Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.82 KB, 7 trang )
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
BÀI 6. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG
Dạng tích phân
∫ f ( x,
a −x
∫ f ( x,
x −a
∫ f ( x,
x +a
∫
Đổi biến số
2
2
) dx
x = a sin t
2
2
) dx
x=
2
2
) dx
x = a tg t
a+x
f x,
dx
a−x
∫ f ( x,
Điều kiện biến số
t ∈ − π , π
2 2
t ∈ 0, π ∪ π, 3π
2
2
a
cos t
)
t ∈ 0, π )
2
t ∈ ( 0, π )
2
x = a cos 2t
( x − a ) ( b − x ) ) dx
)
t ∈ 0, π
2
2
x = a + ( b − a ) sin t
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1. Dạng 1:
∫
x3
12
π2
⇒ I1 =
∫
π6
∫
(1 − sin 2 t )
(1 − cos2 t )
1
=
4
32
∫
0
3
cos t dt
sin 3 t
cos4 td ( cos t )
π2
dx . Đặt x = sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
x
1/2
1
t
π/6
π/2
dx
π6
=
)
( 1 − x 2 )3
1
• I1 =
a 2 − x 2 dx . Đặt x = a sin t ; t ∈ − π , π
2 2
∫ f ( x,
2
∫
=
sin 3 t
∫
(1 − u 2 )
0
2
3 2
4
u du
(1 + u ) + (1 − u )
du −
(1 + u ) (1 − u )
2
32
∫
0
=
∫
0
1 + u2
32
∫
=
π6
1 − (1 − u
4
(1 − u 2 )
1
du =
2
4
1− u
1 1
1
1+ u
=
−
− 3ln
+ 4u
4 1 − u 1 + u
1− u
0
π2
4
cos t dt
π6
3 2
=
π2
)
2
32
∫
0
π2
4
cos t dt
sin 3 t
3 2
du =
∫
0
costdt
4
cos td ( cos t )
∫
=−
sin 4 t
π6
3 2
du
(1 − u 2 )
2
0
2
1
1
+
du −
1− u 1 + u
• I2 =
∫
( 3 − x2 ) 3 − x2 dx . Đặt u =
32
∫
0
1+ u
2
1− u
2
1+ u2
1− u
2
du
du
3 2+ 3
3 3
= 3 − ln
+
= 3 − ln ( 2 + 3 )
4 2− 3
2 2
u
3 2
∫
−
3 sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
0
3 2
189
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
0
t
du
π6
3 − 3sin2 t ( 3 cos t ) dt =
0
∫ ( cos
2
π6
2
∫
t ) dt = 9
0
=
9
4
0
π6
2
9
1 + cos 2t
dt =
2
4
1 + cos 4t
9
1 + 2 cos 2t +
dt =
2
8
∫
0
∫ 3cos
2
t 3cos2 t ( 3 cos t ) dt
0
π6
=9
3 cos t dt
π6
2
∫ (3 − 3sin t )
Khi đó: I2 =
π/6
π6
∫ (1 + 2 cos 2t + cos
t ) dt
2
0
π6
∫ ( 3 + 4 cos 2t + cos 4t ) dt
0
π6
=
9
1
9π
3 9π 81 3
3t + 2 sin 2t + sin 4t
= + 3+
+
=
8
4
82
8 16
64
0
1
• I3 =
∫ (4 − x
dx
2
0
) 4 − x2
π6
π6
∫
=
0
∫
• I4 = x
π6
2 cos t dt
0
dt
2
=
t ) 4 − 4 sin t
1
=
2
4 cos t 4
2
π6
1
t
0
π/6
∫
0
2
2costdt
2 cos t dt
∫ 4 cos
2
0
2
t 4 cos t
π6
1 π
1
1
d ( tg t ) = tg t = tg =
4 6 4 3
4
0
2
u
0
a
t
0
π/2
du
∫
∫a
0
0
2
∫
π2
2
a sin t ( a cos t ) ( a cos t ) dt = a 4
0
∫
0
4 π2
a
=
8
2
∫
0
4
(1 − cos 4t ) dt = a
8
2
2
2
sin t a − a sin t ( a cos t ) dt
π2
2
acostdt
π2
a
Khi đó: I 4 = x 2 a 2 − x 2 dx =
190
0
a − x dx ; ( a > 0) . Đặt u = a sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
2
0
=
u
du
∫ ( 4 − 4 sin
Khi đó: I3 =
a
. Đặt u = 2 sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
a4
sin t cos t dt =
4
2
π2
2
4
4
1
a π πa
t
−
sin
4t
=
⋅ =
4
8 2 16
0
π2
∫ sin
0
2
2t dt
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
0
∫
• I5 =
0
dx
-1 2
1 + − x (1 + x )
∫
=
12
dx
−1 2
=
1
− 1+x
2
4
(
1+
∫ 2+
I5 =
0
π2
∫
J=
0
cos t dt
dt
=
2 + cos t
tg t
=
arctg 2
3
3
0
π2
1/2
t
0
π/2
π2
2
3
0
1− 2
=
t
2
2
0
=
1
arctg
( x − 1)
1− 3
2
π2
∫
0
∫ cos
3
2
3 3
(
t 1 + tg 2 t + 2
2
2
3 + 2x − x
( x − 1)
1− 3
Đặt u = 2 sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
−π 4
I6 =
∫
−π 4
(1 + 2 sin t ) 2 cos t dt
2
=
2
4 sin t 4 cos t
−π 3
∫
2
−π 3
=
4 − ( x − 1)
− 3
t
−π/3 −π/4
2costdt
(1 + 2 sin t ) dt
4 sin 2 t
−π 4
−π 4
∫
∫
( )
− 2
u
du
∫
0
xdx
∫
=
)
=
2 d tg t
2
2 t
3 + tg
2
(9 − 4 3 ) π
π
π
− 2⋅
=
2
18
3 3
⇒ I13 =
1− 2
2
π2
dt
π
=
Khi đó ta có:
2
dt
π
π
= − 2J
1 −
dt = − 2
2
2 + cos t 2
2 + cos t
0
0
xdx
∫
∫
1
− u2
4
1+
(costdt)/2
π2
dt
∫ 1 + 2 cos
2
• I6 =
∫
=
1 − sin 2 t
cos t dt
=
2 + cos t
π2
0
0
du
π2
du
∫
u
1
Đặt u = sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
2
π2
)
2
2
∫
− 3
( u + 1) du
u2 4 − u2
− 2
Khi đó ta có:
−π 4
−π 4
1
dt
1
= cotg t
+
4
−π 3 2 −π 3 sin t
∫
3 −3 1
sin t dt
3 −3 1
d ( cos t )
3 − 3 1 1 + cos t
=
+
=
−
=
− ln
2
2
12
2 −π 3 1 − cos t
12
2 −π 3 1 − cos t
12
4 1 − cos t
=
−π 4
−π 3
3 −3 1 2+ 2
3 −3 1 3+2 2
− ln
− ln 3 =
− ln
12
4 2− 2
12
4
3
12
• I7 =
x 2 dx
∫
( 1 − x 2 )5
0
π6
⇒ I7 =
∫
0
. Đặt u = sin t ;t ∈ − π , π ⇒
2 2
du
π6
2
sin t cos t dt
(1 − sin 2 t )
u
t
5
=
∫
0
π6
2
sin t dt
cos 4 t
=
∫
0
0
0
1/2
π/6
costdt
π6
tg 2 t d ( tg t ) =
1 3
1
tg t
=
3
9 3
0
191
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
∫ f ( x,
2. Dạng 2:
2
π3
∫
π4
2
1
cos t
2
∫
=
cos t dt
∫
cos 4 t
π4
=
1 −1
2
cos t
sin t dt
∫ cos t
π4
=
2
tg t
π3
)
π3
2
x dx
2
π3
π3
sin t dt cos 2 t
)
t
dx
π3
π3
∫
∫
2
x −1
π3
=
=
∫
π4
2
2
π/4
π/3
sintdt/cos2 t
x
)
t
dx
2
2
π/4
π/3
sintdt/cos2 t
1 ⋅ sin t dt π 3 sin t dt π 3
2
2
4
cos t cos t = cos t = cos t dt
4
2
1 −1
sin t π 4 cos t
π4
2
2
cos t
cos t
∫
2
t)
∫
2
π3
d ( sin t )
∫ (1 − sin
π4
)
sin t dt
π π π
= dt = − =
cos t. tg t π 4
3 4 12
π4
. Đặt x = 1 ; t ∈ 0 , π ∪ π , 3π ⇒
2
2
cos t
2
x −1
2
⇒ I2 =
)
x 2 dx
∫
• I2 =
)
. Đặt x = 1 ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒
2
2
cos t
2
x x −1
2
⇒ I1 =
a
; t ∈ 0 , π ∪ π , 3π
2
2
cos t
x
dx
∫
• I1 =
)
x 2 − a 2 dx . Đặt x =
2
1 (1 + sin t ) + (1 − sin t )
=
d ( sin t )
4 π 4 (1 + sin t ) (1 − sin t )
∫
π3
2
1 1
1
1
1
1
2
=
+
+
+
d ( sin t )
d ( sin t ) =
2
2
4 π 4 1 − sin t 1 + sin t
4 π 4 (1 − sin t ) (1 + sin t ) 1 − sin2 t
∫
∫
π3
1 1
1
1 + sin t
1 2
2
2+ 3
=
−
+ ln
=
−
+ ln
−
4 1 − sin t 1 + sin t
1 − sin t π 4 4 2 − 3 2 + 3
2 − 3
−
1 2
2
2+ 2 2 3− 2 1 7−4 3
−
+ ln
+ ln
=
42− 2 2+ 2
2
4 3−2 2
2 − 2
8
• I3 =
x2 − 16
dx . Đặt x = 4 ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒
2
2
cos t
x
)
∫
4
π3
⇒ I3 =
∫
0
π3
=4
∫
0
192
)
x
t
4
0
π/3
4sintdt/cos2t
dx
4
sin
t
dt
16 12 − 1 ⋅
π3
π3
2
2
16 tg t ⋅ sin t dt
cos t
cos t
2
=
= 4 tg t dt
4
cos t
0
0
cos t
∫
∫
π3
π 3
(1 + tg 2 t ) − 1 dt = 4 d ( tg t ) − dt = 4 ( tg t − t ) π 3 = 4 3 − π
0
3
0
0
∫
∫
8
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
∫ (x
• I4 =
⇒ I4 =
−a
2
) x −a
2
⋅
1
2 1
2
a
− 1 a
− 1
2
2
cos t
cos t
dt
2
2
=
cos t tg t
1
ε.a
2
a
;t ∈ 0 , π ∪ π , π
2
2
cos t
( ) ( )
(a > 0). Đặt x =
2
1
∫
∫ ε.a
=
dx
2
∫
cos t dt
2
sin t
=
2
cos t
1
=
asintdt
ε.a
2
∫
a tg t dt
∫ ε⋅a
d ( sin t )
2
=
sin t
3
3
cos t tg t
−1
+c
2
ε.a sin t
trong đó ε = 1 nếu tgt > 0 và ε = −1 nếu tgt < 0
2a
)
∫
• I5 =
a 2
π3
∫
⇒ I5 =
x2 − a2
dx . Đặt x = a ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒
2
2
cos t
x
π4
)
x
a 2
2a
t
π/4
π/3
asintdt/cos2t
dx
a sin t dt
a 2 12 − 1 ⋅
π3
π3
2
2
2
a tg t ⋅ sin t dt
cos t
cos t
2
=
= a tg t dt
a
cos
t
π4
π4
cos t
∫
∫
π3
π 3
(1 + tg 2 t ) − 1 dt = a d ( tg t ) − dt = a ( tg t − t ) π 3 = a 3 − 1 − π
π4
π 4
12
π4
π4
π3
=a
∫
∫
2a
2
∫
• I6 =
a 2
π3
⇒ I5 =
π3
=
∫
∫
π3
2
x −a
dx . Đặt x = a ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒
2
2
cos t
2
x
)
)
x
a 2
2a
t
π/4
π/3
asintdt/cos2t
dx
a sin t dt
a 2 12 − 1 ⋅
2
cos t
cos t
π4
( )
2
π3
sin t cos t
π4
∫
cos 4 t
a
cos t
dt =
2
=
∫
2
2
∫ (1 − sin
2
t)
2
π3
2
a tg t ⋅ sin t dt
2
a cos t
π4
sin t
π4
π3
π3
=
2
sin t
∫ cos
π4
3
dt
t
2
(1 + sin t ) − (1 − sin t )
d ( sin t )
4 π 4 (1 + sin t ) (1 − sin t )
1
d ( sin t ) =
∫
π3
2
1 1
1
1
1
1
2
=
−
+
−
d ( sin t )
d ( sin t ) =
2
2
4 π 4 1 − sin t 1 + sin t
4 π 4 (1 − sin t )
(1 + sin t ) 1 − sin2 t
∫
∫
π3
1 1
1
1 + sin t
1 2
2
2 + 3 2 3 − ln ( 2 + 3)
=
−
− ln
=
−
− ln
=
4 1 − sin t 1 + sint
1 − sin t π 4 4 2 − 3 2 + 3
2
2− 3
193
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
∫
1
dx . Đặt x = tg t ;t ∈ 0, π ⇒
2
)
∫
π4
0
0
∫
2
x + 2x + 2dx =
-1
0
u
t
0
0
du
dt cos 2 t
1
=
4
0
2
cos t
2
0
∫
dt
1
π/4
π4
=
∫
0
(1 + sin t ) + (1 − sin t )
1
(1 + sin t ) (1 − sin t ) d ( sin t ) = 4
∫
π4
∫
tg 2 t + 1
0
π4
π6
∫
1
π4
u 2 + 1 du =
0
1
4
dt cos 2 t
−1
( 8 2 − 128) = 128 − 8 2
7
7
−1
1
=
dx
π/4
( x + 1)2 + 1 d ( x + 1) = u 2 + 1 du
∫
)
∫
=
7
Đặt u = tg t ;t ∈ 0 , π ⇒
2
I2 =
π4
7 sin t
∫
π/6
∫
1
( sin t )−8 d ( sin t ) = −
π6
• I2 =
t
1
3
5
∫
π6
∫
1
(1 + tg t ) 2 π 4 1 dt2 π 4 cos t dt π 4 d ( sin t )
cos t = cos t cos t =
=
8
8
8
8
tg t
tg
t
sin
t
π6
π6
π 6 sin t
dt
5
2
π4
=
)
x
x8
3
⇒ I1 =
)
( 1 + x 2 )5
1
• I1 =
x 2 + a 2 dx . Đặt x = a tg t ; t ∈ 0 , π
2
∫ f ( x,
3. Dạng 3:
dt
3
Khi đó ta có:
π4
=
cos t
π4
∫
0
∫
0
cos t dt
4
π4
∫
=
cos t
d ( sin t )
(1 − sin 2 t )2
0
2
1
1
+
d ( sin t )
1
−
sin
t
1
+
sin t
π4
1
1
2
1 1
1
1 + sin t
d ( sin t ) =
+
+
−
+ ln
(
2
2
2
4 1 − sin t 1 + sin t
1 − sin t 0
1 − sin t ) (1 + sin t ) 1 − sin t
1 2
2
2+ 2
2 1
=
−
+ ln
+ ln 3 + 2 2
=
4 2 − 2 2 + 2
2 − 2 2 4
12
• I3 =
1+ x
1+ x
u2 − 1
4udu
dx . Đặt u =
⇒x= 2
; dx =
1− x
1− x
u +1
( u 2 + 1)2
∫
0
3
⇒ I3 =
∫ (u
1
2
4u du
2
+ 1)
2
π3
⇒ I3 =
∫
π4
194
( )
t
∫
π4
(1 − cos 2u ) du = 2 u − 1 sin 2u
2
3
π/4 π/3
dt/cos2 t
du
π3
4 sin 2 u du = 2
1
u
. Đặt u = tg t;t ∈ 0 , π ⇒
2
π3
π4
=
π
3
+1−
6
2
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
3 -2
∫
• I4 =
−1
3 −2
dx
( x + 2 ) 2 ( x 2 + 4x + 5 )
3
u
1
3
t
π/4
π/3
)
du
π3
∫
⇒ I4 =
π4
cos3 t
2
tg t
π3
dt
⋅
∫
=
2
cos t
cos3 t
2
π4
=
( x + 2)2 ( x + 2)2 + 1
−1
Đặt u = tg t ;t ∈ 0 , π ⇒
2
3
dx
∫
=
3
∫
1
du
u2
( u2 +1)3
Khi đó ta có:
dt cos 2 t
π3
∫
dt =
sin t
1 − sin 2 t
sin t
2
sin t
π4
−1
− sin t
d ( sin t ) =
π3
π4
−2
3 −2
2 −7
6
9 2 −7 3
=
−
−
+
=
−
=
2 2
2 2 3 2 2
6
3
2
• I5 =
x − x 2 − 2x + 2
∫ x+
=
x − 2x + 2 x − 2x + 2
2
u +1− u +1
∫
0
π4
⋅
2
0
π4
∫
0
π4
∫
0
2
( x − 1) + 1 ( x − 1) + 1
1
)
2
2
tg t + 1 − tg t + 1
2
tg t + 1 + tg t + 1 cos
2
π4
dt
⋅
2
π
dx
⋅
2
du
0
π4
=
∫x+
u
0
1
t
0
π/4
du
dt cos 2 t
sin t + cos t − 1
∫ sin t + cos t + 1 dt
t ( tg t + 1)
=
2
0
π4
dt
π
∫ 1 − sin t + cos t + 1 dt = 4 − 2 ∫ sin t + cos t + 1 = 4 − 2J
=
J=
2
x − ( x − 1) + 1
. Đặt u = tg t ;t ∈ 0 , π ⇒
2
u +1 u +1
∫ u +1+
⇒ I5 =
=
2
2
1
1
2
dx
⋅
0
dt
=
sin t + cos t + 1
( )
π4
∫
0
d tg t
2
= ln 1 + tg t
t
2
1 + tg
2
dt
=
2 t
t
t
2 sin cos + 2 cos
2
2
2
π4
0
1
π4
∫ 2 cos
0
dt
2
(
t 1 + tg t
2
2
)
π
π
= ln 1 + tg π = ln 2 ⇒ I12 = − 2 ln 2 = − ln 2
8
4
4
)
(
1
0
2
• I 6 = ∫ x x − 2x + 2 dx = ∫ x ( x − 1) + 1 dx = ∫ ( u + 1) u 2 + 1 du
2
0
0
Đặt u = tg t ;t ∈ 0 , π ⇒
2
)
−1
u
−1
0
t
−π/4
0
du
Khi đó ta có:
dt/cos2 t
195
