Sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT

MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Hiện nay để đáp ứng nhu cầu của sự phát triển xã hội,việc dạy và học tốn
khơng ngừng đổi mới và nâng cao. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện
để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy tổ chức
có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học có vai trị quyết định tới chất lượng
dạy và học toán.
Yêu cầu của việc dạy giải bài tập tốn học là: “Cùng với phương pháp
có tính thuật tốn, thầy giáo phải truyền thụ cho học sinh những phương pháp
có tính chất tìm đốn để giải một số kiểu bài toán. Tuy nhiên thầy giáo phải
làm cho họ hiểu rằng mục đích hàng đầu khơng phải chỉ nắm vững cách giải
từng kiểu bài tập,thậm trí từng bài tập mà là rèn luyện khả năng giải bài tập
nói chung để có thể ứng phó với những bài tốn mới mẻ khơng lệ thuộc vào
khn mẫu có sẵn.”
Ở trường phổ thơng hiện nay, học sinh khơng gặp khó khăn khi giải các bài
tập có thuật tốn. Nhưng thực tế có nhiều bài tập khơng có thuật tốn nên khi
gặp những bài tập này học sinh rất lúng túng. Mặt khác do thời gian trên lớp có
hạn, giáo viên chưa chú ý nhiều đến việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập
khơng có thuật tốn.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài:
“ Rèn luyện năng lực tìm đốn cho học sinh thơng qua dạy học giải phương
trình ở trường THPT ”

1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực tìm đốn trong dạy học giải phương
trình ở trường THPT.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
1. Nghiên cứu lý luận về các loại hình tư duy, về mối quan hệ giữa

năng lực tìm đốn và các loại hình tư duy.
2. Trực tiếp nghiên cứu dạy học giải phương trình ở trường THPT.
3. Đề xuất phương án dạy một số bài toán giải phương trình nhằm rèn
luyện năng lực tìm đốn.
4. Đánh giá bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của việc rèn luyện
năng lực tìm đốn thơng qua dạy học giải bài tập phương trình ở trường
phổ thơng.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Nghiên cứu lý luận.
1.1. Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước có liên quan đến giáo
dục và đào tạo, có liên quan đến mục đích, nội dung, phương pháp dạy học nói
chung và phương pháp dạy học tốn nói riêng.
1.2. Nghiên cứu tài liệu lý luận ( triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý
luận dạy học bộ mơn tốn ) có liên quan đến đề tài của luận văn.
1.3. Nghiên cứu tạp chí Nghiên cứu giáo dục, sách giáo khoa,
sách tham khảo ...
2. Điều tra, quan sát.
2.1. Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm về dạy học chủ đề phương trình ở
trường phổ thơng.
2.2. Phỏng vấn, điều tra, thu thập các ý kiến của các giáo viên, học sinh về
thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông, quan điểm của giáo viên về
năng lực tìm đốn và việc rèn luyện năng lực tư duy thơng qua khâu tìm đốn
trong dạy học giải bài tập phương trình.

2


2.3. Tham khảo ý kiến đóng góp, học hỏi kinh nghiệm của những chuyên
gia, giáo viên giàu kinh nghiệm trong giảng dạy và nghiên cứu toán học.
3. Thực nghiệm sư phạm

Về các biện pháp đề xuất trong luận văn.
V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.
Nếu trong dạy học giải phương trình, xây dựng được một số biện pháp và
hệ thống bài tập, giúp học sinh tìm được lời giải phương trình khi chưa biết rõ
quy trình thuật tốn thì có thể thơng qua đó phát triển năng lực tư duy đặc biệt là
năng lực tư duy linh hoạt, sáng tạo cho học sinh.
VI. BỐ CỤC LUẬN VĂN.
Ngoài phần mở đầu,kết luận,danh mục và tài liệu tham khảo,luận văn gồm
ba chương.
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương II: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình
thơng qua hệ thống bài tập chọn lọc và đề xuất một số biện pháp sư phạm
nhằm rèn luyện năng lực tìm đốn trong dạy học giải bài tập phương trình
ở trường phổ thông.
Chương III: Thực nghiệm sư phạm.

3


CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN.
1.1.1. Khái qt hố - đặc biệt hố.
1.1.1.1. Khái qt hố.
Theo G.Pơlya, “ Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban
đầu ” ([1];tr.21)
Theo ([8];tr.19) những dạng khái quát hoá thường gặp trong mơn Tốn có
thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Khái quát hoá

Khái quát hoá từ cái
riêng lẻ đến cái tổng
quát

Khái quát hoá từ cái
tổng quát đến cái tổng
quát hơn

Khái quát hoá tới cái
tổng quát đã biết

Khái quát hoá tới cái
tổng quát chưa biết
Sơ đồ 1

Ví dụ 1: Ở lớp 8, HS đã biết giải một số PT dạng:

x 2 − 7 x + 6 = 0, − x 2 + 6 x − 8 = 0 bằng phương pháp phân tích thành nhân
tử. Ở lớp 9, HS được học công thức nghiệm của PT bậc 2 một ẩn.

4


Ví dụ 2: Sau khi HS đã giải được PT bậc 2 bằng cách sử dụng công thức
nghiệm, ta yêu cầu HS giải PT: ax 2 n +bx n +c = 0 (a ≠ 0) .
Trong ví dụ 1, khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát. Ở ví dụ 2,
khái qt hố từ cái tổng qt đến cái tổng quát hơn. Và trong cả hai ví dụ đều
khái quát tới cái tổng quát chưa biết. Bên cạnh đó cịn có dạng khái qt hố đi

đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn khi giải những bài
tốn chứng minh tốn học trong đó khái quát hoá được thể hiện ở việc liên hệ
những tình huống cụ thể của bài tốn với những tiên đề, định nghĩa, định lý
thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát trong cái cụ thể.
Ví dụ 3 ( Bài tập 1 ):
Giải PT: 3 + 3 +

x =x

(1)

Nhận xét:
+) Nếu PT có nghiệm x thì x ≥ 3 + 3
+) PT có thể đưa về hệ đối xứng nếu đặt u = 3 +

(2)
x

(3)

 u = x − 3 ( x − u )( x + u + 5) = 0
⇔
(4)
Khi đó PT (1) có dạng: 
2
u
=
x
−
6

x
+
9
 x = u − 3 
Giải hệ (4) kết hợp với điều kiện (2),(3) thu được nghiệm x =

7 + 13
.
2

Trong việc giải PT ở ví dụ 3 đã liên hệ giữa cái cụ thể với cái tổng quát đã biết
là hệ PT hai ẩn đối xứng loại 2.
Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật
phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các
trường hợp riêng lẻ. Với ý nghĩa đó, khái qt hố thuộc về các phép suy luận có
lí, nên các kết luận được rút ra từ khái qt hố thường mang tính chất giả

5


thuyết, dự đoán. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp kết luận từ khái qt hố có
thể thu được nhờ quy nạp hồn tồn.
Khái qt hố thường được sử dụng trong việc hình thành khái niệm,
chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới,…
Ví dụ 4 ( Bài tập 2 ):

x − 2006 + 2008 − x = 2

Sau khi giải PT:

(1)

chúng ta khái qt hố có thể giải được các PT :

x − 2n + (2n + 2) − x = 2

(2)

x − (2n + 1) + (2n + 3) − x = 2 (3)
1.1.1.2. Đặc biệt hố.
Theo G.Pơlya: “Đặc biệt hố là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp
đã cho” ([1],tr.22)
Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong mơn tốn có thể được biểu
diễn bằng sơ đồ sau:

Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ
cái tổng quát đến cái
riêng lẻ

Đặc biệt hoá từ
cái riêng đến cái
riêng hơn

Đặc biệt hoá tới cái
riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hoá tới cái

riêng lẻ chưa biết
Sơ đồ 2

6


Đặc biệt hố thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,
chứng minh định lý, giải bài tập… Trong bài toán giải PT, đặc biệt hoá được sử
dụng trong mị mẫm, dự đốn nghiệm, trên cơ sở đó định hướng phương pháp
giải cho PT.
Ví dụ 1 ( Bài tập 3 ):
Giải PT: 3x + 4 x = 5 x (1)
Thay x với một vài giá trị cụ thể:
• Với x = 1 , ta có (1) trở thành: 3 + 4 = 5

vơ lý.

• Với x = 2 , ta có (1) trở thành: 32 + 42 = 52 đúng.
• Với x = 3 , ta có (1) trở thành: 33 + 43 = 53 vô lý.
Ta được x = 2 là một nghiệm của PT. Ngoài ra, chưa tìm được nghiệm
khác. Một câu hỏi đặt ra là x = 2 có phải là nghiệm duy nhất khơng. Và đây
chính là câu hỏi gợi ý cho hướng giải của PT.
Có thể nói đặc biệt hố là thao tác tư duy ngược của khái qt hố. Trong
q trình dạy học không chỉ yêu cầu đi từ cái riêng đến cái chung ( khái qt
hố ) mà cịn địi hỏi họ đi từ cái chung đến cái riêng ( đặc biệt hoá ) và làm rõ
mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát. Chẳng hạn ở
ví dụ 4 ( mục 1.1.1.1 ), sau khi HS đã khái qt hố được PT (2), với mục đích
kiểm tra việc khái qt hố đó có thể u cầu họ đặc biệt hố PT (2) sao cho tìm
lại được PT (1), thơng qua đó nhấn mạnh mối quan hệ chung riêng giữa PT tìm
được và PT ban đầu. Sự đặc biệt hố ở đây với mục đích để sơ bộ kiểm tra tính

giải được của PT tổng quát chứ chưa phải là giải PT tổng quát đó.
1.1.2. So sánh-tương tự.
1.1.2.1. So sánh.
So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự
đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối

7


tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với
các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận
thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.
1.1.2.2. Tương tự.
Theo G. Pôlya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong
mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng”. ([1],tr.23)
Tương tự là một dạng so sánh. Trong “Lôgic học”, D.Gorki viết “Tương
tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu,
ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác”.
Nếu đối tượng A có các dấu hiệu a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu
hiệu a, b, c, thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có dấu hiệu
d.Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:
A có tính chất a, b, c, d
B có tính chất a, b, c
------------------------Kết ln B cũng có tính chất d
Người ta thường xét sự tương tự trong tốn học trên các khía cạnh sau:
-Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng
minh là giống nhau.
-Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai
trị của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng
của chúng có quan hệ giống nhau.

-Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc
tính của hai hình tương tự.
Ví dụ 1:
Phương pháp giải PT ax 6 +bx 3 +c=0(a ≠ 0) tương tự như phương pháp giải PT

ax 4 +bx 2 +c=0(a ≠ 0)

8


Phép tương tự được xem như là tiền thân của khái qt hóa, bởi vì việc
chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng
một cái tổng quát, là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kì của cùng
một cái tổng quát đó. Nhiều khi HS đã có một sự hình dung nhất định về cái
chung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những hiện tượng
riêng lẻ coi như đại biểu của cái chung. Vì thế trong những trường hợp nhất
định, ta có thể coi sự thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái qt
hóa. Do đó, trong q trình dạy học, cần khuyến khích HS thực hiện phép tương
tự coi như tiền thân của khái quát hóa, coi như sự biểu hiện khái quát hóa cho
đến khi nào HS nhận thức được cái khái quát một cách đầy đủ.
Ví dụ 2( Bài tập 2 ):
Sau khi HS đã giải PT

x − 2006 + 2008 − x = 2 (1)
GV có thể yêu cầu HS giải những PT sau:

x − 2007 + 2009 − x = 2 (2)
4

x − 2006 + 4 2008 − x = 2 (3)

Như vậy ta đã tập luyện cho HS phép tương tự. Tuy nhiên không dừng lại ở đó,
mà cịn u cầu HS phát hiện dạng PT tổng quát, tức là yêu cầu HS từ những
phép tương tự tiến lên khái quát hoá.
Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh. Bên cạnh đó cũng giống như
khái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, những kết luận rút ra từ
tương tự thường có tính chất giả thuyết, dự đốn. Do vậy cần lưu ý với HS rằng
những kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai.
1.1.3. Phân tích - tổng hợp.
Phân tích là chia một chỉnh thể ra làm nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi
tiết trong từng bộ phận. Thường thì phân tích đều nhằm một mục đích cụ thể,
nghĩa là việc nghiên cứu từng bộ phận phải mang tính hướng đích, khơng tràn

9


lan. Đối với một bài tốn trong đó có giả thuyết và kết luận thì sự phân tích phải
hướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lơgic nối giữa giả thiết và kết luận.
([3],tr.123)
Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mơ tả
được bức tranh tồn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ giữa các bộ phận
của chỉnh thể và của chỉnh thể với môi trường xung quanh. Phân tích tạo điều
kiện cho tổng hợp, vì nếu khơng đi sâu vào nghiên cứu tất cả các bộ phận của
chỉnh thể thì khó lịng mơ tả được chính xác bức tranh toàn cảnh của chỉnh thể.
Tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo. ([3],tr.125)
Trong học tập mơn Tốn, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí
tuệ, là thao tác tư duy quan trọng để giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1( Bài tập 4 ):

x+3

(1)
x−3

Giải PT: 2 x 2 − 9 = ( x − 5)
Phân tích :

 x ≤ −3
x ≥ 3

Vế trái có nghĩa khi và chỉ khi: x − 9 ≥ 0 ⇔ 
2

Vế phải có nghĩa khi và chỉ khi:

 x ≤ −3
x+3
≥0⇔
x −3
x > 3
 x ≤ −3
x > 3

Tổng hợp lại ta được: PT (1) có nghĩa khi và chỉ khi 
+) Qua sự phân tích đặc điểm vế trái có
vế phải có

x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3)

x+3
x−3

+) Ta nhận thấy x = −3 là một nghiệm của PT (1).

10


 x < −3
,chia cả hai vế của PT (1) cho
x > 3

+) Với 

x+3
ta được:
x−3

2 x − 3 = x − 5 . Tổng hợp lại ta có lời giải của PT.
1.1.4. Cụ thể hoá - Trừu tượng hoá.
Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng tốn học một tính chất
( về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lơgíc của thế giới khách quan ) để
nghiên cứu riêng tính chất đó.
Trừu tượng hố có liên hệ mật thiết với khái qt hố. Nhờ trừu tượng
hố ta có thể khái qt hố rộng và sâu hơn.
Sức mạnh của toán học ở chỗ ngày càng tiến lên những đỉnh cao của sự
trừu tượng. Bởi vì càng trừu tượng bao nhiêu thì càng có khả năng ứng dụng vào
nhiều sự vật cụ thể bấy nhiêu.
Muốn tiến lên đỉnh cao của khoa học không chỉ dừng lại ở chỗ làm sao
cho có nhiều cái cụ thể để minh hoạ dễ hiểu cái trừu tượng, mà còn phải tiến
công vào cái trừu tượng để cho những cái trừu tượng trở thành quen thuộc, trở
thành những hình ảnh trong đầu óc chúng ta để cuối cùng có khả năng sáng tạo

những cái trừu tượng đó.
Ví dụ 1.( Bài tập 5 ) Xét PT :

cos x + sin x +

1
1
+
+ tan x + cot x = −2
cos x sin x

Bằng trừu tượng hoá giải được PT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Đặt t = cos x + sin x, t ≤
PT trở thành: t +

2 , t ≠ ±1

2t
2
+
= −2 ⇔ t (t + 1)2 = 0
2
2
t −1 t −1

Giải tiếp tìm được các nghiệm của PT là: x =

11

3π

+ kπ , k ∈ Z .
4


Ví dụ 2:( Bài tập 6 ) Giải PT:

x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 (1)
Sử dụng cụ thể hoá biểu diễn được mỗi căn thức theo độ dài một đoạn
thẳng và dùng tính chất hình học giải được PT (1).
Chọn A(2;1);B(5;5);M( x;0) .
Ta có: MA =

( x − 2)2 + 1 = x 2 − 4 x + 5

MB = ( x − 5)2 + 25 = x 2 − 10 x + 50
AB = 5
(1) ⇔ MA-MB =AB
Mọi bộ 3 điểm M,A,B, ln có:

MA-MB ≤ AB (2)
Dấu bằng xảy ra ở (2) ⇔ M, A, B thẳng hàng và M nằm ngồi AB.

5
4




Giải tiếp bài tốn tìm được M  ;0 ÷ là điểm cần tìm.
Trong dạy học, đồ dùng dạy học là rất cần thiết tuy nhiên khơng nên lạm dụng

nó. Vì càng học lên cao, càng gặp nhiều vấn đề không thể minh họa bằng đồ dùng
giảng dạy. Đối với học sinh, ngay từ ban đầu khơng nên bằng lịng với những ví dụ
cụ thể, những đồ đùng giảng dạy của thầy cô, mà phải tự mình tìm thêm những ví dụ
minh hoạ khác. Đồng thời trong q trình tấn cơng vào cái trừu tượng phải ln gắn
với nguồn gốc thực tế của nó để làm sáng tỏ nguồn gốc này.
1.2. MỘT SỐ LOẠI HÌNH TƯ DUY.
1.2.1. Tư duy hàm.
1.2.1.1. Khái niệm hàm.
Định nghĩa hàm theo chương trình tốn phổ thơng( Sách giáo khoa Đại số 10
-Nâng cao ).

12


Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R. Một hàm số f xác định
trên tập D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x ∈ D một và chỉ một
số thực y.
1.2.1.2. Khái niệm tư duy hàm.
Tư duy hàm là một loại hình tư duy có đồng thời cả bốn hoạt động với
những thao tác trí tuệ như sau:
-Hoạt động 1:
Nhận biết những quy tắc tương ứng có phải là một hàm số không.
-Hoạt động 2:
+ Phát hiện ra sự tương ứng đơn trị giữa hai đại lượng biến thiên trong một hồn
cảnh có nhiều đại lượng biến thiên.
+ Thiết lập được quy tắc tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên vừa phát hiện
ra ( là một hàm hay một hàm số ).
-Hoạt động 3:
Nghiên cứu những hàm, hàm số vừa thiết lập được.
-Hoạt động 4:

Lợi dụng những kết quả nghiên cứu về hàm, hàm số nói trên để giải quyết được
vấn đề đặt ra.
Trong các hoạt động trên thì hoạt động 1 là ngầm ẩn, hoạt động 2, hoạt
động 3, hoạt động 4 diễn ra theo một mạch liên tục và tường minh trong tư duy
hàm, đó là các hoạt động:
Phát hiện, thiết lập

Nghiên cứu

Lợi dụng.

Ví dụ 1 ( Bài tập 7 ):
Giải PT: 2006 x + 2008 x = 2.2007 x (1)

13


Hướng dẫn.
Định lý Lagrange: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [a;b] và f / ( x) tồn tại trên
(a;b) thì ln tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f / (c) =

f (b) − f (a )
b−a

+Phát hiện,thiết lập sự tương ứng:

(1) ⇔ 2008 x − 2007 x = 2007 x − 2006 x (2)
Và như vậy vế trái và vế phải của (2) đều là giá trị của hàm số

f (t ) = (t + 1)α − t α , t > 0

+Nghiên cứu sự tương ứng:
Ta có f (2006) = f (2007)
Theo định lý Lagrange tồn tại c ∈ (2006;2007) ,sao cho:

f / (c) = 0 mà f / (c) = α [(c+1)α -1 − cα −1 ] .
Do đó f / (c) = 0 ⇔ α [(c + 1)α −1 − cα −1 ]=0

α =0
α = 0
⇔
⇔
α = 1
α -1
α −1

(c+1) = c
+Lợi dụng sự tương ứng:
Từ đó ta có: Phương trình (1) chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 1 .
1.2.1.3. Những tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy hàm.
Những tư tưởng chủ đạo về phương diện phát triển tư duy hàm như sau:
Thứ nhất: Tập luyện cho HS phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng
những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ
năng toán học.
Thứ hai: Thực hiện gợi động cơ, đặc biệt là gợi động cơ kết thúc đối với
những hoạt động tư duy hàm, sao cho các hoạt động này trở thành những khả
năng gợi động cơ nội tại toán học.

14

Thứ ba: Hình thành ở HS những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự
tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri
thức phương pháp về tư duy hàm.
Thứ tư: Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức
độ trực quan của đối tượng, theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động
của người học. ([5],tr.16-tr.23)
1.2.2. Tư duy thuật giải.
1.2.2.1. Khái niệm thuật giải.
Theo ([5], tr.51) thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy
định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên
những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết
quả mong muốn”.
Mỗi thuật giải đều có những tính chất cơ bản và quan trọng sau:
* Tính đơn trị
* Tính dừng
* Tính đúng đắn
* Tính phổ dụng
* Tính hiệu quả
Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong mơn tốn và
trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau:
ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ tốn học, sơ đồ khối, ngơn ngữ phỏng trình và
các ngơn ngữ lập trình.
Ví dụ 1 : Quy tắc giải PT bậc hai có thể dùng ngơn ngữ tự nhiên và tốn học để
liệt kê, mơ tả các bước thực hiện như sau:
B1. Xác định các hệ số a,b,c.
B2. Tính ∆ = b 2 − 4ac .
B3. Xét ∆

15

1. Nếu ∆ < 0 : PT vô nghiệm.
2. Nếu ∆ = 0 : PT có nghiệm kép x = −

b
2a

3. Nếu ∆ > 0 : PT có hai nghiệm phân biệt

x1 =

−b − ∆
−b + ∆
; x2 =
2a
2a

1.2.2.2. Quy tắc tựa thuật giải.
Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quy
định nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ. Tuy nhiên trong quá
trình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy
đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó và
chúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải toán.
*Khái niệm quy tắc tựa thuật giải
Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu
hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi
thông tin vào của một lớp bài tốn thành thơng tin ra mơ tả lời giải của lớp bài
tốn đó”. ([4], tr.379)
Ví dụ 1: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f( x ).
+Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là ∆ x . Tính số gia của hàm số:

∆y = f (∆x + x) − f ( x)
+Bước 2:
Lập tỉ số

∆y
.
∆x

∆y
.
∆x →0 ∆x

+Bước 3: Tính giới hạn: lim

Giới hạn( nếu có ) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f( x ) tại điểm x
. Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các bước tiến
hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x . Tuy nhiên có những chỉ dẫn chưa

16


mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3 về việc tìm

∆y
. Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự trên nhưng vẫn
∆x →0 ∆x
lim

khơng tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn này tồn tại.

*Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.
+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị.
+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại
kết quả là lời giải của lớp bài tốn.
Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giải
cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho q trình hoạt động và
giải tốn.
1.2.2.3. Khái niệm tư duy thuật giải.
*Khái niệm tư duy thuật giải.
Tương thích với khái niệm thuật giải có những hoạt động đáng chú ý sau đây:
-Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải.
- Phân tích một q trình hình thành những thao tác được thực hiện theo
một trình tự xác định.
- Khái quát hố một q trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
- Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
- Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc.
Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành năm hoat động trên gọi là tư duy
thuật giải.
*Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

17


Trong dạy học mơn tốn, tiến hành phát triển tư duy thuật tốn của HS có
những tác dụng sau đây:
- Tư duy thuật toán tạo điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyện
các kỹ năng toán học. Khi các hoạt động được tách bạch các bước, được thực

hiện qua quy tắc có cấu trúc điều khiển thuật toán, HS sẽ thấy rõ hơn tri thức cần
học, ghi nhớ tốt hơn, thực hiện vận dụng cũng thuận lợi và có kết quả hơn.
- Tiến hành các hoạt động tư duy thuật tốn có thể dẫn đến hình thành thói
quen, tri thức phương pháp để giải quyết mọi vấn đề, góp phần hình thành năng
lực giải quyết vấn đề ở HS trong học tập cũng như trong cuộc sống.
1.2.3. Tư duy biện chứng.
1.2.3.1. Cơ sở triết học của tư duy biện chứng.
Triết học duy vật biện chứng thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát
triển tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Nó là cơ sở phương pháp luận của
mọi khoa học, trong đó có phương pháp dạy học mơn Tốn. Nó cung cấp cho ta
phương pháp nghiên cứu đúng đắn: “Xem xét những hiện tượng giáo dục trong
quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, trong sự mâu thuẫn
và thống nhất, phát hiện những biến đổi về số lượng dẫn đến những biến đổi về
chất lượng v. v…”. ([3],tr. 22)
*Các quy luật của triết học duy vật biện chứng.
• Quy luật mâu thuẫn là động lực của sự phát triển.
• Quy luật phủ định của phủ định.
• Quy luật lượng đổi, chất đổi.
*Các cặp phạm trù đối lập của triết học duy vật biện chứng.
1.Lí luận và thực tiễn.
2.Cái chung và cái riêng.
3.Cụ thể và trừu tượng.
4.Chủ quan và khách quan.

18


5.Nội dung và hình thức.
6.Bản chất và hiện tượng.
7.Ngẫu nhiên và tất nhiên.

8.Vận động và đứng yên.
9.Suy diễn và quy nạp.
10.Phân tích và tổng hợp.
1.2.3.2. Lơgíc hình thức.
Lơgíc hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức tư duy ( khái niệm,
phán đốn, suy luận, chứng minh ). Lơgíc hình thức khơng đề cập đến sự nảy
sinh và phát triển của các hình thức ấy. Lơgíc hình thức chỉ quan tâm đến các
đối tượng dưới dạng tĩnh tại, cô lập. Nhiệm vụ chủ yếu là xây dựng các quy tắc,
quy luật mà sự tuân thủ là điều kiện cần thiết để đạt được những kết quả chân
thực trong quá trình thu nhận kiến thức.
1.2.3.3. Tư duy biện chứng ( dựa vào lơgíc biện chứng ).
Lơgíc biện chứng với tư cách là học thuyết triết học về những quy luật
chung nhất của sự nảy sinh và phát triển của tự nhiên, xã hội, tư duy giúp chúng
ta nắm được nội dung của đối tượng.
Đối tượng của tư duy biện chứng là những đối tượng vận động, biến đổi trong
mối liên hệ, phụ thuộc lẫn nhau. Ănghen cho rằng khi nghiên cứu các đại lượng biến
thiên “Bản thân toán học đã bước vào lĩnh vực của phép biện chứng rồi”.
*Mối quan hệ giữa lơgíc hình thức và lơgíc biện chứng.
Lơgíc hình thức đề cập đến tư duy về các đối tượng tĩnh tại, cô lập, tức là
chú ý đến mặt ổn định tương đối của sự vật. Trong trường hợp đó những quy
luật của lơgíc hình thức là có cơ sở. Chẳng hạn, quy luật đồng nhất nói rằng “A
là A”, tức là đường trịn là đường trịn, đường elíp là đường elíp, chứ đường trịn
khơng đồng nhất với đường elíp. Điều này đúng khi xem xét mặt tĩnh của không
gian. Tuy nhiên thực tế địi hỏi nghiên cứu q trình thay đổi, nghiên cứu sự
phát triển của sự vật, nghĩa là địi hỏi xem xét mặt động thì quy luật nói trên của

19


lơgíc hình thức khơng cịn phù hợp nữa. Và khi đó ta phải dùng tư duy biện

chứng để nghiên cứu các q trình đó.
1.2.3.4. Vận dụng tư duy biện chứng trong việc dạy bài tập toán.
Việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù của triết học duy vật biện
chứng vào khai thác nghiên cứu bài tập toán học mang những biểu hiện đặc
trưng của sự sáng tạo. Do vậy cần phải đặc biệt coi trọng yếu tố tư duy biện
chứng trong việc giải và nghiên cứu bài tập toán học.
Chẳng hạn xét mối quan hệ giữa “Cái chung và cái riêng”. Một cái riêng
có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau. Một cái chung,
đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, bằng những cách khác nhau sẽ cho
nhiều cái riêng khác nhau. Đứng trước việc tìm tịi lời giải của một bài tốn,
giáo viên có thể u cầu học sinh đặc biệt hoá từng bộ phận của bài toán theo
những cách thức khác nhau.
Ví dụ 1 ( Bài tập 8 ):
Giải PT:
Thay một vài giá trị của

vào PT, ta nhận thấy

là một nghiệm của PT, vì

( đúng ).
+ Dự đốn :

là nghiệm duy nhất của PT (1)

+ Từ dự đoán này giúp ta định hướng lời giải của bài toán.
+ PT này có các biểu thức chứa ẩn dạng: đa thức, mũ, lơgarit.
Ta có thể đưa về PT mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Đặt
PT (1) trở thành:

Giải tiếp ta được PT đã cho có nghiệm duy nhất là

20

.


Nhìn nhận bài tốn theo nhiều góc độ khác nhau, ứng với mỗi góc độ, ta
coi một trong các yếu tố của bài toán như là một trường hợp đặc biệt của một cái
tổng quát hơn. Như vậy, với mỗi góc độ cho chúng ta một hướng mở rộng kết
quả bài tốn ban đầu.
Ví dụ 2 ( Bài tập 2 ):
Giải PT :
Hướng dẫn.
+ Quan sát đặc điểm của PT, có các biểu thức trong căn chứa ẩn:
với mối liên hệ

.

+ Để giải PT có thể sử dụng bất đẳng thức Cơsi, hoặc có thể luỹ thừa hai vế khử
căn thức.
Cách 1: Đánh giá( Sử dụng bất đẳng thức Côsi )
Điều kiện
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số khơng âm, ta có:

Suy ra PT

thoả mãn (2)

Với phương pháp giải này PT (1) là trường hợp đặc biệt của các PT sau:
(2)
(3)
Cách 2: Phương pháp biến đổi tương đương ( luỹ thừa 2 vế )

21


x − 2006 + 2008 − x = 2 (1)
Điều kiện:

, với điều kiện (2) ta có:

(1) ⇔ x − 2006 + 2008 − x + 2 ( x − 2006)(2008 − x) = 4

( thoả mãn (2) )
Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có thể giải được một số PT sau:
(3)
(4)
1.2.4. Tư duy sáng tạo.
1.2.4.1. Khái niệm sáng tạo.
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về
vật chất hoặc tinh thần hoặc sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới,
khơng gị bó phụ thuộc cái đã có.
*Các giai đoạn của q trình sáng tạo.
+ Giai đoạn chuẩn bị.
+ Giai đoạn ấp ủ.
+ Giai đoạn bừng sáng.
+ Giai đoạn xác minh.
Ví dụ 1( Bài tập 9 ):

Giải PT :
Giai đoạn chuẩn bị: là giai đoạn HS tìm kiếm lời giải. HS có thể quy
đồng mẫu số để làm mất mẫu, cũng có thể rút gọn vế trái để làm mất mẫu, đưa

22


PT đã cho về PT tích. Nhưng họ gặp khó khăn chưa nhìn thấy ngay nhân tử
chung để rút gọn hay phân tích.
Giai đoạn ấp ủ:
Q trình trăn trở suy nghĩ làm sao để mất mẫu và đưa về PT tích.
Giai đoạn bừng sáng:
Để ý vế trái 1 − sin 3x và sin 2 x − cos2x đều có thể đưa về biểu thức của

sin x . Liệu rằng có thể phân tích nhân tử cả tử và mẫu để triệt tiêu mẫu.
Một ý nghĩ bừng sáng

1 − sin 3 x = (1 + sin x)(4sin 2 x − 4sin x + 1) = (1 + sin x)(2sin x − 1) 2
sin x − cos2x = sin x − 1 + 2sin 2 x = (1 + sin x)(2sin x − 1)
Đến đây PT đã cho tương đương với hệ:

sin x ≠ −1

1
sin x ≠
2

3(2sin x − 1) = 2cos 2 x − 7 (2)
Đến đây vấn đề đã được giải quyết.
Giai đoạn xác minh: Thực hiện những điều đã suy nghĩ nảy sinh ở trên

1.2.4.2. Khái niệm tư duy sáng tạo.
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo
và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có thể
nêu lên ba thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo đó là tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn và tính độc đáo.
Tính mềm dẻo.
Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri
thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác; định nghĩa
lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới

23


trong những mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của
sự vật và điều phán đốn.

Tính nhuần nhuyễn.
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố
riêng lẻ của tình huống hồn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.
Tính độc đáo.
Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất.
Bồi dưỡng năng lực sáng tạo chính là địi hỏi HS biến q trình đơn thuần
tiếp thu kiến thức trong học tập thành quá trình sáng tạo lại. Tốn học ở phổ
thơng là một hệ thống kiến thức hoàn chỉnh được cấu thành bởi 4 mặt: các khái
niệm, lý luận, phương pháp và sự vận dụng. Vậy phải bồi dưỡng tính tư duy
sáng tạo trên hai mặt học tập lý luận ( các khái niệm, nguyên lý ) và cách giải
quyết vấn đề. ( [7],Tr.283-284 )
Ví dụ 1 ( Bài tập 10 ):

Giải PT :
Nếu cứ máy móc khử căn thức bằng cách luỹ thừa hai vế thì PT đã cho đưa về
PT bậc 4 khó giải. Song ở đây ta để ý:
và x 2 + 2 = x + 1 + x 2 − x + 1
Phát hiện này giúp ta tìm ra phương pháp giải PT.
Điều kiện:
Với điều kiện đó
(1)

24


Giải tiếp ta tìm được tập nghiệm của PT đã cho là
1.3. MỐI QUAN HỆ GIỮA NĂNG LỰC TÌM ĐỐN VÀ CÁC LOẠI
HÌNH TƯ DUY, CÁC THAO TÁC TƯ DUY.
1.3.1. Năng lực tìm đốn.
Năng lực tìm đốn là năng lực tư duy để tìm ra lời giải của bài tốn, đặc
biệt là các bài tốn khơng có thuật giải.
1.3.2. Mối quan hệ giữa năng lực tìm đốn và các thao tác tư duy, các loại
hình tư duy.
Do điều kiện nghiên cứu, chúng tơi khơng đặt ra u cầu tìm hiểu đầy đủ
về các mối quan hệ giữa năng lực tìm đốn với các loại hình tư duy và các thao
tác tư duy, mà chỉ xét một số yếu tố liên quan giữa chúng để phục vụ cho đề tài.
Khái quát hoá - đặc biệt hoá, tương tự - so sánh, cụ thể hoá- trừu tượng
hoá, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mị mẫm, dự đốn để tìm ra lời giải
của bài tốn. Đối với những bài tốn khơng có thuật giải, có thể đặc biệt hố để
thử hoặc giải bài tốn đó, từ đó bằng khái qt hố để đi đến lời giải của bài
tốn. Cũng có thể xét bài toán khái quát hoá ( tương tự ) của bài tốn đó từ đó
tìm cách giải bài tốn đã cho. Để giải được bài tốn, phải tìm cho ra các mắt
xích nối giữa giả thuyết và kết luận của bài tốn, vì vậy sử dụng các thao tác

phân tích - tổng hợp để định hướng và tìm lời giải của bài tốn.
Ví dụ 1 ( Bài tập 11 ):
Giải PT:
Bằng phân tích ta thấy PT này có hai biểu thức chứa ẩn dưới dấu căn bậc
hai, một biểu thức bậc hai và một biểu thức bậc nhất.
Khử căn thức theo các phương pháp thơng thường:
- Bình phương thì thu được PT bậc 6 đầy đủ.
- Nếu đặt ẩn phụ thì chưa tìm được mối liên hệ giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu.

25