclid của Kelly. Chứng minh này được đăng trong [3]. Đây là một chứng minh
đặc biệt đơn giản và được Erd¨os đánh giá là một "chứng minh bài bản".
Chứng minh của Kelly trong mặt phẳng Euclid.

2

Gọi S là tập tất cả các đường liên

kết xác định bởi P . Mỗi điểm của P và mỗi đường liên kết không đi qua điểm đó đều
xác định một khoảng cách (vuông góc). Do P và S là hai tập hữu hạn nên tập các
khoảng cách này cũng hữu hạn. Vì vậy, có một khoảng cách bé nhất trong đó. Gọi
s∗ ∈ S và p∗ ∈ P là một cặp xác định khoảng cách bé nhất và gọi q là chân đường
vuông góc hạ từ p∗ đến s∗ .
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng rằng s∗ là một đường thẳng tầm thường xác
định bởi P . Thật vậy, giả sử rằng s∗ đi qua ba điểm của P . Khi đó, hai trong ba điểm
đó sẽ nằm cùng phía của điểm q. Ký hiệu hai điểm này là p1 , p2 sao cho p1 nằm giữa
q và p2 (Hình 1.4).

Hình 1.4: Chứng minh của Kelly (Euclid)

Dễ thấy rằng khoảng cách từ điểm p1 đến đường thẳng nối p∗ và p2 nhỏ hơn thực
sự khoảng cách từ p∗ đến s∗ . Điều này mâu thuẫn với cách chọn p∗ và s∗ .
2

Chứng minh này được trình bày trong trong nhiều tài liệu, chẳng hạn trong [3].

10


Để kết thúc việc chứng minh định lý Sylvester – Gallai, chúng tôi trình bày chứng

minh trong mặt phẳng xạ ảnh thực của Steinberg [15].
Chứng minh của Steinberg trong mặt phẳng xạ ảnh thực.

3

Ta vẫn gọi S là tập tất cả

các đường liên kết xác định bởi tập hữu hạn điểm P trên mặt phẳng xạ ảnh thực. Lấy
một điểm p bất kỳ của P . Nếu p nằm trên một đường thẳng tầm thường thì việc chứng
minh kết thúc, vì vậy ta có thể giả sử p không nằm trên một đường thẳng tầm thường
nào.
Gọi l là một đường thẳng (trong mặt phẳng) đi qua p nhưng không đi qua bất cứ
điểm nào khác của P , tức là l là một đường thẳng qua p nhưng không phải là đường
liên kết xác định bởi P . Gọi Q là tập tất cả các giao điểm của l và các đường thẳng
liên kết xác định bởi P . Chọn q ∈ Q liền kề p, tức là đoạn thẳng xác định bởi p và q
không chứa điểm nào khác của Q. Gọi s là đường liên kết xác định bởi P và đi qua q.
Ta sẽ chứng minh s là một đường thẳng tầm thường.
Thật vậy, giả sử phản chứng rằng s không là đường thẳng tầm thường, tức là có ít
nhất ba điểm p1 , p2 , p3 của P nằm trên s (ba điểm này được đánh số theo thứ tự như
hình 1.5). Ở đây, chúng ta cũng cần chú ý thêm rằng theo cách chọn đường thẳng l thì
q không phải là điểm của P .
Bây giờ, theo giả thiết p không nằm trên một đường thẳng tầm thường nào nên
đường liên kết nối p và p2 phải chứa thêm một điểm p4 khác của P . Tuy nhiên, khi đó
ta thấy rằng một trong hai đường liên kết nối p1 với p4 và đường liên kết nối p3 với p4
sẽ cắt l tại giao điểm nằm trên đoạn pq. Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm q.

3

Chứng minh này được trình bày trong trong nhiều tài liệu, chẳng hạn trong [3].

11


Hình 1.5: Chứng minh của Steinberg (xạ ảnh)

12


Chương 2

Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai
Ở chương trước, chúng tôi đã trình bày nội dung và một số chứng minh của định
lý Sylvester – Gallai. Định lý này đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học.
Ngoài việc nghiên cứu cách chứng minh định lý này, các nhà toán học còn nghiên cứu
mở rộng định lý Sylvester – Gallai theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn như: mở
rộng về số chiều, nghiên cứu bài toán trong không gian có số chiều lớn hơn hay bằng
3; nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường xác định bởi n điểm; xác định số đường
thẳng liên kết xác định bởi n điểm; ....
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về số đường thẳng tầm
thường tối thiểu và số đường thẳng liên kết xác định bởi hữu hạn điểm trong mặt
phẳng.

2.1
2.1.1

Số đường thẳng tầm thường
Giả thuyết của Dirac và một số kết quả chính

Gọi P là tập hợp hữu hạn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng. Theo định
lý Sylvester – Gallai, P xác định ít nhất một đường thẳng tầm thường. Một vấn đề

được đặt ra một cách tự nhiên rằng số đường thẳng tầm thường xác định bởi P là bao
nhiêu? Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu vấn đề này và đã có nhiều kết quả về chặn
dưới của số đường thẳng tầm thường xác định bởi P , tùy thuộc vào số phần tử của P .
Ký hiệu m(P ) là số đường thẳng tầm thường xác định bởi tập điểm P và đặt
m(n) = min m(P ),
|P |=n

13


trong đó |X| ký hiệu số phần tử của tập hữu hạn X. Giá trị m(n) chính là số đường
thẳng tầm thường tối thiểu xác định bởi n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng.
Định lý Sylvester – Gallai có thể được phát biểu bởi
m(n) ≥ 1.
Tức là định lý này cho chúng ta một chặn dưới của m(n). Tuy nhiên, chặn dưới này rõ
ràng chưa chặt. Chúng ta quan tâm đến việc tìm các chặn dưới tốt hơn.

Hình 2.1: Nhận xét của Bruijn và Erd¨os

Năm 1948, Bruijn và Erd¨os [2] đã quan sát và nhận xét rằng m(n) ≥ 3. Đến năm
1951, Dirac [7] đã công bố chứng minh cho nhận xét của Bruijn và Erd¨os, đồng thời
Dirac đã phát biểu một giả thuyết cho chặn dưới chặt hơn của m(n).
Giả thuyết 2.1.1 (Dirac [7]). Với mọi n = 7, 13, số đường thẳng tầm thường xác định
1
bởi n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng ít nhất là n , trong đó r là ký
2
1
hiệu trần nguyên của r.
Cho đến nay, giả thuyết 2.1.1 chưa được chứng minh một cách triệt để. Năm 1958,
3

Kelly và Moser [12] đã chứng minh được rằng m(n) ≥ n với mọi n, đặc biệt hai
7
ông đã xác định được giá trị chính xác cho trường hợp n = 7 (xem hình 2.2). Trong
trường hợp này ta có m(7) = 3. Vì lý do này, hai ông đã khẳng định đây là chặn dưới
tốt nhất cho m(n) với mọi giá trị của n.
Năm 1968, Crowe và McKee [5] đã tính toán giá trị cụ thể của m(n) với 3 ≤ n ≤
13 (xem bảng 2.1). Tính toán này làm tăng thêm cơ sở cho giả thuyết của Dirac. Hình
2.3 là ví dụ trong mặt phẳng xạ ảnh thực do Crowe và McKee xây dựng để tính toán
cho trường hợp n = 13.
1

Trần nguyên của số thực r là số nguyên bé nhất lớn hơn r.

14


Hình 2.2: m(7) = 3 [12]

n

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

m(n) 3 3 4 3 3 4 6

5

6

6

6

Bảng 2.1: Bảng giá trị m(n), với 3 ≤ n ≤ 13
Năm 1993, Csima và Sawyer [6] đã chứng minh được rằng, với n = 7 ta có
m(n) ≥

6
n.
13

Gần đây nhất, năm 2013, Green và Tao [11] đã chứng minh giả thuyết Dirac cho n
đủ lớn. Đây là những kết quả tốt nhất (tính đến nay) trong việc chứng minh giả thuyết
Dirac về số đường thẳng tầm thường tối thiểu xác định bởi hữu hạn điểm không thẳng
hàng trong mặt phẳng.

2.1.2

Kết quả của Kelly và Moser

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại chứng minh của Kelly và Moser [12], tức là
ta sẽ chứng minh số đường thẳng tầm thường xác định bởi n điểm không thẳng hàng
3
trong mặt phẳng tối thiểu là n.
7
Cho P là tập n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng xạ ảnh thực. Gọi S là tập
tất cả các đường thẳng liên kết xác định bởi P . Xét một điểm p ∈ P . Khi đó, ngoại
trừ trường hợp n − 1 điểm còn lại của P cùng nằm trên một đường thẳng, các đường
thẳng liên kết không đi qua p sẽ phân hoạch mặt phẳng thành hai hay nhiều miền. Cụ
15

Hình 2.3: m(13) = 6 [5]

thể, nếu P có n − 1 điểm thẳng hàng (bao gồm cả điểm p) thì các đường thẳng này
chia mặt phẳng thành n − 2 miền góc, tức là miền bị chặn bởi hai đường thẳng; trong
các trường hợp còn lại, các đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai hay nhiều miền

16


đa giác, tức là miền bị chặn bởi ít nhất 3 cạnh. Điểm p là điểm trong của một trong
các miền tạo bởi các đường thẳng liên kết không đi qua nó. Ta gọi miền này là miền
của p. Đường thẳng tầm thường là cạnh (trong trường hợp miền góc) hoặc chứa cạnh
(trong trường hợp miền đa giác) của miền của p được gọi là cạnh của p.
Tập hợp gồm n đường thẳng trong mặt phẳng mà trong đó có đúng n − 1 đường
đồng quy tại một điểm được gọi là một tựa chùm. Ta thấy rằng nếu P có n − 1 điểm
cùng nằm trên một đường thẳng thì S là một tựa chùm và ngược lại.
Định lý 2.1.2 ([12, Định lý 2.1, 2.2]). Nếu một điểm p ∈ P có đúng một hoặc hai
cạnh thì S là một tựa chùm.
Chứng minh. Nếu p ∈ P có đúng một cạnh thì cạnh này chính là đường thẳng liên
kết duy nhất không đi qua p. Do vậy n − 1 điểm còn lại của P sẽ nằm trên cạnh của
p, hay S là một tựa chùm.
Ta xét trường hợp p có đúng hai cạnh. Trong trường hợp này, các đường thẳng liên
kết không đi qua p đồng quy tại một điểm q nào đó, vì nếu không các đường thẳng
này sẽ chia mặt phẳng thành các đa giác và p sẽ có ít nhất ba cạnh. Với p1 , p2 là hai
điểm bất kỳ khác q của P , đường liên kết nối p1 và p2 sẽ không đi qua q, do đó sẽ
đi qua p. Điều này suy ra rằng chỉ có đúng một đường thẳng liên kết đi qua p và các
đường liên kết còn lại đi qua q. Nói một cách khác S là một tựa chùm. Từ đây ta có
thể thấy rằng điểm q chắc chắn là một điểm thuộc P .
Từ định lý 2.1.2 ta dễ dàng có được hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.3 ([12, Định lý 2.3]). Nếu S không là một tựa chùm thì mỗi điểm của P
có ít nhất ba cạnh.
Định nghĩa 2.1.4. Số đường thẳng tầm thường đi qua điểm p ∈ P được gọi là cấp
của p. Số cạnh của p là đường thẳng tầm thường được gọi là hạng của p. Tổng của
cấp của p và hạng của p được gọi là chỉ số của p.
Định lý 2.1.5 ([12, Định lý 3.1]). Nếu cấp của p ∈ P bằng không thì mỗi cạnh của p
là một đường thẳng tầm thường.
17


Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng cạnh s của p đi qua ba điểm p1 , p2 , p3 của P .
Gọi q là một điểm nằm trên s và thuộc biên của miền của p. Nếu cần ta có thể đánh
số lại các điểm p1 , p2 , p3 nên ta có thể giả sử rằng q và p1 tách p2 và p3 (một trong hai
điểm q và p1 nằm giữa p2 và p3 , đồng thời một trong hai điểm p2 và p3 nằm giữa hai
điểm q và p1 ). Do p không nằm trên đường thẳng tầm thường nào nên đường thẳng đi
qua p và p1 sẽ đi qua một điểm p4 nào đó của P . Khi đó một trong hai đường liên kết
p2 p4 và p3 p4 sẽ cắt đoạn thẳng nối p và q (xem hình 2.4). Điều này mâu thuẫn với giả
thiết q nằm trên biên của miền của p.

Hình 2.4

Hệ quả 2.1.6.

m(n) + 2
2

≥ n.

Chứng minh. Theo định lý 2.1.5, miền của một điểm có cấp bằng không là một trong
những đa giác tạo bởi m(P ) đường thẳng tầm thường. Hơn nữa, mỗi miền đa giác này

không thể chứa hai điểm trong có cấp bằng không. Do m(P ) đường thẳng tầm thường
m(P )
đi qua tối đa là 2m(P ) điểm của P và chia mặt phẳng thành tối đa
+ 1 đa
2
18


giác nên ta có
m(n) + 2
2

=

m(P )
+ 1 + 2m(P ) ≥ n.
2

Định lý 2.1.7. Chỉ số của mỗi điểm có cấp khác hai của P lớn hơn hoặc bằng 3.
Chứng minh. Trước tiên dễ dàng thấy rằng khẳng định của định lý đúng trong trường
hợp S là một tựa chùm. Vì vậy, ta sẽ chứng minh cho các trường hợp mà S không là
tựa chùm. Hơn nữa, rõ ràng nếu cấp của điểm p ∈ P lớn hơn hoặc bằng 3 thì hiển
nhiên chỉ số của p lớn hơn hoặc bằng 3. Ta chỉ cần chứng minh trong 2 trường hợp
sau:
Trường hợp 1: Giả sử cấp của p bằng không. Khi đó, do S không là tựa chùm nên
p có ít nhất 3 cạnh. Theo định lý 2.1.5, cả ba cạnh này đều là đường thẳng tầm thường.
Trường hợp 2: Giả sử cấp của p bằng 1. Gọi p1 là điểm thứ hai trên đường thẳng
tầm thường đi qua p. Lập luận tương tự trong chứng minh của định lý 2.1.5 ta thấy
rằng nếu một cạnh của p không là đường thẳng tầm thường thì cạnh đó ắt phải đi qua
p1 . Do ba cạnh của p không thể có điểm chung nên nếu p có nhiều hơn 3 cạnh thì

ít nhất 2 trong số đó là đường thẳng tầm thường. Ta sẽ chứng minh nếu p có đúng 3
cạnh thì hai trong số 3 cạnh đó là đường thẳng tầm thường. Thật vậy, nếu s1 và s2
là hai cạnh không tầm thường của p thì chúng đi qua p1 và do đó p1 là một đỉnh của
miền tam giác chứa p. Nếu x là một điểm biên của miền của p và nằm trên s1 và nếu
p1 , p2 , p3 là ba điểm của P nằm trên s1 . Khi đó tương tự chứng minh của định lý 2.1.5
bằng cách đánh số thích hợp đường thẳng pp3 là đường thẳng tầm thường. Điều này
mâu thuẫn với giả thiết p có cấp bằng 1. Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng nếu p có đúng
3 cạnh thì tối đa chỉ có 1 cạnh không là đường thẳng tầm thường.
Định lý 2.1.8. Nếu một đường liên kết s là cạnh của ba điểm p1 , p2 , p3 của P thì mọi
điểm của P trên s đều nằm trên các đường liên kết xác định bởi p1 , p2 , p3 .
Chứng minh. Dễ thấy rằng ba điểm có chung cạnh không thể thẳng hàng. Gọi giao
điểm của s với đường liên kết pi pj là xk , trong đó i, j, k là một hoán vị của 1, 2, 3. Giả
19


sử rằng p ∈ P là một điểm nằm trên s khác x1 , x2 , x3 . Không mất tính tổng quát ta
có thể giả sử thêm p và xk tách xi và xj . Khi đó do các đường ppi và ppj nên s không
thể là cạnh của pk được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Định lý 2.1.8 cho chúng ta một hệ quả trực tiếp sau:
Hệ quả 2.1.9. Mỗi đường liên kết là cạnh của tối đa 4 điểm của P .
Nhận xét thêm rằng nếu s là cạnh của đúng bốn điểm p1 , p2 , p3 , p4 thì s là một
đường thẳng tầm thường nối hai trong số ba giao điểm của các cặp đường thẳng pi pj
và pk pl , ở đó i, j, k, l là hoán vị của 1, 2, 3, 4.
Định lý 2.1.10. Kí hiệu các điểm của P là pi , với i = 1, 2, ..., n và kí hiệu Ii là chỉ số
của điểm pi . Khi đó ta có
1
m(P ) ≥
6

n

Ii .
i=1

Chứng minh. Chúng ta thực hiện phép đếm số đường thẳng tầm thường qua việc quan
sát chỉ số của từng điểm của P . Chú ý rằng trong phép đếm này mỗi đường thẳng tầm
thường có thể được đếm tối đa sáu lần: bốn lần là cạnh của các điểm (theo hệ quả
2.1.9) và hai lần là đường thẳng chứa điểm đang xét (vì nó đi qua hai điểm). Từ phép
đếm đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
3
Định lý 2.1.11. m(n) ≥ n.
7
Chứng minh. Gọi k là số điểm có cấp bằng hai. Rõ ràng ta có
m(n) ≥ k.
Từ định lý 2.1.7 và định lý 2.1.10 ta có
m(n) ≥

3(n − k) + 2k
3n k
3n m(n)
=
− ≥
−
.
6
6
6
6
6

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

20


2.2

Số đường liên kết

Chúng ta vẫn kí hiệu P là một tập gồm n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng.
Trong phần này chúng tôi trình bày lại một số kết quả về số đường thẳng liên kết xác
định bởi P .

2.2.1

Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết

Trong mục này, chúng tôi trình bày tổng quan việc nghiên cứu số đường liên kết
theo tài liệu [1]. Kí hiệu ti (P ) là số đường liên kết đi qua đúng i điểm của P và đặt
t(P ) =

ti (P ).
i≥2

Giá trị t(P ) chính là số đường liên kết xác định bởi P .
Năm 1943, đồng thời với việc đặt lại bài toán của Sylvester, Erd¨os đã đưa ra giả
thuyết
t(P ) ≥ n.
Tức là n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng luôn xác định ít nhất n đường liên
kết. Giả thuyết này đã được chứng minh bởi Steinberg, Erd¨os, Buck, Gallai và một số

người khác.
Năm 1958, Kelly và Moser [12] đã chứng minh được
1
t(P ) ≥ kn − (3k + 2)(k − 1)
2
1
nếu ti (P ) = 0, với mọi i > n − k và nếu n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1}. Kết quả này
2
của Kelly và Moser là một bước đệm để đi đến một giả thuyết của Erd¨os rằng: Tồn
tại một hằng số c độc lập với k và n sao cho nếu 0 ≤ k ≤ 2 và ti (P ) = 0 với mọi
i > n − k thì ta có
ckn < t(P ) < 1 + kn.
Giả thuyết này của Erd¨os đã được chứng minh bởi Beck năm 1983.

21