Bài tập phương pháp tính ôn cuối kì
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (346.88 KB, 50 trang )
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2014.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
1 / 50
Câu 1. Cho phương trình e x + 2x 2 + cos x − 10 = 0 trong khoảng cách ly
nghiệm [1, 2]. Sử dụng phương pháp Newton, xác định x0 theo điều kiện
Fourier, tìm nghiệm gần đúng x2 của phương trình trên và đánh giá sai số
của nó.
; ∆x2 ≈
Kết quả. x2 ≈
Giải.
Ta có f (1) < 0, f (2) > 0, f (x) = e x + 4x − sin x > 0, ∀x ∈ [1, 2] và
f (x) = e x + 4 − cos x > 0, ∀x ∈ [1, 2] nên chọn x0 = 2. Ta xây dựng dãy
(xn ) theo công thức
2
e xn−1 + 2xn−1
+ cos xn−1 − 10
f (xn−1 )
= xn−1 −
x
n−1
f (xn−1 )
e
+ 4xn−1 − sin xn−1
d
Tìm min{|f (1)|, |f (2)|}. Bấm máy. Shift- − chọn X = 1 và X = 2. So
dx
sánh |f (1)|, |f (2)|. Ta có |f (x)| min{|f (1)|, |f (2)|} = |f (1)| = m.
Shift-STO-A. Do đó sai số của nghiệm gần đúng xn và nghiệm chính xác x
là
|f (xn )|
|e xn + 2xn2 + cos xn − 10|
|x − xn |
=
= ∆xn
m
m
xn = xn−1 −
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
2 / 50
n
0
1
2
xn
2
1.656561316
1.597323235
∆xn
0.002748308
Bấm máy. Tính xn
X−
CALC x = 2 ⇒ x1
CALC Ans ⇒ x2
Sai số
e X + 2X 2 + cos X − 10
e X + 4X − sin X
abs(e X + 2X 2 + cos X − 10)
A
CALC Ans ⇒ ∆x2
Kết quả. x2 ≈ 1.5973; ∆x2 ≈ 0.0028
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
3 / 50
√
Câu 2. Cho phương trình x = 3 10 − 2x. Sử dụng phương pháp lặp đơn,
tìm chỉ số n nhỏ nhất để |xn − xn−1 | < 10−10 biết x0 = 2
Kết quả. √
n=
Giải. x = 3 10 − 2x = g (x). Chọn x0 = 2. Tính xn , n = 1, 2, . . . theo công
√
thức xn = g (xn−1 ) = 3 10 − 2xn−1 .
Tiếp tục quá trình như vậy đến
khi n thỏa |xn − xn−1 | < 10−10
√
3
Bấm máy. D = D + 1 : A = 10 − 2B : |A − B| − 10−10 : B = A, CALC
D?=0, B?=2, trong đó D là biến đếm n. Bấm đến khi nào
|xn − xn−1 | − 10−10 < 0 có nghĩa là |A − B| − 10−10 < 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
4 / 50
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
xn
2
1.817120593
1.853318496
1.846265953
1.847644247
1.847375046
1.847427631
1.847417359
1.847419366
1.847418974
1.84741905
1.847419035
1.847419038
1.847419038
1.847419038
1.847419038
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
|xn − xn−1 | − 10−10
0.1828794071
0.03619790318
7.052542708 × 10−3
1.378293616 × 10−3
2.692011592 × 10−4
5.258507458 × 10−5
1.027153565 × 10−5 Kết quả. n =
2.00630146 × 10−6
3.9181843 × 10−7
7.645501 × 10−8
1.48538 × 10−8
2.82099 × 10−9
4.7057 × 10−10
1.145 × 10−11
−7.823 × 10−11
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
15
TP. HCM — 2014.
5 / 50
2x1 + 2x2 − 3x3 = 9
−4x1 − 3x2 + 4x3 = −15 . Sử dụng
2x1 + x2 + 2x3 = 3
phân tích A = LU theo Doolittle, tính 32 , u33 và nghiệm x3
; u33 =
; x3 =
Kết quả. 32 =
1.u11 + 0.0 + 0.0 = a11 = 2 ⇒ u11 = 2;
1.u12 + 0.u22 + 0.0 = a12 = 2 ⇒ u12 = 2;
1.u13 + 0.u23 + 0.u33 = a13 = −3 ⇒ u13 = −3.
a21
−4
=
= −2;
21 .u11 + 1.0 + 0.0 = a21 = −4 ⇒ 21 =
u11
2
21 .u12 +1.u22 +0.0 = a22 = −3 ⇒ u22 = a22 − 21 .u12 = −3−(−2)×2 = 1;
21 .u13 + 1.u23 + 0.u33 = a23 = 4 ⇒ u23 = a23 − 21 .u13 =
4 − (−2) × (−3) = −2;
2
a31
= = 1;
31 .u11 + 31 .0 + 1.0 = a31 = 2 ⇒ 31 =
u11
2
a32 − 31 .u12
1−1×2
=
= −1;
31 .u12 + 32 .u22 +1.0 = a32 = 1 ⇒ 32 =
u22
1
31 .u13 + 32 .u23 + 1.u33 = a33 = 2 ⇒ u33 = a33 − 31 .u13 − 32 .u23 =
2 − 1 × (−3) − (−1) × (−2) = 3;
Câu 3. Cho hệ phương trình
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
6 / 50
1
0 0
y1
9
Do đó LY = B ⇔ −2 1 0 y2 = −15
1 −1 1
y3
3
9
⇒ Y = L−1 B = 3
−3
9
2 2 −3
x1
UX = Y ⇔ 0 1 −2 x2 = 3
x3
−3
0 0 3
2
⇒ X = U −1 Y = 1
−1
Hoặc bấm máy giải hệ 3 phương trình 3 ẩn số vì phương pháp LU là
phương pháp giải nghiệm chính xác.
Kết quả. 32 =
−1
; u33 =
3
; x3 =
−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
7 / 50
Câu 4. Cho hệ phương trình
14.3x1 + 1.73x2 − 1.85x3 = 12.891
1.34x1 + 16.5x2 − 3.24x3 = 15.731 .
1.18x1 − 4.87x2 + 18.7x3 = 18.421
Sử dụng phương pháp Jacobi, với x (0) = (1.5, 0.3, 3.4)T , tìm vectơ lặp x (3)
(3)
(3)
(3)
Kết quả. x1 ≈
; x2 ≈
; x3 ≈
Giải.
1
x1 = 14.3
(12.891 − 1.73x2 + 1.85x3 )
12.89
1.73
1.85
=
14.3 − 14.3 x2 + 14.3 x3
1
x2 = 16.5
(15.731 − 1.34x1 + 3.24x3 )
15.731
1.34
3.24
=
16.5 − 16.5 x1 + 16.5 x3
1
x3 = 18.7 (18.421 − 1.18x1 + 4.87x2 )
1.18
4.87
= 18.421
18.7 − 18.7 x1 + 18.7 x2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
8 / 50
x1
x2 =
x3
12.89
14.3
15.731
16.5
18.421
18.7
0
+ − 1.34
16.5
1.18
− 18.7
− 1.73
14.3
0
4.87
18.7
1.85
14.3
3.24
16.5
x1
x2
0
x3
Khi đó công thức lặp có dạng
X (m) = Tj X (m−1) + Cj , m = 1, 2, . . .
1.5
Chọn X (0) = 0.3 tính X (1) , X (2) , X (3)
3.4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TP. HCM — 2014.
9 / 50
0
1.73
− 14.3
0
1.85
14.3
3.24
16.5
12.89
14.3
15.731
16.5
18.421
18.7
, MatB =
,
MatA = − 1.34
16.5
1.18
4.87
−
0
18.7 18.7
1.5
MatC = 0.3
3.4
Bấm máy. Mode - 6 -Matrix.
Dim - MatA - 3 × 3- AC
Shift 4 - Dim - MatB - 3 × 1 - AC
Shift 4 - Dim - MatC - 3 × 1 - AC
Shift 4 - MatB+MatA*MatC= ⇒ x (1) - AC
Shift 4 - MatB+MatA*MatAns= ⇒ x (2) - AC
Shift 4 - MatB+MatA*MatAns= ⇒ x (3) - AC
(3)
(3)
(3)
Kết quả. x1 ≈ 0.9432; x2 ≈ 1.1387; x3 ≈ 1.2020
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
10 / 50
Cách 2
Bấm máy.
X = (12.891−1.73B+1.85C )÷14.3 : Y = (15.731−1.34A+3.24C )÷16.5 :
C = (18.421 − 1.18A + 4.87B) ÷ 18.7 : A = X : B = Y
CALC B=0.3, C=3.4, A=1.5
(3) (3) (3)
Nhấn tiếp dấu ”=” cho tới nghiệm x1 , x2 , x3
(3)
(3)
(3)
Kết quả. x1 ≈ 0.9432; x2 ≈ 1.1387; x3 ≈ 1.2020
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
11 / 50
Câu 5. Cho hệ phương trình
34x1 + 2.73x2 − 1.85x3 = 12.89
1.34x1 +
29x2 − 3.24x3 = 15.73 .
1.18x1 − 4.87x2 + 32.6x3 = 18.42
Sử dụng phương pháp Gauss-Seidel, với x (0) = (0.1, 0.3, 0.4)T , tìm vectơ
lặp x (3) .
(3)
(3)
(3)
; x2 ≈
; x3 ≈
Kết quả. x1 ≈
Bấm máy. 0.1 Shift-STO-A, 0.3 Shift-STO-B, 0.4 Shift-STO-C,
12.89 − 2.73B + 1.85C
Shift-STO-A.
34
15.73 − 1.34A + 3.24C
Shift-STO-B.
29
18.42 − 1.18A + 4.87B
Shift-STO-C.
32.6
Thực hiện liên tiếp thêm 2 lần nữa để được x (3) .
(3)
(3)
(3)
Kết quả. x1 ≈ 0.3661; x2 ≈ 0.5971; x3 ≈ 0.6410
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
12 / 50
Cách 2
Bấm máy.
A = (12.89 − 2.73B + 1.85C ) ÷ 34 :
B = (15.73 − 1.34A + 3.24C ) ÷ 29 :
C = (18.42 − 1.18A + 4.87B) ÷ 32.6
CALC B=0.3, C=0.4. (không nhập A)
(3) (3) (3)
Nhấn tiếp dấu ”=” cho tới nghiệm x1 , x2 , x3
(3)
(3)
(3)
Kết quả. x1 ≈ 0.3661; x2 ≈ 0.5971; x3 ≈ 0.6410
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
13 / 50
x |
1.3
1.7
2.3
2.7
.Sử dụng
y |
1.2
8.6
4.7
6.6
Spline bậc ba tự nhiên g (x) nội suy bảng số trên để xấp xỉ giá trị của hàm
tại x = 1.4 và x = 2.5.
Kết quả. g (1.4) ≈
;g (2.5) ≈
n = 3, h0 = 1.7 − 1.3 = 0.4; h1 = 2.3 − 1.7 = 0.6; h2 = 2.7 − 2.3 = 0.4.
Do là spline bậc ba tự nhiên nên c0 = c3 = 0. Hệ số c1 , c2 được xác định
bởi AC = B với
1
0
0
0
h0 2(h0 + h1 )
h1
0
A=
0
h1
2(h1 + h2 ) h2
0
0
0
1
0
y1 − y0
y2 − y1
3
−3
h0
B = y3 h−1 y2
y2 − y1
3
−3
h2
h1
0
Câu 6. Cho bảng số
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
14 / 50
C = (c0 , c1 , c2 , c3 )T
y − y1
y1 − y0
2(h0 + h1 ).c1 + h1 .c2 = 3 2
−3
h1
h0
⇒
y − y2
y2 − y1
h1 .c1 + 2(h1 + h2 ).c2 = 3 3
−3
h2
h1
⇒
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
2.c1 + 0.6.c2 = −75
135
0.6.c1 + 2.c2 =
4
c1 = − 17025
364
⇒
5625
c2 =
182
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
15 / 50
Khi k = 0 ta có
a0 = y0 = 1.2
y 1 − y 0 h0
2251
b0 =
− (c1 + 2c0 ) =
h
3
91
0
28375
c1 − c0
d0 =
=−
,
3h0
728
Khi k = 1 ta có
a1 = y1 = 8.6
y2 − y1
b1 =
−
h1
c − c1
d1 = 2
=
3h1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
h1
1097
(c2 + 2c1 ) =
3
182
3625
,
84
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
16 / 50
Khi k = 2 ta có
a2 = y2 = 4.7
1271
y3 − y2 h2
− (c3 + 2c2 ) = −
b2 =
h2
3
364
c − c2
9375
d2 = 3
=−
,
3h2
364
Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là g (x) =
28375
2251
1.2 +
(x − 1.3) −
(x − 1.3)3 , x ∈ [1.3, 1.7]
91
728
1097
17025
3625
8.6 +
(x − 1.7) −
(x − 1.7)2 +
(x − 1.7)3 , x ∈ [1.7, 2.3]
182
364
84
1271
5625
9375
4.7 −
(x − 2.3) +
(x − 2.3)2 −
(x − 2.3)3 , x ∈ [2.3, 2.7]
364
182
364
Kết quả. g (1.4) ≈
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
3.6346
;g (2.5) ≈
5.0319
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
17 / 50
x |
1.1
1.6
2.1
.Sử dụng Spline bậc
y |
2.2
5.3
6.6
ba g (x) thỏa điều kiện g (1.1) = 0.2 và g (2.1) = 0.5 nội suy bảng số trên
để xấp xỉ giá trị của hàm tại x = 1.4 và x = 1.9.
Kết quả. g (1.4) ≈
;g (1.9) ≈
n = 2, h0 = 1.6 − 1.1 = 0.5; h1 = 2.1 − 1.6 = 0.5; α = 0.2; β = 0.5. Hệ số
c0 , c1 , c2 được xác định bởi AC = B với
2h0
h0
0
A = h0 2(h0 + h1 ) h1
0
h1
2h1
y1 − y0
3
− 3α
h
y2 − y10
y1 − y0
3
−
3
B=
h1
h0
y2 − y1
3β − 3
h1
C = (c0 , c1 , c2 )T
Câu 7. Cho bảng số
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
18 / 50
471
1.c0 + 0.5c1 + 0.c2 = 18
c0 =
20
54
111
0.5c0 + 2c1 + 0.5c2 = −
⇒
⇒
c
=
−
1
5
10
63
0.c0 + 0.5c1 + 1.c2 = −
c2 = − 3
10
4
Khi k = 0 ta có
a0 = y0 = 2.2
y1 − y0 h0
1
b0 =
− (c1 + 2c0 ) =
h0
3
5
231
c − c0
d0 = 1
=−
,
3h0
10
Khi k = 1 ta có
a1 = y1 = 5.3
y2 − y1
b1 =
−
h1
c − c1
d1 = 2
=
3h1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
h1
257
(c2 + 2c1 ) =
3
40
69
,
10
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
19 / 50
Chú ý. Nếu tính ra b0 = α thì CHÚNG TA ĐÃ TÍNH SAI vì b0 = g (x0 ).
Vậy spline bậc ba ràng buộc cần tìm là
2.2 + 1 (x − 1.1) + 471 (x − 1.1)2 − 231 (x − 1.1)3 , x ∈ [1.1, 1.6]
5
20
10
g (x) =
257
111
69
5.3 +
(x − 1.6) −
(x − 1.6)2 + (x − 1.6)3 , x ∈ [1.6, 2.1]
40
10
10
Kết quả. g (1.4) ≈
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
3.7558
;g (1.9) ≈
6.4148
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
20 / 50
x |
0.7
1.0
1.2
1.3
1.5
. Sử
y |
3.1
2
4.5
2.6
6.7
dụng phương pháp bình phương bé nhất, tìm hàm
f (x) = A + B sin x + C cos2 x xấp xỉ tốt nhất bảng số trên.
;B ≈
;C≈
Kết quả. A ≈
Đặt t = sin x ⇒ f (x) = g (t) = A + Bt + C (1 − t 2 ) = (A + C ) + Bt − Ct 2 .
Bấm máy. Bấm Mode 3 - STAT. Chọn 3- + cx 2 . Nhập dữ liệu của 2 cột
x
y
sin 0.7 3.1
sin 1.0 2
x, y , như sau:
Sau đó, bấm AC - Thoát ra. Chọn Shift 1 sin 1.2 4.5
sin 1.3 2.6
sin 1.5 6.7
chọn 7 - Reg - chọn 1- A =. Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 2- B =.
Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 3- C =.
Như vậy A + C = 55.37359957 Shift-STO-X ; B = −138.2293327;
−C = 88.70697384 Shift-STO-Y ⇒ A = X − C = X + Y = 144.0805734
Kết quả. A ≈ 144.0806;B ≈ −138.2293; C ≈ −88.7070
Câu 8. Cho bảng số:
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
21 / 50
x |
1.2
1.3
1.4
1.5
y |
2
2.5
5
4.5
dụng phương
√ pháp bình phương bé nhất, tìm hàm
f (x) = A x 2 + 1 + B cos x xấp xỉ tốt nhất bảng số trên.
;B ≈
Kết quả. A ≈
√
Ta có n = 5, p(x) = x 2 + 1, q(x) = cos(x) và
Câu 9. Cho bảng số:
n
n
p 2 (xk ) =
k=1
k=1
n
n
n
k=1
k=1
n
q 2 (xk )
k=1
n
cos2 (xk ) = 0.2533522506, Shift-STO-D.
=
k=1
n
cos(xk ).yk = 1.852970984, Shift-STO-M.
q(xk )yk =
k=1
xk2 + 1. cos(xk ) = 1.170576375, Shift-STO-B.
xk2 + 1.yk = 34.78691598, Shift-STO-C.
p(xk )yk =
k=1
n
. Sử
xk2 + 1 = 15.23, Shift-STO-A
p(xk )q(xk ) =
k=1
n
1.7
5.5
k=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
22 / 50
Hệ phương trình để xác định A, B :
A.A + B.B = C
⇔
B.A + D.B = M
√
Vậy f (x) = 2.6702 x − 5.0235 cos(x).
Kết quả. A ≈
2.6702
;B ≈
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
A = 2.670210227
B = −5.023496029
−5.0235
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
23 / 50
Bấm máy. Shift-Mode-STAT-Frequency-ON
1
Tìm ma trận hệ số
Mode 3-STAT - 2: A+BX. Nhập vào cột X là
Y là cos(X ). AC-thoát ra.
Shift - 1 - 4: Sum - 1: x 2 = Shift-STO-A
Shift - 1 - 4: Sum - 5: xy = Shift-STO-B
Shift - 1 - 4: Sum - 3: y 2 = Shift-STO-D
2
√
X 2 + 1, nhập vào cột
Tìm cột hệ số tự do
Shift - 1 - 2: Data
Nhập giá trị của cột FREQ là giá trị y . AC-thoát ra
Shift - 1 - 5: Var - 2:x × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-C
Shift - 1 - 5: Var - 5:y × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-M
3
Giải hệ phương trình: Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
24 / 50
Cách 2
Bấm máy:
A=A+
2
X2 + 1 : B = B +
X 2 + 1 cos(X ) : C = C +
X 2 + 1Y :
D = D + (cos(X ))2 : M = M + cos(X )Y
Bấm CALC A = 0, B = 0, C = 0, D = 0, M = 0 và nhập X , Y theo bảng
số cho đến hết.
Hệ phương trình để xác định A, B :
A.A + B.B = C
⇔
B.A + D.B = M
√
Vậy f (x) = 2.6702 x − 5.0235 cos(x).
Kết quả. A ≈
2.6702
;B ≈
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
A = 2.670210227
B = −5.023496029
−5.0235
GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2014.
25 / 50
