CASIOdap an bai 2 bài 2 THỦ THUẬT CASIO KHỬ căn THỨC

Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
BÀI 2 : THỦ THUẬT CASIO KHỬ CĂN THỨC
C – BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Giải phương trình :

4 x 2  5 x  9  24 x  5 x  2

Bài 2. Giải phương trình :

4 x 2  3 x  1  3 x  1 2 x 2  2 x 1

Bài 3. Giải phương trình :

3 x 2  3x  2

Bài 4. Giải phương trình :

x 2  3 x 1  6 x 3

x 2  x  3  3 2 x 2  9 x  10  0

Bài 5. Giải phương trình :

2 x  x 1  4 24 x  7

Bài 6. Giải phương trình :

3 x  30 18 x  2  x  2  0

Bài 7. Giải phương trình :

4 x 1  3 2 x  1 x  1  2 x  1  0

Bài 8. Giải phương trình :

2 x 2 10 x  11  x  4  x  3

Bài 9. Giải phương trình :
Bài 10. Giải phương trình :
Bài 11. Giải phương trình :

6

3

70 3 x 1  41  3 x 1 1

135 10 x 2  30 x  12  x

5 x 3 12 x  3  5 x 2  2 x  7 x 2  x 1

Bài 12. Giải phương trình :
Bài 13. Giải phương trình :
Bài 14. Giải phương trình :

Anh: BÙI THẾ VIỆT

x 2  x 1  3 x 2  7 x  3  0
2 x 2  x 1  3 2 x 2  7 x  3  0

x 3  2 x 2  3 x  2  2 x 3  x 1  0

Fb:facebook.com/viet.alexander.7

1


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
BÀI 2 : THỦ THUẬT CASIO KHỬ CĂN THỨC
D – LỜI GIẢI
Chú ý : Các lời giải này được thực hiện trên máy tính VINACAL VN PLUS II
Bài 1. Giải phương trình :
4 x 2  5 x  9  24 x  5 x  2 .

Hướng dẫn :
Cách 1 : Ta có :
Bước 1 : Bình phương hai vế :

4 x 2  5 x  9  24 x  5 x  2  4 x 2  5 x  9  4 4 x  5  x  2
2

2

Bước 2 : Rút gọn :

4 x 2  5 x  9

2

 4 4 x  5  x  2  16 x 4 104 x3  129 x 2  130 x 119
2

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
16 x 4 104 x 3  129 x 2  130 x 119   x  14 x 174 x 2 13 x  7
Cách 2 : (thủ thuật CASIO giải PTVT một căn thức)
Bước 1 : Đặt t  x  2 ta được x  t 2  2
Bước 2 : Biến đổi biểu thức và rút gọn :
4 x 2  5 x  9  24 x  5 x  2

 4t 2  2  5t 2  19  24t 2 13 t
2

 4t 4  8t 3  21t 2  26t  35
Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
4t 4  8t 3  21t 2  26t  35   2t  5  t  1  2t 2  t  7 
Bước 4 : Trả lại căn cho em :
 2t  5 t  1  2t 2  t  7   2 x  2  5







x  2 1 2x  3  x  2



Lời giải : ĐKXĐ : x  2 .
Cách 1 : Ta có :
4 x 2  5 x  9  24 x  5 x  2
 4 x 2  5 x  9  4 4 x  5  x  2
2

2

 16 x 4 104 x3  129 x 2  130 x 119  0
  x  14 x 174 x 2 13 x  7  0

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

1


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7

13  57
 x  1  x 



8

17  
x 
13  57

4  x 
8

17
13  57
Thử lại chỉ thấy x 
hoặc x 
thỏa mãn đề bài.
4
8
13  57
17
Kết luận : x 
hoặc x 
8
4
Cách 2 : Ta có :
4 x 2  5 x  9  24 x  5 x  2





 2 x  2 5





x  2 1 2 x  3  x  2  0


17
 4  x  2  25
x 

2 x  2  5

4

2

 
 


2
x

3

x


2
2


4 x 13 x  7  0




 2 x  3  x  2



2 x  3  0

2 x  3  0


17
x 

4
(thỏa mãn ĐKXĐ)


13  57
x 

8

13  57
17
hoặc x 
4
8
Bài 2. Giải phương trình :
Kết luận : x 

4 x 2  3 x  1  3 x  1 2 x 2  2 x 1 .

Hướng dẫn :
Cách 1 : Ta có :
Bước 1 : Bình phương hai vế :

4 x 2  3 x  1  3 x  1 2 x 2  2 x 1  4 x 2  3 x  1  9 x  1 2 x 2  2 x 1
2

2

Bước 2 : Rút gọn :

4 x 2  3 x 1

2

 9 x  1 2 x 2  2 x 1  2 x 4  6 x3  44 x 2  42 x  10
2

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
2 x 4  6 x3  44 x 2  42 x  10  2 x 2  3 x  1 x 2  6 x  5

Cách 2 : (thủ thuật CASIO giải PTVT một căn thức)
4 x 2  3 x  1  3 x  1 2 x 2  2 x 1 

Anh: BÙI THẾ VIỆT





2 x 2  2 x 1  2 x 1



2 x 2  2 x 1  x  2  0

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

2


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
Lời giải : ĐKXĐ : 2 x 2  2 x  1  0 .
Ta có :
4 x 2  3 x  1  3 x  1 2 x 2  2 x 1
 4 x 2  3 x  1  9 x  1 2 x 2  2 x 1
2

2

 2 x 4  6 x3  44 x 2  42 x  10  0
 2 x 2  3 x  1 x 2  6 x  5  0
 x 2  3 x 1  0
3  5
  2
 x  3  14  x 
2
 x  6 x  5  0
3  5
Thử lại thấy chỉ có x  3  14 hoặc x  3  14 hoặc x 
thỏa mãn đề bài
2
3  5
Kết luận : x  3  14 hoặc x  3  14 hoặc x 
2
Bài 3. Giải phương trình :

3 x 2  3 x  2

x 2  3 x 1  6 x 3 .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Bình phương hai vế :

3 x 2  3 x  2

x 2  3 x 1  6 x 3  3 x 2  3 x  2  x 2  3 x 1  36 x 6
2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

3 x 2  3 x  2  x2  3 x 1  36 x6  27 x6  45 x5  42 x 4  39 x3  29 x 2  24 x  4
2

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
2
27 x 6  45 x5  42 x 4  39 x3  29 x 2  24 x  4   x  21  3 x 3 x3  3 x 2  x  2
Bước 4 : Để ý rằng :
 3  33

 x0
 6
2
3
2
x  3 x 1  6 x  x 3 x  3 x  2  0  
 x20

3

33
x 

6



3 x 2  3 x  2



3 x3  3 x 2  x  2  x 3 x 2  3 x  2  x  2  0

Bài toán được giải quyết
Lời giải : ĐKXĐ : x 2  3 x  1  0 .

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

3


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7

Ta có : 3 x 2  3 x  2

 3  33

 x0
 6
2
3
2


x  3 x 1  6 x  x 3 x  3 x  2  0 
 x20

3

33
x 

6

Do đó : 3 x 3  3 x 2  x  2  x 3 x 2  3 x  2  x  2  0 . Vậy ta có :

3 x 2  3 x  2 x 2  3 x 1  6 x3
2
 3 x 2  3 x  2  x 2  3 x 1  36 x 6
2
  x  21  3 x 3 x 3  3 x 2  x  2  0
 x  2


1
x  

3
1
Thử lại thấy chỉ có x   thỏa mãn đề bài
3
1
Kết luận : x   .
3

Bài 4. Giải phương trình :
x 2  x  3  3 2 x 2  9 x  10  0 .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :

x 2  x  3  3 2 x 2  9 x  10  0   x 2  x  3  2 x 2  9 x  10  0
3

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

 x 2  x  3

3

 2 x 2  9 x  10  x 6  3 x5  6 x 4  17 x3  20 x 2  36 x 17

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
x 6  3 x5  6 x 4  17 x3  20 x 2  36 x 17   x 2  2 x 1 x 4  x 3  7 x 2  2 x  17
Bước 4 : Để ý rằng : (xem thêm tại bài đọc them số 2)
2
2
 2 x 19 
 18 
7
43
4
3
2
 x  x  7 x  2 x  17   x      x   

0

2 5
20 
7  175
Bài toán được giải quyết
2
2

x 19 
7  18 
43
Lời giải : Ta có : x 4  x 3  7 x 2  2 x  17   x 2      x   
 0 x


2 5
20 
7  175
Vậy ta có :

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

4


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại

Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
x 2  x  3  3 2 x 2  9 x  10  0
  x 2  x  3  2 x 2  9 x  10  0
3

  x 2  2 x 1 x 4  x 3  7 x 2  2 x  17  0

 x  1 2
 x 2  2 x 1  0  
 x  1 2
Kết luận : x  1 2 hoặc x  1  2
Bài 5. Giải phương trình :
2 x  x 1  4 24 x  7 .
Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
4
2 x  x 1  4 24 x  7  16 x 4  x 1  24 x  7
Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)
4
16 x 4  x 1  24 x  7  16 x 8  64 x 7  96 x 6  64 x 5  16 x 4  24 x  7
Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
16 x8  64 x 7  96 x 6  64 x 5  16 x 4  24 x  7  2 x 2  4 x  18 x 6 16 x 5  12 x 4  2 x 2  4 x  7
Bước 4 : Để ý rằng :
2
2
 8 x 6 16 x 5  12 x 4  2 x 2  4 x  7  8 x 1 x 4  4 x 4  2 x  1  5  0
Bài toán được giải quyết
2
2

Lời giải : Ta có : 8 x 6 16 x 5  12 x 4  2 x 2  4 x  7  8 x 1 x 4  4 x 4  2 x  1  5  0 x
Vậy ta có :

2 x  x 1  4 24 x  7  16 x 4  x 1  24 x  7
4

 2 x 2  4 x  18 x 6 16 x 5  12 x 4  2 x 2  4 x  7  0
 2 x 2  4 x 1  0  x 

2 2
2

2 2
thỏa mãn đề bài
2
2 2
Kết luận : x 
.
2
Bài 6. Giải phương trình :
3 x  30 18 x  2  x  2  0 .
Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
Thử lại chỉ thấy x 

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

5

Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
3 x  30 18 x  2  x  2  0  3 x  30  18 x  2  x  2



 3 x  30  18 x  2  x  2
2



2

 9 x 2 145 x  254  36 x 2  4

 9 x 2 145 x  254  362  x 2  4  0
2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

9 x 2 145 x  254

2

 362  x 2  4  81x 4  2610 x3  24301x 2  73660 x  69700

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :

9 x 2 145 x  254

2

 362  x 2  4   x  29 x  829 x 2 190 x  425

Bài toán được giải quyết
Lời giải : ĐKXĐ: x  2 . Ta có :
3 x  30 18 x  2  x  2  0  3 x  30  18 x  2  x  2



 3 x  30  18 x  2  x  2
2



2

 9 x 2 145 x  254  36 x 2  4

 9 x 2 145 x  254  362  x 2  4  0   x  29 x  829 x 2 190 x  425  0
2


 x  95  20 13
x  2



9

82  
x 
95  20 13

9  x 
9

95  20 13
82
Thử lại chỉ thấy x  2 hoặc x 
hoặc x 
thỏa mãn đề bài
9
9
95  20 13
82
Kết luận : x  2 hoặc x 
hoặc x 
9
9
Lưu ý : Cách 2 : (Thủ thuật CASIO giải PTVT nhiều căn thức)







3 x  30 18 x  2  x  2  2 x  2  x  2  4 2 x  2  x  2  5
Bài 7. Giải phương trình :
4 x 1  3 2 x  1 x  1  2 x  1  0 .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :





4 x 1  3 2 x  1 x  1  2 x  1  0  4 x 1  x  1 3 2 x  1  2





2

 4 x 1   x  1 3 2 x  1  2  2 x 2  39 x  12  12  x  1 2 x  1
2

 2 x 2  39 x  12  144  x  1 22 x  1
2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

6


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7

2 x 2  39 x 12

2

144  x  1 22 x  1  4 x 4 132 x 3  849 x 2  360 x

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :

2 x 2  39 x 12

2

144  x  1 22 x  1  x  x  244 x 2  36 x 15

Bài toán được giải quyết
1
Lời giải : ĐKXĐ: x   . Ta có :
2
4 x 1  3 2 x  1 x  1  2 x  1  0









 4 x 1  x  1 3 2 x  1  2  4 x 1   x  1 3 2 x  1  2
2

2

 2 x 2  39 x  12  12  x  1 2 x  1  2 x 2  39 x  12  144  x  1 22 x  1
2


x  9  4 6


x

0
2
 x  x  244 x 2  36 x 15  0  

 x  24 
x  94 6

2

94 6
thỏa mãn đề bài
2
94 6
Kết luận : x  24 hoặc x 
2
Bài 8. Giải phương trình :

Thử lại chỉ thấy x  24 hoặc x 

2 x 2 10 x  11  x  4  x  3 .
Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
2 x 2 10 x  11  x  4  x  3  2 x 2 10 x  11  x  4   x  3

2

 2 x 2 10 x  11  x 2  5 x  5  2 x 2 10 x  11   x 2  5 x  5

2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

2 x 2 10 x  11  x 2  5 x  5  x 4  10 x 3  33 x 2  40 x 14
2

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
x 4  10 x3  33 x 2  40 x 14   x 2  6 x  7 x 2  4 x  2
Bài toán được giải quyết
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.

Kết luận : x  3  2
Bài 9. Giải phương trình :
6

Anh: BÙI THẾ VIỆT

70 3 x 1  41  3 x 1 1 .

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

7


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
Hướng dẫn :
Bước 1 : Đặt t  3 x 1 . Khử căn thức :
70t  41  t 1  70t  41  t 1
Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)
6
70t  41 t 1  t 6  6t 5 15t 4  20t 3 15t 2  76t  42
Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
t 6  6t 5 15t 4  20t 3 15t 2  76t  42  t 2  4t  2t 4  2t 3  5t 2  4t  21
6

6

Bước 4 : Để ý rằng :

 1
 t  2t  5t  4t  21  t  t   4t    20  0
 2 
Bài toán được giải quyết
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Kết luận : x  21 14 2 .
Bài 10. Giải phương trình :
4

3

2

3

2

2

2

135 10 x 2  30 x  12  x .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
3

135 10 x 2  30 x  12  x  135 10 x 2  30 x  x 3 12

 135 10 x 2  30 x   x 3 12

2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

135 10 x 2  30 x   x3 12  x 6  24 x3 10 x 2  30 x  9
2

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
x 6  24 x 3 10 x 2  30 x  9   x 2  x 1 x 2  2 x 1 x 2  3 x  9
Bài toán được giải quyết
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Kết luận : x  1  2 .
Bài 11. Giải phương trình :
5 x 3 12 x  3  5 x 2  2 x  7 x 2  x 1 .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
5 x 3 12 x  3  5 x 2  2 x  7 x 2  x 1
 5 x 3 12 x  3  5 x 2  2 x  7  x 2  x 1
2

2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

8


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7

5 x3 12 x  3  5 x 2  2 x  7  x2  x 1  45 x5 189 x 4  52 x3 141x 2  93 x  58
2

2

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
45 x 5 189 x 4  52 x 3  141x 2  93 x  58  3 x  23 x 2  x  15 x 2  26 x  29
Bài toán được giải quyết
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
13  2 6
Kết luận : x 
.
5
Bài 12. Giải phương trình :
x 2  x 1  3 x 2  7 x  3  0 .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
x 2  x 1  3 x 2  7 x  3  0
  x 2  x 1  x 2  7 x  3  0
3

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

 x 2  x 1

3

 x 2  7 x  3  x 6  3 x5  5 x3  x 2 10 x  4

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
x 6  3 x 5  5 x 3  x 2 10 x  4   x 2  2 x 1 x 4  x 3  x 2  2 x  4
Bước 4 : Để ý rằng :

x 
3
2 8
x 4  x3  x 2  2 x  4   x 2  1   x     0

2 
4 
3 3
Bài toán được giải quyết
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Kết luận : x  1  2 .
Bài 13. Giải phương trình :
2

2



2 x 2  x 1  3 2 x 2  7 x  3  0 .

Hướng dẫn :
Bước 1 : Khử căn thức :
2 x 2  x 1  3 2 x 2  7 x  3  0
 2 x 2  x 1  2 x 2  7 x  3  0
3

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

2 x 2  x 1

3

 2 x 2  7 x  3  8 x 6 12 x5  6 x 4  11x3  5 x 2  4 x  4

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :
8 x 6 12 x 5  6 x 4  11x 3  5 x 2  4 x  4   2 x 1 x  14 x 4  8 x 3  3 x 2  4

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7

9


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7

Bước 4 : Để ý rằng :


1
2 5
4 x  8 x  3 x  4  4 x 2  x    3 x     0


2
3 3
Bài toán được giải quyết
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
1
Kết luận : x  .
2
Bài 14. Giải phương trình :
2



4

3

2

2

x3  2 x 2  3 x  2  2 x 3  x 1  0 .
Hướng dẫn :

Bước 1 : Khử căn thức :
x 3  2 x 2  3 x  2  2 x 3  x 1  0
  x3  2 x 2  3x  2  4  x 3  x 1
2

Bước 2 : Rút gọn : (có thể bỏ qua)

 x3  2 x 2  3x  2

2

 4  x3  x 1  x 6  4 x5  2 x 4  12 x3  x 2 16 x  8

Bước 3 : Phân tích thành nhân tử :

x 6  4 x5  2 x 4  12 x 3  x 2 16 x  8   x3  x 2  8 x  8 x 1

3

Bước 4 : Để ý rằng :



0  x  3
x3  2 x 2  3 x  2  2 x3  x 1  0  x  x  1 x  3  2  0  
 x3
 x  1
x3  x 2  8 x  8   x  3 x 2  2 x  2 14  0 x  3

Bài toán được giải quyết

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Kết luận : x  1 .

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb: facebook.com/viet.alexander.7 10


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
BÀI 2 : THỦ THUẬT CASIO KHỬ CĂN THỨC
E – BÀI ĐỌC THÊM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TỔNG QUÁT

Giả sử chúng ta cần giải phương trình bậc 4 như sau : x 4  ax3  bx 2  cx  d  0
Cách giải thì như sau :
Bước 1 : Biến đổi phương trình lại thành :
x 4  ax3  bx 2  cx  d  0
2

 2 ax
 
a2

  x   k   b   2 k  x 2  c  ak  x  d  k 2  0


 
4
4



a2
2
Bước 2 : Tìm k sao cho b   2k  x 2  c  ak  x  d  k 2  A  x  B


4


Khi đó k là nghiệm của phương trình :


a2
2
  c  ak   4 b   2k d  k 2   0

4


 8k 3  4bk 2  2 ac  4 d  k  da 2  c 2  4bd  0
Bước 3 : Biến đổi biểu thức thành :
x 4  ax3  bx 2  cx  d  0
2

 2 ax

 
2 ak  c  
a2


 x  2
  x   k   2 k   b

 
2
4
a  4b  8k 


2

2

 a 2  4b  8k 2 x 2  ax  2k   a 2  4b  8k  x  2ak  2c
2

Từ đây ta có thể biện luận được nghiệm của phương trình.
Thông thường phương trình bậc 4 có 4 nghiệm là :


a 2  4b  8 k
a
2 2
a 3  4ab  8c



x




a

2
b

4
k

1


4
4
4
a 2  4b  8 k





a 2  4b  8 k
a
2 2
a 3  4ab  8c


x2   

a  2b  4k 


4
4
4

a 2  4b  8 k




a 2  4b  8 k
a
2 2
a 3  4ab  8c

x3   

a  2b  4k 


4
4
4
a 2  4b  8 k






a 2  4b  8 k
a
2 2
a 3  4ab  8c


x




a

2
b

4
k

4


4
4
4
a 2  4b  8 k





Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb:facebook.com/viet.alexander.7

1


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
Ví dụ, phương trình 8 x 4  8 x 3  24 x 2 12 x  15  0 sẽ có 4 nghiệm là :

 x   1 
 1
4




 x2   1 

4





 x3   1 

4




1
 x4   
4




1
1
9
125 
9
125 
 cos  arccos
  cos  arccos


3
3
16
128 

8
128 

1
1
125 
8 9  16cos  arccos

 3
128 

1
1
9
125 
9
125 
 cos  arccos
  cos  arccos


3
3
16
128 
8
128 

1
1

125 
8 9  16cos  arccos

 3
128 

1
1
9
125 
9
125 
 cos  arccos
  cos  arccos


3
3
16
128 
8
128 
1
1
9
125 
9
125 
 cos  arccos
cos  arccos

 



3
3
16
128 
8
128 

1
1
125 
8 9  16cos  arccos

 3
128 

1
1
125 
8 9  16cos  arccos

3
128 

Qua bài đọc thêm này, anh có hai điều muốn chia sẻ :
 Bạn nào có đam mê về lập trình tin học sẽ có những thuật toán nhanh chóng tìm
được chính xác nghiệm của phương trình bậc 3, 4, …

 Bạn nào thắc mắc về việc giải những bài toán sai đề sẽ khó khăn như nào thì các
bạn có thể thấy việc giải chúng vô cùng khó khăn vì nghiệm của nó có thể khủng
khiếp hơn nhiều và có khi không thể viết dưới dạng căn thức được (theo Galoa)
Phần tiếp theo của bài đọc thêm này sẽ là việc Chứng minh phương trình bậc 4 vô
nghiệm tổng quát :
Như trong bài giảng của anh, việc chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm dựa trên
điểm rơi của bài toán mà nhờ vậy mà chúng ta có cách phân tích thành tổng bình
phương khá hay. Tuy nhiên, vì thời lượng của video có hạn nên anh không nói chuyên
sâu được vấn đề này và các ví dụ của anh thường là ví dụ đơn giản. Nhân có bài đọc
thêm này, anh sẽ chia sẻ cho các em cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm áp
dụng cho mọi bài :
f  x  x 4  ax3  bx 2  cx  d  0
Ta vẫn đi tìm k   sao cho :



a
x 4  ax3  bx 2  cx  d   x 2  x  k   0 x


2
Các bước tìm k   khá đơn giản như sau :
Bước 1 : Đạo hàm :
f ' x  4 x3  3ax 2  2bx  c
2

Bước 2 : Giải phương trình f ' x  4 x3  3ax 2  2bx  c  0 ta được :


Một nghiệm  đây chính là điểm rơi của bài toán

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb:facebook.com/viet.alexander.7

2


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7


Nhiều nghiệm  ta cần thử xem nghiệm nào làm f  x min . Khi đó nghiệm đấy sẽ

là điểm rơi của bài toán.
Bước 3 : Sau khi tìm được điểm rơi x  x0 của bài toán, ta sẽ tìm k   sao cho :
a
k  x0 2  x0 nhất
2
Bước 4 : Sau khi tìm được k , ta chỉ việc lấy :
2
2



a
n 

n2
x 4  ax3  bx 2  cx  d   x 2  x  k   mx 2  nx  p  m  x 

p

0




2
2m 
4m
Vậy là chúng ta có cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm rồi.
Lấy ví dụ nhé :
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
x4  x2  x  2  0
Ta cần lấy :
x 4  x 2  x  2  x 2  k 

2

Bước 1 : Đạo hàm : 4 x3  2 x  1
Bước 2 : Giải phương trình :
4 x3  2 x  1  0  x0  0.884646177
Bước 3 : Tìm k bằng cách :
4
k  x02  0.7825988  k=  0.8= 
5
Bước 4 : Lấy :

2
2
 2 4 
3 2
34 3
5 
283
4
2

x  x  x  2   x    x  x    x   
0


5
5
25 5
6  300

4  3
5
283
Kết luận : x  x  x  2   x 2     x   
0

5  5
6  300
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
2 x4  x3  x2  5 x  4  0
Ta cần lấy :

2
 2 x

4
3
2

2 x  x  x  5 x  4  2  x   k 


4
4

2

2

2

Bước 1 : Đạo hàm : 8 x3  3 x 2  2 x  5
Bước 2 : Giải phương trình :
8 x3  3 x 2  2 x  5  0  x0  0.8309727
Bước 3 : Tìm k bằng cách :
x
9
k  x02  0  0.898258  k=  0.9= 
4
10

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb:facebook.com/viet.alexander.7

3


Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7
Bước 4 : Lấy :


x 9
99 x 2 41x 119 99 
82  1688
2 x 4  x 3  x 2  5 x  4  2  x 2    


  x   
0

4 10 
40
10
50
40 
99 
2475

2

2


x 9
99 
82  1688
Kết luận : 2 x  x  x  5 x  4  2  x 2      x   
0


4 10 
40 
99 
2475
Ví dụ 3 : Giải phương trình :
2 x 4  2 x3  4 x 2  x  8  0
Ta cần lấy :
2


x
2 x 4  2 x3  4 x 2  x  8  2  x 2   k 


2
4

3

2

2

2

Bước 1 : Đạo hàm : 8 x3  6 x 2  8 x 1
Bước 2 : Giải phương trình :

 x1  1.4817892

8 x  6 x  8 x 1  0   x2  0.5884286

 x  0.1433605
 3
3

2

Thành thử thấy :


f  x1   0.870477


 f  x   7.850696  f  x  min  0.870477  x  x  1.4817892

2
0

1




 f  x3   8.067889
Bước 3 : Tìm k bằng cách :
x
3
k  x02  0  1.454804  k  1.5  
2
2
Bước 4 : Lấy :
2
2

x 3
3
7 3
4 5
2 x 4  2 x3  4 x 2  x  8  2  x 2     x 2  4 x    x     0

2 2
2
2 2 
3 6

x 3
3
4 5

Kết luận : 2 x  2 x  4 x  x  8  2  x 2      x     0

2 2
2 
3 6
Ví dụ 4 : Giải phương trình :
x4  2 x3  x 2  2 x  2  0
Ta cần lấy :
4

3

2

2

2

x 4  2 x 3  x 2  2 x  2  x 2  x  k 

2

Bước 1 : Đạo hàm : 4 x3  6 x 2  2 x  2
Bước 2 : Giải phương trình :

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb:facebook.com/viet.alexander.7

4

Khoá học: ỨNG DỤNG THỦ THUẬT CASIO

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại
Anh: BÙI THẾ VIỆT
Fb: facebook.com/viet.alexander.7

Thành thử thấy :


1
 x1 

2


1 5
4 x3  6 x 2  2 x  2  0   x2 

2


 x3  1  5

2


41
 f  x1    2.5625


16
1 5

 f  x  min  1  x0  x2 
 f  x2   1

2
 f  x3   1


Bước 3 : Tìm k bằng cách :
k  x02  x0  1  k  1
Bước 4 : Lấy :

x 4  2 x 3  x 2  2 x  2  x 2  x 1  1  0
2

Kết luận : x 4  2 x 3  x 2  2 x  2   x 2  x 1  1  0
2

Bài tập tự luyện :
1. 2 x 4  2 x  1  0

2. 3 x 4  x 3  2 x 2  4 x  3  0
3. x 4  4 x 3  x 2  x  34  0

4. 2 x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  5  0
5. 5 x 4  4 x 3  3 x 2  2 x  1  0

6. 15 x 4 10 x 3  5 x 2  5 x  2  0

7. 10 x 4  5 x 3  5 x 2 10 x  4  0
8. 8 x 4  6 x 3  4 x 2  2 x  1  0

9. x 4  4 x 3  3 x 2  2 x  10  0

10. x 4 13 x 3  2 x 2  19 x  3018  0
Các em thử sức xem làm được chính xác bao nhiêu bài nào ?

Anh: BÙI THẾ VIỆT

Fb:facebook.com/viet.alexander.7

5