Phương pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên cho tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC. TS.
Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên
cứu khóa luận. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong
Khoa Toán – Lý – Tin, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời
cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K52 ĐHSP Toán – Lý
đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2015
Người thực hiện khóa luận
Nguyễn Thị Loan


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn khóa luận ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 1
4. Giả thuyết khoa học........................................................................................... 1
5. Đối tƣợng nghiên cứu ........................................................................................ 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
7. Đóng góp của khóa luận .................................................................................... 2
8. Cấu trúc của khóa luận ...................................................................................... 2
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN .............................................................. 3
1.1. Không gian vectơ ........................................................................................... 3
1.2. Ánh xạ tuyến tính và ma trận ......................................................................... 4
1.2.1. Ánh xạ tuyến tính ........................................................................................ 4
1.2.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ..................................................................... 6
1.2.3. Hạng của ma trận ánh xạ tuyến tính ............................................................ 7

1.2.4. Ma trận khả nghịch...................................................................................... 8
1.2.5. Ma trận chuyển cơ sở .................................................................................. 9
1.2.6. Các phép toán trên các ma trận ................................................................. 10
1.3. Định thức ...................................................................................................... 11
1.3.1. Phép thế và dấu của phép thế .................................................................... 11
1.3.2. Ánh xạ đa tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính thay phiên ......................... 12
1.3.3. Định thức ................................................................................................... 13
1.3.4. Định thức với hạng của ma trận, hạng của một hệ vectơ .......................... 17
1.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính .......................................................................... 17
1.4.1. Định nghĩa ................................................................................................. 17
1.4.2. Hệ Crame................................................................................................... 19
1.4.3. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất ..................................................... 20
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN
TÍNH ................................................................................................................... 21


2.1. Dạng bài tập về ma trận ............................................................................... 21
2.1.1: Tìm hạng của ma trận................................................................................ 21
2.1.2: Tìm ma trận nghịch đảo ............................................................................ 22
2.1.3. Một số bài tập trong các đề thi Olympic ................................................... 24
2.1.4. Bài tập tự luyện ......................................................................................... 28
2.2. Dạng bài tập về định thức ............................................................................ 30
2.2.1. Khai triển định thức bằng cách áp dụng định lý Laplace ........................ 30
2.2.2. Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột..................................... 30
2.2.3. Đƣa về dạng tam giác ................................................................................ 31
2.2.4. Một số bài tập trong các đề thi Olympic ................................................... 32
2.2.5. Bài tập tự luyện ......................................................................................... 35
2.3. Dạng bài tập về giải hệ phƣơng trình ........................................................... 37
2.3.1. Hệ phƣơng trình tổng quát ........................................................................ 37
2.3.2. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất ..................................................... 41

2.3.3. Một số bài tập trong các đề thi Olympic ................................................... 42
2.3.4. Bài tập tự luyện ......................................................................................... 45
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 50


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Nhƣ chúng ta đã biết, Toán học là một phần của cuộc sống. Sự ứng dụng
của Toán học đóng vai trò ngày càng quan trọng đối với khoa học kĩ thuật.
Chính vì sự quan trọng đó các trƣờng Đại học và Cao đẳng, hầu nhƣ đối với các
ngành đào tạo, Toán học đƣợc đƣa vào từ những năm đầu. Trong đó nội dung
chủ yếu là Toán học cao cấp và nội dung cốt lõi Toán học cao cấp chính là đại
số tuyến tính đƣợc xây dựng nhƣ nội dung cơ sở, nền móng của Toán học cao
cấp.
Các khái niệm ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính trong đại số
đƣợc giảng dạy trong chƣơng trình Toán đại cƣơng của hầu hết các trƣờng Đại
học, Cao đẳng. Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt Nam
trong kì thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc và quốc tế (IMC).
Với các lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Phƣơng pháp giải một số
dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm và phƣơng pháp giải một số bài toán về ma trận,
định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp các kiến thức cơ bản về ma trận, định thức, hệ phƣơng trình
tuyến tính
Phƣơng pháp giải một số bài toán đại số tuyến tính cơ bản: các bài toán về
ma trận, định thức, cách giải hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát, thuần nhất.
4. Giả thuyết khoa học

Nếu hiểu và nắm vững phƣơng pháp giải một số dạng bài tập về ma trận,
định thức và hệ phƣơng trình tuyến tính sẽ giúp cho sinh viên giải đƣợc các bài
tập cơ bản của Đại số tuyến tính, qua đó có thể vận dụng để giải đƣợc các bài
toán trong các đề thi Olympic.

1


5. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và bài tập về phƣơng pháp giải một số dạng bài tập
đại số tuyến tính cơ bản.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu
- Phân tích tổng hợp các kiến thức
- Nghiên cứu, tích lũy kinh nghiệm bản thân, trao đổi với giáo viên hƣớng
dẫn.
7. Đóng góp của khóa luận
Là tập tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên yêu thích môn đại số ở
trƣờng Đại học Tây Bắc.
8. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận bao gồm: phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chƣơng và phần
kết luận.
Phần nội dung bao gồm các chƣơng sau:
Chƣơng 1. Các kiến thức cơ bản
Chƣơng 2. Phƣơng pháp giải một số dạng bài tập đại số tuyến tính cơ bản.

2


Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Định nghĩa
Cho tập hợp V khác rỗng mà các phần tử đƣợc kí hiệu: α,β, γ,... và trƣờng
K mà các phần tử đƣợc kí hiệu: x, y, z,... Giả sử trên V có hai phép toán:
- Phép toán trong, kí hiệu: + : V  V  V
(α,β)

α β

- Phép toán ngoài, kí hiệu: . : K  V  V
(x,α)

x.α

Khi đó V cùng với hai phép toán xác định nhƣ trên đƣợc gọi là một không
gian vectơ trên trường K, hay K – không gian vectơ, hay vắn tắt là không gian
vectơ nếu các tiên đề sau đƣợc thoả mãn với mọi α,β,γ  V và với mọi x,y,1 K
1. (α  β)  γ  α +(β  γ)
2. Có một phần tử 0  V sao cho: 0  α  α  0  α
3. Với mỗi α  V có α  V sao cho: α  α  α  α  0
4. α  β  β  α
5. (x  y).α  x.α  y.α
6. x.(  )  x.  x.
7. x.(y.α)  (x.y).α
8. 1.α  α , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trƣờng K.
Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K còn gọi là vô
hướng.
Phép toán " + " gọi là phép cộng vectơ, phép toán "." gọi là phép nhân vô
hướng với vectơ. Để cho gọn, dấu "." nhiều khi lƣợc bỏ, thay cho x.α ta viết xα .
Khi K 

, thì V đƣợc gọi là không gian vectơ thực. Khi K 

là không gian vectơ phức.

3

, thì V đƣợc gọi


1.1.2. Ví dụ
1) Tập hợp các vectơ ("tự do") trong không gian với các phép toán cộng
vectơ và nhân vectơ với một số thực trong chƣơng trình toán Phổ thông Trung
học là một không gian vectơ thực.
2) Tập K[x] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trƣờng K với phép
cộng đa thức và nhân đa thức với phần tử thuộc trƣờng K là một K – không gian
vectơ.
3) Tập số phức
với phép cộng số phức và nhân số phức là một
không gian vectơ. Trong khi đó
cùng với phép cộng và nhân số phức với một
số thực là
– không gian vectơ.
4) Tập
các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu tỉ
là một
– không gian vectơ.
1.1.3. Một số tính chất cơ bản
Cho K – không gian vectơ V ta có các tính chất sau:
1) Phần tử trung hoà 0 của phép cộng vectơ nói trong tiên đề 2 là duy nhất

và đƣợc gọi là vectơ không.
2) Phần tử đối α gọi là vectơ đối của α .
3) Quy tắc chuyển vế: từ α  β  γ suy ra α  γ  β .
4) Luật giản ƣớc: từ α  β  γ  β suy ra α  γ .
5) 0.α  0 , ở đây 0 là phần tử không của trƣờng K, còn 0 là vectơ không
của V.
6) x.0  0 .
7) Từ x.α  0 suy ra hoặc x = 0 hoặc α  0 .
8) (xα)  (x)α .
1.2. Ánh xạ tuyến tính và ma trận
1.2.1. Ánh xạ tuyến tính
1.2.1.1. Định nghĩa
Giả sử V, W là những K - không gian vectơ. Ánh xạ f : V  W đƣợc gọi
4


là một ánh xạ tuyến tính (hay đồng cấu tuyến tính hoặc đồng cấu ) nếu với mọi
,  V và mọi k  K ta có:

i) f(α  )  f(α)  f(β)
ii) f(kα) = k f(α)
Nếu W = V thì ánh xạ tuyến tính f : V  V đƣợc gọi là tự đồng cấu của
không gian vectơ V.
Nếu tự đồng cấu f : V  V là song ánh thì f đƣợc gọi là phép biến đổi
tuyến tính của không gian vectơ V.
1.2.1.2. Ví dụ
1) Giả sử V, W là hai K - không gian vectơ.
Ánh xạ  : V  W ; 

0,   V là ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ

không.
2) Ánh xạ đồng nhất id v : V  V , 

,  V là ánh xạ tuyến tính.

(Tổng quát hơn với mọi k  K ánh xạ k.id v : V  V, 

k.,  V cũng là

ánh xạ tuyến tính).
3) Gọi V = [x] là
thực. Ánh xạ đạo hàm:

- không gian vectơ các đa thức một biến với hệ số

f:

x  x
na n x n 1  ...  2a 2x  a 1

a n x n  ...  a1x  a o

là một ánh xạ tuyến tính.
1.2.1.3. Tính chất
1) Các điều kiện i), ii) trong định nghĩa tƣơng đƣơng với điều kiện sau:
f (k   l)  k.f ()  l.f (), ,  V, k,l  K.

2) Nếu f : V  W là ánh xạ tuyến tính thì:
 n

 n
a) f   x i i    x if (i ); i  V, x i  K,i  1,n.
i=1
 i =1

b) f (0)  0.
5


c) f ()  f ()
1.2.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
1.2.2.1. Định nghĩa
Giả sử V, W là những K - không gian vectơ hữu hạn chiều,   (1,..., n )
là một cơ sở của V,   (1,..., m ) là một cơ sở của W, f : V  W là một ánh xạ
tuyến tính. Khi đó nếu:
f (1 )  a11 1  a 21  2  ...  a m1  m
f ( 2 )  a12 1  a 22  2  ...  a m2  m

m

hay f( j )= a ij i , j  1,n .

...................................

i =1

f ( n )  a1n 1  a 2n  2  ...  a mn  m
 a11 a12
a
a 22

Khi đó ma trận A = (aịj) =  21


 a m1 a m2

a1n 
a 2n 


a mn 

đƣợc gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong (hay đối với) các cơ sở  và 
Chú ý: Vì  một là cơ sở của W nên các thành phần aij đƣợc xác định
duy nhất, do đó ma trận A đƣợc xác định duy nhất.
1.2.2.2. Ví dụ
1) Giả sử id v : V  V là đồng cấu đồng nhất của K – không gian vectơ V
và   (1,..., n ) là một cơ sở bất kỳ của V. Khi đó:
id V (1 )  1  1  0 2  ...  0 n
id V ( 2 )   2  01  1 2  ...  0 n
...................................
id V ( n )   n  01  0 2  ...  1 n

Do đó ma trận của id v đối với cơ sở () là:

6


1 0
0 1
I= 



0 0

0
0 
. I đƣợc gọi là ma trận đơn vị.


1

Ma trận vuông I = (aij) đƣợc gọi là ma trận đơn vị nếu
1 khi i  j
a ij  
0 khi i  j

2) Đồng cấu không  : V  W của hai K-không gian vectơ V, W với
dimV = n, dimW = m có ma trận đối với mọi cơ sở của V và W là ma trận O
kiểu (m,n) dƣới đây:
0 0
0 0
O


0 0

0
0 
.



0

O đƣợc gọi là ma trận không, tức là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.
1.2.3. Hạng của ma trận ánh xạ tuyến tính
Cho ma trận A  Mat(m  n, K)
 a11 a12
a
a 22
A = (aij) =  21


 a m1 a m2

a1n 
a 2n 


a mn 

Xem A nhƣ là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : Kn  Km trong các cơ sở
chính tắc. Khi đó nếu (1, 2 , ... , n ) là cơ sở chính tắc của Kn thì tọa độ của
f() trong cơ sở chính tắc của Km là (a1i, a2i, .., ami) nghĩa là tọa độ của vectơ cột

thứ i trong ma trận A. Do đó hạng f = hạng (f(1 ), f(2 ), ... , f(n )) = hạng của
vectơ cột của ma trận A.
1.2.3.1. Định nghĩa
Hạng của ma trận A, kí hiệu: hạng A, là hạng của hệ vectơ cột của nó (khi
xem mỗi vectơ cột đó là một phần tử của Km).
7

1.2.3.2. Định lý
Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A.
Chú ý: Nếu A là ma trận của đồng cấu f thì Hạng A = Hạng f.
1.2.4. Ma trận khả nghịch
1.2.4.1. Định nghĩa
Ma trận A Mat(n, K) gọi là khả nghịch nếu có B Mat(n, K) sao cho
A.B = B.A = In = ( ij )
0 khi i  j
ở đây ij  
1 khi i = j

In còn gọi là ma trận đơn vị cấp n.
Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và đƣợc kí hiệu là

B  A1 .
Chú ý :
a) Nếu coi A là ma trận của tự đồng cấu f : Kn  Kn trong cơ sở chính tắc
thì A khả nghịch  f là tự đẳng cấu và khi đó A 1 là ma trận của f 1 .
b) A khả nghịch   B  Mat(n, K) : B.A = In
  B Mat(n, K) : A.B = In.

c) Giả sử V là K - không gian vectơ n chiều. Khi đó tập các ma trận
vuông cấp n của tự đồng cấu f : V  V (trong K) làm thành một nhóm đối với
phép nhân ma trận kí hiệu: GL(n; K).
1.2.4.2. Ví dụ
 cost sint 
 cos t sin t 
1) Ma trận A = 

khả nghịch và A 1 = 
 vì


sin
t
cos
t
sint
cost




 cos t  sin t  cos t sin t   1 0 
 sin t cos t   sin t cos t    0 1 


 

1 0
2) Cho ma trận A= 
 . Xem A nhƣ là ma trận của tự đồng cấu
 2 1

f:

2



2

, (x1, x 2 )

(x'1, x'2 ) trong cơ sở chính tắc

8


 x'  x1
Khi đó  1
 x'2  2x1  x 2

(1)

Nếu A khả nghịch thì f khả nghịch và A 1 là ma trận của
f-1:

2



2

(x1, x 2 ) .

, (x'1, x'2 )

Từ (1) ta sẽ tìm cách biểu diễn x1, x2 qua x'1, x'2. Ta có:

 x1  x'1

 x 2  2x'1  x'2
 1 0
Vậy : A 1 = 
.

2
1



1.2.4.3. Định lý ( Công thức tính ma trận nghịch đảo)
Cho A   a ij  , nếu det A  0 thì A khả nghịch và ma trận nghich đảo A 1
của A đƣợc tính bởi công thức sau:
 A11

1
1  A12
1
t
A 
.A 
det A
det A  ...

 A1n

A 21 ... A n1 
A 22 ... A n2 

... ... ... 

A 2n ... A nn 

Trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij. A t   Aij  gọi là ma trận phụ hợp
của ma trận A.
1.2.5. Ma trận chuyển cơ sở
1.2.5.1. Định nghĩa
Giả sử (i ), (i ') , i  1,n là những cơ sở của K- không gian vectơ V. Khi
n

đó  j '   cij i , j  1,n . Ma trận C = (cij) gọi là ma trận chuyển cơ sở (từ cơ sở
i =1

(i ) sang cơ sở ( j ') ).

1.2.5.2. Định lý









Giả sử (ε)  ε1,ε 2 ,...,ε n và (ξ)  ξ1,ξ 2 ,...,ξ n là hai cơ sở của K – không
9

gian vectơ V , T  (t ij ) là ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ) ,
(x1,x 2 ,...,x n ) , (y1,y2 ,...,y n ) lần lƣợt là tọa độ của vectơ α đối với cơ sở (ε) và cơ
n

sở (ξ) . Thế thì: x i   t ij y j với mọi i 1,2,...,n .
j=1

1.2.6. Các phép toán trên các ma trận
1.2.6.1. Phép cộng
a. Quy tắc cộng ma trận
Muốn cộng hai ma trận ta chỉ việc cộng các thành phần tƣơng ứng (cùng
dòng, cùng cột) của chúng.
b. Ví dụ
 3 0 5
Cho A  
;

2
7
4



 1 5 14 
B

 6 13 8 

 3  1 0  5 5  14   2 5 19 
Khi đó A+B  


.
 2  6 7  13 4  8   4 20 4 

1.2.6.2. Phép nhân ma trận với một số
a. Quy tắc nhân ma trận với một số
Muốn nhân ma trận A với một số k ta chỉ việc nhân số k mới mọi thành
phần của A
b. Ví dụ
 12 6 3 
 4 2 1
1
Cho A  
thì
A


 7 3 5 
3
 21 9 15 



1.2.6.3. Các tính chất của các phép toán trên ma trận
a. Mệnh đề
Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với một số thuộc trƣờng K có
các tính chất sau:
1) (A + B) + C = A + (B + C)
2) A + B = B + A
3) A + 0 = A

4) A  (A)  0
10


5) k(A + B) =kA + kB
6) (k + l)A = kA + lA
7) (kl)A = k(lA)
8) 1.A = A
b. Quy tắc nhân hai ma trận
Muốn tìm thành phần cik của ma trận tích AB ta phải lấy mỗi thành phần
a ij của dòng thứ i trong ma trận A nhân với thành phần b jk của ma trận B.

c. Ví dụ
1 0 1
1 2 0
Cho A   0 1 2  ; B   1 1 2 
2 1 1
0 1 1




 1.1  0.1  1.0 1.2  0.1  1.1 1.0  0.2  1.1   1 3 1 
Khi đó AB   0.1  1.1  2.0 0.2  1.1  2.1 0.0  1.2  2.1   1 3 4 
 2.1  1.1  1.0 2.2  1.1  1.1 2.0  1.2  1.1   3 6 3 

 


1.3. Định thức

1.3.1. Phép thế và dấu của phép thế
a. Định nghĩa
Phép thế bậc n là một song ánh σ từ tập {1, 2, ... , n} lên chính nó. Ta
thƣờng viết:
2
... n 
1
σ

 σ(1) σ(2) ... σ(n) 

Rõ ràng tập các phép thế bậc n với phép lấy tích các song ánh làm thành
một nhóm kí hiệu là Sn. Nhóm này gọi là nhóm đối xứng. Nó gồm có n! phần tử.
Khi n > 1, cặp số (không thứ tự) phân biệt {i,j}

 {1,

2, ... , n} gọi là một

nghịch thế của σ nếu i – j và σ(i)  σ(j) trái dấu, tức là nếu
i j
 0.
σ(i)  σ(j)

Phép thế σ gọi là chẵn hay lẻ tuỳ số các nghịch thế của chúng là chẵn hay
lẻ.
11


Dấu của phép thế σ kí hiệu sgn( σ ), đƣợc định nghĩa bởi:

 1 neáu  chaün
sgn   
1 neáu  leûû

b. Ví dụ
1 2 3 4
Phép thế σ  
 có 5 nghịch thế là {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3},
 4 3 1 2
{2,4}. Vậy σ là phép thế lẻ sgnσ  1 .

Phép thế τ  Sn mà τ(i)  j,τ(j)  i (i  j),τ(k)  k,k  i , j gọi là một chuyển
trí (hay chuyển vị) bậc n. Mỗi chuyển trí là một phép thế lẻ.
1 2 ... i ... j ... n 
Thật vậy, giả sử i  j và τ  

1 2 ... i ... j ... n 

Khi đó tất cả các nghịch thế của  là:
{i, k} với mọi k thoả mãn i  k  j
{l, j} với mọi l thoả mãn i  1  j
tức có tất cả (j – i) + (j – i – 1) = 2(j – i) – 1 nghịch thế.
1.3.2. Ánh xạ đa tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính thay phiên
1.3.2.1. Định nghĩa
Giả sử V và W là những K – không gian vectơ , p là số nguyên lớn hơn 1.
Ánh xạ: η:V  V  ...  V  W
p

gọi là đa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với từng thành phần (trong
V  V  ...  V ). Khi đó ta còn nói η là ánh xạ p - tuyến tính từ V đến W.

Khi W = K thì η gọi là một dạng p - tuyến tính thay phiên trên V.
1.3.2.2. Ví dụ
a) Ánh xạ không: V  V  ...  V  W

 α ,α ,...,α 
1

2

p

0

là p - tuyến tính.
12


3

b) Trong chƣơng trình hình học trung học, gọi E là tập các vectơ trong
không gian, ( 1 , 2 , 3 ) là các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ Đề Các vuông
góc. Nếu:
1  a11 1  a 21  2  a 31 3
 2  a12 1  a 22  2  a 32 3
3  a13 1  a 23  2  a 33 3

Thì
- Tích vô hƣớng: E3  E3 

 , 
1

1.2  a11a12  a 21a 22  a 31a 32

2

- Tích có hƣớng: E3  E3  E3

 , 
1

1   2 

2

a 21

a 31

a 22

a 32

1 

a 31

a11

a 32

a12

2 

a11

a 21

a12

a 22

- Tích hỗn tạp: E3  E3  E3 

 , , 
1

 a13

a 21

a 31

a 22

a 32

 a 23

2

3

a 31

a11

a 32

a12

1  2  3
 a 33

a11

a 21

a12

a 22

  sgn  a (1),1a (2),2a (3),3
S3

là những ánh xạ đa tuyến tính.
1.3.3. Định thức
1.3.3.1. Định thức của hệ vectơ trong một cơ sở

a. Định nghĩa





Cho K – không gian vectơ n chiều V, ε  ε1,ε 2 ,...,ε n là một cơ sở của



n



nó. Giả sử α j   a ij εi , j  1,n . Khi đó Dε α1,...,α n   sgn(σ)a σ(1),1...a σ(n),n
i=1

σSn

gọi là định thức của hệ vectơ (α j ), j  1,n trong cơ sở  .

13

3


b. Tính chất
1) Dε là một dạng n - tuyến tính thay phiên trên V.





2) Dε α1 ,...,α n  1









3) Nếu ε  ε1 ,ε 2 ,...,εn ,α  α1 ,α2 ,...,αn , là hai cơ sở của V thì





4) Hệ α   α ,α ...,α  phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
D  α ,...,α   0 .
Dε =Dε α1,...,αn Dα , Dα =Dα ε1,...,ε n Dε

1

2

n

ε

1

n

Tính chất 4) tƣơng đƣơng với tính chất:









4') Hệ α  α1 ,α 2 ...,α n là cơ sở của V khi và chỉ khi Dε α1 ,...,α n  0 .
1.3.3.2. Định thức con và phần bù đại số
a. Định nghĩa
Giả sử D là định thức cấp n.
Ta gọi định thức M của ma trận vuông cấp k ( 1  k  n ) gồm các phần tử
nằm ở giao ở k dòng và k cột tùy ý của định thức D là một định thức con cấp k
của định thức D.
Đặc biệt định thức con cấp n của D chính là D, định thức con cấp 1 của D
là một phần tử tùy ý của D.
Ta gọi định thức con bù của định thức con M trong định thức D là định
thức con M’ thu đƣợc từ D bằng cách xóa đi k dòng và k cột lập nên định thức
con M.
Ta gọi phần bù đại số của phần tử aij là: Aij  (1)i+j Mij , trong đó Mij là
định thức con bù của aij.
b. Cách tính định thức

Định lí 1 (Về sự khai triển định thức theo một dòng hay một cột)
Cho D là một định thức cấp n. Giả sử a i1,...,a in là các phần tử nằm trên
dòng thứ i của D. Khi đó:
14


D = a i1Ai1 + ... + a in Ain .

Trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij.
Định lí 2 (Định lí Laplace).
Giả sử trong định thức D đã chọn k dòng (hoặc k cột) ( 1  k  n ). Khi đó
định thức D bằng tổng của tất cả các tích của các định thức con cấp k lập đƣợc
trên k dòng (hoặc k cột) đó với phần bù đại số của chúng.
1.3.3.3. Định thức của một ma trận vuông
a. Định nghĩa
A = (aij)  Mat(n, K) thì định thức của ma trận vuông A kí hiệu là
a11

det A hay

a12 … a1n

a 21 a 22 … a 2n
… … ... …
a n1 a n2 … a nn

đƣợc xác định bởi det A =

 sgn(σ)a

σSn

...a σ(n),n

σ(1),1

b. Ví dụ
a 
a
1) A   11 12   Mat(2,K) thì
a 21 a 22 
a
a12
1 2 
 1 2
detA  11
 sgn 
a11a 22  sgn 

 a 21a12  a11a 22  a 21a12
a 21 a 22
1 2 
2 1

 a11 a12 a13 
2) A  a 21 a 22 a 23   Mat(3,K) thì
a 31 a 32 a 33 
a11 a12 a13
1 2 3 
1 2 3

A  a 21 a 22 a 23  sgn 
a11a 22a 33  sgn 

 a 31a12a 23 
1
2
3
3
1
2




a 31 a 32 a 33

1
sgn 
1
1
sgn 
3

2 3
 1 2 3
 1 2 3
a11a 32a 23  sgn 
a 21a12a 33  sgn 



 a 21a 32a13 
3 2
2
1
3
2
3
1




2 3
a 31a 22a13
2 1 

15


 a11a 22a 33  a 21a 32a13 +a 31a12a 23  a 31a 22a13  a11a 32a 23  a 21a12a 33

Cho K =

ta đƣợc định thức cấp 2 và biểu thức toạ độ của tích hỗn tạp

trên.
c. Tính chất
1) Nếu A là ma trận của một tự đồng cấu f của K – không gian vectơ n





chiều V trong một cơ sở ε  ε1 ,ε 2 ,...,ε n nào đó thì
det A = detf



n



2) Nếu α j   a ij ε i , j = 1, 2, ... , n thì Dε α1 ,...,α n  det A
i=1

3) det In = 1
4) det (B.A) = detB.detA, A, B  Mat(n, K)
5) A khả nghịch khi và chỉ khi det A  0. (Vậy A khả nghịch khi và chỉ
khi nó không suy biến). Do đó GL(n, K) = {A Mat(n, K)| detA  0}.
1.3.3.4. Định thức của ma trận chuyển vị
a. Định nghĩa
 a11 a12
a
a 22
Cho ma trận A = (aij) =  21


 a n1 a n 2
 a11
a

t
A = (aji) =  12


 a1n

a 21
a 22
a 2n

a1n 
a 2n 
thuộc Mat(n, K) thì ma trận


a nn 

a n1 
a n 2 
gọi là ma trận chuyển vị của A.


a nn 

b. Tính chất
Cho A, B  Mat(n, K), khi đó:
1) (A + B)t = At + Bt ,
2) (B.A)t = At.Bt.
3) detAt = detA.

16


1.3.4. Định thức với hạng của ma trận, hạng của một hệ vectơ
1.3.4.1. Định nghĩa
Cho A  Mat(m  n, K). Hạng của ma trận A, kí hiệu hạng A, là hạng của
hệ vectơ cột (xem mỗi vectơ cột là một vectơ thuộc Km) của nó.
Cho A  Mat(m  n, K). Ma trận vuông cấp p + 1 có đƣợc từ A do xoá đi
một số dòng và một số cột gọi là ma trận vuông con cấp p + 1 của A. Nếu xoá
thêm một dòng, một cột nữa thì đƣợc ma trận vuông con cấp p của A bao bởi ma
trận vuông con cấp p + 1 vừa xét
1.3.4.2. Định lí
Hạng của ma trận A bằng cấp p của ma trận vuông con không suy biến mà
mọi ma trận vuông con cấp p + 1 bao nó đều suy biến.
Chú ý:
a) Từ định lí trên suy ra hạng của A cũng bằng hạng của hệ vectơ dòng
của nó.





b) Cho hệ vectơ α1 ,α 2 ,...,α n trong K – không gian vectơ m chiều V với







m

cơ sở ε  ε1 ,ε 2 ,...,ε m , α j   a ij εi , j  1,n thì hạng của hệ α1 ,α 2 ,...,α n

 chính

i=1

là hạng của ma trận A   a ij  .
1.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính
1.4.1. Định nghĩa
a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b

2n n
2
1) Hệ phƣơng trình:  21 1 22 2
...........................................
a m1x1  a m2 x 2  ...  a mn x n  b m
n

hay

a

ij

x j  bi ,i  1,m (1)

j=1

gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát (gồm m phƣơng trình, n ẩn số).
Trong đó aij, bi cho trƣớc ( j  1,n;i  1,m ) thuộc K, xj ( j  1,n ) là các ẩn số, aij
gọi là những hệ số, bi gọi là hệ số tự do.
17


 a11 a12
a
a 22
Ma trận A = (aij) =  21


 a m1 a m2

 a11 a12

a
a 22
bs
Ma trận A =  21


 a m1 a m2

a1n 
a 2n 
gọi là ma trận các hệ số.



a mn 

a1n
a 2n
...
a mn

b1 

b2 
... 

bm 

có đƣợc bằng cách thêm vào hệ số tự do gọi là ma trận bổ sung.
 x1 
x 
2) Nếu kí hiệu ma trận cột các ẩn số x   2  và ma trận cột các hệ số tự
 
 
 xn 
 b1 
b 
do    2  thì hệ phƣơng trình tuyến tính trên có thể đƣợc viết dƣới dạng ma
 
 
 bm 

trận là: A.x   (2)
3) Nếu gọi vectơ cột thứ j của ma trận A là  j  (a1j ,a 2 j ,...,a mj )  K m , vectơ

cột tự do là   (b1,b2 ,...,bm )  K m thì hệ phƣơng trình tuyến tính có thể viết
đƣợc dƣới dạng vectơ:

n

x 
j1

j

j



(3)

Định nghĩa: Hai hệ phƣơng trình tuyến tính cùng có số ẩn số n gọi là
tƣơng đƣơng nếu các tập nghiệm của chúng (coi là tập con của Kn) trùng nhau.
Nhận xét : Cho hệ phƣơng trình tuyến tính:

n

a x
ij

j

 bi ,i  1, m (1)

j =1

Nếu: - Đổi chỗ hai phƣơng trình của hệ;
- Nhân một phƣơng trình của hệ với k  0 thuộc K;
- Cộng vào một phƣơng trình một tổ hợp tuyến tính của các phƣơng trình
còn lại
18


thì ta đƣợc một hệ phƣơng trình tuyến tính mới tƣơng đƣơng với hệ đã cho.
1.4.2. Hệ Crame
1.4.2.1. Định nghĩa
Hệ phƣơng trình tuyến tính n phƣơng trình, n ẩn số mà ma trận các hệ số
của nó không suy biến gọi là một hệ Crammer.
1.4.2.2. Định lí
Hệ Cramer có một và chỉ một nghiệm
1.4.2.3. Công thức tính nghiệm
Viết hệ phƣơng trình tuyến tính dƣới dạng vectơ:

n

x 
j1

j

j

 thì với mỗi

j  1,n ta có:

n

Dε (α1 ,α 2 ,...,α j-1 ,β,α j+1 ,...,αn )  Dε (α1 ,α 2 ,...,α j1 , x j α j ,α j+1 ,...,αn )  x jDε (α1 ,...,αn )
j=1

Kí hiệu:   x jDε (α1,...,αn )  detA
 j =Dε (α1,α2 ,...,α j-1,β,α j+1,...,α n )

dễ thấy  j là định thức của ma trận có đƣợc từ A bằng cách thay cột thứ j của A
bằng cột tự do. Khi đó: x j 

j


, j  1,n .

Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình
 z 1
x

 x  2y  z  2
2x  y  2z  3


Giải
1
  1
2

0

1

2

1 20

1 2

Vậy hệ trên là hệ Cramer, ta có :

19


1

0

1

1  2

2

1  3;  2  1 2 1  2;  3  1

3 1 2

1
2

1 1

1

3 2

2

0

1

2

2 5

1 3

1
3

x





2




Vậy  y  2  1


3 5

z    2

1.4.3. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất
1.4.3.1. Định nghĩa
Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất có dạng :
a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  0
a x  a x  ...  a x  0
 21 1
22 2
2n n
hay AX = 0 (2)

...........................................


a m1x1  a m2 x 2  ...  a mn x n  0
Trong đó A = (aij) cho trƣớc ( j  1,n; i  1,m ) thuộc K, X = (xj) ( j  1,n ) là các
ẩn số (gồm m phƣơng trình, n ẩn số) aij gọi là những hệ số.
1.4.3.2. Ý nghĩa
+ Hệ (2) luôn có một nghiệm X = (0,0,...,0) là nghiệm tầm thƣờng.
+ Nếu hạng A = n thì hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thƣờng.
+ Nếu hạng A < n thì hệ (2) có vô số nghiệm phụ thuộc tham số.
1.4.3.3. Nhận xét

+ Hệ chỉ có nghiệm tầm thƣờng nếu detA  0 .
+ Hệ có nghiệm không tầm thƣờng khi detA  0 .
+ Tổng hai nghiệm x1  x 2 cũng là nghiệm của hệ (2); kx1,kx 2 cũng là
nghiệm của hệ (2).
+ Nếu y1 ,y2 là hai nghiệm của hệ (1) thì y1  y2 là nghiệm của hệ (2).
+ Tập các nghiệm của hệ (2) lập thành một không gian vectơ.
1.4.3.4. Định lí (Kronecker – Capelli hay Gauss)
Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát

n

a x
ij

j =1

chỉ khi hạng A = hạng Abs.

20

j

 bi ,i  1, m có nghiệm khi và


Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2.1. Dạng bài tập về ma trận
2.1.1: Tìm hạng của ma trận
Ta cũng có thể dùng một số phép biến đổi trên ma trận để tìm hạng của

ma trận.
2.1.1.1. Định nghĩa
Các phép biến đổi sau đây đƣợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên ma
trận:
1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau
2) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số khác 0
3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số rồi cộng
vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dòng (cột) khác.
2.1.1.2. Định lý
Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thì hạng của ma
trận đƣợc thu bằng hạng của ma trận đã cho.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận
 3 2 7 8 
 1 0 5 8 

A
 4 2 2 0 


1 0 3 7

Giải
Đổi chỗ dòng thứ nhất và dòng thứ tƣ cho nhau
3
7 
1 0 3 7
1 0
 1 0 5 8  D1  D2
0 0


8

1
D

(

4)

D
1
3

 


 4 2 2 0  D3  ( 3) D4  0 2 10 28 




2
29 
 3 2 7 8 
0 2

21


Đổi chỗ dòng thứ hai và dòng thứ tƣ cho nhau

3
7 
1 0
1
0 2
2
29  D2  D3  0


 0 2 10 28 
0



8
1 
0 0
0

7
1
29  D3  D4  0

0
0 8 1 


0 8 1 
0
0

2

3
2

7
29 
0 8 1 

0 0 0
0
2

3
2

Ma trận cuối có định thức cấp 3
1 0

3

D 0 2

2  16  0

0 0 8

Vậy hạng A = 3
Chú ý: Ta cũng có thể áp dụng bài toán tìm hạng của ma trận vào bài toán
tìm cơ sở của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ.

2.1.2: Tìm ma trận nghịch đảo
2.1.2.1. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức
 a11 a12 … a1n 
a
a 22 … a 2n 
21

Giả sử A 
và A  0 .
 … … ... … 


 a m1 a m2 … a mn 

A ij là phần bù đại số của thành phần a ij của ma trận A. Khi đó :
 A11

1  A12
1
A 
A …

 A1m

A 21
A 22
…
A 2m

… A n1 

… A n2 
... … 

… A mn 

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1 3 0 
A   0 2 1
3 1 5 



Giải

22