Các dạng bài tập đại số 9 thi vào lớp 10 và các lưu ý khi giải

Các chú ý v lời giảI cho một số bi toán cơ bản
A. toán rút gọn biểu thức
I. Ví dụ :

2 x

Rút gọn biểu thức P

x 3

0,x 1,x 9 )

Giải : Với x 0,x 1,x 9 ta có P


2 x








x 3

x 3 x

3x 3 2 x 4
1 ( với x
:

x 3 x 9 x 3

x




x 3

x 3 3x 3

2x 6 x x 3 x 3x 3 2 x 4 x 3
:

x 3
x 3
x 3


3


x 1 x 3


x 3 x 3 x 1

:

2



x 4

x 3



x 3
3 x 3

x 3



x 3



:

x 1
x 3

3
x 3

II. Chú ý :
Khi rút gọn các biểu thức l các phép tính giữa các phân thức ta thờng

tìm cách đa biểu thức thnh một phân thức sau đó phân tích tử v mẫu
thnh nhân tử rồi giản ớc những thừa số chung của cả tử v mẫu.
Trờng hợp đề bi không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm
điều kiện cho biểu thức. Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng v các thừa
số đã đợc giản ớc để tìm điều kiện.
Ví dụ với bi ny : + Biểu thức cuối cùng cần x 0
+ Các thừa số đợc giản ớc l :
x 1v x 3 cần x 1v x 9

Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa l x 0,x 1,x 9
B. phơng trình bậc hai v định lí viét
I. Ví dụ
Đề bi 1: Cho phơng trình x2 (2m-1)x + m 1 = 0
a. Giải phơng trình với m
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.

5
3

Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 x 22 1
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 v x2 của phơng trình
Tìm GTNN của x1 x 2

m. Tìm GTLN của x12 1 x 22 x 22 1 4x12

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

1


n. Khi phơng trình có hai nghiệm x1 v x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ
thuộc vo m
B

x1 1 x 2 1

x1x 22 x 2 x12

Giải :
5
3
5
7
2
Với m ta có phơng trình : x 2 x 0 3x 2 7x 2 0
3
3
3
2
7 4.3.2 49 24 25 0; 5 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :

a. Giải phơng trình với m

75 1
75
; x2
2
6
3
6
5
1
Vậy với m phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt l v 2
3
3
x1

b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m
2

2

c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1
Vậy với m<1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng
trình
có
hai
nghiệm
cùng
dấu

khi

ac00 m2m120 10( luôn dúng ) m 1 0 m 1


2

Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi

2m 2 2 1 0
0
m 1


m 1
1 m 1
ac
0
m
1
0

2m 1 m
b
2m
1
0



0


2

a



Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dơng.
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

2

2m 2 2 1 0
0
m 1


m
1

1 vô nghiệm


m 1 0
ac 0
2m
1

m

b
2m 1 0

2

a 0



Vậy không có giá trị no của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Để phơng trình có nghiệm dơng ta có các trờng hợp sau :
Phơng trình có một nghiệm dơng v một nghiệm bằng 0
Thay x = 0 vo phơng trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vo phơng trình
ta đợc
x2 - x = 0 x x 1 0 x 0 hoặc x 1 ( thỏa mãn )
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng, điều kiện l :

2m 2 2 1 0
0
m 1


m 1
1 m 1
ac

0

m

1

0



2m 1 m
b 0
2m 1 0

2

a



Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện l :
ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1

Kết hợp cả ba trờng hợp ta có với mọi m thì phơng trình đã cho có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m
2

Theo định lí Viet ta có x1.x2 =

2

c
m 1
a

Phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1

m 1 1 m 2

Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau.
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m
2

2

x1 x 2 2m 1 (1)
Theo định lí Viet v đề bi ta có : x1.x 2 m 1
(2)
2x1 5x 2 1

(3)

Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc :

10m 4
(4)
3
10m 4
10m 4 6m 3 10m 4 1 4m

x 2 2m 1 x 2 2m 1


Thay (4) vo (1) ta có :
3
3
3
3

5x1 + 5x2 2 x1 5x2 = 10m 5 + 1 3x1 10m 4 x1

(5)
Thay (4) v (5) vo (2) ta đợc phơng trình :

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

3


10m 4 1 4m
.
m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 2 4 16m 9m 9
3
3
40m 2 17m 5 0
2
17 4.40. 5 1089 0; 33
17 33 1

17 33 5
m1
; m2

80
5
80
8
1
5
Vậy với m hoặc m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề
5
8

bi.
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 x 22 1
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m
2

2

2m 1 (1)
Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m
1
(2)
1 2

Theo đề bi : x12 x 22 1 x12 x 22 2x1x 2 2x1x 2 1 x1 x 2 2x1x 2 1 (3)
Thay (1) v (2) vo (3) ta có (2m 1)2 2(m 1) = 1
2

(2m - 1)2 - 2(m - 1) = 1 4m 2 4m 1 2m 2 1 4m 2 6m 2 0 2m 2 3m 1 0
c 1
Phơng trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l m1 = 1 ; m2 =
a 2
1
Vậy với m 1 hoặc m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề
2

bi.
k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 v x2 của phơng trình
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có :
2

2



x1 x 2 1

x x 1
1 2
x1.x 2 1 x1 x 2 2x1.x 2 1
m
2
2
m x1 .x 2 1
Vậy hệ thức cần tìm l x1 x 2 2x1.x 2 1
x1 x 2 2m 1
x1.x 2 m 1

l. Tìm GTNN của x1 x 2
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m
2

2

2m 1 (1)
Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m
1
(2)
1 2

Đặt A = x1 x 2 0 A 2 x1 x 2 x1 x 2 x12 2x1x 2 x 22 x1 x 2 4x1x 2
Thay (1) v (2) vo ta có
2

2

2

A 2 2m 1 4 m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1 1 với mọi m
2

2

(3)
M A 0 nê n từ (3) A 1với mọi m
Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)2 = 0 m 1

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

4

Vậy GTNN của A x1 x 2 l 1 xảy ra khi m = 1

m. Tìm GTLN của x12 1 x 22 x 22 1 4x12
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1
2

2

Vì 2m 1 0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m
2

2



2m 1 (1)
Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m
1
(2)
1 2

Ta có A x12 1 x 22 x 22 1 4x12 x12 x 22 5x12 x 22 x1 x 2 2x1x 2 5 x1 x 2 (3)
2

2

Thay (1) v (2) vo (3) ta đợc :
A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 2 4m 1 5m 2 10m 5 2m 2 m 2 4m 2
2
2 m 2 4m 4 2 m 2
2



2



Vì m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m
Dấu bằng xảy ra khi (m 2)2 = 0 hay m = 2
Vậy GTLN của A x12 1 x 22 x 22 1 4x12 l 2 khi m = 2
2

2

n. Khi phơng trình có hai nghiệm x1 v x2 ,
B

chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m :

x1 1 x 2 1

x1x 22 x 2 x12

Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2m 1 4.1. m 1 4m 2 4m 1 4m 4 4m 2 8m 4 1 2m 2 1

2

Vì

2m 1

2

2

0 với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
2



2m 1 (1)
nghiệm phân biệt x1 v x2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có : xx1.x x2 m
1
(2)
1 2





x1 x 2 x1 x 2
x 1 x 1 x 1 .x1 x 2 1 .x 2

Ta có: B 1 2 2 2 1
x1x 2 x 2 x1

x12 x 22
x12 x 22
2
2
x1 x 2 x1 x 2 2x1x 2 2m 1 2m 1 2 m 1



2
x12 x 22
m 1


4m 2 4m 1 2m 1 2m 2

m 1

2



2

4m 2 8m 4

m 1

2

2

4 m 1

m 1

2

2

4

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vo giá trị của m.
Đề bi 2. Cho phơng trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0
a. Giải phơng trình với m = -5
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của A x12 x 22
j. Tìm m để A = 6

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

5


k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm l
hãy lập phơng trình có hai nghiệm l
Giải :
a. Giải phơng trình với m = -5
Thay m = -5 vo phơng

1
. Khi đó
2

6x1 1 6x 2 1
v
3x 2
3x1

trình

ta

có

-4x2

:

+

6x

=

0

x 0
3
2x 2x 3 0 2x 0
2x 3 0
x 2

Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm l 0 v

3
2

b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . Phơng trình có một
nghiệm x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1
'

2

2

2

Phơng trình có nghiệm khi 2m 1 0 m
Tóm lại phơng trình có nghiệm khi m

1
2

1
2

c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1
'

2

2

2

1
( thỏa mãn )
2
1
Tóm lại phơng trình có nghiệm duy nhất khi m 1 hoặc m
2

Phơng trình có nghiệm duy nhất khi 2m 1 0 m

Chú ý : Trờng hợp phơng trình bậc hai có 0 cũng đợc coi l có

nghiệm duy nhất
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
' m 2 m 1 m 5 m 2 4m 4 m 2 6m 5 2m 1
2

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 2m 1 0 m
Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi m

1
2

1
v m 1
2

e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
6

Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

mm 15 00 mm 51 (vô nghiệm) 5 m 1
mm 15 00 mm 15



m 1 m 5 0



Vậy với -5 < m < -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Chú ý :

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh sau :
Để (1) xảy ra thì m + 1 v m + 5 l hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5

m + 1 < 0 m < -1 5 m 1

m > -5
nên (1) xảy ra khi m + 5 > 0

Trờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh (1), hãy học thuộc từ
ngoi cùng trong khác v dịch nh sau : ngoi khoảng hai nghiệm thì vế
trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với
hệ số a ( hệ số a l hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở

đây l nghiệm của đa thức vế trái )
Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm l -1 v -5 , dạng khai triển l m2
+ 6m + 5 nên hệ số a l 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức l khác dấu với hệ số a
nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức l -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )(
m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức
l m < -5 hoặc m > -1
Một số ví dụ minh họa :

m 3 m 7 0 m 7 hoặc m 3;
2m 6 1 m 0 1 m 3 ;

2m 4 3m 9 0 3 m 2
5 m 2m 8 0 m 4 hoặc m 5

f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
' m 2 m 1 m 5 m 2 4m 4 m 2 6m 5 2m 1
2

Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi

1
1



m

m
1



0
2
2

2m 1 0


ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2
b
2 m 2
m 2 m 1 0
m 2 hoặc m 1 3
0
a 0



m 1
1
m 5hoặc 1 m
2

I

Chú ý :

Để tìm nghiệm của hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền
các số mốc lên đó v lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng
nghiệm chung v kết luận. Việc lm đó diễn tả nh sau :
(1)
(2)
www.VNMATH.com

(3)

(3)

(2)
www.VNMATH.com

7


ở hình trên các đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt l các đờng lấy nghiệm của các bất
1
2

phơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < l
các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó l tập
nghiệm của hệ bất phơng trình (I)
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

' m 2 m 1 m 5 m 2 4m 4 m 2 6m 5 2m 1
2

Phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0



m 1


1
1

Tức l m
2m 1 0
m


2


b 2 m 2
1
x1 x 2
a
m 1

c m5
Khi đó theo đề bi v định lí Viet ta có x1.x 2
2

a
m
1

3
x1 3x 2 4


Từ (1) v (3) ta có hệ phơng trình
2m 4
2m 4
2m 4
m
m4



2m 4
x1 x 2
x1
x1

x2





x x2

m 1
m 1
m 1 m 1 m 1

1
m 1
2m 4
m
m
x1 3x 2 4
2x 2 4
x 2
x 2
m 1
m 1
m 1




Thay vo (2) ta có phơng trình :
m4 m
m5
.

m 4 .m m 5 m 1 do m 1
m 1 m 1 m 1
5
m 2 4m m 2 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn
2

Vậy m

5
l giá trị cần tìm.
2

h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
' m 2 m 1 m 5 m 2 4m 4 m 2 6m 5 2m 1
2

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

8


Phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0
m 1




1
1 1

Tức l m
2m 1 0
m


2

Khi đó theo định lí Viet ta có x1.x2 =

m5
m 1

Vậy để phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải
thỏa mãn điều kiện (1) v

m5
1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn
m 1

Vậy m = -3 l giá trị cần tìm.
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của A x12 x 22
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
' m 2 m 1 m 5 m 2 4m 4 m 2 6m 5 2m 1
2

Phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0

m 1
m 1
1

2m 1 0
m

2

b 2 m 2
1
x1 x 2
a
m 1

c m5
x1 .x 2
2

a m 1

Tức



l

1

Khi

đó

theo

định

lí

Viet

:

2m 4 2 m 5
Ta có A x x x 2x1x 2 x 2x1x 2 x1 x 2 2x1x 2
m 1
m 1
2
2m 4 2 m 5 m 1 4m 2 16m 16 2m 2 12m 10

2m 2 4m 6



2
2
2
m 1
m 1
m 1

2

2
1

Vậy A

2
2

2
1

2
2

2

2m 2 4m 6
1
với m 1v m 2
2

m 1

j. Tìm m để A = 6
Ta có A

2m 2 4m 6
1

với m 1v m 2
2

m 1

2
1
2m 4m 6
2
6 2m 2 4m 6 6 m 1
Với m 1v m ta có A 6
2
2
m 1
2
2
2
2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0 hoặc m 2

Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm.
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm l
Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm l

1
.
2

6x1 1 6x 2 1
v
3x 2

3x1

Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

9


' m 2 m 1 m 5 m 2 4m 4 m 2 6m 5 2m 1
2

Phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0



m 1


1
1 1

Tức l m
2m 1 0
m

2

1
vo phơng trình đã cho ta có
2
1
1
(m+1).( )2 - 2(m+2). + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa
2
2

Thay x =

mãn (1))
Vậy với m = -13 thì phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm l
Thay m = -13 phơng trình trở thnh -12x2 + 22x - 8 = 0 6x2 - 11x + 4 = 0
Theo định lí Viet : x1 x 2

1
.
2

11
4 2
. Khi đó :
: x1x 2
6
6 3

2

2 11
11
6. 12.
2
2




6
x
x
12x
x
x
x




6x1 1 6x 2 1 6x1 x1 6x 2 x 2
6
3 6 14
1
2
1 2
1
2

7
2
3x 2
3x1
3x1x 2
3x1x 2
2
3.
3
2
11
6x1 1 6x 2 1 36x1x 2 6 x1 x 2 1 36. 3 6. 6 1 36



6
.
2
3x 2
3x1
9x1x 2
6
9.
3
2

Do đó phơng trình cần tìm có dạng y2 - 7y + 6 = 0 (2)
Chú ý :

Phơng trình (2) không nên lấy ẩn l x vì dễ gây nhầm lẫn với phơng trình
của đề bi
II. Chú ý :

Khi gặp phơng trình có tham số ( thờng l m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa
bậc hai)ta cần xét riêng trờng hợp hệ số a = 0 để kết luận trờng hợp ny có
thỏa mãn yêu cầu của đề bi hay không. Sau đó xét trờng hợp a khác 0, khẳng
định đó l phơng trình bậc hai rồi mới đợc tính .
C. hm số v đồ thị
I. Ví dụ
Đề bi 1: Cho hm số bậc nhất : y = ( 2m 5 )x + 3 với m

5
2

có đồ thị l đờng

thẳng d
Tìm giá trị của m để
a. Góc tạo bởi (d) v v trục Ox l góc nhọn, góc tù ( hoặc hm số đồng biến, nghịch
biến)
b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x 4
d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x 4y 3 = 0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có honh độ l -2

g. (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ âm)
h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

10