Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
=====o0o=====

TRIỆU THỊ DUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
TRONG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
=====o0o=====

TRIỆU THỊ DUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
TRONG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng Pháp dạy học môn Tốn
Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hồng Ngọc Anh

Sơn La, năm 2015

LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành khóa luận này, chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với
GVC. TS. Hồng Ngọc Anh – người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chúng tơi
trong q trình thực hiện khóa luận.
Chúng tơi xin trân trọng cảm ơn: Các thầy, cơ trong Khoa Tốn – Lý – Tin,
Trung tâm thư viện trường Đại Học Tây Bắc, các thầy, cô trong Tổ Toán – Tin trường
THPT Tân Lạc đã tạo điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ chúng tơi trong q trình học tập
và hồn thành khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp K52 ĐHSP Toán đã động viên, giúp đỡ
trong q trình học tập và hồn thành khóa luận.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2015
Người thực hiện khóa luận

Triệu Thị Duyên

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

L

Loại

NXB
PPDH

Nhà xuất bản
Phƣơng pháp dạy học

PTDH

Phƣơng tiện dạy học

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TM

Thỏa mãn

Tr

Trang

TS

Tiến sĩ

VP

Vế phải

VT

Vế trái

ii


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 3
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu ............................................................... 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................................ 3
6. Giả thuyết khoa học .................................................................................................... 3
7. Cấu trúc khóa luận ...................................................................................................... 4
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THƢ̣C TIỄN ............................................................. 5
1.1. Lí luận về dạy học giải bài tập tốn ......................................................................... 5
1.1.1. Mục đích, vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn trong trƣờng phổ thơng .................... 5
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán ..................................................................... 6
1.1.3. Dạy học phƣơng pháp giải bài toán ...................................................................... 6

1.1.4. Bồi dƣỡng năng lực giải toán ............................................................................... 9
1.2. Kĩ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh .................... 9
1.2.1. Khái niệm kĩ năng ................................................................................................ 9
1.2.2. Kĩ năng giải toán ................................................................................................ 10
1.2.3. Đặc điểm của kĩ năng ......................................................................................... 10
1.2.4. Sƣ̣ hiǹ h thành ki ̃ năng ......................................................................................... 11
1.2.5. Các yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành kĩ năng .............................................. 11
1.2.6. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trƣờng THPT .............. 11
1.2.7. Mô ̣t số ki ̃ năng cầ n thiế t khi giải toán ................................................................ 12
1.3. Kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai ................................................................... 14
1.3.1. Định nghĩa .......................................................................................................... 14
1.3.2. Định lý Vi-et và các ứng dụng ........................................................................... 14
1.3.3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai .................................................................. 15
1.3.4. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai............................................................ 15
1.3.5. Đồ thị hàm số bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0  ............................................. 16
1.3.6. So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai ............................................ 16
1.3.7. So sánh hai số α, β với hai nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai.......................... 17
iii


1.4. Thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam thức bậc hai
trong giải tốn ở các trƣờng THPT............................................................................... 18
1.4.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................... 18
1.4.2. Đối tƣợng khảo sát.............................................................................................. 18
1.4.3. Nội dung khảo sát ............................................................................................... 18
1.4.3.1. Nội dung khảo sát giáo viên ............................................................................ 18
1.4.3.2. Nội dung khảo sát học sinh ............................................................................. 18
1.4.4. Phƣơng pháp khảo sát......................................................................................... 19
1.4.5. Kết quả khảo sát ................................................................................................. 19
1.4.5.1. Nhận xét đánh giá của GV và HS về sự cần thiết trong việc rèn luyện kĩ năng

sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS......................................................... 19
1.4.5.2. Tình hình rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải tốn trong dạy
học mơn Tốn cho HS ở trƣờng THPT hiện nay.......................................................... 20
1.4.5.3. Khó khăn về rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán trong
dạy học ở trƣờng THPT ................................................................................................ 23
1.5. Một số định hƣớng giúp học sinh vận dụng tam thức bậc hai để rèn luyện một số
kĩ năng giải toán ........................................................................................................... 26
1.5.1. Định hƣớng 1 ...................................................................................................... 26
1.5.2. Định hƣớng 2 ...................................................................................................... 27
1.5.3. Định hƣớng 3 ...................................................................................................... 27
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................................ 28
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THPT ......................................................................... 29
2.1. Một số biện pháp để rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán
cho học sinh THPT ....................................................................................................... 29
2.1.1. Biện pháp 1: Trang bị cho HS đầy đủ các phƣơng pháp giải các dạng toán quen
thuộc ............................................................................................................................. 29
2.1.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cách nhìn bài tốn theo nhiều hƣớng khác nhau, từ đó
tìm nhiều cách giải, phân tích và chọn cách giải hay cho một bài toán ....................... 33
2.1.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khai thác ứng dụng của tam thức bậc hai
vào giải một số bài toán thực tiễn ................................................................................. 38
2.1.4. Biện pháp 4: Dự đoán và hƣớng khắc phục những sai lầm khi giải toán........... 39
iv


2.2. Một số kĩ năng giải toán dựa vào tam thức bậc hai ............................................... 45
2.2.1. Vận dụng tam thức bậc hai để chứng minh phƣơng trình có nghiệm ................ 45
2.2.2. Vận dụng tam thức bậc hai để giải phƣơng trình bậc cao .................................. 46
2.2.3. Giải và biện luận phƣơng trình bậc hai .............................................................. 48
2.2.4. Ứng dụng tam thức bậc hai để giải hệ phƣơng trình .......................................... 49

2.2.5. Dùng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức ........................................ 50
2.2.6. Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. ...... 50
2.2.7. Sử dụng tam thức bậc hai để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa căn thức ..... 51
2.2.8. Sử dụng tam thức bậc hai để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối.................................................................................................................... 54
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................................... 57
3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 57
3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................... 57
3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................. 57
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ....................................................................................... 57
3.3.2. Thời gian thực nghiệm ....................................................................................... 58
3.4 Kết quả thực nghiệm............................................................................................... 58
3.4.1. Phân tích định tính .............................................................................................. 58
3.4.2. Phân tích định lƣợng........................................................................................... 59
Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................................ 60
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 62

v


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới phƣơng pháp dạy và học hiện nay là một vấn đề cấp bách của ngành
giáo dục. Những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục đƣợc phản ánh trong nghị
quyết của Hội nghị lần thứ II của Ban chấp hành trung ƣơng Đảng Cộng Sản Việt Nam
(khóa VIII) nhƣ sau: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng
những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa
xã hội có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc, giữ gìn
và phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng

đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ
hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong cơng nghiệp, có
tính tổ chức và kỉ luật, có sức khỏe, là những người kế thừa xây dựng chủ nghĩa xã hội
vừa hồng vừa chuyên như lời căn dặn của Bác Hồ”.
Thực tế ở nƣớc ta hiện nay, các phƣơng pháp dạy học vẫn còn những nhƣợc điểm
khá phổ biến nhƣ: thầy thuyết trình, tri thức đƣợc truyền thụ dƣới dạng có sẵn, ít yếu
tố tìm tòi, sáng tạo của học sinh, thầy áp đặt trị thụ động, thiếu hoạt động tích cực, tự
giác của ngƣời học… Một trong số các nguyên nhân của thực trạng trên là do đa số các
học sinh vẫn còn lúng túng trong giờ học do kĩ năng giải toán chƣa đƣợc nhuần
nhuyễn, linh hoạt nên các giờ học không gây đƣợc hứng thú cho học sinh. Làm cho
các tiết dạy tốn khơng thành cơng, khơng mang lại kết quả mong muốn, thậm chí cịn
ảnh hƣởng khơng tốt về mặt tâm lí cho học sinh. Gây cho các em tƣ tƣởng chán học,
thiếu tự tin, thiếu sự say mê, tìm tòi, sáng tạo. Gây sức ì, ỷ lại vào ngƣời khác. Hay nói
cách khác, nguyên nhân là trong quá trình dạy học, giáo viên chƣa thật sự coi trọng
việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh.
Trong nhà trƣờng phổ thơng, mơn tốn có một vai trị, vị trí và ý nghĩa hết sức
quan trọng trọng việc thực hiện mục tiêu giáo dục. Đây là mơn học góp phần tạo điều
kiện cho học sinh phát triển nhân cách, kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
Do vậy hoạt động dạy học mơn tốn ngồi việc phát triển tƣ duy thuật giải phải chủ
yếu là trang bị kỹ năng giải toán và vận dụng toán học vào việc giải bài tập tốn. Dạy
tốn ở trƣờng phổ thơng là dạy hoạt động toán học. Việc giải toán là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tƣ duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải
1


bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng.
Dạy giải bài tập tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát
triển tƣ duy, gây hứng thú trong học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận
dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có
năng lực độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo trong tƣ duy và biết lựa chọn phƣơng pháp tự

học tối ƣu.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học ở các trƣờng trung học phổ thơng việc dạy học tốn
cịn chƣa sát với thực tế, bởi kỹ năng giải toán của học sinh còn rất nhiều hạn chế cần
phải khắc phục, bên cạnh đó một phần do giáo viên chƣa trang bị đầy đủ các kỹ năng
cần thiết cho học sinh, giáo viên phải hiểu học sinh và biết khả năng của từng lớp, từng
đối tƣợng học sinh, sau đó dần dần trang bị cho học sinh kiến thức và kỹ năng cơ bản
để học mơn tốn và các mơn khác.
Trong tốn học việc giải bài tốn có một vai trị rất quan trọng, thơng qua việc
giải bài tập tốn tạo điều kiện cho học sinh hoạt động qua đó học sinh phải thực hiện
một số hành độnh nhất định bao gồm: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy
tắc, phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp những hoạt động trí tuệ phổ
biến nhƣ: phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và những hoạt động ngơn
ngữ khác. Chính vì vậy rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh là một vấn đề vơ
cùng quan trọng trong dạy học ở các trƣờng phổ thông hiện nay phải đƣợc tiến hành có
kế hoạch, thƣờng xuyên, hệ thống bền bỉ dựa vào trình độ học sinh.
Trong chƣơng trình phổ thông hiện nay, tam thức bậc hai chiếm một vị trí quan
trọng. Đó là một trong những nội dung cơ bản của chƣơng trình đại số trung học phổ
thơng. Tam thức bậc hai cịn đƣợc ứng dụng rộng trong các nội dung học khác của
chƣơng trình toán trung học phổ thông, đƣợc áp dụng phong phú và đa dạng trong
nhiều dạng toán thƣờng gặp.
Khi dạy về tam thức bậc hai, ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức
cơ bản nhƣ: khái niệm tam thức bậc hai, định lí Vi-et, định lí về dấu tam thức bậc
hai… giáo viên còn phải rèn luyện một số kĩ năng giải toán khi sử dụng tam thức bậc
hai trong một số dạng tốn thƣờng gặp.
Chính vì vậy chúng tơi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam
thức bậc hai trong giải toán cho học sinh trung học phổ thông ”. Với mong muốn đề
xuất một số phƣơng án dạy học thích hợp để rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc
2

hai trong giải bài tập tốn học.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc vận dụng lí luận dạy học giải bài tập toán để xây dựng và sử
dụng một số biện pháp sƣ phạm thích hợp góp phần rèn luyện kĩ năng sử dụng tam
thức bậc hai trong giải toán của học sinh trung học phổ thơng . Qua đó nhằm góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy và học mơn Tốn ở trƣờng trung học phổ thơng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu là quá trình dạy học giải các bài tập toán với phƣơng pháp
sử dụng tam thức bậc hai ở trƣờng trung học phổ thông.
Phạm vi nghiên cứu là các biện pháp sƣ phạm để rèn luyện kĩ năng giải tốn có
sử dụng tam thức bậc hai ở trƣờng trung học phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán; Kĩ năng và
việc sử dụng tam thức bậc hai để giải một số dạng toán ở trƣờng THPT;
- Nghiên cứu thực trạng việc dạy học giải bài tập toán ở trƣờng THPT khi sử
dụng tam thức bậc hai để rèn luyện kĩ năng cho học sinh;
- Xây dựng các phƣơng án và đề xuất biện pháp sử dụng tam thức bậc hai để rèn
luyện kĩ năng giải các bài tập toán học cho học sinh THPT;
- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính thực tiễn
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề
tài;
- Phƣơng pháp điều tra, quan sát: Điều tra thực trạng dạy học giải bài tập toán
khi sử dụng tam thức bậc hai bằng phiếu trắc nghiệm, dự giờ, và hỏi ý kiến thầy hƣớng
dẫn;
- Thực nghiệm sƣ phạm: Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm ở một trƣờng THPT
nhằm kiểm tra các kết quả nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và sử dụng đƣợc các biện pháp sƣ phạm thích hợp khi sử dụng tam
thức bậc hai để giải các bài tập toán học cho học sinh THPT sẽ góp phần hình thành

một số kĩ năng giải tốn, nâng cao năng lực toán học và hứng thú cho học sinh. Giúp
học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính chủ động, tính tích cực trong việc
3


tiếp thu kiến thức mới góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học ở trƣờng THPT.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, mục lục và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 03 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán của
học sinh
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

4


Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THƢ̣C TIỄN

1.1. Lí luận về dạy học giải bài tập tốn
1.1.1. Mục đích, vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn trong trƣờng phổ thơng
Pơlya cho rằng: “Trong tốn học, nắm vững bộ mơn tốn quan trọng hơn rất
nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu
thích hợp. Vì vậy cả trong trƣờng trung học cũng nhƣ trong các trƣờng chuyên nghiệp,
ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn
nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững mơn học. Vậy thế nào là
muốn nắm vững mơn tốn? Đó là biết giải tốn”.
a. Mục đích
Phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến những tri thức
khoa học của nhân loại đƣợc tiếp thu thành những kiến thức của bản thân, thành công

cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng nhƣ nghiên
cứu trong học tập hiện nay và sau này.
Làm cho HS nắm đƣợc một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những
kiến thức và kĩ năng tốn học phổ thơng cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có
năng lực vận dụng những tri thức đó vào tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động
sản xuất, vào việc học tập các bộ mơn khoa học khác.
b. Vai trị
Tốn học có vai trị to lớn trong đời sống, trong khoa học và cơng nghệ hiện đại,
kiến thức tốn học là công cụ để HS học tốt các môn khoa học khác, giúp HS hoạt
động hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển
nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của tốn học”.
Mơn tốn có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ nhƣ: phân
tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa… Rèn luyện những phẩm chất, đức
tính của ngƣời lao động mới nhƣ: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, khoa học, sáng
tạo…
c. Ý nghĩa
Ở trƣờng phổ thơng, giải bài tốn là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa
kiến thức và rèn luyện kĩ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào vấn đề
cụ thể, vào thực tế, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học.
5


Việc giải bài tập tốn có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho HS
nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con ngƣời HS về nhiều mặt.
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập tốn
a. Vị trí
“Ở trƣờng phổ thơng, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem
giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập toán ở trƣờng phổ
thơng là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc giúp
HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học

vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ
dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn
học có vai trị quyết định đối với chất lƣợng dạy học toán.”
b. Các chức năng của bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa
đựng một cách tƣờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đều hƣớng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của
ngƣời lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tƣ duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tƣ
duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ
phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy tốn ở trƣờng phổ thơng phần lớn phụ thuộc vào việc khai
thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách
giáo khoa đã có dụng ý đƣa vào chƣơng trình. Ngƣời giáo viên phải có nhiệm vụ khám
phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sƣ phạm của mình.
1.1.3. Dạy học phƣơng pháp giải bài tốn
Trong mơn tốn ở trƣờng phổ thơng có nhiều bài tốn chƣa có hoặc khơng có
6


thuật giải và cũng khơng có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán.
Chúng ta chỉ có thể thơng qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần
truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho

mỗi bài tốn.
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời
giải bài toán. Biết lời giải của bài tốn khơng quan trọng bằng làm thế nào để giải
đƣợc bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tƣ duy, thầy giáo
phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phƣơng pháp tìm lời giải cho một
bài tốn.
Theo Pơlya, phƣơng pháp tìm lời giải cho một bài toán thƣờng đƣợc tiến hành
theo 4 bƣớc sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để giải đƣợc một bài toán, trƣớc hết phải hiểu bài tốn đó và có hứng thú với
việc giải bài tốn đó. Vì thế ngƣời giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tị
mị, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng qt. Tiếp
theo phải phân tích bài tốn đã cho:
- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.
- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện
đó dƣới dạng cơng thức tốn học đƣợc khơng ?
Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải
“ Phải phân tích bài tốn đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải huy
động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, quy tắc...) có liên quan đến những
điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần
gũi hơn cả với dữ liệu của bài tốn rồi mị mẫm, dự đốn kết quả. Xét vài khả năng có
thể xảy ra, kể cả trƣờng hợp đặc biệt. Sau đó, xét một bài toán tƣơng tự hơặc khái quát
hoá bài toán đã cho”
Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình giải.
Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
-

Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
Nhìn lại toàn bộ các bƣớc giải, rút ra tri thức phƣơng pháp để giải một loại bài

tốn nào đó.
7


-

Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể).

-

Khai thác kết quả có thể có của bài tốn.
Đề xuất bài toán tƣơng tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hố bài tốn.
Cơng việc kiểm tra lời giải của một bài tốn có ý nghĩa quan trọng. Trong nhiều

trƣờng hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác. Vì vậy
“Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài tốn, xem xét có sai
lầm hay thiếu sót gì khơng, nhất là những bài tốn có đặt điều kiện hoặc bài tốn địi
hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách
thƣờng xuyên”
Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bƣớc giải của Polya:
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x2  (m  2) x  5m  1  0 . Tìm m sao cho phƣơng
trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn x  1 .
Giải
Bước 1: Tìm hiểu bài toán
GV: Nhận xét bài toán
HS: Phƣơng trình cho trong bài là phƣơng trình bậc hai. Yêu cầu của bài toán so
sánh nghiệm với một số cho trƣớc
Bước 2: Xây dựng chƣơng trình giải
GV: Để so sánh đƣợc nghiệm của phƣơng trình với số 1 ta phải làm thế nào?

HS: Vì đây là phƣơng trình bậc hai nên ta có thể sử dụng cách so sánh nghiệm
với một số cho trƣớc
GV: Trong bài tốn này có bao nhiêu trƣờng hợp có thể xảy ra khi so sánh?
HS: Có 3 trƣờng hợp:
Trƣờng hợp 1: x1 < 1 < x2
Trƣờng hợp 2: 1 = x1 < x2
Trƣờng hợp 3: 1 < x1 = x2
Bước 3: Trình bày lời giải
Để phƣơng trình x2  (m  2) x  5m  1  0 chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 1 ta
xét ba trƣờng hợp:
Trƣờng hợp 1: x  1  x  af (1)  0  4m  0  m  0.
1
2

8


f (1)  0
4m  0
m  0


Trƣờng hợp 2: 1  x  x   S   m  2  
1 2
1
1
m  0


 2


2

Khơng có m thỏa mãn.
  0
m 2  16m  0

Trƣờng hợp 3: 1  x  x   S  
 m  16
1 2
1
m  0

 2

m  0
Vậy phƣơng trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn x  1  
 m  16
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
GV: Bài tốn trên cịn cách giải nào khác khơng?
HS: Có thể đƣa ra các trƣờng hợp có 1 nghiệm, 2 nghiệm, rồi tính ra nghiệm cụ
thể rồi so sánh với số 1.
1.1.4. Bồi dƣỡng năng lực giải toán
Bài tập toán nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao
tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá trình dạy học ngƣời thầy giáo phải chú trọng bồi dƣỡng
năng lực giải toán cho học sinh. Năng lực giải toán là khả năng thực hiện 4 bƣớc trong
phƣơng pháp tìm lời giải bài tốn của Pơlya.
Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh chính là rèn luyện cho họ khả năng
thực hiện bốn bƣớc theo phƣơng pháp tìm lời giải bài toán của Pôlya. Điều này cũng
phù hợp với phƣơng pháp dạy học của nền giáo dục nƣớc ta hiện nay.

1.2. Kĩ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kĩ năng
“Ki ̃ năng là khả năng vâ ̣n du ̣ng nhƣ̃ng tri thƣ́c thu nhâ ̣n đƣơ ̣c về mô ̣t liñ h vƣ̣c nào
đó vào thƣ̣c tiễn” . Trong Từ điển Hán Việt, khả năng đƣợc hiểu là “sức đã có” về mặt
nào đó để có thể làm tốt mơ ̣t viê ̣c gì.
Theo tâm lí ho ̣c , kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo mơ ̣t mu ̣c đić h trong nhƣ̃ng điề u kiê ̣n nhấ t đinh
̣ . Nế u ta ta ̣m thời tách tri thƣ́c và ki ̃
năng để xem xét riêng tƣ̀ng cái thì tri thƣ́c thuô ̣c pha ̣m vi nhâ ̣n thƣ́c, thuô ̣c về khả năng
“biế t” còn ki ̃ năng thuô ̣c pha ̣m vi hành đô ̣ng, thuô ̣c khả năng “biế t làm”.
Về bản chấ t , kĩ năng là thuộc tính kĩ thuật của hành động , ln có sƣ̣ kiể m soát
của ý thức, phản ánh mức độ của phƣơng tiện thực hiện một hành động nào đó.
9


Trong toán ho ̣c, kĩ năng là “khả năng giải các bài toán , thƣ̣c hiê ̣n các chƣ́ng minh
cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận đƣợc” .
1.2.2. Kĩ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích

, do đó chủ

thể giải toán còn phải nắ m vƣ̃ng các tri thƣ́c về hành đô ̣ng , thƣ̣c hiê ̣n hành đô ̣ng theo
các yêu cầu cụ thể của tri thức đó , biế t hành đô ̣ng có kế t quả trong nhƣ̃ng điề u kiê ̣n
khác nhau. Trong giải toán , chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán của học sinh nhƣ
sau: “Đó là khả năng vâ ̣n du ̣ng có mu ̣c đích nhƣ̃ng tri thƣ́c và kinh nghiê ̣m đã có vào
giải nhƣ̃ng bài toán cu ̣ thể , thƣ̣c hiê ̣n có kế t quả mô ̣t hê ̣ thố ng hành đô ̣ng giải toán để
đi đế n lời giải của bài toán mô ̣t cách khoa ho ̣c”.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn , để thực hiện
nhiê ̣m vu ̣ mơn Toán tron g trƣờng THPT, mô ̣t trong nhƣ̃ng yêu cầ u đă ̣c biê ̣t về tri thƣ́c

và kĩ năng cần chú ý là những tri thức phƣơng pháp , đă ̣c biê ̣t là nhƣ̃ng phƣơng pháp có
tính chất thuật toán bằng cách lập phƣơng trình , tri thƣ́c và ki ̃ năng chƣ́ng m inh toán
học, kĩ năng hoạt động tƣ duy hàm, v..v… Tuy nhiên tùy theo nô ̣i dung toán ho ̣c mà có
nhƣ̃ng yêu cầ u rèn luyê ̣n ki ̃ năng khác nhau .
1.2.3. Đặc điểm của kĩ năng
Khái niệm kĩ năng đƣợc định nghĩa ở trên chứa đựng các đặc điể m sau:
- Bấ t cƣ́ ki ̃ năng nào cũng phải dƣ̣a trên cơ sở lý thuyế t đó là kiế n thƣ́c

, bởi vì

cấ u trúc của ki ̃ năng bao gồ m : hiể u mu ̣c đić h - biế t cách tri thƣ́c đi đế n kế t quả - hiể u
nhƣ̃ng điề u kiê ̣n để triể n khai cách thƣ́c đó .
- Kiế n thƣ́c là cơ sở của ki ̃ năng , khi kiế n thƣ́c đó phản ánh đầ y đủ các thuô ̣c
tính của đối tƣợng, đƣơ ̣c thƣ̉ nghiê ̣m trong thƣ̣c tiễn và tồ n ta ̣i trong ý thƣ́c với tƣ cách
là công cụ của hành động . Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “cùng với vai trò cơ sở của
tri thức, cầ n thấ y tầ m quan trọng của ki ̃ năng” . Môn Toán là môn ho ̣c có đă ̣c điể m và
vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong nhà trƣờng phổ
thông. Vì vậy cần hƣ ớng vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kĩ năng . Kĩ năng chỉ
có thể đƣợc hình thành và phát triển trong hoạt động.
Qua đă ̣c điể m trên ta thấ y ki ̃ năng giải toán phải dƣ̣a trên cơ sở tri thƣ́c toán ho ̣c
(bao gồ m kiế n thƣ́c, kĩ năng, phƣơng pháp), do đó nói đế n ki ̃ năng giải toán không thể
tách rời với phƣơng pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó .
Tƣ̀ nhƣ̃ng vấ n đề trên chúng tôi quan niê ̣m ki ̃ năng sƣ̉ du ̣ng tam thƣ́c bâ ̣c hai bao
10


gồ m mô ̣t hê ̣ thố ng thao tác trí tuê ̣ và thƣ̣c hành để vâ ̣n du ̣ng tri thƣ́c (kiế n thƣ́c, phƣơng
pháp) của tam thức bậc hai vào việc giải các bài toán khác nhau , nhằ m đa ̣t đƣơ ̣c mô ̣t
số yêu cầ u của viê ̣c da ̣y ho ̣c chủ đề ƣ́ng du ̣ng của tam thƣ́c bâ ̣c hai
1.2.4. Sƣ ̣ hin

̀ h thành ki ̃ năng
Thƣ̣c chấ t của sƣ̣ hiǹ h thành ki ̃ năng là ta ̣o dƣ̣ng cho ho ̣c sinh khả năng nắ m
vƣ̃ng mô ̣t hê ̣ thố ng phƣ́c ta ̣p các thao tác nhằ m làm biế n đổ i và sáng tỏ các thông tin
chƣ́a đƣ̣ng trong bài toán . Khi hin
̀ h thành ki ̃ năng cho ho ̣c sinh cầ n : giúp học sinh biết
cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho , yế u tố phải tìm và mố i quan hê ̣ giƣ̃a chúng ,
giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại. Xác lập
đƣơ ̣c mố i liên quan giƣ̃a bài toán mô hin
̀ h khái quát và kiế n thƣ́c tƣơng ƣ́ng.
Sƣ̣ hoa ̣t đô ̣ng để hình thành ki ̃ năng và ki ̃ xảo cũng bao gồ m cả sƣ̣ vâ ̣n du ̣ng bƣớc
đầ u kiế n thƣ́c vào thƣ̣c tiễn và cả cơng việc luyện tập để hồn thiện hoạt động đó . Sƣ̣
hình thành kĩ năng sẽ diễn ra thông minh hơn

, nế u ngoài hoa ̣t đơ ̣ng thƣ̣c hành , q

trình đó cịn kèm theo cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa .
1.2.5. Các yế u tố ảnh hƣởng đế n sƣ ̣ hin
̀ h thành ki ̃ năng
Nô ̣i dung của bài toán : Nhiê ̣m vu ̣ đă ̣t ra đƣơ ̣c trƣ̀u tƣơ ̣ng hóa hay bi ̣che phủ bởi
nhƣ̃ng yế u tố phu ̣ làm lê ̣ch hƣớng tƣ duy có ảnh hƣởng đế n sƣ̣ hin
̀ h thành ki ̃ năng .
Tâm thế và thó i quen cũng ảnh hƣởng đế n sƣ̣ hin
̀ h thành ki ̃ năng . Viê ̣c ta ̣o ra tâm
thế thuâ ̣n lơ ̣i trong ho ̣c tâ ̣p sẽ giúp cho ho ̣c sinh dễ dàng trong viê ̣c hình thành ki ̃ năng
Kĩ năng khái quát nhìn đối tƣợng một cách toàn thể ở mức cao hay th ấp.
1.2.6. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trƣờng THPT
Truyề n thu ̣ tri thƣ́c , rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của mơn
Tốn. Rèn luyện kĩ năng tốn học và kĩ năng vận dụng toán học v ào thực tiễn mà trƣớc
tiên là ki ̃ năng giải toán nhằ m đa ̣t đƣơ ̣c các yêu cầ u cầ n thiế t sau :
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên

suố t chƣơng trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuê ̣. Cụ thể là rèn luyện và phát triển:
+ Tƣ duy logic và ngôn ngƣ̃ chin
́ h xác , trong đó có tƣ duy thuâ ̣t toán ;
+ Khả năng suy đoán, tƣ duy trƣ̀u tƣơ ̣ng và trí tƣởng tƣơ ̣ng không gian;
+ Nhƣ̃ng thao tác tƣ duy nhƣ phân tić h, tổ ng hơ ̣p, khái qt hóa…;
+ Các phẩm chất trí tuệ nhƣ tƣ duy độc lập, tƣ duy linh hoa ̣t và sáng ta ̣o.
- Coi tro ̣ng viê ̣c rèn luyê ̣n khả năng tin
́ h toán trong tấ t cả các giờ ho ̣c , nói chung
11


là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua mơn Tốn gắ

n bó với viê ̣c rèn lu ̣n các ki ̃

năng thƣ̣c hành (tính tốn, đo đa ̣c, vẽ hình…).
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ : tính kiên trì , cẩ n
thâ ̣n, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh những sai lầm có thể gặp.
1.2.7. Mô ̣t số ki ̃ năng cầ n thiế t khi giải toán
Hê ̣ thố ng ki ̃ năng giải toán của ho ̣c sinh có thể chia làm ba cấ p đô ̣

: Biế t làm ,

thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể .
a) Nhóm ki ̃ năng chung
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán : Phân tích bài toán , làm rõ các dữ kiện đặt
ra. Nế u bài toán có tiń h chấ t là mô ̣t vấ n đề thì cầ n tim
̀ khâu nào còn chƣa biế t mô ̣t quy
tắ c tổ ng quát hoă ̣c mô ̣t phƣơng pháp có yế u tố thuâ ̣t toán để giải bài toán , xác định đó

là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hƣớng giải . Đây là ki ̃ năng phát hiê ̣n và giải
quyế t vấ n đề , là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài tốn có t ính
chấ t là mơ ̣t vấ n đề . Cầ n làm rõ các thành phầ n , mố i liên hê ̣ (tƣờng minh hay không
tƣờng minh) qua các ́ u tớ (có hoặc khơng có) trong bài toán;
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lƣợc giải, hƣớng giải bài toán.
Huy đô ̣ng tri thƣ́c, kinh nghiê ̣m hƣ̃u ić h có liên quan đế n giải bài toán , bao gồ m
hai da ̣ng:
Dạng 1: Là những nội dung mà học sinh sản sinh ra một cách tích cực bằng các
thao tác tƣ duy, bằ ng lao đô ̣ng trí óc và thƣ̣c hành.
Dạng 2: Là nhƣ̃ng ý tƣởng chơ ̣t lóe sáng tƣ̣ phát , đƣơ ̣c hiể u theo nghiã bƣ̀ng
sáng của quá trình tƣ duy sáng tạo . Chuyể n dich
̣ về nhƣ̃ng vấ n đề quen thuô ̣c đã có
thuâ ̣t giải: quy na ̣p, tìm kiếm, dƣ̣ báo, bổ sung vào thuâ ̣t giải đã có hoă c̣ tim
̀ kiế m thuâ ̣t
giải mới.
+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài toán ;
+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán ;
+ Kĩ năng thu nhận , hơ ̣p thƣ́c hóa bài toán thành kiế n thƣ́

c mới của ngƣời

giải tốn .
Ngồi ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau :
b) Nhóm kĩ năng thực hành
+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải tốn : Đƣợc rèn luyện trong q
trình tìm tịi lời giải của bài toá n. Cầ n chú ý ki ̃ năng chuyể n tƣ̀ tƣ duy thuâ ̣n sang tƣ
12


duy nghich

̣ để nắ m vƣ̃ng và vâ ̣n du ̣ng kiế n thƣ́c ( mô ̣t thành phầ n của tƣ duy toán ho ̣c ),
kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngƣợc chiều song song với nhau giúp cho việc hình
thành các liên tƣởng ngƣợc diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận ;
+ Kĩ năng tính tốn : Đây là điề u rấ t cầ n thiế t trong thƣ̣c tiễn

, kinh doanh , kĩ

thuâ ̣t. Đòi hỏi tiń h đúng, tính nhanh, tính hợp lí. Đƣợc rèn luyê ̣n qua các bài luyê ̣n tâ ̣p ,
thông qua tính nhẩ m bàn tính , bảng số, máy tính. Rèn luyện kĩ năng ƣớc lƣợng khi sử
dụng máy tính điện tử bỏ túi, bƣớc đầ u kiể m tra kế t quả sau khi bấ m máy ;
+ Kĩ năng trình bày lời giải kho a ho ̣c, sƣ̉ du ̣ng biể u đồ , sơ đồ , đồ thi ̣, đo ̣c và vẽ
đồ thi ̣cho chính xác, rõ ràng;
+ Kĩ năng ƣớc lƣợng , đo đa ̣c có ý nghiã giáo du ̣c và ý nghiã thƣ̣c tiễn

, cầ n rèn

luyê ̣n cho ho ̣c sinh thói quen ƣớc lƣơ ̣ng khi sƣ̉ du ̣ng du ̣ng cụ đo trong thực tiễn;
+ Kĩ năng tốn học hóa các tình huống thực tiễn

: Học sinh đƣợc rèn luyện kĩ

năng này thông qua các bài toán có nô ̣i dung thƣ̣c tiễn hoă ̣c các bài toán có nô ̣i dung
không phải dƣới da ̣ng thuầ n túy toán h ọc mà dƣới dạng một vấn đề thực tế cần giải
quyế t .
c) Nhóm kĩ năng về tư duy
+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán : Sắ p xế p kiế n thƣ́c theo
trình tự giải, nhớ la ̣i và huy đô ̣ng kiế n thƣ́c và kinh nghiê ̣m hƣ̃ u ić h để giải toán . Phân
loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phƣơng pháp giải . Tâ ̣p hơ ̣p các dƣ̃ kiê ̣n, xác định
ẩn, biể u thi ̣qua các mố i liên hê .̣ Xác định rõ giả thiết, kế t l ̣n, phản ánh rõ các kí hiệu
trong bài tốn. Biế t sƣ̉ du ̣ng các phƣơng pháp suy luâ ̣n và các thao tác tƣ duy khái quát

hóa, đă ̣c biê ̣t hóa , tƣơng tƣ̣ trong tiế n trin
̀ h giải toán . Biế t giải quyế t tƣ̀ng cái riêng , bô ̣
phâ ̣n trong bài toán tƣ̀ đó đi đế n giải quyế t cái chun g, tổ ng thể của bài toán (và ngƣợc
lại);
+ Kĩ năng tổng hợp: Liên kế t các dƣ̃ liê ̣u trong bài toán , khái quát các dấu hiệu để
tạo ra mơ ̣t cách toàn ve ̣n. Tóm tắt nơ ̣i dung bài toán , xác định rõ giả thiết , kế t luâ ̣n, kế t
cấu lại đề toán, đinh
̣ hƣớng tiế n trin
̀ h giải toán ;
+ Kĩ năng phân tích: Nhâ ̣n da ̣ng chung, phân tić h các quan hê ̣ và cấ u trúc của bài
toán. Nhâ ̣n da ̣ng ý tro ̣ng tâm , dƣ̣ đoán , phân tích và khắ c phu ̣c các sai lầ m trong quá
trình giải toán. Phân loa ̣i các khả năng có lời giải hoă ̣c cách đi đế n lời giải . Xác định
trọng tâm cần giải quyết trong bài tốn ;
+ Kĩ năng mơ hình hóa : Hành động mơ hình hóa bài tốn là hành động chuyển
13


bài tốn thành mơ hình và phân tích quan hệ toán học cũng nhƣ các phƣơng pháp toán
học sử dụng trên mơ hình đó . Đây là mơ ̣t ki ̃ năng cầ n thiế t để giải bài toán có ƣ́ng
dụng thực tiễn và các bài tốn liên mơn khác . Ghi và chuyể n ký hiê ̣u (mâ ̣t mã ) giúp
cho khả năng toán ho ̣c hóa các bài toán có nô ̣i dung thƣ̣c tiễn

, sản xuất, kỹ thuật cần

giải quyết;
+ Kĩ năng sử dụng thông tin : Nhâ ̣n biế t , thu thâ ̣p và ghi nhâ ̣n thông tin tƣ̀ nô ̣i
dung bài toán . Phân loa ̣i, sắ p xế p và t hể hiê ̣n qua các kênh thông tin trong hoa ̣t đơ ̣ng
giải tốn để tạo cơ sở huy động kiến thức , vố n kinh nghiê ̣m có liên quan hƣ̃u ích đế n
viê ̣c giải bài toán . Kĩ năng chuyển hóa tri thức , chọn phƣơng thức tiếp cận và xử lý
thông tin để giải bài toán.

1.3. Kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai
1.3.1. Định nghĩa
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng f  x   ax 2  bx  c  a  0 . 1
Nghiệm của tam thức bậc hai cũng là nghiệm của phƣơng trình bậc hai

ax 2  bx  c  0  a  0 
Biệt thức   b2  4ac (hoặc  '  b'2  ac ).
Nếu   0   '  0  phƣơng trình bậc hai vô nghiệm.
Nếu   0   '  0  phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép

x1 = x 2 = -

b ổ b' ử
ỗ= - ữ
2a ố
aứ

Nu 0   '  0  phƣơng trình bậc hai cú hai nghim phõn bit

x1,2 =

-b D ổỗ -b' D ' ửữ
=
ữ.
2a ỗố
a
ứ

1.3.2. nh lý Vi-et v cỏc ng dụng
a) Định lý Vi-et

Nếu phƣơng trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm x1 và x 2 thì
b
c
tổng và tích hai nghiệm đó là: S  x1  x 2   , P  x1x 2  .
a
a

b) Các ứng dụng
+ Nếu hai số u và v có tổng u  v  S và tích uv  P thì u và v là nghiệm của
14


phƣơng trình: X2  SX  P  0
+ Nhẩm nghiệm:
Nếu a  b  c  0 thì phƣơng trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm
x1  1; x 2 

c
a

Nếu a  b  c  0 thì phƣơng trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm
c
a

x1  1; x 2  

1.3.3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c  a  0 
Ta thể hiện định lý dƣới dạng bảng xét dấu tam thức bậc hai sau:
Dấu của biệt thức 

Dấu của f(x)

0

af  x   0, x  R

0

af ( x)  0, x  

b
;f
2a

 b 
   0
 2a 

af  x   0, x   x1 ; x2 

  0 phƣơng trình f(x) = 0 có hai

af  x   0, x   ; x1    x2 ;  

nghiệm x1  x2

1.3.4. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
+ Định lý: Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0  và một số thực  .
Nếu af     0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 (x1  x 2 ) và x1    x 2 .

+ Hệ

quả

1:

Điều

kiện

cần

và

đủ

để

phƣơng

trình

bậc

hai

f  x   ax 2  bx  c  a  0  có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 (x1  x 2 ) là tồn tại số  sao
cho: af     0
+ Hệ quả 2: Cho tam thức f  x   ax 2  bx  c  a  0  và hai số ,  sao cho
  . Điều kiện cần và đủ để phƣơng trình f (x)  0 có hai nghiệm, trong đó một

nghiệm nằm trong khoảng (; ) nghiệm kia nằm ngoài đoạn  ;  là f    f   0.

15


1.3.5. Đồ thị hàm số bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0 

0

0

0

y

y

O

x

y

O

b
2a

x

y

y
x

O

kép x  

nghiệm

x1

x

b
2a

1.3.6. So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai

f  x   ax 2  bx  c  a  0 
x1    x 2  af ()  0.

1)

  0

S
x x  

1
2
2
af     0
16

x

y

b

2a

Phƣơng trình có nghiệm

Phƣơng trình vơ

x2

a0

a0

a0

x1

O

a0

a0

O



x2

O

x

a  0trình có hai
Phƣơng

nghiệm phân biệt

x1,2 

b  
2a


2)

  0

S

x x  
1
2
2
af     0

3)

f     0

  x  x  S
1
2
 
2

4)

f     0

x  x    S
1
2
 
2

1.3.7. So sánh hai số α, β với hai nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai

f  x   ax 2  bx  c  a  0 
1)


af     0
x  x  
1
2

af     0

2)


af     0
 x  x  
1
2

af     0

3)


af     0
x  x  
1
2

af     0

4)

  0

af     0
  x  x    af     0
1
2

  S  

2

5)

  0

S
 x  x   
1
2
2
af     0

6)

  0

S
x  x   
1

2
2
af     0

17


1.4. Thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam thức bậc
hai trong giải tốn ở các trƣờng THPT
1.4.1. Mục đích khảo sát
Nhằm tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam
thức bậc hai trong giải toán ở các trƣờng THPT hiện nay, làm cơ sở góp phần tìm
kiếm, đề xuất các biện pháp để giúp HS sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán một
cách hiệu quả.
1.4.2. Đối tƣợng khảo sát
- 7 cán bộ, giáo viên Toán trƣờng THPT Tân Lạc, Huyện Tân Lạc, Tỉnh Hòa Bình.
- 210 HS trƣờng THPT Tân Lạc, Huyện Tân Lạc, Tỉnh Hòa Bình.
1.4.3. Nội dung khảo sát
1.4.3.1. Nội dung khảo sát giáo viên
- Nhận xét, đánh giá của GV về sự cần thiết rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức
bậc hai trong giải toán cho học sinh THPT;
- Tình hình rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải tốn ở trƣờng
THPT;
- Những khó khăn của GV trong rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai
trong giải toán ở trƣờng THPT;
- Những khó khăn mà HS thƣờng mắc phải trong quá trình rèn luyện kĩ năng sử
dụng tam thức bậc hai trong giải toán;
- Đánh giá của GV về mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong
giải toán ở trƣờng THPT.
1.4.3.2. Nội dung khảo sát học sinh

- Nhận xét, đánh giá của HS về sự cần thiết rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức
bậc hai trong giải toán;
- Các biện pháp và mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong
giải toán ở bản thân;
- Những khó khăn mà các em thƣờng mắc phải trong quá trình rèn luyện kĩ
năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán;
- Đánh giá của HS về mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong
giải toán ở trƣờng học.

18