PHƢƠNG PHÁP PHÂN CỤM VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN





Nguyễn Trung Sơn

Nguyễn Trung Sơn

PHƢƠNG PHÁP PHÂN CỤM VÀ ỨNG DỤNG

PHƢƠNG PHÁP PHÂN CỤM VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành :
Mã số :

KHOA HỌC MÁY TÍNH
60.48.01

Chuyên ngành :
Mã số :

KHOA HỌC MÁY TÍNH
60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS VŨ ĐỨC THI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS VŨ ĐỨC THI

Thái Nguyên – 2009
Thái Nguyên – 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




-2-

-3-

MỤC LỤC

2. Thuật toán phân cụm dữ liệu mờ

35

TRANG

2.1 Thuật toán FCM

36

LỜI CẢM ƠN

5

2.2 Thuật toán εFCM

37

LỜI MỞ ĐẦU

6

3. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào cụm trung tâm

37

CHƢƠNG I : TỔNG QUAN THUYẾT VỀ PHÂN CỤM DỮ LIỆU

7

3.1 . Thuật toán K – MEANS

37

1. Phân cụm dữ liệu

7

3.2 Thuật toán PAM

41

1.1 Định nghĩa về phân cụm dữ liệu

7

3.3 Thuật toán CLARA

42

1.2 Một số ví dụ về phân cụm dữ liệu

7

3.4 Thuật toán CLARANS

44

2. Một số kiểu dữ liệu

10

4. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào tìm kiếm

46

2.1 Dữ liệu Categorical

10

4.1 Thuật toán di truyền (GAS)

46

2.2 Dữ liệu nhị phân

13

4.2 J- Means

48

2.3 Dữ liệu giao dịch

14

5. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào lƣới

49

2.4 Dữ liệu Symbolic

15

5.1 STING

49

2.5 Chuỗi thời gian(Time Series)

16

5.2. Thuật toán CLIQUE

51

3. Phép Biến đổi và Chuẩn hóa dữ liệu

16

5.3. Thuật toán WaveCluster

52

3.1 Phép chuẩn hóa dữ liệu

17

6. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào mật độ

53

3.2 Biến đổi dữ liệu

21

6.1 Thuật toán DBSCAN

53

3.2.1 Phân tích thành phần chính

21

6.2. Thuật toán OPTICS

57

3.2.2 SVD

23

6.3. Thuật toán DENCLUDE

58

3.2.3 Phép biến đổi Karhunen-Loève

24

7. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa trên mẫu

60

CHƢƠNG II. CÁC THUẬT TOÁN PHÂN CỤM DỮ LIỆU

28

7.1 Thuật toán EM

60

1. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào phân cụm phân cấp

28

7.2 Thuật toán COBWEB

61

1.1 Thuật toán BIRCH

28

CHƢƠNG III :ỨNG DỤNG CỦA PHÂN CỤM DỮ LIỆU

62

1.2 Thuật toán CURE

30

1. Phân đoạn ảnh

62

1.3 Thuật toán ANGNES

32

1.1. Định nghĩa Phân đoạn ảnh

63

1.4 Thuật toán DIANA

33

1.2 Phân đoạn ảnh dựa vào phân cụm dữ liệu

65

1.5 Thuật toán ROCK

33

2. Nhận dạng đối tƣợng và ký tự

71

1.6 Thuật toán Chameleon

34

2.1 Nhận dạng đối tượng

71


-4-

-5-

2.2 Nhận dạng ký tự.

75

3. Truy hồi thông tin

76

3.1 Biểu diễn mẫu

78

3.2 Phép đo tương tự

79

3.3 Một giải thuật cho phân cụm dữ liệu sách

80

4. Khai phá dữ liệu

81

4.1 Khai phá dữ liệu bằng Phương pháp tiếp cận.

82

4.2 Khai phá dữ liệu có cấu trúc lớn.

83

4.3 Khai phá dữ liệu trong Cơ sở dữ liệu địa chất.

84

4.4 Tóm tắt

86

KẾT LUẬN ,HƢỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI

90

PHỤ LỤC

91

TÀI LIỆU THAM KHẢO

99

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn PGS. TS Vũ Đức Thi đã tận tình hướng dẫn
khoa học, giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo đã dạy dỗ, và truyền
đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
HỌC VIÊN
NGUYỄN TRUNG SƠN


-6LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự phát triển mạnh mẽ của CNTT đã làm
cho khả năng thu thập và lưu trữ thông tin của các hệ thống thông tin tăng
nhanh một cách chóng mặt. Bên cạnh đó, việc tin học hóa một cách ồ ạt và
nhanh chóng các hoạt động sản xuất, kinh doanh cũng như nhiều lĩnh vực
hoạt động khác đã tạo ra cho chúng ta một lượng dữ liệu lưu trữ khổng lồ.

-7-

CHƢƠNG I :
TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ PHÂN CỤM DỮ LIỆU
1. Phân cụm dữ liệu
1.1 Định nghĩa về phân cụm dữ liệu
Phân cụm dữ liệu(Data Clustering) hay phân cụm, cũng có thể gọi là
phân tích cụm, phân tích phân đoạn, phân tích phân loại, là quá trình nhóm

Hàng triệu CSDL đã được sử dụng trong các hoạt động sản xuất, kinh doanh,
quản lý..., trong đó có nhiều CSDL cực lớn cỡ Gigabyte, thậm chí là Terabyte.
Sự bùng nổ này đã dẫn tới một yêu cầu cấp thiết là cần có những kỹ
thuật và công cụ mới để tự động chuyển đổi lượng dữ liệu khổng lồ kia thành

một tập các đối tượng thực thể hay trừu tượng thành lớp các đối tượng tương

các tri thức có ích. Từ đó, các kỹ thuật khai phá dữ liệu đã trở thành một lĩnh

trong nhiều ứng dụng.

vực thời sự của nền CNTT thế giới hiện nay nói chung và Việt Nam nói riêng.
Khai phá dữ liệu đang được áp dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực

1.2 Một số ví dụ về phân cụm dữ liệu

kinh doanh và đời sống khác nhau: marketing, tài chính, ngân hàng và bảo
hiểm, khoa học, y tế, an ninh, internet… Rất nhiều tổ chức và công ty lớn trên
thế giới đã áp dụng kỹ thuật khai phá dữ liệu vào các hoạt động sản xuất kinh
doanh của mình và thu được những lợi ích to lớn.
Các kỹ thuật khai phá dữ liệu thường được chia thành 2 nhóm chính:
- Kỹ thuật khai phá dữ liệu mô tả: có nhiệm vụ mô tả về các tính
chất hoặc các đặc tính chung của dữ liệu trong CSDL hiện có.
- Kỹ thuật khai phá dữ liệu dự đoán: có nhiệm vụ đưa ra các dự đoán
dựa vào các suy diễn trên dữ liệu hiện thời.
Bản luận văn này trình bày một số vấn đề về Phân cụm dữ liệu, một
trong những kỹ thuật cơ bản để Khai phá dữ liệu. Đây là hướng nghiên cứu
có triển vọng chỉ ra những sơ lược trong việc hiểu và khai thác CSDL khổng
lồ, khám phá thông tin hữu ích ẩn trong dữ liệu; hiểu được ý nghĩa thực tế của dữ liệu.
Luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng và phần phụ lục :

Chương 1 : Trình bày tổng quan lý thuyết về Phân cụm dữ liệu, các kiểu dữ
liệu, Phép biến đổi và chuẩn hóa dữ liệu.
Chương 2 : Giới thiệu, phân tích, đánh giá các thuật toán dùng để phân cụm
dữ liệu
Chương 3 : Trình bày một số ứng dụng tiêu biểu của phân cụm dữ liệu.
Kết luận : Tóm tắt các vấn đề được tìm hiểu trong luận văn và các vấn đề liên
quan trong luận văn, đưa ra phương hướng nghiên cứu tiếp theo.

tự. Một cụm là một tập hợp các đối tượng dữ liệu mà các phần tử của nó
tương tự nhau cùng trong một cụm và phi tương tự với các đối tượng trong
các cụm khác. Một cụm các đối tượng dữ liệu có thể xem như là một nhóm

1.2.1 Phân cụm dữ liệu phục vụ cho biểu diễn dữ liệu gene
Phân cụm là một trong những phân tích được sử dụng thường xuyên
nhất trong biểu diễn dữ liệu gene (Yeung et al., 2003; Eisen at al., 1998). Dữ
liệu biểu diễn gene là một tâp hợp các phép đo được lấy từ DNA microarray
(còn gọi là DNA chip hay gene chip) là một tấm thủy tinh hoặc nhựa trên đó
có gắn các đoạn DNA thành các hàng siêu nhỏ. Các nhà nghiên cứu sử dụng
các con chip như vậy để sàng lọc các mẫu sinh học nhằm kiểm tra sự có mặt
hàng loạt trình tự cùng một lúc. Các đoạn DNA gắn trên chip được gọi là
probe (mẫu dò). Trên mỗi điểm của chip có hàng ngàn phân tử probe với trình
tự giống nhau. Một tập hợp dữ liệu biểu diễn gene có thể được biểu diễn
thành một ma trận giá trị thực :

 x11

x
D   21



x
 n1

x12  x1d 

x 22  x 2 d 
,
   

x n 2  x nd 

Trong đó :
- n là số lượng các gen
- d là số lượng mẫu hay điều kiện thử
- xij là thước đo biểu diễn mức gen i trong mẫu j


-8-

-9-

Bởi vì các biểu ma trận gốc chứa nhiễu, giá trị sai lệch, hệ thống biến thể,
do đó tiền xử lý là đòi hỏi cần thiết trước khi thực hiện phân cụm.

điều kiện những người có nguy cơ nghèo.
1.2.3 Phân cụm dữ liệu đối với hoạt đông nghiên cứu thị trường
Trong nghiên cứu thị trường, phân cụm dữ liệu được sử dụng để phân
đoạn thị trường và xác định mục tiêu thị trường (Chrisoppher, 1969;
Saunders, 1980, Frank and Green, 1968). Trong phân đoạn thị trường, phân

Khai phá dữ liệu

Khai phá dữ liệu trực tiếp
Khai phá dữ liệu gián tiếp

được sử dụng để xác định các nhóm dân cư bị rủi ro do phát triển y tế và các

Phân loại
Ước lượng
Dự đoán

Phân cụm
Luật kết hợp
Diễn giải và trực quan hóa

cụm dữ liệu thường được dùng để phân chia thị trường thành nhưng cụm
mang ý nghĩa, chẳng han như chia ra đối tượng nam giới từ 21-30 tuổi và
nam giới ngoài 51 tuổi, đối tượng nam giới ngoài 51 tuổi thường không có
khuynh hướng mua các sản phẩm mới.
1.2.4 Phân cụm dữ liệu đối với hoạt động Phân đoạn ảnh
Phân đoạn ảnh là việc phân tích mức xám hay mầu của ảnh thành các
lát đồng nhất (Comaniciu and Meer, 2002). Trong phân đoạn ảnh, phân cụm
dữ liệu thường được sử dụng để phát hiện biên của đối tượng trong ảnh.
Phân cụm dữ liệu là một công cụ thiết yếu của khai phá dữ liệu, khai
phá dữ liệu là quá trình khám phá và phân tích một khối lượng lớn dữ liệu để

Hình 1 Tác vụ của Khai phá dữ liệu

lấy được các thông tin hữu ích (Berry and Linoff, 2000). Phân cụm dữ liệu
cũng là một vấn đề cơ bản trong nhận dạng mẫu (pattern recognition). Hình

Dữ liệu biểu diễn gen có thể được phân cụm theo hai cách. Cách thứ nhất
là nhóm các các mẫu gen giống nhau, ví dụ như gom các dòng của ma trận D.
Cách khác là nhóm các mẫu khác nhau trên các hồ sơ tương ứng, ví dụ như

1.1 đưa ra một danh sách giản lược các tác vụ đa dạng của khai phá dữ liệu và

gom các cột của ma trận D.

lượng lớn dữ liệu thông qua phương tiện tự động hay bán tự động (Berry and

1.2.2 Phân cụm dữ liệu phục trong sức khỏe tâm lý
Phân cụm dữ liệu áp dụng trong nhiều lĩnh vực sức khỏe tâm lý, bao
gồm cả việc thúc đẩy và duy trì sức khỏe, cải thiện cho hệ thống chăm sóc sức
khỏe, và công tác phòng chống bệnh tật và người khuyết tật (Clatworthy et

Linoff, 2000). Trong khai phá dữ liệu gián tiếp, không có biến nào được chọn
ra như một biến đích, và mục tiêu là để khám phá ra một vài mối quan hệ
giữa tất cả các biến. Trong khi đó đối với khai phá dữ liệu gián tiếp một vài
biến lại được chọn ra như các biến đích. Phân cụm dữ liệu là khai phá dữ liệu

al., 2005). Trong sự phát triển hệ thống chăm sóc sức khỏe, phân cụm dữ liệu
được sử dụng để xác định các nhóm của người dân mà có thể được hưởng lợi

gián tiếp, bởi vì trong khai phá dữ liệu, ta không đảm bảo chắc chắn chính xác
cụm dữ liệu mà chúng ta đang tìm kiếm, đóng vai trò gì trong việc hình thành
các cụm dữ liệu đó, và nó làm như thế nào.
Vấn đề phân cụm dữ liệu đã được quan tâm một cách rộng rãi, mặc dù

từ các dịch vụ cụ thể (Hodges và Wotring, 2000). Trong thúc đẩy y tế, nhóm

phân tích được sử dụng để lựa chọn nhắm mục tiêu vào nhóm sẽ có khả năng
đem lại lợi ích cho sức khỏe cụ thể từ các chiến dịch quảng bá và tạo điều
kiện thuận lợi cho sự phát triển của quảng cáo. Ngoài ra, phân cụm dữ liệu

chứng tỏ vai trò của phân cụm dữ liệu trong khai phá dữ liệu.
Nhìn chung, Thông tin hữu dụng có thể được khám phá từ một khối

chưa có định nghĩa đồng bộ về phân cụm dữ liệu và có thể sẽ không bao giờ
là một và đi đến thống nhất.(Estivill-Castro,2002; Dubes, 1987; Fraley and
Raftery, 1998). Nói một cách đại khái là : Phân cụm dữ liệu, có nghĩa là ta


-10-

-11-

Kiểu dữ liệu

cho một tập dữ liệu và một phương pháp tương tự, chúng ta nhóm dữ liệu lại
chẳng hạn như điểm dữ liệu trong cùng một nhóm giống nhau và điểm dữ liệu

Rời rạc

trong các nhóm khác nhau về sự không đồng dạng. Rõ ràng là vấn đề này
được bắt gặp trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như khai phá văn bản, biểu
diễn gen, phân loại khách hàng, xử lý ảnh…

Liên tục

Danh nghĩa

Nhị phân

2. Một số kiểu dữ liệu
Thuật toán phân cụm dữ liệu có nhất rất nhiều liên kết với các loại dữ
liệu. Vì vậy, sự hiểu biết về quy mô, bình thường hoá, và gần nhau là rất quan
trọng trong việc giải thích các kết quả của thuật toán phân cụm dữ liệu. Kiểu
dữ liệu nói đến mức độ lượng tử hóa trong dữ liệu (Jain và Dubes, 1988;

Đối xứng

Bất đối xứng

Hình 2. Biểu đồ các dạng dữ liệu

Anderberg, 1973) - một thuộc tính duy nhất có thể được gõ như nhị phân, rời

Quy mô dữ liệu

rạc, hoặc liên tục. thuộc tính nhị phân có chính xác hai giá trị, như là đúng
hoặc sai. Thuộc tính rời rạc có một số hữu hạn các giá trị có thể, vì thế các
loại nhị phân là một trường hợp đặc biệt của các loại rời rạc (xem hình 2).
Dữ liệu quy mô, mà chỉ ra tầm quan trọng tương đối của các con số,
cũng là một vấn đề quan trọng trong phân cụm dữ liệu. Vậy liệu có thể được
chia thành quy mô định lượng và quy mô định tính. quy mô định lượng bao
gồm quy mô danh nghĩa và quy mô giới hạn; quy mô định tính bao gồm quy

Định lượng

Danh nghĩa

Giới hạn

mô khoảng và quy mô khoảng tỷ lệ (hình 3). các kiểu dữ liệu sẽ được xem xét
trong phần này .
2.1 Dữ liệu Categorical
Thuộc tính Categorical cũng được gọi là thuộc tính danh nghĩa, thuộc
tính này đơn giản là sử dụng như tên, chẳng hạn như các thương hiệu xe và

Định tính

Tỷ lệ

Hình 3. Biểu đồ quy mô dữ liệu
Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu các bảng biểu tượng và bảng tần
số và ký hiệu một số bộ dữ liệu Categorical.
Bảng 1 Mẫu ví dụ của tập dữ liệu Categorical

tên của các chi nhánh ngân hàng. Chúng ta xem xét các dữ liệu tập hợp với

Bản ghi

một số hữu hạn các điểm dữ liệu, một thuộc tính trên danh nghĩa của các điểm

x1

(A, A, A, A, B, B)

dữ liệu trong tập dữ liệu có thể chỉ có một số hữu hạn các giá trị; như vậy, các

x2

(A, A, A, A, C, D)

x3

(A, A, A, A, D, C)

x4

(B, B, C, C, D, C)

x5

(B, B, D, D, C, D)

loại danh nghĩa cũng là một trường hợp đặc biệt của kiểu rời rạc.

Khoảng

Giá trị

Cho D  x1 , x 2  , x n  là một tập dữ liệu tuyệt đối với khoảng cách
n, được mô tả bởi d thuộc tính Categorical v1, v2,…vd. Đặt DOM(vj) thuộc


-12-

-13-

miền thuộc tính vj . Trong tập dữ liệu Categorical đã cho trong bảng 2.1, ví dụ

Nơi xj là giá trị bộ phận j của x

miền của v1 và v4 là DOM(v1) = {A, B} và DOM(v4) ={A, C, D}, tách biệt.

Đối với một bảng biểu tượng cho trước của bộ dữ liệu, bảng tần số của

Cho



một

tập

dữ

liệu



Categorical

D,

giả

sử

rằng

DOM v j   A j1 , A j 2 ,  , A jn j với j = 1, 2, … ,d. Gọi Ajl 1  l  n j là trạng
thái thuộc tính Categorical vj đã cho trong tập dữ liệu D. Một bảng Ts của tập
dữ liệu được định nghĩa
Ts = (s1, s2, … , sd),



(2.1)

Nơi sj (1  l  d ) là vecto định nghĩa là s j  A j1 , A j 2 ,, A jn j

.
T

Vì có nhiều trạng thái có thể là các giá trị (hoặc) cho một biến, một
bảng biểu tượng của một tập dữ liệu thường là không duy nhất. Ví dụ, đối với

mỗi cụm là duy nhất lên đến rằng bảng biểu tượng. Ví dụ, đối với bộ dữ liệu
trong bảng 2.1, cho C được một cụm, trong đó C = (x1, x2, x3). Sau đó, nếu sử
dụng các biểu tượng trình bày trong bảng 2 bảng tần số tương ứng cho các
nhóm C được cho trong bảng 2.4. Nhưng nếu sử dụng bảng biểu tượng trình
bày trong Bảng 2.3, sau đó là bảng tần số cho các nhóm C được cho trong
bảng 2.5.
Để có được bộ dữ liệu Categorical D, chúng ta thấy rằng Tf(D) là một
bảng tính toán tần số trên cơ sở dữ liệu toàn bộ thiết lập. Giả sử D là phân
vùng không chồng chéo vào k cụm C1, C2,..., Ck. Sau đó chúng ta có

bộ dữ liệu trong bảng 1, cả hai bảng 2 và Bảng 3 là bảng biểu tượng của nó.

Bảng tần số được tính theo một bảng biểu tượng và nó đã chính xác
cùng kích thước như bảng biểu tượng. Đặt C là một cụm. Sau đó, bảng tần số
Tf (C) của các cụm C được định nghĩa là

Tf C    f1 C , f 2 C , , f d C ,





T

i 1

(2.5)

Với tất cả r = 1, 2, … , nj và j = 1, 2, …d.

(2.2)

2.2 Dữ liệu nhị phân
Một thuộc tính nhị phân là một thuộc tính có hai giá trị chính xác nhất

(2.3)

có thể, chẳng hạn như "Đúng" hay "Sai" Lưu ý rằng các biến nhị phân có thể
được chia thành hai loại:. biến nhị phân Đối xứng và các biến nhị phân bất đối

Nơi f j C  là một vecto được định nghĩa
T f C   f j1 C , f j 2 C ,, f jn j C  ,

k

f jr D    f jr Ci 

Bảng 2. Một trong những bảng biểu tượng của bộ dữ liệu trong bảng 1

AA A A B B


BBC C C C

D D D D 


xứng. Trong một biến nhị phân đối xứng, hai giá trị có quan trọng không kém
nhau. Một ví dụ là "nam-nữ". Biến nhị phân đối xứng là một biến danh nghĩa.
Trong một biến không đối xứng, một trong những giá trị của nó mang tầm
quan trọng hơn biến khác . Ví dụ, "có" là viết tắt của sự hiện diện của một
thuộc tính nhất định và "không" nghĩa là sự vắng mặt của một thuộc tính nhất
định.
Một vecto nhị phân x với kích thước d được định nghĩa là (x1, x2,…,

Bảng 3 : Bảng biểu tượng của bộ dữ liệu trong bảng 1.

 AB D A B C 


 B AC C C B 


A D D D 


xd)(Zhang and Srihari 2003), nơi xi  0,11  i  d  là giá trị thành phần j của x.

Nơi fjr(C) (1  j  d ,1  r  n j ) là số điểm dữ liệu trong cụm C mà giá trị

Xét hai vecto nhị phân x và y trong không gian d, và cho S ij x, y 

Vecto khối nhị phân I của kích thước d là một vecto nhị phân với mỗi giá trị
nhập vào bằng 1. Việc bổ xung một vecto nhị phân x được định nghĩa là
xI x

Ajr tại mảng thứ j, v.v

f jr C   x  C : x j  A jr ,

(2.4)

, nơi I là một đơn vị vecto nhị phân có cùng kích thước như x.

i, j  0,1 biểu thị số lần xuất hiện của i trong x và j trong y tương ứng, ví dụ
Sij x, y   k : xk  i và yk  j , k  1,2,, d  .
(2.6)


-14-

-15-

Sau đó, rõ ràng chúng ta có đẳng thức sau :

một trường hợp đặc biệt của dữ liệu nhị phân. Ví dụ phổ biến nhất của dữ liệu
giao dịch là thị trường dữ liệu trong giỏ hàng. Trong một thị trường

d

S11 x, y   x. y   xi yi ,
i 1

_

_

(2.7a)

thiết lập dữ liệu trong giỏ hàng, giao dịch có chứa một tập hợp con của tập

(2.7b)

tổng số mặt hàng mà có thể được mua. Ví dụ, sau đây là hai giao dịch: (táo,
bánh), (táo, món ăn, trứng, cá,). Nói chung, nhiều giao dịch được thực hiện
các mục thưa thớt phân phối. Ví dụ, một khách hàng chỉ có thể mua một số

d

S00 x, y   x . y   1  xi 1  yi ,
i 1

d

_

S01 x, y   x . y   1  xi  yi ,

mặt hàng từ một cửa hàng với hàng nghìn mặt hàng. Như đã chỉ ra bởi Wang
et al. (1999a), cho các giao dịch được thực hiện các mục thưa thớt phân phối,
cặp tương tự là không cần thiết, cũng không đủ để đánh giá xem một cụm
giao dịch là tương tự.

(2.7c)

i 1

_

d

S10 x, y   x. y   xi 1  yi ,
i 1

(2.7d)

Ta cũng có :

d  S 00  x, y   S 01  x, y   S10  x, y   S11  x, y .

(2.8)

Bảng 4: Bảng tính toán tần số từ bảng biểu tượng trong bảng 2

 3 3 3 311


0
0
0
0
1
1


 0 011


Bảng5: Bảng tính toán tần số từ bảng biểu tượng trong bảng 3

 3 0 0 311


 0 3 0 011
 3 011


2.3 Dữ liệu giao dịch
Cho một tập hợp các phần tử I = (I1, I2,. . . , Im), một giao dịch là một
tập hợp con của I (Yang et al, 2002b.; Wang et al, 1999a.; Xiao và Dunham,
2001). Một tập dữ liệu giao dịch là một tập hợp các giao dịch, ví dụ
D  t i : t i  I , i  1,2,  n. . Giao dịch có thể được đại diện bởi vector nhị phân,

trong đó mỗi mục biểu thị các có hay không có mục tương ứng. Ví dụ, chúng
ta có thể đại diện cho một giao dịch ti do véc tơ nhị phân (bi1, bi2,.., bim.), nơi
bij = 1 nếu IJ ∈ ti và bij = 0 nếu Ij  ti. Từ điểm này, các dữ liệu giao dịch là

2.4 Dữ liệu Symbolic
Dữ liệu Categorical và dữ liệu nhị phân là loại dữ liệu cổ điển, và dữ
liệu symbolic là một phần mở rộng của các kiểu dữ liệu cổ điển. Trong bộ dữ
liệu thông thường, các đối tượng đang được coi là cá nhân (lần đầu các đối
tượng tự) (Malerba et al, 2001.), trong khi đó tại tập dữ liệu symbolic , các đối
tượng là nhiều hơn "thống nhất" do có nghĩa là các mối quan hệ. Như vậy, các
dữ liệu symbolic được nhiều hơn hoặc ít hơn đồng nhất hoặc các nhóm của
các cá nhân (thứ hai đối tượng tự)
(Malerba et al, 2001.). Malerba et al. (2001) được xác định một dữ liệu
symbolic được thiết lập để một lớp hoặc nhóm của các cá nhân mô tả bởi một
số thiết lập giá trị hoặc biến phương thức. Biến A được gọi là giá trị thiết lập
nếu nó đóng vai trò giá trị của nó trong thiết lập miền của nó. Một biến
phương thức là một thiết lập giá trị biến với một biện pháp hoặc phân phối
một (tần số, xác suất, hoặc trọng lượng) kết hợp với mỗi đối tượng.
Gowda và Diday (1992) tóm tắt sự khác biệt giữa dữ liệu symbolic và
dữ liệu thông thường như sau:
• Tất cả các đối tượng trong một dữ liệu symbolic có thể không được
định nghĩa về các biến tương tự.
• Mỗi biến có thể mất nhiều hơn một giá trị hoặc thậm chí khoảng một
giá trị.
• Các biến trong một dữ liệu symbolic phức tạp có thể mất giá trị bao
gồm một hoặc nhiều đối tượng cơ bản.


-16-

-17Để thuận tiện hãy cho D*  x1* , x2* ,, xn*  biểu thị tập dữ liệu thô d-chiều.

• Các mô tả của một đối tượng tượng trưng có thể phụ thuộc vào mối
quan hệ hiện tại giữa các đối tượng khác.

Từ đó ma trận dữ liệu là một ma trân n x d được cho bởi

• Các giá trị các biến mất có thể cho thấy tần suất xuất hiện, khả năng
tương đối, mức độ quan trọng của các giá trị, vv.
Dữ liệu Symbolic có thể được tổng hợp từ các dữ liệu khác thường vì
lý do đó là riêng tư. Trong số liệu điều tra dân số, ví dụ, các dữ liệu được tạo
sẵn ở dạng tổng hợp để đảm bảo rằng các nhà phân tích dữ liệu không thể xác
định một cá nhân hay một doanh nghiệp duy nhất thành lập.
2.5 Chuỗi thời gian(Time Series)
Chuỗi thời gian là những hình thức đơn giản nhất của dữ liệu tạm thời.
Chính xác, một chuỗi thời gian là một chuỗi của số thực đại diện cho các phép
đo của một biến thực tế tại các khoảng thời gian bằng (Gunopulos và Das,
2000). Ví dụ, giá cổ phiếu các phong trào, nhiệt độ tại một điểm nào đó, và
khối lượng bán hàng theo thời gian tất cả đo là các chuỗi thời gian.
Một chuỗi thời gian là rời rạc nếu biến được xác định trên một tập hữu
hạn các điểm thời gian. Nhiều nhất của chuỗi thời gian gặp phải trong phân
tích cụm là thời gian rời rạc. Khi một biến được định nghĩa ở tất cả các điểm
trong thời gian, sau đó là chuỗi thời gian là liên tục.
Nói chung, một chuỗi thời gian có thể được coi là một hỗn hợp của bốn
thành phần sau (Kendall và Ord, 1990):
1. Một xu hướng, ví dụ., các phong trào lâu dài;
2. Biến động về xu hướng đều đặn hơn hoặc ít hơn;
3. Một thành phần theo mùa;
4. Một hiệu ứng dư hoặc ngẫu nhiên.
3. Phép biến đổi và chuẩn hóa dữ liệu

Trong nhiều ứng dụng của phân cụm dữ liệu, dữ liệu thô, hoặc đo đạc
thực tế, không được sử dụng trực tiếp, trừ khi một mô hình xác suất cho các
thế hệ khuôn mẫu có sẵn (Jain và Dubes, 1988). Việc chuẩn bị cho việc phân
cụm dữ liệu yêu cầu một số loại chuyển đổi, chẳng hạn như biến đổi và
chuẩn hóa dữ liệu. Một số phương pháp biến đổi dữ liệu thường được sử dụng
để phân cụm dữ liệu sẽ được thảo luận trong phần. Một số phương pháp
chuẩn hoá dữ liệu được trình bày trong Phần 4.1.

x , x ,, x 
*
1

* T
n

*
2

 x11*
 *
x
  21
 
 x*
 n1

x12*
*
x22


xn* 2

 x1*d 

 x2*d 
  
* 
 xnd


(4.1)

3.1 Phép chuẩn hóa dữ liệu
Chuẩn hoá làm cho dữ liệu giảm kích thước đi. Nó có ích để xác định
tiêu chuẩn hoá chỉ số. Sau chuẩn hóa, tất cả các kiến thức về vị trí và quy mô
của các dữ liệu gốc có thể bị mất. Nó là cần thiết để chuẩn hóa các biến trong
trường hợp các biện pháp không giống nhau, chẳng hạn như khoảng cách
Euclide, là nhạy cảm với những khác biệt trong độ lớn hoặc quy mô của các
biến đầu vào (Milligan và Cooper, 1988). Các phương pháp tiếp cận các
chuẩn hoá của các biến bản chất của hai loại: Chuẩn hóa toàn cục và chuẩn
hoá trong cụm.
Chuẩn hóa hóa toàn cục làm chuẩn các biến trên tất cả các yếu tố trong
các tập dữ liệu. Trong vòng-cụm tiêu chuẩn hoá dùng để chỉ tiêu chuẩn hóa
xảy ra trong các cụm biến mỗi ngày. Một số hình thức tiêu chuẩn hoá có thể
được sử dụng trong các chuẩn hóa toàn cục và chuẩn hóa trong phạm vi rất
tốt, nhưng một số hình thức chuẩn hoá chỉ có thể được sử dụng trong chuẩn
hoá toàn cục.
Không thể trực tiếp chuẩn hóa các biến trong các cụm trong phân cụm,
bởi vì các cụm không được biết trước khi chuẩn hóa. Để khắc phục khó khăn
này, khác phương pháp phải được thực hiện. Tổng thể và Klett (1972) đề xuất

một cách tiếp cận lặp rằng các cụm thu được đầu tiên dựa trên số ước lượng
tổng thể và sau đó sử dụng các cụm để giúp xác định các biến bên trong nhóm
chênh lệch đối với chuẩn hoá trong một phân cụm thứ hai.
Để chuẩn hóa dữ liệu thô được đưa ra trong phương trình (4,1), ta có
thể trừ một thước đo vị trí và phân chia một biện pháp quy mô cho mỗi biến.
Đó là,
xij 

xij*  L j
Mj

(4.2)


-18-

-19-

nơi xij biểu thị giá trị đã được chuẩn hóa, L j là vị trí đo, và M j là quy mô đo.
Chúng tôi có thể có được phương pháp tiêu chuẩn hoá khác nhau bằng

sẽ được được nhóm cho một cluster. Điều này tạo ra một kết quả phân nhóm
rất gây hiểu nhầm.

cách chọn khác nhau LJ và MJ trong phương trình (4,2). Một số phương pháp

Bảng 4.1 Một vài phép chuẩn hóa dữ liệu, nơi x *j , R *j và  *j được định nghĩa

chuẩn hoá nổi tiếng trung bình, tiêu chuẩn độ lệch, phạm vi, Huber của dự

trong biểu thức 4.3

toán, dự toán biweight Tukey's, và Andrew ước tính của sóng.

Tên

Lj

Lj

z-score

x *j

 *j

USTD

0

 *j

Maxium

0

max xij*

Mean

x *j

1

Bảng 4,1 cho một số hình thức tiêu chuẩn hoá, nơi x *j , R *j và  *j , có
nghĩa là, phạm vi, và độ lệch chuẩn của biến thứ j, tương ứng, nghĩa là

x *j 

n

1
 xij*
n i 1

R*j  max xij*  min xij* ,
1i  n

1i  n

 1 n *

 ( xij  x *j )2 
 n  1 i 1

 *j  

(4.3a)

Median

(4.3b)

1
2

(4.3c)

Bây giờ chúng ta thảo luận về một số chi tiết các hình thức chung của
tiêu chuẩn hoá và thuộc tính .z-score là một hình thức của tiêu chuẩn hoá
được sử dụng để chuyển biến thể bình thường để tạo điểm chuẩn. Cho một tập
hợp các dữ liệu thô D*, các Z-score công thức chuẩn được định nghĩa là

 

xij  Z1 xij* 

(4.4)

Nơi x ,  có nghĩa là các mẫu và độ lệch chuẩn của các thuộc tính thứ
*
j

nếu n là lẻ


1 *
 xn  x*n  2  nếu n là chẵn
j
2  2 j
2



1

0

x

Sum

n

*
ij

i 1

min xij*

Range

1i  n

R *j

Chuẩn hóa USTD (Độ lệch chuẩn các trọng không chính xác) cũng
tương tự như chuẩn hoá điểm z-score và được định nghĩa là

xij*  x *j

 *j

x

*
n 1
j
2

1 i  n

*
j

j, tương ứng.
Biến đổi sẽ có một ý nghĩa của 0 và phương sai một trong số 1. Vị trí
quy mô và thông tin của biến gốc đã bị mất. Chuyển đổi này cũng là trình bày
trong (Jain và Dubes, 1988, trang 24). Một điều quan trọng hạn chế của chuẩn
hóa Z1 là nó phải được áp dụng trong tiêu chuẩn toàn cầu và không ở trong
phạm vi-cụm tiêu chuẩn hoá (Milligan và Cooper, 1988). Trong thực tế, hãy
xem xét trường hợp hai cụm tách ra cũng tồn tại trong các dữ liệu. Nếu một
mẫu có vị trí mỗi hai cụm trung tâm, sau đó trong vòng-cụm chuẩn sẽ chuẩn
hóa các mẫu nằm tại cụm trung tâm về không vectơ. Bất kỳ thuật toán
clustering sẽ nhóm hai số không vectơ với nhau, có nghĩa là hai nguyên mẫu

 

xij  Z 2 xij* 

xij*

 *j

(4.5)

Nơi  *j được định nghĩa trong biểu thức (4.3c)
Biến đổi bởi Z2 sẽ có một phương sai của 1. Kể từ khi có điểm số
không được trung tâm bằng cách trừ đi có nghĩa là, các thông tin vị trí giữa
các điểm vẫn còn. Như vậy, chuẩn hóa Z2 sẽ không phải chịu những vấn đề
của sự mất thông tin về các Cụm centroids.
Phương pháp chuẩn hoá thứ ba trình bày trong Milligan và Cooper
(1988) là sử dụng điểm tối đa về biến:

 

xij  Z 3 xij* 

xij*
max xij*
1i  n

(4.6)


-20-

-21-

Một X biến đổi bởi Z3 sẽ có một ý nghĩa
X

max( X )

X
và độ lệch chuẩn
max( X )

, nơi X và  X là trung bình và độ lệch chuẩn của biến gốc. Z3 là nhạy

cảm với sự hiện diện của Outliers (Milligan và Cooper, 1988). Nếu một đơn
lớn quan sát trên một biến được trình bày, Z3 sẽ chuẩn hóa các giá trị còn lại
để gần 0. Z3 có vẻ là có ý nghĩa chỉ khi biến này là một biện pháp trong một
phạm vi tỷ lệ (Milligan và Cooper, 1988).
Hai quy chuẩn có liên quan đến việc sử dụng phạm vi của biến đã được
trình bày trong (Milligan và Cooper, 1988):

 

xij  Z 4 xij* 

 

xij  Z 5 xij* 

xij*

(4.7a)

R*j
xij*  min xij*
1i  n

R *j

(4.7b)

,

Nơi R là phạm vi thuộc tính thứ j được định nghĩa trong biểu thức
*
j

(4.3b)
Một biến X biến đổi bởi Z4 và Z5 sẽ có nghĩa là

X
và
max( X )  min( X )

X
X  min( X )
, tương ứng, và có cùng độ lệch chuẩn
. Cả
max( X )  min( X )
max( X )  min( X )

hai Z4 và Z5 dễ phải sự hiện diện của Outliers.
Một tiêu chuẩn hoá trên cơ sở bình thường hóa với tổng của các quan
sát trình bày trong (Milligan và Cooper, 1988) được định nghĩa là

 

xij  Z 6 xij* 

xij*
n

x

,

(4.8)

*
ij

Một cách tiếp cận rất khác nhau của chuẩn hoá mà bao gồm việc
chuyển đổi các điểm đến đánh giá cao được trình bày trong (Milligan và
Cooper, 1988) và được định nghĩa là

 

 

xij  Z 7 xij*  Rank xij* ,

(4.9)

Nơi Rank(X) là cấp chỉ định cho X
Một biến chuyển bởi Z7 sẽ có một ý nghĩa của
của n  1



n 1
và một phương sai
2

2n  1 n  1 

 . Việc chuyển đổi cấp bậc làm giảm tác động của
6
4 

Outliers trong dữ liệu.
Conover và Iman (1981) đề xuất bốn loại chuyển đổi cấp bậc.
Hạng nhất chuyển đổi trình bày được xếp hạng từ nhỏ đến lớn nhất, với điểm
số nhỏ nhất có hạng nhất, điểm thứ hai nhỏ nhất có thứ hạng hai, vv. Cấp bậc
trung bình được chỉ định trong trường hợp quan hệ.
3.2 Biến đổi dữ liệu
Biến đổi Dữ liệu có gì đó để làm gì với dữ liệu chuẩn hoá, nhưng nó là
phức tạp hơn hơn so với chuẩn hoá dữ liệu. Chuẩn hoá dữ liệu tập trung vào
các biến, nhưng Biến đổi dữ liệu tập trung vào các dữ liệu toàn bộ thiết lập.
Theo Chuẩn hoá dữ liệu như vậy, có thể được được xem như là một trường
hợp đặc biệt của Biến đổi dữ liệu i. Trong phần này, trình bày một số dữ liệu
kỹ thuật Biến đổi có thể được sử dụng trong phân cụm dữ liệu.
3.2.1 Phân tích thành phần chính
Mục đích chính của phân tích thành phần chính (PCA) (Ding và He,
2004; Jolliffe, 2002) là giảm chiều cao của một chiều đặt dữ liệu bao gồm một
lượng lớn số biến tương quan và đồng thời giữ lại càng nhiều càng tốt của
biến đổi hiện diện trong tập dữ liệu. Các thành phần chính (PC) là các biến

Các Z6 chuyển đổi sẽ bình thường hóa tổng giá trị chuyển thành sự

mới được không tương quan và ra lệnh như vậy là người đầu tiên giữ lại vài
phần lớn các biến thể hiện diện trong tất cả các bản gốc biến.

1
. Như vậy, có nghĩa là sẽ được
n

Các PC được định nghĩa như sau. Cho v  v1 , v 2 ,, v d  là một vectơ của

i 1

thống nhất và các chuyển có nghĩa là sẽ có
liên tục trên tất cả các biến.

d ngẫu nhiên biến, nơi ’ là hoạt động transpose. Bước đầu tiên là tìm một
hàm tuyến tính một a1v của các yếu tố của v có tối đa các phương sai, mà a1 là
một vectơ d-chiều a11 , a12 ,  , a1d  do đó,


-22-

-23a1 là vecto đặc trưng đồng vị với giá trị riêng lớn nhất của

d

a1 ' v   a1i vi
i 1

Sau khi tìm a1v, a2 v,, aj 1v , chúng tôi tìm một hàm tuyến tính aj v không
tương quan với a1v, a2 v,, aj 1v và có phương sai tối đa. Sau đó chúng ta sẽ tìm
thấy d chức năng như vậy tuyến tính sau khi bước d. Biến bắt nguồn thứ j
PC . Nhìn chung, hầu hết các biến thể trong v sẽ được chiếm bởi các PC vài
lần đầu tiên.
Để tìm mẫu của PC, chúng ta cần phải biết ma trận hiệp phương sai




của v Trong hầu hết các trường hợp thực tế, ma trận hiệp phương sai
chưa được biết, và nó sẽ được thay thế bằng một mẫu

ma trận hiệp phương sai . Đối với j = 1, 2,. . . , d, nó có thể được cho thấy thứ
j PC được cho bởi zj = aj v , nơi aj là một eigenvector của





. Trong

thực tế nó có thể được biểu diễn là một PC thứ j là aj v , nơi aj là một vecto
đặc trưng của tương ứng với thứ j lớn nhất giá trị riêng  j (Jolliffe, 2002).
Trong (Dinh và He, 2004), PCA là làm việc để giảm chiều của dữ liệu
thiết lập và sau đó thuật toán K-means được áp dụng trong không gian con
PCA.
Các ví dụ khác của PCA áp dụng trong phân tích cụm dữ liệu có thể
được tìm thấy trong (Yeung và Ruzzo, 2001). Trình diễn PCA là tương đương
với giá trị thực hiện phân hủy từ (SVD) trên các hiệp phương sai ma trận của

dữ liệu. ORCLUS sử dụng SVD (Kanth et al, 1998) kỹ thuật. Để tìm hiểu tùy
tiện theo định hướng không gian con với phân cụm dữ liệu tốt.

tương ứng với

3.2.2 SVD
SVD là một kỹ thuật mạnh mẽ trong tính toán ma trận và phân tích,

Trong thực tế, ở bước đầu tiên, z1 = aj v có thể tìm thấy bằng cách giải

chẳng hạn như việc giải quyết các hệ thống phương trình tuyến tính và xấp xỉ
ma trận. SVD cũng là một kỹ thuật nổi tiếng chiếu tuyến tính và đã được sử
dụng rộng rãi trong nén dữ liệu và ảo (Andrews và Patterson, 1976a, b). trong
mục này, phương pháp SVD là phương pháp tóm tắt.

các thứ giá trị j lớn nhất λj.
quyết tối ưu hoá vấn đề sau đây:
Maximize var a1v  a1a  1 ,
Nơi var a1v  được tính như sau

Cho D  x1 , x2 ,, xn  là một số dữ liệu được đặt trong một không

 

var a1' v  a1'  a1

Để giải quyết vấn đề tối ưu hóa ở trên, các kỹ thuật của nhân đấu
Lagrange có thể được sử dụng. Cho λ là một số nhân Lagrange. Ta muốn tối
đa hóa





'
1

(4.10)

Phương trình khác(4.10) với a1, chúng ta có

 a1  a1  0



 I d a1  0

Nơi Id là ma trận nhận dạng d x d
Vì

 là giá trị riêng của 

X  xij nd ,

Nơi xij giá trị thành phần của xi

a  a1   a a  1 .
'
1

gian d-chiều. Sau đó, D có thể được đại diện bởi một n x n ma trận X là

và a1 là vecto đặc trưng đồng vị.
a1'  a1  a1' a1   ,

Cho   1 , 2 ,, d  là cột của X,
j 

1 n
 xij ,
n  1 i 1

j  1,2,, d ,

và để cho en là một vectơ cột của n chiều dài với tất cả các yếu tố tương
đương với nó. Sau đó, SVD thể hiện X  en  là,
X  en   USV T

(4.11)

trong đó U là một ma trận n × n trực giao, ví dụ, nghĩa là, UTU = I là
ma trận đơn vị. S là một ma trận chéo chứa các giá trị số ít, và V là một ma
trận unita d × d , ví dụ, VHV = I, nơi VH là ma trận chuyển vị liên hợp của V.


-24-

-25Cho D  x1 , x2 ,, xn  là một tập dữ liệu không gian d chiều, và X là

Các cột của ma trận V là vecto đặc trưng của ma trận hiệp phương sai

đồng vị ma trận d x d. nghĩa là X  xij nd với xij là giá trị j thành phân của xi.

C của X; chính xác
1
C  X T X   T   V V T
n

(4.12)

Kể từ khi C là ma trận chéo đối diện d × d, nó có d là số tự nhiên vecto
đặc trưng trực giao. Mà không mất tổng quát, để cho các giá trị riêng của C

xi i  1,2,, n  là vecto d chiều. Chúng có thể hiển thị không lỗi bằng

phép tính tổng vecto tuyến tính độc lập như
d

xi   yij Tj  yi T

giảm : λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λd. Hãy σj (j = 1,2 ,..., d) là độ lệch chuẩn của cột thứ j

j 1

hoặc X  Y T ,

của X, nghĩa là,
1 n
xij   j 2  .


n
 i 1


j 



 y1 
 
y 
Y   2 ,  1 ,2 ,,d 

 
y 
 d

của C là bất biến theo luân phiên, nghĩa là,



d

d

j 1

j 1

   2j   j

Chú ý rằng e X  n và e en  n từ phương trình (4.11) và (4.12),
T
n

T
n

(4.14)

nơi yi   yi1, yi 2,, yid , và

1
2

Các ma trận d × d cơ sở  và chúng ta biết thêm có thể cho rằng những
hàng  hình thức một bộ trực giao, nghĩa là,

chúng ta có
1
0

VS T SV T  VS TU TUSV T

i Tj  

  X  en    X  en  
T

hay  T  I dd ,

 X T X   T enT X  X T en    T enT en 

Nơi I d d là ma trận đơn vị I d d

 X T X  n T 

nVV T .

Sau đó , từ phương trình (4.14), bộ phận của yj có thể được tính toán

(4.13)

Kể từ khi V là một ma trận trực giao, từ phương trình (4,13), các giá trị
từ có liên quan đến các giá trị riêng bởi
s  n j ,
2
j

for i  j,
for i  j,

j  1,2,d .

Các vecto đặc trưng chiếm các máy tính của X, và các tính năng không
tương quan sẽ được thu được do chuyển đổi Y   X  en  V . PCA chọn các
tính năng với giá trị riêng cao nhất.
3.2.3 Phép biến đổi Karhunen-Loève
Các phép biến đổi Karhunen-Loève (KL) có liên quan với các giải thích
cấu trúc dữ liệu thông qua một số tuyến tính kết hợp của các biến. Giống như

PCA, phép biến đổi KL cũng là cách tối ưu cho dự án d- chiều điểm để giảm
điểm chiều sao cho sai số của dự án (tức là tổng của khoảng cách bình
phương (SSD)) là tối thiểu (Fukunaga, 1990).

bằng
yi  xi ,

i  1,2,, n,

hoặc
Y  X

Vì vậy, Y chỉ đơn giản là một biến đổi trực giao của X.  j được gọi là
véc tơ thứ j tính năng và yij là thành phần thứ j của mẫu xi trong không gian
tính năng này. Để giảm bớt chiều, chúng ta chỉ chọn m(mcó thể gần đúng X tốt. Xấp xỉ có thể được thu được bằng cách thay thế các
thành phần của yj với hằng chọn trước (Fukunaga, 1990, trang 402):
d

xˆi (m)   yij Tj 
j 1

d

b 

j  m 1

ij

T
j

,


-26-

-27-

 1T   mT 1 
  


Cho

hoặc xˆi (m)  Y (1, m)      ,

x

 x1   Ex1
 

T
T 
 ( x1T , , xnT )  EX  ,  EX n  )       
 xn   Exn 



nơi Y (1, m) là ma trận n x m có được bằng cột m đầu tiên của Y, có nghia
là Y(1, m)  yij nm , và một ma trận n  (m  d ) với (i, j) nhập từ bi,m+j.

(y

ij

j  m 1

n

n

 2 ( m)  

 bij ) Tj ,

2

n







 Ey

i 1 j  m 1

ij



(4.15)

Với mỗi lựa chọn điều kiện hằng số bij, Ta nhận được giá trị  2 ( m ) . Lựa
chọn tối ưu cho bij là một trong  ( m ) nhỏ nhất. Từ phương trình (4.15) Lựa
2

chọn tối ưu cho bij, là



 2
 (m)  2 Eyij  bij  0,
bij

Mà đã cho

T

T
j



i

T
j

i

i

n

i

j



 
T
j

T

i 1

d



 bij  .



n

j  m 1


T

2

d



    x  Ex  x  Ex 

j  m 1



 bij 

2

ij

X

i

i

i

i

j

j.

(4.16)

Nó có thể chỉ ra lựa chọn tối ưu thỏa mãn  j (Fukunaga,1990)



 E Tr (Y (m  1, d )  B)(Y (m  1, d )  B) )
d

d

  x  Ex  x  Ex 

i 1 j  m 1

bij  Eyij   Exi  j ,

hoặc
B  EY (m  1)m, d   E ( X )(m 1 , , d ).

X

 j   j j .

Do đó  j là vecto đặc trưng của

 E Tr (X (m)X T (m))

n

( xi  Exi ).

 Ey

i 1 j  m 1

cột của Y

Chú ý rằng X và X là các ma trận ngẫu nhiên, bởi vậy lỗi vuông xấp



T

i

Do đó  2 ( m ) có thể được viết lại như sau :

Nơi Y (m  1), d ) là ma trận n  (m  d ) được hình thành bởi cột cuối m-d

 2 (m)  E X (m)

i

i 1

 mT 1 


shoặc X (m)  (Y (m  1, d )  B)  ,
 T 
 d 

xr là



 ( x  EX )

Mà không mất tổng quát, chúng ta giả định rằng chỉ có các thành phần
m đầu tiên của mỗi yj được tính toán. Sau đó, các lỗi của các kết quả là xấp xỉ
xi (m)  xi  xˆi (m) 

x

T

 T    T 
 m  d 

d

 là ma trận hiệp phương sai của X, do đó chúng ta có
 ( X  EX ) ( X  EX )



.Do đó phương trình (4.16) trở

x

thành
 2 ( m) 

d



j  M 1

Từ ma trận hiệp phương sai của X,



x

j

là semidefinite đối diện, nó có

giá trị riêng d không âm. Nếu chúng tôi chọn vecto đặc trưng m tương ứng
với các giá trị riêng m lớn nhất, sau đó là lỗi vuông sẽ được giảm thiểu.


-28CHƢƠNG II
CÁC THUẬT TOÁN PHÂN CỤM DỮ LIỆU
1. Thuật toán phân cum dữ liệu dựa vào phân cụm phân cấp
1.1 Thuật toán BIRCH
Thuật toán phân cụm khác cho tập dữ liệu lớn, được gọi là BIRCH. Ý
tưởng của thuật toán là không cần lưu toàn bộ các đối tượng dữ liệu của các

-29hơn ngưỡng T, thì nút lá được tách. Quá trình lặp lại cho đến khi tất cả các đối
tượng trong cây chỉ được đọc một lần, để lưu toàn bộ cây CF trong bộ nhớ thì
cần phải điều chỉnh kích thước của cây CF thông qua điều chỉnh ngưỡng T.
Giai đoạn 2 : BIRCH lựa chọn một thuật toán phân cụm(như thuật toán
phân cụm phân hoạch) để thực hiện phân cụm cho các nút lá của cây CF

cụm trong bộ nhớ mà chỉ lưu các đại lượng thống kê. Thuật toán đưa ra hai
khái niệm mới để theo dõi các cụm hình thành , phân cụm đặc trưng là tóm tắt
thông tin về một cụm và cây phân cụm đặc trưng(cây CF) là cây cân bằng
được sử dụng lưu trữ cụm đặc trưng( được sử dụng để mô tả cụm tóm tắt).
Trước tiên được gọi là cụm đặc trưng, là một bộ ba(n, LS, SS), trong đó n là
số các điểm trong phân hoạch cụm con, LS là tổng số các giá trị thuộc tích và
SS là tổng bình phương của các điểm đó. Đặc trưng tiếp theo là cây CF, mà
đơn giản là cây cân bằng mà lưu bộ ba này. Có thể chứng mình rằng, các đại
lượng thống kê chuẩn, như là độ đo khoảng cách, có thể xác định từ cây CF.
Hình 4.10 dưới đây biểu thị một ví dụ về cây CF. Có thể thấy rừng, tất cả các
nút trong cây lưu tổng các đặc trưng cụm CF, các nút con, trong khi đó các
nút là lưu trữ các đặc trưng của các cụm dữ liệu.
Cây CF chứa các nút trong và nút là, nút trong là nút chứa các nút con

và nút lá thì không có con. Nút trong lưu trữ các tổng đặc trưng cụm(CF) của
các nút con của nó. Một cây (CF) được đặc trưng bởi hai tham số :
- Yếu tố nhánh (Braching Factor – B) : Nhằm xác định tối đa các nút
con của một nút lá trong của cây
- Ngưỡng(Threshold – T) : khoảng cách tối đa giữa bất kỳ một cặp đối
tượng trong nút lá của cây, khoảng cách này còn gọi là đường kính của các
cụm con được lưu tại các nút lá.

Hình 4.10 : Cây CF sử dụng trong BIRCH
Thuật toán BIRCH thực hiện qua các bƣớc cơ bản nhƣ sau :
1. Các đối tượng dữ liệu lần lượt được chèn vào cây C, sau khi chèn hết các
đối tượng thì thu được cây CF khởi tạo. Một đối tượng được chèn vào nút
là gần nhất tạo thành cụm con. Nếu đường kính của cụm con này lớn hơn T
thì nút lá được tách ra. Khi một đối tượng thích hợp được chèn vào nút lá,
tất cả các nút trỏ tới gốc của cây được cập nhật với thông tin cần thiết

Hai tham số này có ảnh hưởng đến kích thước của cây CF. thuật toán BIRCH
thực hiện gồm hai giai đoạn:
Giai đoạn 1 : BIRCH quét tất cả các đối tượng trong CSDL để xây
dựng cây CF khởi tọa, mà được lưu trữ trong bộ nhớ. Trong giai đoạn này ,

2. Nếu cây CF hiện thời không có đủ bộ nhớ trong khi tiến hành xây dựng
một cây CF nhỏ hơn: Kích thước của cây CF được điều khiển bởi tham số

các đối tượng lần lượt được chèn vào nút lá gần nhất của cây CF(nút lá của

cần yêu cầu đọc dữ liệu lại từ đầu nhưng vẫn đảm bảo hiệu chỉnh cây dữ

cây đóng vai trò là cụm con), sau khi chèn xong thì tất cả các nút trong cây
CF được cập nhật thông tin. Nếu đường kính của cụm con sau khi chèn là lớn

liệu nhỏ hơn.
3. Thực hiện phân cụm: Các nút lá cây CF lưu trữ các đại lượng thống kê

F và vì vậy việc chọn một giá trị lớn hơn cho nó sẽ hòa nhập một số cụm
con thành một cụm, điều này làm cho cây CF nhỏ hơn. Bước này không


-30-

-31-

của các cụm con. Trong bước này, BIRCH sử dụng các đại lượng thống kê

nằm rải rác trong cụm và sau đó “ co lại” hoặc di chuyển chúng về trung tâm

này để áp dụng một số kỹ thuật phân cụm, ví dụ K-means và tạo ra một

cụm bằng nhân tố co cụm. Quá trình này được lặp lại và như vậy trong quá

khởi tạo cho phân cụm.

trình này, có thể đo tỷ lệ gia tăng của cụm. Tại mỗi bước của thuật toán, hai

4. Phân phối lại các đối tượng dữ liệu bằng cách dùng các đối tượng trọng
tâm cho các cụm được khám phá từ bước 3: Đây là một bước tùy chọn để
duyệt lại tập dữ liệu và gán lại nhãn cho các đối tượng dữ liệu tới các trọng

cụm có cặp các điểm đại diện gần nhau(mỗi điểm trong cặp thuộc về mỗi cụm
khác nhau) được hòa nhập

Như vậy, có nhiều hơn một điểm đại diện mỗi cụm cho phép CURE

tâm gần nhất. Bước này nhằm để gán nhãn cho các dữ liệu khởi tạo và loại
bỏ các đối tượng ngoại lai

khám phá được các cụm có hình dạng không phải là hình cầu. Việc co lại các
cụm có tác dụng làm giảm tác động của các phần tử ngoại lai. Như vậy, thuật
toán này có khả năng xử lý tốt trong trường hợp có các phần tử ngoại lại và
làm cho hiệu quả với những hình dạng không phải là hình cầu và kích thước

Với cấu trúc cây CF được sử dụng, BIRCH có tốc độ thực hiện PCDL
nhanh và có thể áp dụng đối với tập CDSL lớn, BIRCH cũng có hiệu quả khi
áp dụng với tập dữ liệu tăng trưởng theo thời gian. BIRCH thực hiện tính toán
khá tốt, độ phức tạp tính toán của BIRCH là tuyến tính tỷ lệ với số các đối
tượng, do BIRCH chỉ duyệt toàn bộ dữ liệu một lần với một lần quét thêm tùy

độ rộng biến đổi. Hơn nữa, nó tỷ lệ tốt với CSDL lớn mà không làm giảm
chất lượng phân cụm. Hình 3.14 dưới đây là ví dụ về quá trình xử lý của
CURE

chọn( thực hiện phân cụm lại các nút lá cây của CF), có thể được đo trong
thời gian O(n) với n là số đối tượng dữ liệu. thuật toán này kết hợp các cụm
gần nhau và xây dựng lại cây CF, tuy nhiên mỗi nút trong cây CF có thể chỉ
lưu trữ một số hữu hạn bởi kích thước của nó. BIRCH vẫn có một hạn chê :
thuật toán này có thể không xử lý tốt nếu các cụm không có hình dạng cầu,
bởi vì nó sử dụng khái niệm bán kính hoặc đường kính để kiểm soát ranh giới
các cụm và chất lượng của các cụm được khám phá không được tốt. Nếu
BIRCH sử dụng khoảng cách Eucle, nó thực hiện tốt chỉ với các dữ liệu số,
mặt khác tham số vào T có ảnh hưởng rất lớn tới kích thước tự nhiên của
cụm. Việc ép các đối tượng dữ lieeujlamf cho các đối tượng của cụm có thể là

đối tượng kết thúc của cụm khác, trong khi các đối tượng gần nhau có thể bị
hút bởi các cụm khác nếu chúng được biểu diễn cho thuật toán theo một thứ
tự khác. BIRCH không thích hợp với dữ liệu đa chiều.
1.2 Thuật toán CURE
Trong khi hầu hết các thuật toán thực hiện phân cụm với các cụm hình
cầu và kích thước tương tự, như vậy là không hiệu quả khi xuất hiện các phần
tử ngoại lai. Thuật toán này định nghĩa một số cố định các điểm đại diễn nằm
rải rác trong toàn bộ không gian dữ liệu và được chọn để mô tả các cụm được
hình thành. Các điểm này được tạo ra bởi trước hết lựa chọn các đối tượng

Hình 3.14 : Cụm dữ liệu khai phá bởi thuật toán CURE
Để xử lý được các CSDL lớn, CURE sử dụng ngẫu nhiên và phân
hoạch, một mẫu là được xác định ngẫu nhiên trước khi được phân hoạch, và
sau đó được tiến hành phân cụm trên mỗi phân hoạch, như vậy mỗi phân
hoạch là từng phần đã được phân cụm, các cụm thu hoạch, như vậy mỗi phân
hoach là từng phần đã được phân cụm, các cụm thu được lại được phân cụm
lần thứ hai để thu được các cụm con mong muốn, nhưng mẫu ngẫu nhiên
không nhất thiết đưa ra một mô tả tốt cho toàn bộ tập dữ liệu.


-32Thuật toán CURE đƣợc thực hiện qua các bƣớc cơ bản sau :

-33-

1. Chọn một mẫu ngẫu nhiên từ tập dữ liệu ban đầu.

1.4 Thuật toán DIANA
DIANA thực hiện đối lập với AGNES. DIANA bắt đầu với tất cả các

2. Phân hoạch mẫu này thành nhiều nhóm dữ liệu có kích thước

đối tượng dữ liệu được chứa trong một cụm lớn và chia tách lặp lại, theo phân

bằng nhau : ý tưởng ở đây là phân hoạch mẫu thành p nhóm dữ
liệu bằng nhau, kích thước của mỗi phân hoạch là n’/p(n’ là kích
thước mẫu).

loại giống nhau dựa trên luật, cho đến khi mỗi đối tượng dữ liệu của cụm lớn
được chia tách hết. Hình dang của cụm phân cấp cùng liên quan đế tiếp cận
top-down bắt đầu tại mức đỉnh nút gốc, với tất cả các đối tượng dữ liệu, trong

3. Phân cụm các điểm của mỗi nhóm : Thực hiện PCDL cho các
nhóm cho đến khi mỗi nhóm được phân thành n’/pq(với q>1).
4. Loại bỏ các phần tử ngoại lai : Trước hết, khi các cụm được hình
thành cho đến khi số các cụm giảm xuống một phần so với số các

một cụm, và duyệt xuống các nút lá dưới cùng nơi tất cả các đối tượng dữ
liệu từng cái được chứa trong cụm của chính mình.
Trong mỗi phương pháp của hai phương pháp, có thể số các cụm dẫn
tới các mức khác nhau trong phân cấp bằng cách duyệt lên hoặc xuống cây.

cụm ban đầu. Sau đó, trong trường hợp các phần tử ngoại lai được

Mỗi mức có thể khác nhau số các cụm và tất nhiên kết quả cũng khác nhau.

lấy mẫu cùng với quá trình pha khởi tạo mẫu dữ liệu, thuật toán
sẽ tự động loại bỏ các nhóm nhỏ
5. Phân cụm các cụm không gian : các đối tượng đại diện cho các

Một hạn chế lớn của cách tiếp cận này là các cụm được hòa nhập hoặc phân

chia một lần, không thể quay lại quyết định đó, cho dù hòa nhập hoặc phân

cụm di chuyển về hướng trung tâm cụm, nghĩa là chúng được

chia không phải là thích hợp ở mức đó
1.5 Thuật toán ROCK

thay thế bởi các đối tượng gần trung tâm hơn.
6. Đánh dấu dữ liệu với các nhãn tương ứng.
Độ phức tạp tính toán của thuật toán CURE là O(n2log(n)). CURE là
thuật toán tin cậy trong việc khám phá ra các cụm với hình thù bất kỳ và có
thể áp dụng tốt đối với dữ liệu có phần tử ngoại lai và trên các tập dữ liệu hai

--------Main module--------Procedure cluster(S,k)
Begin
1. link:=compute_links(S)
2. for each s  S do
3.
q[s]:= build_local heap(link, s)

chiều. Tuy nhiên, nó lại rất nhạy cảm với các tham số như số các đối tượng

4. Q:=build_global heap(S, q)

đại diện, tỉ lệ co của các phần tử đại diện.

5. while size(Q)> k do{
6.
w:= extract_max(Q)

1.3 Thuật toán ANGNES
Phương pháp phân hoạch ANGNES là kỹ thuật kiểu tích tụ. ANGNES
bắt đầu ở ngoài với mỗi đối tượng dữ liệu trong các cụm riêng lẻ. Các cụm
được hòa nhập theo một số loại của cơ sở luật, cho đến khi chỉ có một cụm ở
đỉnh của phân cấp, hoặc gặp điều kiện dừng. Hình dạng này của phân cụm

7.
8.

v:= max(q[u])
delete(Q, v)

phân cấp cũng liên quan đến tiếp cận bottom-up bắt đầu ở dưới với các nút lá
trong mỗi cụm riêng lẻ và duyệt lên trên phân cấp tới nút gốc, nơi tìm thấy

9.
w:= merge(u,v)
10. for each x  q[u]  q[v] do {
11.
link[x, w]:=link[x, u]+ link[x, v]
12.
delete(q[x], u); delete(q[x], v)

cụm đơn cuối cùng với tất cả các đối tượng dữ liệu được chứa trong cụm đó.

13.

insert(q[x], w, g(x, w); insert(q[x], w, g(x, w)

14.

15. }

update(Q, x, q[x])


-34-

16. insert(W, w, q[w]

-35Nó khắc phục được nhược điểm các phương pháp CURE và ROCK. Lý

17. deallocate(q[u]); deallocate(q[v])

do là CURE và lược đồ liên quan lờ đi thông tin về liên kết của các đối tượng

18. }

trong hai cụm khác nhau, trong khi ROCK lược đồ liên quan lờ đi thông tin

end

về gần nhau của hai cụm mà lại chú trọng quá về liên kết.
CURE sử dụng thuật toán phân hoạch đồ thị để phân cụm các đối tượng
dữ liệu vào trong một số lớn một cách tương đối nhỏ của các cụm con.

---------------------Compute_links Procedure------------Procedure compute_links(S)
Begin
1. Compute nbrlist[i] for every point i in S
2. Set link[i,j] to be zero all i,j
3. for i:=1 to n do {

4.
5.
6.
7.

N:= nbrlist[i]
for j:=1 to [N]-1 do
for 1:= j+1 to [N]-1 do
link[N[j], N[l]:=link[N[j], N[l]+1

8. }
End
1.6 Thuật toán Chameleon
Phương pháp Chameleon một cách tiếp cận khác trong việc sử dụng mô

Chameleon sử dụng thuật toán phân cụm phân cấp để tìm các cụm xác thực
bằng cách lặp nhiều lần kết hợp hoặc hòa nhập các cụm con. Để xác định các
cặp của nhiều cụm con tương tự, phải tính toán cả hai liên kết và gần nhau của
các cụm, đặc biệt các đặc trưng bên trong của các cụm đang được hòa nhập.
Như vậy, nó không phụ thuộc vào mô hình tĩnh và có thể từ động thích
nghi với đặc trưng bên trong của các cụm đang được hòa nhập. Nó có khả
năng hơn để khám phá các cụm có hình thù bất kỳ có chất lượng cao hơn
CURE và DBSCAN nhưng chi phí xử lý dữ liệu đa chiều phụ thuộc vào O(n2)
thời gian cho n các đối tượng trong trường hợp xấu nhất.
2. Thuật toán phân cụm dữ liệu mờ
Phân cụm dữ liệu mờ (FCM) là phương pháp phân cụm dữ liệu cho
phép mỗi điểm dữ liệu thuộc về hai hoặc nhiều cụm thông qua bậc thành viên.
Ruspini(1969) giới thiệu khái quát khái niệm phân hoạch mờ để mô tả cấu

hình động để xác định các cụm nào được hình thành. Bước đầu tiên của

trúc cụm của tập dữ liệu và đề xuất một thuật toán để tính toán tối ưu phân
hoạch mờ. Dunn(19730 mở rộng phương pháp phân cụm và đã phát triển

Chameleon là xây dựng một đồ thị mật độ thưa và sau đó ứng dụng một thuật

thuật toán phân cụm mờ. Ý tưởng của thuật toán là xây dựng một phương

toán phân hoạch đồ thị để PCDL với số lớn của các cụm con. Tiếp theo,
Chameleon thực hiện tích tụ phân cụm phân cấp, như AGNES, bằng hòa
nhập các cụm con nhỏ theo hai phép đo, mối quan hệ liên thông và mối quan

pháp phân cụm mờ dựa trên tối thiểu hóa hàm mục tiêu. Bezdek(1981) cải
tiến và tổng quát hóa hàm mục tiêu mờ bằng cách đưa ra trọng số mũ m để
xây dựng thuật toán phân cụm mờ Fuzzy C-means(FCM), và được chứng
minh độ hội tụ của các thuật toán là cực tiểu cục bộ.

hệ gần nhau của các nhóm con. Do đó, thuật toán không phụ thuộc vào người
sử dụng các tham số như K-means và có thể thích nghi.
Thuật toán này khảo sát mô hình động trong phân cụm phân cấp. Trong
đó, hai cụm được hòa nhập nêu giữa hai cụm có liên quan mật thiết tới quan
hệ kết và gần nhau của các đối tượng trong các cụm. Quá trình hòa nhập dễ
dàng khám phá các cụm tự nhiên và đồng nhất, ứng dụng cho tất cả các kiểu
dữ liệu miễn là hàm tương tự được xác định.

Thuật toán FCM đã được áp dụng thành công trong giải quyết một số
lớn các bài toán PCDL như trong nhận dạng mẫu, xử lý ảnh, y học,… Tuy
nhiên, nhược điểm lớn nhất của FCM là nhạy cảm với nhiễu và phần tử ngoại
lai trong dữ liệu, nghĩa là các trung tâm cụm có thể nằm xa so với trung tâm
thực của cụm. Đã có nhiều phương pháp đề xuất cải tiến cho nhược điểm trên

của thuật toán FCM bao gồm : phân cụm dựa trên xác suất (Kellet, 1993),


-36-

-37-

phân cụm nhiễu mờ ( Dave, 1991), phân cụm dựa trên toán tử Lp,

Chưa có quy tắc nào nhằm lựa chọn tham số m đảm bảo việc phân cụm

Norm(Kerten, 1999) và thuật toán Insensitive Fuzzy C-means( PCM ).

hiệu quả, thông thường chọn m = 2

2.1 Thuật toán FCM
Thuật toán FCM gồm một chuỗi các phép lặp qua lại giữa phương trình
(5) và (6). Như vậy FCM sử dụng phép lặp để tối ưu hàm mục tiêu, dựa trên
đo đạc độ tương tự có trọng số giưa xk và cụm trung tâm Vi, sau mỗi vòng

thuật toán K-means trong trường hợp số đối tượng của tập dữ liệu cần phân
cụm là rất lớn. Tóm lại, thuật toán phân cụm mờ FCM là một mở rộng của
thuật toán K-means nhằm để khám phá ra các cụm chồng lên nhau, tuy nhiên,

lặp, thuật toán tính toán và cập nhật phân tử ujk trong ma trân phân hoạch U.
Phép lặp sẽ dừng khi max ij u

k 1
ij



 u   , trong đó  là chuẩn kết thúc giữa 0
k
ij

và 1, trong khi k là các bước lặp. Thủ tục này hội tụ tới cực tiểu cục bộ hay
điểm yên ngựa của Jm(u, V). Thuật toán FCM tính toán ma trận phân hoạch U
và kích thước của các cụm để thu được các mô hình mờ từ ma trận này.

Độ phức tạp của thuật toán FCM tương đương với độ phức tạp của

FCM vẫn chứa đựng các nhược điểm của thuật toán K-means trong việc xử lý
đối với các phần tử ngoại lai và nhiễu trong dữ liệu. Thuật toán εFCM được
trình bày dưới đây là một mở rộng của thuật toán FCM nhằm khắc phục các
nhược điểm này.
2.2 Thuật toán εFCM

Output : c cụm dữ liệu sao cho hàm mục tiêu trong (1) đạt giá trị cực tiểu;

Input : Số cụm c và các tham số m, ε cho hàm mục tiêu J;
Output : Các cụm dữ liệu sao cho hàm mục tiêu trong (2) đạt giá trị cực
tiểu;

Begin
1. Nhập tham số c (1
Begin
1. Nhập tham số c(1

Các bƣớc thực hiện của thuật toán FCM nhƣ sau:
Input : Số cụm c và tham số mũ m cho hàm mục tiêu J;

 

V(0), thiết lập j = 0;

V  vij ,V ( 0)  R sxc , j  0;

2. Repeat
j:=j+1;
Tính ma trận phân hoạch mờ U(j)

2. Repeat
j:=j+1
Tính ma trận phân hoạch mờ U(j) theo công thức (5)

Cập nhật các trung tâm V ( j )  v1( j ) , v2( j ) ,..., vc( j ) 

Cập nhật các trung tâm V ( j )  v1( j ) , v2( j ) ,..., vc( j ) dựa vào (6) và U(j)



Until u ( j 1)  U ( j )

4.

Trình diễn các cụm kết quả;

F

3. Until u ( j 1)  U ( j ) F   ;



 ;

3.

4. Trình diễn các cụm kết quả;
End.

End

3. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào cụm trung tâm
Trong đó , * F là tiêu chuẩn Frobenious được định nghĩa như sau:
* F  Tr (UU T )  
u 2 và tham số  trước.
i
k ik
2

Việc chọn các tham số cụm rất ảnh hưởng đến kết quả phân cụm, tham
số này thường được chọn theo phép ngẫu nhiên hoặc theo Heuristic.
Đối với

m 1 thì thuật toán K-means trở thành thuật toán rõ. Đối với

m   thì thuật toán FCM trở thành thuật toán phân cụm mờ với : uik 

1
c

3.1 . Thuật toán K – means
K- means là thuật toán phân cụm mà định nghĩa các cụm bởi trung tâm
của các phương tử. Phương pháp này dựa trên độ đo khoảng cách của các đối
tượng dữ liệu trong cụm. Nó được xem như là trung tâm của cụm. Như vậy,
nó cần khởi tạo một tập trung tâm các trung tâm cụm ban đầu, và thông qua
đó nó lặp lại các bước gồm gán mỗi đối tượng tới cụm mà trung tầm gần, và
tính toán tại trung tâm của mỗi cụm trên cơ sở gán mới cho các đối tượng.
Quá trình này dừng khi các trung tâm hội tụ


-38-

-39-

Hình 3.2 : Các thiết lập để xác định danh giới các cụm ban đầu
Trong phương pháp K-means, chọn một giá trị k và sau đó chọn ngẫu
nhiên k trung tâm của các đối tượng dữ liệu. Tính toán khoảng cách giữa đối
tượng dữ liệu trung bình mỗi cùm để tìm kiếm phần tử nào là tương tự và
thêm vào cụm đó. Từ khoảng cách này có thể tính toán trung bình mới của
cụm và lặp lại quá trình cho đến khi mỗi các đối tượng dữ liệu là một bộ phận
của các cụm k

Hình 3.3 Tính toán trọng tâm của các cụm mới
Các bƣớc cơ bản của thuật toán K – means
Input : Số cụm k và các trọng tâm cụm m j  j 1
k

Output : các cụm C i  1  i  k  và hàm tiêu chuẩn E đạt giá trị tối thiểu.
Begin
Bƣớc 1 : Khởi tạo
Chọn k trọng tâm m j  j 1 ban đầu trong không gian Rd (d là số
k

Mục đích của thuật toán K-means là sinh k cụm dữ liệu {C1, C2,…, Ck}
từ một tập dữ liệu chứa n đối tượng trong không gian d chiều Xi = {xi1,
xi2,…xid}, i = 1  n, sao cho hàm tiêu chuẩn :
k

E   xC D 2  x  mi  đạt giá trị tối thiểu,
i 1

i

Trong đó : Mi là trọng tâm của cụm Ci, D là khoảng cách giữa hai đối tượng.
Trọng tâm của cụm là một vecto, trong đó giá trị của mỗi phần tử của
nó là trung cộng của các thành phần tương ứng của các đối tượng vecto dữ

chiều của dữ liệu). Việc lựa chọn này có thể là ngẫu nhiên hoặc theo kinh
nghiệm.
Bƣớc 2 : Tính toán khoảng cách
Đối với mỗi điểm X i 1  i  k  , tính toán khoảng cách của nó tới
mỗi trọng tâm m j 1  i  k  . Sau đó tìm trọng tâm gần nhất đối với điểm.
Bƣớc 3 : Cập nhật lại trọng tâm
Đối với mỗi 1  i  k  , cập nhật trọng tâm cụm mj bằng cách xác

liệu trong cụm đang xét. Tham số đầu vào của thuật toán là số cụm k, và tham
số đầu ra của thuật toán là các trọng tâm của các cụm dữ liệu. Độ đo khoảng

cách D giữa các đối tượng dữ liệu thường được sử dụng là khoảng cách
Euclide vì đây là mô hình khoảng cách nên dễ lấy đạo hàm và xác định các

định trung bình cộng các vecto đối tượng dữ liệu.

cực trị tối thiểu. Hàm tiêu chuẩn và độ đo khoảng cách có thể được xác định
cụ thể hơn tùy ý vào ứng dụng hoặc quan điểm của người dùng.

thay đổi.

Điều kiện dừng :
Lặp lại các bước 2 và 3 cho đến khi các trọng tâm của cụm không
End.


-40-

-41-

K- means biểu diễn các cụm bởi các trọng tâm của các đối tượng trong
cụm đó Thuật toán K-means chi tiết được trình bày :
BEGIN
1. Nhập n đối tượng dữ liệu
2. Nhập k cụm dữ liệu
3. MSE = 
4. For I = 1 to k do mi  X i(i1)*n/k  ; // khởi tạo k trọng tâm
5. Do {
6.

OldMSE = MSE

7. MSE’ = 0
8. for j = 1 to k do
9. {m’[j]=0; n’[j]=0}
10. End for

Hình 3.6 : Ví dụ hình dạng cụm dữ liệu sau khi phân cụm bằng K-means
Chất lượng của thuật toán K –mean phụ thuộc nhiều vào các tham số
đầu vào như : số cụm k, và k trọng tâm khởi tạo ban đầu. Trong trường hợp
các trọng tâm khởi tạo ban đầu mà quá lệch so với các trọng tâm cụm tự nhiên
thì kết quả phân cụm của K – means là rất thấp, nghĩa là các cụm dữ liệu được
khám phá rất lệch so với các cụm trong thực tế. Trên thực tế, chưa có một giải
pháp nào để chọn tham số đầu vào, giải pháp thường được sử dụng nhất là thử

11. For I =1 to n do
12. For j =1 to k do

nghiệm với các giá trị đầu vào , giải pháp thường được sử dụng nhất là thử
nghiệm với giá trị đầu vào k khác nhau rồi sau đó chọn giải pháp tốt nhất.

13. Tính toán khoảng cách Euclide bình phương :

3.2 Thuật toán PAM
Thuật toán PAM là thuật toán mở rộng của thuật toán K-means nhằm

D2(x[i]; m[j]
14. Endfor
15. Tìm trọng tâm gần nhất m[h] tới X[i]
16. m’[h] = m’[h] + X[i] ; n’[h] = n’[h]+1;
17. MSE’=MSE’ + D2(x[i]; m[j]

có khả năng xử lý hiệu quả đối với dữ liệu nhiễu hoặc phần tử ngoại lai,

18. Endfor
19. n[j] = max(n’[j], 1); m[j] = m’[j]/n[j];
20. MSE’=MSE’
21. } while (MSE’<=OldMSE)

tâm, trong khi đó các trọng tâm của thuật toán K – means lại rất bị tác động
bởi các điểm xa trung tâm này. Ban đầu, PAM khởi tạo k đối tượng medoid

END.
Trong đó :
- MSE : Sai số bình phương trung bình hay là hàm tiêu chuẩn
- D2(x[i]; m[j] : Khoảng cách Euclide từ đối tượng thứ i tới trọng tâm j;
- OldMSE m’[j], n’[j] : Biến tạm lưu giá trị cho trạng thái trung gian
cho các biến tương ứng

PAM sử dụng các đối tượng medoid để biểu diễn cho các cụm dữ liệu, một
đối tượng medoid là đối tượng đặt tại vị trí trung tâm nhất bên trong mỗi cụm.
Vì vậy, đối tượng medoid ít bị ảnh hưởng của các đối tượng ở rất xa trung

và phân phối các đối tượng còn lại vào các cụm với đối tượng medoid đại
diện tương ứng sao cho chúng tương tự đối với medoid trong cụm nhất.
Giả sử Oj là đối tượng không phải medoid mà Om là một đối tượng
medoid, khi đó ta nói Oj thuộc về cụm có đối tượng medoid là Om làm đại
diện nếu d(Oj, Om) = minOe(Oj, Oe); trong đó d(Oj, Om) là độ phi tương tự giữa
Oj và Oe, minOe là giá trị nhỏ nhất của độ phi tương tự giữa Oj và tất cả các
đối tượng medoid của các cụm dữ liệu. chất lượng của mỗi cụm được khám
phá được đánh giá thông qua độ phi tương tự trung bình giữa một đối tượng

và đối tượng medoid tương ứng với cụm của nó, nghĩa là chất lượng phân
cụm được đánh giá thông qua chất lượng của tất cả các đối tượng medoid. Độ


-42-

-43-

phi tương tự được xác định bằng độ đo khoảng cách, thuật toán PAM được áp

ra các đối tượng trung tâm medoid cho mẫu được trích ra từ dữ liệu này. Nếu

dụng cho dữ liệu không gian. Để xác định các medoid, PAM được áp dụng

mẫu dữ liệu được trích theo một cách ngẫu nhiên, thì các medoid của nó xấp

cho dữ liệu không gian. Để xác định các medoid, PAM bắt đầu bằng cách lựa

xỉ với các medoid của toàn bộ tập dữ liệu ban đầu. Để tiến tới một xấp xỉ tốt

chon k đối tượng medoid bất kỳ. Sau mỗi bước thực hiện , PAM cố gắng hoán
chuyển giữa đối tượng Medoid Om và một đối tượng Op, không phải là
medoid, miễn là sự hoán chuyển này nhằm cải tiến chất lượng của phân cụm,

hơn, CLARA đưa ra nhiều cách lấy mẫu và thực hiện phân cụm cho mỗi
trường hợp, sau đó tiến hành chọn kết quả phân cụm tốt nhất khi thực hiên
phân cụm trên mẫu này. Để đo chính xác, chất lượng của các cụm được đánh

quá trình này kết thúc khi chất lượng phân cụm không thay đổi. Chất lượng
phân cụm được đánh giá thông qua hàm tiêu chuẩn, chất lượng phân cụm tốt

nhất khi hàm tiêu chuẩn đạt giá trị tối thiểu.
PAM tính giá trị Cjmp cho tất cả các đối tượng Oj để làm căn cứ cho

giá thông qua độ phi tương tự trung bình của toàn bộ các đối tượng dữ liệu
trong tập đối tượng dữ liệu ban đầu. Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng, 5 mẫu
dữ liệu có kích thước 40 +2k cho kết quả tốt. Các bước thực hiện của thuật
toán CLARA :

việc hoán chuyển giữa Om và Op.

CLARA (5);

Om : là đối tượng medoid hiện thời cần được thay thế :
Op : là đối tượng medoid mới thay thế cho Om;
Oj : Là đối tượng dữ liệu ( Không phải medoid) có thể được di chuyển

BEGIN
1. For i = 1 to 5 do
2. Lấy một mẫu có 40 + 2k đối tượng dữ liệu ngẫu nhiên từ tập dữ liệu
và áp dụng thuật toán PAM cho mẫu dữ liệu này nhằm để tìm các đối

sang cụm khác;
Oj,2 : Là đối tượng medoid hiện thời gần đối tượng Oj nhất
Các bước thực hiện thuật toán PAM
Input : Tập dữ liệu có n phần tử, số cụm k.
Output : k cụm dữ liệu sao cho chất lượng phân hoạch là tốt nhất.
BEGIN
1. Chọn k đối tượng medoid bất kỳ;

tượng medoid đại diện cho các cụm.

3. Đối với mỗi tượng Oj trong tập dữ liệu ban đầu, xác định đối tượng
medoid tương tự nhất trong số k đối tượng medoid.
4. Tính đố phi tương tự trung bình cho phân hoạch các đối tượng thu
được ở bước trước, nếu giá rị này bé hơn giá trị tối thiểu hiện thời thì
sử dụng giá trị này thay cho giá trị tối thiểu ở trạng thái trước, như

2. Tính TCmp cho tất cả các cặp đối tượng Om, Op. Trong đó, Om là đối
tượng medoid và Op là đối tượng không phải medoid;
3. Chọn cặp đối tượng Om và Op. Tính MinOm, MinOp, TCmp, nếu TCmp
là âm thay thế Om bởi Op và quay lại bước 2. Nếu TCmp dương,
chuyển sang bước 4;
4. Với mỗi đối tượng không phải medoid, xác định đối tượng medoid
tương tự với nó nhất đồng thời gán nhãn cụm cho chúng.
END.
3.3 Thuật toán CLARA
Thuật toán CLARA được đưa ra nhằm khắc phục nhược điểm của thuật
toán PAM trong trường hợp giá trị k và n là lớn. CLARA tiến hành trích mẫu
cho tập dữ liệu có n phần tử, nó áp dụng thuật toán PAM cho mẫu này và tìm

vậy, tập k đối tượng medoid xác định ở bước này là tốt nhất cho đến
thời điểm này.
5. Quay về bước 1
END
Phương pháp medoid không hiệu quả với trường hợp tập dữ liệu lớn,
như vậy, phương pháp dựa trên mẫu được gọi là CLARA. Ở đây, một phần
nhỏ dữ liệu hiện thời được chọn như một đại diện của dữ liệu thay vì sử dụng
toàn bộ dữ liệu và sau đó medoid được chọn từ mẫu sử dụng PAM. Nếu mẫu
được chọn theo cách ngẫu nhiên thì nó có thể cần phải đại diện tập dữ liệu
gốc. Các đối tượng đại diện (medoids) được chọn là tương tự mà đã được
chọn từ tập dữ liệu. Nó đưa ra nhiều mẫu của tập dữ liệu, áp dụng PAM trên

-44-

-45-

mỗi mẫu, và trả lại cụm tốt nhất ở đầu ra, như vậy, CLARA có thể xử lý với

Giả sử P  R3 là một tập tất cả các điểm . Nói chung, các đối tượng ở đây là

tập dữ liệu lớn hơn PAM.

các đối tượng dữ liệu không gian và chúng ta định nghĩa tâm của một đối

3.4 Thuật toán CLARANS
CLARANS cũng sử dụng kiểu k-medoids , nó kết hợp thuật toán PAM
với chiến lược tìm kiếm kinh nghiệm mới. Ý tưởng cơ bản của CLARANS là
không xem xét tất cả các khả năng có thể thay thế các đối tượng tâm medoids

tượng chính là trung bình cộng toán học của tất cả các đỉnh hay còn gọi là

bới một đối tượng khác, nó ngay lập tức thay thế các đối tượng tâm này nếu
việc thay thế này có tác động tốt đến chất lượng phân cụm chứ không cần xác
định cách thay thế tối ưu nhất.
CLARANS lấy ngẫu nhiên một đối tượng của k đối tượng medoid

đây là khoảng cách Eucliean : dist : PxP  R0

trong tâm cụm và cố gắng thay thế nó với một đối tượng chọn ngẫu nhiên
trong (n-k) đối tượng còn lại. Cụm thu được sau khi thay thế đối tượng trung

tâm được gọi là một láng giềng của phân hoạch cụm trước đó. Số các láng
giềng được hạn chế bởi tham số do người dùng đưa vào là Maxneighbor, quá
trình lựa chọn các láng giềng này hoàn toàn ngẫu nhiên. Tham số Numlocal
cho phép người dùng xác định số vòng lặp tối ưu cục bộ được tìm kiếm.
Không phải tất cả các láng giếng được duyệt mà chỉ có Maxneighbor số láng
giềng được duyệt. Nếu một láng giềng tốt hơn được tìm thấy, thì CLARANS
di chuyển láng giềng đó tới nút và quá trình bắt đầu lặp lại; nếu không kết

trọng tâm :
center : O  P

Giả sử dist là một hàm khoảng cách, khoảng cách thường được chọn ở
Hàm khoảng cách dist có thể mở rộng cho các điểm của khối đa diện
thông

qua

hàm

tâm

dist : OxO  R0

:

Mỗi đối tượng được gán cho một tâm medoid của cụm nếu khoảng
cách từ trọng tâm của đối tượng đó tới tâm medoid của nó là nhỏ nhất. Vì vậy,
định

nghĩa

tâm

medoid

như

sau

:

medoid

: OM

chất lượng một phân hoạch được định nghĩa như sau : total_distance : C0  R0

Input : O,k, dist, numlocal và maxneighbor;’

CLARANS không thích hợp với tập dữ liệu lớn bởi vì nó lấy phần nhỏ
của toàn bộ tập dữ liệu và phần này được chọn để đại diện toàn bộ tập dữ liệu
và thực hiện sau đó. CLARANS không bị giới hạn không gian tìm kiếm như
đối với CLARA, và trong cùng một lượng thời gian thì chất lượng của các

Output : k cụm dữ liệu;
CLARANS(int k, function dist, int numlocal, int maxneighbor)

liệu sử dụng trong thuật toán CLARANS là các khối đa diện. Mỗi đối tượng
được diễn tả bằng một tập các cạnh, mỗi cạnh được xác định bằng hai điểm.

cho

một cụm tới tâm mediod mi tương ứng là một tập con các đối tượng trong O
với medoid(o) = mi
Giả sử C0 là tập tất cả các phân hoạch của O. Hàm tổng để đánh giá

cục bộ mới.

Giả sử O là một tập có n đối tượng và M  O là tập các đối tượng tâm

sao

medoid (o)  mi , mi  M , mi  M : dis(o, mi )  dist (o, m j ), o  O . Cuối cùng định nghĩa

sao cho total_distance(c)=  dist (o, mi ) với mi  M , o  cluster ( mi )

mediod, NM = O- M là tập các đố tượng không phải tâm. Các đối tượng dữ

cho

dist(oi , o j )  dist (center (oi ), center (o j ))

quả cụm hiện thời là tối ưu cục bộ. Nếu tối ưu cục bộ được tìm thấy, thì
CLARANS bắt đầu với lựa chọn nút ngẫu nhiên mới trong tìm kiếm tối ưu

cụm phân được là lớn hơn CLARA.
Một số khái niệm sử dụng trong thuật toán CLARANS được định nghĩa
như sau:

sao

Thuật toán chi tiết CLARANS :

BEGIN
For (i = 1 ; 1 <= numlocalk; i++{
current.creat_randomly(k);
j=1;
while (j <= maxneighbor) {
current.select_radom(old, new);
diff = current.caculate_distance_difference(old, new);
if (diff < 0){
current.exchange(old, new);


-46-

j = 1;
}
Else j++; //end if
} //end while
Dist = current.caculate_total_distance();
If (disr < smallest_dist) {
Best = current;
Smallest_dist= dist;
} // end if
}// end for

-47một chuỗi vài trong số dân hiện hành được lựa chọn và từng được phân công
một số bản sao, và sau đó một thế hệ mới của dây đang mang lại bằng cách áp
dụng chéo và đột biến để các chuỗi được chọn.

Nói chung, một GA điển hình có những năm thành phần cơ bản: mã
hóa, khởi tạo, lựa chọn, crossover, và đột biến. Mã hóa là phụ thuộc vào vấn
đề dưới xem xét. Trong giai đoạn khởi, dân số (set) của chuỗi sẽ được ngẫu
nhiên tạo ra. Sau giai đoạn khởi, có một lặp của các thế hệ. Số lượng của các
thế hệ được xác định bởi người sử dụng. Trong khí, chuỗi tốt nhất thu được
cho đến nay được lưu trữ trong một vị trí riêng biệt bên ngoài dân số và sản
lượng cuối cùng là chuỗi tốt nhất trong số tất cả có thể có chuỗi kiểm tra trong

END.

toàn bộ quá trình.

4. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào tìm kiếm

Murthy và Chowdhury (1996) đề xuất một GA trong một nỗ lực để đạt
được tối ưu giải pháp cho các vấn đề clustering. Trong thuật toán này, các

4.1 Thuật toán di truyền (GAS)
Thuật toán di truyền GAS lần đầu tiên được đề xuất bởi Holland (1975)
là một họ tính toán mô hình lấy cảm hứng từ tương tự của sự tiến hóa và di
truyền dân số. Gas vốn song song và đặc biệt thích hợp cho việc giải quyết
vấn đề tối ưu hóa phức tạp.Filho et al. (1994) trình bày một cuộc khảo sát của
khí cùng với một GA đơn giản viết bằng C ngôn ngữ.

chức năng đánh giá được xác định như là tổng của bình phương khoảng cách
Euclide của các điểm dữ liệu từ các cụm tương ứng của họ trung tâm. Ngoài
ra, đơn điểm chéo (Michalewicz, 1992), nghĩa là, các nhà điều hành chéo giữa
hai dây, được thực hiện tại một vị trí, và các chiến lược elitist, nghĩa là, các
chuỗi hay nhất được mang từ trước đến dân số kế tiếp, được sử dụng.
Tseng và Yang (2001) đề xuất một cách tiếp cận di truyền được gọi là

thuộc: các vấn đề mã hóa và chức năng đánh giá (ví dụ, khách quan chức

clustering đến tự động phân nhóm vấn đề. Clustering là phù hợp với phân
nhóm dữ liệu với nhỏ gọn cụm hình cầu, và số cụm có thể được kiểm soát

năng). Ngay cả đối với cùng một vấn đề, có thể sử dụng mã hóa khác nhau.

gián tiếp bởi một tham số w. Thuật toán sẽ sản xuất một số lượng lớn các cụm

Ví dụ, trong các k-có nghĩa là thuật toán di truyền, Krishna và Narasimha
(1999) làm việc string-of-group-số mã hóa, trong khi Maulik và
Bandyopadhyay (2000) được mã hóa các chuỗi sao cho mỗi chuỗi là một

nhỏ gọn với một giá trị nhỏ của w và nó sẽ sản xuất một số lượng nhỏ hơn của
cụm lỏng hơn với một giá trị lớn của w. A di truyền phân nhóm dựa trên thuật
toán nhằm tìm ra các cụm nonspherical đã được đề xuất bởi Tseng và Yang
(2000).

Thông thường, chỉ có hai thành phần chính của GAS được vấn đề phụ

chuỗi các thực số đại diện cho các trung tâm cụm.
Trong GAS, các tham số của không gian tìm kiếm được mã hoá trong
các hình thức gọi là chuỗi nhiễm sắc thể. AGA maintains dân (set) của N
chuỗi mã hoá cho một số dân số cố định kích thước N và tiến hóa qua các thế
hệ. Trong mỗi thế hệ, ba nhà khai thác di truyền, nghĩa là, tự nhiên, lựa chọn,
xuyên chéo , và đột biến, được áp dụng cho dân số hiện nay để sản xuất một
số dân mới. Mỗi chuỗi trong dân số liên kết với một giá trị thể dục tùy thuộc
vào giá trị của hàm mục tiêu. Dựa trên nguyên tắc sống còn của các lắp rắp ,

Garai và Chaudhuri (2004) đề xuất một phân nhóm di truyền được
hướng dẫn theo cấp bậc thuật toán mà có thể tìm thấy tùy tiện có hình cụm.
Thuật toán này bao gồm hai giai đoạn. Lúc đầu, tập dữ liệu gốc là bị phân hủy
thành một số nhóm phân mảnh để lây lan trong quá trình GAsearch ở giai
đoạn thứ hai trong toàn bộ không gian. Sau đó, các thứ bậc Cụm trộn thuật
toán (HCMA) được sử dụng. Trong quá trình sát nhập, một kỹ thuật gọi là các


-48-

-49-

cluster liền kề kiểm tra thuật toán (ACCA) được sử dụng để thử nghiệm kề
của hai cụm phân đoạn để họ có thể được sáp nhập vào một nhóm.
Krishna và Narasimha (1999) và Bandyopadhyay và Maulik (2002) đề
xuất hai thuật toán phân nhóm khác nhau dựa trên GAS và k phổ biến có
nghĩa là thuật toán. Trong di truyền k-có nghĩa là thuật toán (GKA), Krishna
và Narasimha (1999) được sử dụng k-có nghĩa là nhà điều hành thay vì các
nhà điều hành chéo để tăng tốc độ hội tụ, trong khi ở kga-clustering,
Bandyopadhyay và Maulik (2002) được sử dụng các nhà điều hành crossoverđơn điểm.
Cowgill et al. (1999) đề xuất một thuật toán-based clustering di truyền
được gọi là COWCLUS. Trong COWCLUS, chức năng đánh giá là tỷ lệ
phương sai (VR) được định nghĩa trong điều kiện cô lập cụm bên ngoài và
tính đồng nhất cụm nội bộ. Mục tiêu của thuật toán là để tìm các phân vùng
với VR tối đa.
4.2 J- Means
Cho D   x1, x2 ,, xn  là một tập đối tượng và SD được hiểu là tất cả các
phần của D.
k

min   x  zi

PDS D

2

i 1 xCi

Nơi k là số lượng cụm , . được hiểu là Euclidean chuẩn tắc, và zi là
tâm của cụm Ci
Zi 

1
Ci

x

xCi

Với i = 1, 2,…k

Thuật toán J-mean :
Bước 1 (khởi) Hãy để PD = (C1, C2,. . . , Ck) là một phân vùng ban đầu của
D, zi là trọng tâm của cụm Ci, và fopt được mục tiêu hiện chức năng giá trị;
S2 (điểm chiếm đóng) Tìm điểm trống, nghĩa là, điểm trong D không trùng
với một cụm trọng tâm trong một dung sai nhỏ;

S3 (Bước khu phố) Tìm phân vùng tốt nhất PD và mục tiêu tương ứngchức
năng giá trị f  trong các khu phố nhảy của giải pháp hiện tại PD:
S31 (khai phá láng giềng) Đối với mỗi j (j = 1, 2,..., N), lặp lại sau bước

sau: (a) tái định cư. Thêm một cụm mới centroid Z k+1 tại một số điểm
trống xj vị trí và tìm thấy những chỉ số i của trọng tâm tốt nhất để xóa; cho
vij biểu sự thay đổi trong giá trị hàm mục tiêu; (b) Giữ tốt nhất. Giữ đôi chỉ
số i và j nơi vij là tối thiểu;
S32 (chuyển hay thay thế) Nếu trọng tâm zi’ bởi xj và cập nhật các thành
viên nhóm cho phù hợp để có được P phân vùng mới PD ; đặt f  : fopt  vi ' j '
S4 (Chấm dứt hoặc di chuyển) Nếu f   fopt , dừng; nếu không, di chuyển
đến láng giềng tốt nhất Giải pháp PD ; đặt PD là giải pháp hiện hành và quay
về bước S2.
5. Thuật toán phân cụm dữ liệu dựa vào lƣới
5.1 STING
STING là kỹ thuật phân cụm đa phân giải dựa trên lưới, trong đó vùng
không gian dữ liệu được phân rã thành số hữu hạn các cells chữ nhât, điều này
có ý nghĩa là các cells lưới được hình thành từ các cells lưới con để thực hiện
phân cụm. Có nhiều mức của các cells chữ nhật tương ứng với các mức khác
nhau của phân giải trong cấu trúc lưới, và các cells này hình thành cấu trúc
phân cấp : mỗi cells ở mức cao được phân hoạch thành các số các cells nhỏ ở
mức thấp hơn tiếp theo trong cấu trúc phân cấp. Các điểm dữ liệu được nạp từ
CSDL, giá trị của các tham số thống kê cho các thuộc tính của đối tượng dữ
liệu trong mỗi ô lưới được tính toán từ dữ liệu và lưu trữ thông qua các tham
số thống kê ở các cell mức thấp hơn (điều này giống với cây CF). Các giá trị
của các tham số thống kê gồm : số trung bình – mean, số tối đa – max, số tối
thiểu – min, số đếm –count , độ lệch chuẩn –s,…
Các đối tượng dữ liệu lần lượt được chèn vào lưới và các tham số thống
kê ở trên được tính trực tiếp thông qua các đối tượng dữ liệu này. Các truy
vấn không gian được thực hiện bằng cách xét các cells thích hợp tại mỗi mức