Giải nhanh TRẮC NGHIỆM môn TOÁN (Chuyên đề Hàm Số) ( trắc nghiệm khảo sát hàm số và vẽ đồ thị, ứng dụng của đạo hàm .....)

Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề

ớồ ộ : KI

ộ TồỨC SỬ D ộỒ ỘỦỤ TÍộồ CĂộ
” ộ C ộ ”I T Đ CồIộồ ớồ C ”ÀI TồI Tờ C
ộỒồI Ộ

1. ộh ng quy ước mặc đ nh

2. ” m các kí tự bi n số
B m phím ALPHA kết hợp với phím chứa các biến.
Biến số A

Biến số B

Biến số C

.....

Biến số M

.....
3. Công c CỌLC đ thay số
Phím CALC có tác dụng thay số vào một biểu thức.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

2 x2  3x  1 tại x  3 ta thực hiện các bước theo thứ tự sau:

Bước 1: Nhập biểu thức

2X2  3X  1

Bước 2: B m CALC. Máy hỏi X?
Ta nhập 3.

Bước 3: Nhận kết qu

2X2  3X  1  2 7

4. Công c SỚLVỐ đề dò nghi m
Trong máy tính không có phím SOLVE. Muốn gọi lệnh này ph i b m tổ hợp phím SHIFT +
CALC cùng lúc mới dò được nghiệm. Công cụ dò nghiệm có tác dụng lớn trong việc gi i nhanh
một phương trình cơ b n và tìm nghiệm của nó. Chú ý rằng, muốn dùng SOLVE, ph i luôn b m
bằng biến số X.
Trang 3

/>
 Các phím chữ màu trắng thì n trực tiếp.
 Các phím chữ màu vàng thì n sau phím
SHIFT.
 Các phím chữ màu đỏ thì n sau phím
ALPHA.


Cao Văn Tuấn – 0975306275

Ví dụ 1: Muốn tìm nghiệm của phương trình: x3  x2  x  3 4 x  1  3 ta thực hiện theo các bước
sau:
Bước 1: Nhập vào máy tính

/>
X3  X2  X  34 X  1  3

Bước 2: B m tổ hợp phím SHIFT +
CALC
Máy hỏi Solve for X có nghĩa là bạn
muốn bắt đầu dò nghiệm với giá trị
của X bắt đầu từ số nào? Chúng ta
chỉ cần nhập 1 giá trị bất kỳ, miễn
sao thỏa mãn Điều kiện xác định là
được. Chẳng hạn ta chọn số 0 rồi
bấm nút “=
Bước 3: Nhận nghiệm: X  0
 Nếu nghiệm lẻ quá, ta có thể biểu diễn dưới dạng phân số bằng cách
bấm AC sau đó bấm X =
 Chú ý: Nếu đến bước này không biểu thị được phân thức, ta có thể hiểu
rằng 99% đây là nghiệm vô tỷ chứa căn không biểu diễn được bằng máy
tính.
5. Công c TỌ”LỐ – MODE 7
Table là công cụ quan trọng để lập b ng giá trị của hàm số. Từ b ng giá trị ta hình dung hình dáng
cơ b n của hàm số và nghiệm của đa thức.
Ví dụ: Muốn tìm nghiệm của phương trình: x3  x2  x  3 4 x  1  3 ta thực hiện theo các bước
sau:
Dùng tổ hợp phím MODE 7 để vào TABLE.
Bước 1: Nhập vào máy tính

f  X   X3  X2  X  3 4 X  1  3
Sau đó b m =
Bước 2:
 Màn hình hiển thị Start? 

Nhập 1 . B m =

 Màn hình hiển thị End?  Nhập
3. B m =

Trang 4


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
 Màn hình hiển thị Step?  0,5.
B m=

Do đó, x  0 chính là nghiệm
duy nhất của phương trình.
 Qua cách nhẩm nghiệm này ta
biết được
f  x  x3  x2  x  3 4 x  1  3
là hàm số đồng biến trên
 1;   .

6. Các MODE tính toán
Chức năng MODE
Tính toán chung
Tính toán với số phức
Gi i phương trình bậc 2, bậc 3
Gi i hệ phương trình bậc nh t 2,
3 ẩn
Lập b ng số thoe biểu thức
Xóa các MODE đã cài đặt

Tên MODE
COMP
CMPLX

Thao tác
MODE 1
MODE 2

EQN

MODE 5

TABLE

MODE 7
SHIFT 9 1 = =

Trang 5

/>
Bước 3: Nhận b ng giá trị
 Từ bảng giá trị này ta thấy
phương trình có nghiệm x  0 và
hàm số đồng biến trên  1;   .


Cao Văn Tuấn – 0975306275

ớồ ộ : Ộ

T S KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ
VÀ ”ÀI T ớ Tờ C ộỒồI Ộ TồỐỚ CồUỤÊộ Đ

CồUỤÊộ Đ
A. Ộ T S

K T ỜU

: ồÀỘ S

ỜUỐộ TồU C VÀ KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ



1. Ộột số k t quả quen thuộc trong chuyên đề ồàm số



 K t quả : Hàm số y  ax3  bx2  cx  d có y  3ax2  2bx  c có hai cực trị  có cực

/>
trị  có cực đại, cực tiểu  y  b2  3ac  0 . Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua









 2c 2b2 
bc
y

hai điểm cực trị là:
 
 x d  .
9a
 3 9a 
K t quả : Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d luẫn cắt trục hoành tại ít nhất
điểm.
K t quả : Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
K t quả : Đồ thị của một hàm đa thức luẫn cắt trục tung.
b
K t quả : Hàm số trùng phương có ba cực trị  
0.
2a
K t quả 6: Đồ thị của hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c nhận trục tung làm trục
đối xứng.
K t quả 7: Nếu đồ thị của hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c có điểm cực trị thì
điểm này tạo thành một tam giác cân tại đỉnh thuộc trục tung.
K t quả 8: Đồ thị của hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c cắt trục hoành tại bốn điểm

ac  0; ab  0

phân biệt, có hoành độ lập thành một cấp số cộng   2 100
.
b
ac



9
 K t quả 9: Phương trình hoành độ giao điểm của Tiếp tuyến tại điểm x0 của hàm số
y  f  x hàm bậc ba hàm trùng phương

kép x  x0 .

với Đồ thị hàm số y  f  x

có nghiệm

ax  b 
ad  bc 
 có y 
 luẫn đồng biến hoặc nghịch biến trên
2 
cx  d 
cx
d





d
 d


các khoảng  ;   và   ;   .

c
 c


ax  b
khẫng có cực trị.
 K t quả 11: Hàm số y 
cx  d
ax  b
d
 K t quả 12: Đồ thị hàm số y 
có TI M C N Đ NG là đường thẳng x   và
cx  d
c
a
TI M C N NG“NG là đường thẳng y  .
c
 K t quả 10: Hàm số y 

Trang 6


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
ax  b
 d a
 K t quả 13: Đồ thị hàm số y 
nhận giao điểm I   ;  của hai tiệm cận làm
cx  d
 c c
tâm đối xứng. Khi đó sẽ khẫng tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà đi qua điểm I.

ax  b
 K t quả 4: Tích hai k hoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số y 
cx  d
bc  ad
đến hai tiệm cận của đồ thị đó là một số khẫng đổi và bằng
.
c2
ax  b
 K t quả 5: Đường thẳng y  mx  n cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt
cx  d
M, N và cắt hai tiệm cận của đồ thị hàm số đó tại “, ” thì ta có M“ = N”.
ax2  bx  c
có TI M C N Đ NG là đường thẳng
dx  e
a
bd  ae
e
.
x   và TI M C N XIÊN là đường thẳng y  x 
d
d
d2

 K t quả 7: Đồ thị hàm số y 

ax2  bx  c
 e bd  2ae 
nhận giao điểm I   ;
 của hai

dx  e
d2 
 d

tiệm cận làm tâm đối xứng.
 K t quả 8: Đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
2ax  b
ax2  bx  c
có phương trình là y 
.
dx  e
d
 ..............................
Các dạng đồ thị của hàm b c ba: y  ax3  bx2  cx  d

y

a 0
y  0 có 2 nghiệm phân biệt

a 0

y

   b2 – 3ac  0

y

I
0

x

0 I

x

y  0 có nghiệm kép
   b2 – 3ac  0

y  0 vô nghiệm
   b2 – 3ac  0

y

y
I

0

Trang 7

I

x

0

x

/>
 K t quả 6: Đồ thị hàm số y 


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Các dạng đồ thị của hàm trùng phương: y  ax4  bx2  c
a 0

a 0

y  0 có 3 nghiệm phân biệt
 ab  0

/>
y  0 có 1 nghiệm phân biệt
 ab  0

Các dạng đồ thị của hàm: y 

ax  b
cx  d

y

y

0

0

x

ad – bc > 0

x

ad – bc < 0

Các dạng đồ thị của hàm trùng phương: y 
a.d  0

y  0 có 2 nghiệm phân biệt

Trang 8

ax2  bx  c
dx  e
a.d  0


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
y

y  0 có vô nghiệm

y

0

0

x

x

2. Ộột số kĩ thu t giải nhanh trong chuyên đề ồàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số: y 
A. 1 .

2x 1
. Giá trị y  0  bằng:
x 1
B. 0.
C. 3.
Lời giải:

Quy trình bấm máy:
 Bước 1: B m tổ hợp phím: SHIFT + Tích phân.

Màn hình sẽ hiển thị như hình bên.

d  2x 1 
như hình bên và n


dx  x  1  x  0
phím = ta được kết qu 3 .

 Bước 2: Nhập

Vậy đáp án là 3  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x 

x 2

x2  5

. Tính f   2  .
Lời giải:

Quy trình bấm máy:
 Bước 1: B m tổ hợp phím: SHIFT + Tích phân.

Màn hình sẽ hiển thị như hình bên.

d  x 2 
như hình bên và


dx  x2  5  x  2
n phím = ta được kết qu 3 .

 Bước 2: Nhập

Vậy đáp án là

1
.

3
Trang 9

D. 3 .

/>
KĨ TồU T : TÍộồ Đ Ớ ồÀỘ ”ẰộỒ CỌSIỚ


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Bài tập tương tự:
1. Cho y  x3  4 x2  8x  1 . Tính y  5
A. 102.
B. 107.
2
x  4x  3
2. Cho y 
. Tính y  4 
x 2
6
4
A. .
B. .
11
3
3. Cho y  x ln x . Tính y  e 
A. 2 .
B. 3.
KĨ TồU T

C. 100.

C.

7
.
8

C. 2.

D. 101.

D.

7
.
12

D. 4.

[Lê Ộạnh Cường – Biên ồòa, Đ ng ộai]: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ VÀ T
DUY CASIO TRONG BÀI TỚỦộ Đ ộỒ ”I ộ, ộỒồ Cồ ”I ộ

x2  2 x  5
đồng biến trên
x 2
A.  ;0  và  3;   .

/>
Ví dụ 3: Hàm số y 

C.  0; 2  và  2; 4  .

D.  ; 2  và  2;   .
B.

.

Lời giải:
Cách 1: Sử dụng công thức đạo hàm
Đối với hàm phân thức, bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta phải tiến hành chia tử cho mẫu trước
tiên sau đó mới áp dụng công thức đạo hàm khi đó sẽ nhanh chóng, tránh được phức tạp, cồng kềnh.
x2  2 x  5
5
5
Ta có: y 
 x
 y  1 
 0 với x  2 .
2
x 2
x 2
 x  2

 Hàm số đã cho đồng biến trên các kho ng  ; 2  và  2;    Chọn D.
Cách 2: Sử dụng casio để tìm đạo hàm y
Quy trình bấm máy:
x2  2 x  5
ax2  bx  c
có dạng y 

.
Đạo hàm của hàm số y 
2
x 2
 x  2
Như vậy mục tiêu của ta lúc này là đi tìm hệ số a, b, c có trong ax2  bx  c .
 Bước 1: B m tổ hợp phím: SHIFT + Tích phân.

Màn hình sẽ hiển thị như hình bên.
 Bước 2: Nhập

Hoặc: Nhập

d  x2  2 x  5 
x 982 như hình bên và n phím =.


dx  x  2  x  100

d  x2  2 x  5 
2
x  x  2  và CALC với X  100 .


dx  x  2  x  100

Trang 10


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề

 Bước 3: Nhận kết qu 9609

Phân tích kết quả.
96 09

9609  100  4.100  9


2
x  4. x  9
2

100  4

x2  4 x  9
x2  4 x  9
Suy ra: y 
 0 với x  2 .
2
 x  2

Cách 3: Sử dụng casio thử trực tiếp các đáp án
Ta có định lí sau: Giả sử hàm số f  x có đạo hàm trên khoảng  a , b 

 Nếu f   x  0 với mọi x   a , b  thì hàm số f đồng biến trên khoảng  a , b  .

 Nếu f   x  0 với mọi x   a , b  thì hàm số f nghịch biến trên khoảng  a , b  .
Do đó, hiểu đơn giản để biết được một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định cho
trước: Ta chỉ cần dùng chức năng đạo hàm tại một điểm của casio và gán một giá trị x0 nằm trong tập
xác định cho trước:

 Nếu kết quả S tính được là S  0 thì hàm số đã cho đồng biến.
 Nếu kết quả S tính được là S  0 thì hàm số đã cho nghịch biến.
Quay trở lại bài toán này:
Đầu tiên ta loại đáp án B. Do đó ta chỉ cần thử đối với ba đáp án còn lại.
 Bước 1: B m tổ hợp phím: SHIFT + Tích phân.

Màn hình sẽ hiển thị như hình bên.
d  x2  2 x  5 
 Bước 2: Nhập
như hình bên và


dx  x  2  x  1

n phím = ta thu được kết qu 6  0  loại A.

d  x2  2 x  5 
như hình bên
 Bước 3: Nhập


dx  x  2  x  1

và n phím = ta thu được kết qu

14
 0  loại C.
9

Khi đó, ta được đáp đúng là D.

1
Bài tập tương tự: Hàm số y  x4  x3  2 x2  12 x  1 nghịch biến trên những kho ng nào sau đây?
4
A.  ; 2  .
B.  2;3 .
C.  ; 2  và  2;3 .

D.  2; 2  và  3;   .

Trang 11

/>
 Hàm số đã cho đồng biến trên các kho ng  ; 2  và  2;    Chọn D.


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Tuy nhiên, nếu bài toán chứa tham số thì sao? Có nghĩa là: Nếu thêm một biến nữa thì làm sao
tính được? Hay, nói rậ hơn là đây là bài toán Tìm t p giá trị của tham số để hàm số đơn điệu
trên các t p xác định cho trước .
Rất may cho chúng ta, casio vẫn có thể tính giá trị của biểu thức nhiều biến bằng chức năng
C“LC và chức năng này lại có hỗ trợ cho chức năng tính đạo hàm tại điểm. Lợi dụng điều này, ta giải

/>
quyết các bài toán dạng nêu trên như sau:

 ”ước Nh p giữ liệu): Nhập hàm số chứa tham số vào casio đã bật chức năng đạo hàm.
 ”ước Đặt tên cho biến : Với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y
hoặc biến khác tương ứng và với giá trị điểm x0 cần tính ta cễng gán X như biến x.
 ”ước Gán giá trị : Rất quan trọng. Đây là bước tư duy quyết định.
- ”ước . Gán giá trị cho biến X : Ta gán bất kì một điểm x0 nào trong tập xác định

cho trước.
- ”ước . Gán giá trị cho biến Y tham số : Chúng ta cần quan sát các đáp án đã
có để gán các giá trị cụ thể vào biến Y. Các giá trị gán phải làm sao cho ta có thể loại
hoặc nhận các đáp án nào đó nhanh nhất? Nhanh hay chậm, tùy thuộc vào tư duy của
mỗi người.
Cụ thể, ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 4: Để hàm số y  x3  3mx2  4mx  4 đồng biến trên
thì
4
4
3
A. 0  m  .
B.   m  0.
C. 0  m  .
3
3
4
Lời giải:
TXĐ: D  .
Đầu tiên: B m tổ hợp phím: SHIFT + Tích phân.

3
D.   m  0.
4

Màn hình sẽ hiển thị như hình bên.

Bước 1 + 2: Nhập X3  3YX2  4YX  4 vào casio đã bật chức năng đạo hàm
Bước 3 (Gán giá trị):

 Bước 3.1 (Gán giá trị cho X): Vì tập xác định là toàn
nên ta sẽ khéo gán giá trị cần tính là x0  X  0 (ta có
thể gán giá trị khác nhưng đáp án cuối cùng phải như
nhau).
d
 X3  3YX2  4YX  4 x  0
dx
(Chú ý là không được bấm phím = ngay sau khi nhập
xong như trên).

 Bước 3.2 (Gán giá trị cho Y): Quan sát đáp án, th y được m  0 đáp án nào cũng có
 m  0 đúng rồi, ta sẽ không gán m  Y = 0.
Hai đáp án A và C có chiều như nhau. B và D cũng vậy.
3
Vậy nếu gán m  Y  mà kết qu  0 thì nhận A, C
4
loại B, D. Ngược lại kết qu  0 thì A, C đều loại.
Thực hành b m máy, ta được kết qu 3  0  A, C đều
bị loại.
Trang 12


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
4
 Tương tự như trên, tiếp tục gán m  Y   ta thu được
3
kết qu 5,33  3  0  D loại.
Vậy đáp án của bài toán là B.
Ví dụ trên được trình bày khá chi tiết về quy trình bấm máy nên hơi dài và gây cảm giác phức tạp.
Sau ví dụ này, các ví dụ tiếp theo tẫi sẽ bỏ qua bước và và những câu từ dài dòng trong bước để

định hướng bài toán tốt hơn.
mx  m  2
Ví dụ 5: Để hàm số y 
nghịch biến trên mỗi kho ng xác định của nó thì
x m
A. 2  m  1.
B. 2  m  1.
C. 0  m  1.
D. Đáp án khác.
Lời giải:
ax  b
d
ad  bc
Chú ý: Hàm số y 
có đạo hàm y 
 0 với x   .
2
cx  d
c
 cx  d 

m2  m  2

 x  m

2

.

Do đó, yêu cầu bài toán  y  0 

TXĐ: D 

\ m

m2  m  2

 x  m

2

 0  m2  m  2  0  2  m  1  Chọn A.

Cách 2: Sử dụng casio

Gán X  0 . Chú ý không được gán Y  0 , vì x  m  X  Y (hoặc những giá trị X, Y tương ứng)
Quan sát đáp án, ta th y:
 Nếu gán m  Y  2 mà kết qu  0 thì chỉ đáp án B
đúng, còn kết qu  0 thì B sai.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 0  loại B.
 Gán tiếp nếu m  Y  1 mà  0 thì C đúng. Nếu  0 thì
C sai.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 0  loại C.

 Gán tiếp nếu m  Y  1 mà kết qu  0 thì A đúng. Nếu
kết qu  0 thì A sai.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 2  0  đáp án A
đúng.
Vậy đáp án của bài toán là A.
Ví dụ 6: Để hàm số y 
A. a  1.

TXĐ: D 
Ta có: y 

\ a

a 1

x a

ax  1
nghịch biến trên mỗi kho ng xác định của nó thì
x a
B. a  1.
C. 1  a  1.
D. a  1.
Lời giải:

Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm tính y

2

2

.

Do đó, yêu cầu bài toán  y  0 

a 2 1

x a

2

 0  a 2  1  1  a  1  Chọn C.

Trang 13

/>
Ta có: y 

 y  0 

(không xảy ra trường hợp y  0 ).
Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm tính y

Do đó, hàm số đồng biến (nghịch biến) khi y  0


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Cách 2: Sử dụng casio
Gán X  0 (Chú ý không được gán Y  0 , vì x  m  X  Y )
 Gán Y  2 (lệch với A) ta được kết qu 0,75  0
 loại A.

 Gán Y  2 (lệch với B) ta được kết qu 0,75  0
 loại B.
 Gán Y  0.5 ta được kết qu 0,75  0  nhận C.

/>

Vậy đáp án của bài toán là C.

x2  mx  1
Ví dụ 7: Để hàm số y 
nghịch biến trên mỗi kho ng xác định của nó thì
1 x
A. m  0.
B. m  0.
C. m  0.
D. m .
Lời giải:
TXĐ: D  \ 1
Gán X  0 .
 Gán Y  0 nếu kết qu  0 thì chỉ B hoặc C đúng, nếu
kết qu  0 thì A đúng.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 1  0
 chỉ B hoặc C đúng
 Gán Y  1 nếu kết qu  0 thì chỉ C đúng, nếu kết qu
 0 thì A đúng.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 2  0
 C đúng
Vậy đáp án của bài toán là C.
Ví dụ 8: Hàm số y 
A. m  0.

1
m 3
x   m  1 x2   m  2  x  đồng biến trên  2;   khi
3
3

B. m  0.
C. m  8.
D. m  2.
Lời giải:

Đồng biến trên  2;    gán X  2 .

Gán Y  0 nếu kết qu  0 thì chỉ B đúng, nếu kết qu  0 thì
B sai.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 2  0  B đúng
Vậy đáp án của bài toán là B.

Ví dụ 9: Hàm số y   m  x x2  m đồng biến trên kho ng 1; 2  khi
A. m  3.

B. m  3.

Đồng biến trên 1; 2  gán X  1.5 .

C. 1  m  3.
Lời giải:

Trang 14

D. m  3.


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
Quan sát các đáp án ta th y nên gán Y  3 nếu kết qu  0 thì
loại A và ngược lại thì chỉ A đúng.

9
Sử dụng casio, ta thu được kết qu :  0  loại A.
4
Tiếp tục gán Y  4 nếu kết qu  0 thì chọn B, loại B và C.
21
Sử dụng casio, ta thu được kết qu :
 0  B đúng.
4
Vậy đáp án của bài toán là B.

x3
  a  1 x2   a  3 x  4 đồng biến trên kho ng  0;3 khi
3
12
12
A. a  3.
B. a  3.
C. a  .
D. a  .
7
7
Lời giải:
Đồng biến trên  0;3 gán X  1.
Quan sát các đáp án ta th y A, C cùng chiều và B, D cùng chiều.
Gán Y  2 nếu kết qu  0 thì loại A.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 6  0  loại A.
Tiếp tục gán Y  2 nếu kết qu  0 thì nhận C.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 6  0  nhận C.
Vậy đáp án của bài toán là C.
Ví dụ 11: Hàm số y  x3  3  2m  1 x2  12m  5 x  2 đồng biến trên kho ng  2;   khi

A. 

1
1
 m
.
6
6

B. m  

1
.
6

Đồng biến trên  2;   gán X  3 .
Quan sát các đáp án ta th y B, D cùng chiều.

C. m 

5
.
12

Lời giải:

Gán Y  

1
nếu kết qu  0 thì có thể nhận A, B và loại C.

6
Ngược lại thì loại A, B.
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 23,79  0  có thể nhận A,
B và loại C.
Tiếp tục gán Y 

5
nếu kết qu  0 thì có nhận D và loại A, B.
12
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 4  0  nhận D và loại A,
B.
Vậy đáp án của bài toán là D.

Trang 15

D. m 

5
.
12

/>
Ví dụ 10: Hàm số y  


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Ví dụ 12: Hàm số y 

x2  4 x
đồng biến trên 1;   khi

2  x  m

A. m  1; 4 \ 1.

TXĐ: D 

\ m .

 1 
B. m    ;1 \ 0 . C. m 1; 4 \ 2.
 2 
Lời giải:

1

D. m   4;  .
2


Đồng biến trên 1;   gán X  1.

Vì x  m  X  Y nên ta sẽ không gán Y  1.

/>
Gán Y  4 . Sử dụng casio, ta thu được kết qu : 0,14  0
 loại A và C.
Tiếp tục gán Y  1. Sử dụng casio, ta thu được kết qu :
0,125  0  loại B.
Vậy đáp án của bài toán là D.
KĨ TồU T 3: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ VÀ T DUỤ CỌSIỚ TờỚộỒ ”ÀI TỚỦộ

TÌỘ ĐI U KI ộ C Ọ TồỌỘ S Đ ồÀỘ S Đ T C C Tờ T I ĐI Ộ X0
Cơ sở lí thuyết:
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f  x đạt cực trị tại điểm x0 :
 Bước 1: Điều kiện cần
Gi sử hàm số đạt cực trị tại x0  f   x0   0

 *

Gi i phương trình * tìm được các giá trị của tham số m.

 Bước 2: Điều kiện đủ
Với từng giá trị tham số m vừa tìm được ở bước 1 thử lại xem x0 có đúng là điểm cực trị thỏa
mãn yêu cầu bài toán không?
Sử dụng kiến thức sau để kiểm tra lại:
 f   x0   0
 x0 là điểm cực đại.
o 
 f   x0   0
 f   x0   0
 x0 là điểm cực tiểu.
o 

f
x
0




0

1
Ví dụ 13: Hàm số y  x3  mx2   m2  4  x  5 đạt cực tiểu tại x  1 khi
3
A. m  3.
B. m  1.
C. m  0.
D. m  1.
Lời giải:
Thao tác bấm máy 1: Gán x  X và m  Y .
Điều kiện cần:
Đầu tiên: B m tổ hợp phím: SHIFT + Tích phân.

Màn hình sẽ hiển thị như hình bên.
Trang 16


1 3
X  YX 2   Y 2  4  X  5 vào casio đã bật chức năng
3
đạo hàm và gán x  1 như sau:
d 1 3

2
2
 X  YX   Y  4  X  5  x  1
dx  3

Sau đó n phím CALC với X  1 và Y  1000
Ta thu được kết qu : 1001997 .

Ta có: 1001997  1000000  1997
 10002  2.1000  3  m2  2m  3
m  1
Suy ra: y  1  0  m2  2m  3  0  
 loại B, C.
 m  3
Điều kiện đủ: (kiểm tra với giá trị nào của m thì y  1  0 ).

Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề

Nhập

d
 X2  2YX  Y2  4 x  1
dx
Sau đó đó n phím CALC với X  1 và Y  ?
 CALC với Y  1 ta thu được kết qu y  1  4  0

 Hàm số đạt cực đại tại x  1  loại.

 CALC với Y  3 ta thu được kết qu y  1  4  0

 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  thỏa mãn.

Vậy đáp án của bài toán là A.
Thao tác bấm máy 2

Ta có y  x  2mx  m  4 .
Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại  y  1  0  m  ?

2

2

Để tìm được các giá trị của m ta gán x  Y và m  X thực hiện thao tác casio như sau:
 Bước 1: Nhập Y2  2XY  X2  4 .
 Bước 2: n tổ hợp phím SHIFT + CALC (lệnh SOLVE)
với x  Y  1 ta thu được kết qu m  X  1.
 Bước 3: Để kiểm tra y  1  0 còn nghiệm m nào nữa
hay không? Ta thực hiện tiếp thao tác sau:
Nhập Y2  2XY  X2  4 :  Y  1 và SHIFT + CALC





với x  Y  1 ta thu được kết qu m  X  3 .
Do phương trình y  1  0 là phương trình bậc hai ẩn m nên chỉ có tối đa hai nghiệm m. Mà ta đã

tìm được m  1; m  3 nên không ph i tìm m nữa mà chuyển sang điều kiện đủ.
Điều kiện đủ: Thực hiện như “Thao tác b m máy 1”.

Bài tập tương tự: Hàm số y  x3  3mx2  3  2m  1 x  2 đạt cực đại tại x  1 khi
1
A. m  .
2

1
B. m   .
2

C. m  1.

Trang 17

D. m  1.

/>
Nhập y vào máy tính như sau:


Cao Văn Tuấn – 0975306275

KĨ TồU T 4: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ VÀ T DUỤ CỌSIỚ TờỚộỒ ”ÀI TỚỦộ
TÌỘ ĐI U KI ộ C Ọ TồỌỘ S Đ ồÀỘ S C2 ộ ĐI Ộ C C Tờ

Ví dụ 14: Hàm số y   m  1 x4   m2  2m x2  m2 có ba điểm cực trị khi giá trị của m là

/>
 m  1
A. 
.
1  m  2

m  0
B. 
.
1  m  2

 1  m  1

C. 
.
m  2
Lời giải:

0  m  1
D. 
.
m  2

Cơ sở lí thuyết:
Hàm số đã cho có 3 cực trị
 phương trình y  4  m  1 x3  2 m2  2m x  0 có ba nghiệm phân biệt.





Quy trình bấm máy:
 Bước 1: B m MODE + 5 + 4.

 Bước 2: Thử với m  3 (nếu ra 1 nghiệm thì loại C, D còn nếu ra 3 nghiệm thì loại A, B).
a  4  3  1  8

b  0
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : Với các hệ số 
ta th y phương trình có
2
c  2 3  2.3  6


d  0
1 nghiệm là x  0  loại C, D.





 Bước 3: Thử với m  1 (nếu ra 1 nghiệm thì loại B còn nếu ra 3 nghiệm thì loại A).
a  4  1  1  8

b  0
Sử dụng casio, ta thu được kết qu : Với các hệ số 
ta th y phương
2


c  2  1  2.  1   6

d  0
3
3
; x
 loại A và nhận B.
trình có 3 nghiệm là x  0; x  
2
2

Vậy đáp án của bài toán là B.

Trang 18

Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
KĨ TồU T 5: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ TờỚộỒ ”ÀI TỚỦộ
VI T ớồ ƠộỒ TờÌộồ Đ
ộỒ TồẲộỒ ĐI ỜUỌ ồỌI ĐI Ộ C C Tờ
C Ọ ồÀỘ ” C





x3  3x2  5x  1

5
x3  2 x2  x
3
10
x2  x  1
3

3x2  6 x  5
1
1
x
3
3

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
16

8
y   x
3
3

x2  2 x 

5
3
16
8
 x
3
3
Cách làm này sẽ gây khó khăn cho một số bạn yếu trong phép chia đa thức hoặc dễ bị tính toán sai và
tốn nhiều thời gian.





Cách 2: Sử dụng trực tiếp kết quả 1 đã được trình bày trong mục 1:
K t quả : Hàm số y  ax3  bx2  cx  d có y  3ax2  2bx  c có hai cực trị  có cực trị  có
cực đại, cực tiểu  y  b2  3ac  0 . Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

 2c 2b2 
bc
y 
 x d  .
9a

 3 9a 
Nhược điểm của cách làm này tuy nhanh nhưng lại lại phải học thuộc công thức và không may lỡ
quên thì tèo luôn !
Ta có: a  1; b  3; c  5; d  1 . Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

 2.  5 2.32 
3.  5
16
8
y

 y   x
 x 1
9.1 
9.1
3
3
 3
Cách 3 (Hoàng Trọng Tấn – Tất Vệ Tâm, Tp.HCM):
Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y 

Chứng minh: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d
Ta có: y  3ax2  2bx  c và y  6a x  2b .





6ac  2b
9ad  bc

 3ax  b 
2
x
Ta lại có: y  
 3ax  2bx  c 
9a
9a
 9a 
y
y  Ax  B .
 9ay 
2
2

Trang 19

y. y 
1 
 9ay 
.
9a 
2 

/>
Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y  x3  3x2  5x  1 .
Lời giải:
Trong ví dụ này thầy sẽ trình bày khá nhiều cách làm nhanh có, chậm có, không dùng casio có, dùng
casio có. Chúng ta cùng theo dõi nhé.
Cách 1: Cách này được dùng phổ biến.

Ta có: y  x3  3x2  5x  1  y  3x2  6 x  5
Lập b ng chia y cho y , ta được:


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Ta không cần quan tâm dạng của A và B.
Để tìm A và B, ta nhập: T  x  9ay 

y. y
thì ta có:
2

 y  x3  3x2  5 x  1

.
Thao tác thực hiện: Ta có:  y  3x2  6 x  5
 y  6 x  6


A  T  0 
.

B  T 1  T  0 





3x2  6 x  5  6 x  6 
y. y

3
2
Đặt T  x  9ay 
 T  x  9 x  3 x  5 x  1 
2
2
3
2
2
 T  x  9 x  3 x  5 x  1  3 x  6 x  5  3 x  3 



 







Đầu tiên CALC với x  0 ta có: T  0   24 .

/>
Tiếp tục l y T  x  24 và CALC với x  1 , ta có: T 1  24  48 .
Từ đó, ta có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y 

1
16
8

 48x  24  y   x  .
9
3
3

Bài tập tương tự: Viết phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số y  x3  4 x2  x  1 .
38
38
5
5
38
38
5
5
A. y   x  .
B. y 
C. y   x  .
D. y  x  .
x .
9
9
9
9
9
9
9
9
Lời giải:
 y  x3  4 x2  x  1


Ta có:  y  3x2  8 x  1 .
 y  6 x  8






3x2  8 x  1  6 x  8
y. y
3
2
 T  x  9 x  4 x  x  1 
Đặt T  x  9ay 
2
2
3
2
2
 T  x  9 x  4 x  x  1  3 x  8 x  1  3 x  4 



 



Đầu tiên CALC với x  0 ta có: T  0   5 .





Tiếp tục l y T  x  5 và CALC với x  1 , ta có: T 1  5  38 .

Từ đó, ta có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y 

1
38
5
 38x  5  y   x  . Chọn A.
9
9
9

Trong một số bài toán, nếu như phương trình y  0 có hai nghiệm đẹp (nghiệm nguyên hoặc hữu
tỉ) thì ta sẽ sử dụng cách làm sau để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
Ta có: y  y.Q  x  Ax  B

 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là y  Ax  B .
Mục tiêu của ta giờ là tìm hai hệ số A và B.
Tìm A và B: Giải phương trình y  0 ta tìm được hai nghiệm (nguyên hoặc hữu tỉ) x1; x2 .
Ax1  B  y  x1 
A  ...


Khi đó, hai hệ số A, B là nghiệm của hệ phương trình: 
B  ...


Ax2  B  y  x2 
Cụ thể theo dõi ví dụ sau:

Ví dụ 16: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  2 x3  x2  1 .
Lời giải:
 Bước 1: Gi i phương trình y  0 :
Trang 20


Ví dụ 17: Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm gốc tọa độ O vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số: y  x3  2 x2  5x  1 .
A. m  1.
B. m  2.
C. m  1.
D. m  0.
Lời giải:
38
1
Đầu tiên áp dụng công thức nhanh ta tìm được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y   x  .
9
9
9
Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị  d : y 
x m.
38
9
Mà đường thẳng d đi qua O  0;0   d : 0  .0  m  m  0  Chọn D.
38
Ví dụ 18: Cho hàm số: y  x3  3mx2  5mx  m2  m  1 . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số trên là

18m2  30m
18m2  30m
24m2  9m  9
24m2  9m  9
A. y  
B. y 
.
.
x
x
9
9
9
9
24m2  9m  9
18m2  30m
D. y  
.
x
9
9
Lời giải:
y
Ta có y  3x2  6mx  5m và y  6 x  6m 
 3x  3m .
2
Đặt T  x  9  x3  3mx2  5mx  m2  m  1   3x2  6mx  5m  3x  3m .
24m2  9m  9
18m2  30m
C. y 

.
x
9
9

Thay m  100 ta được:
T  x  9  x3  300 x2  500 x  1002  100  1   3x2  600 x  500  3x  300
 CALC với x  0 ta được: T  0   239091  24m2  9m  9 .
 Tiếp tục l y T  x  T  0  và CALC với x  1 ta được

T 1  T  0   1830000  18m2  30m .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y  

18m2  30m
24m2  9m  9
.
x
9
9

 Chọn A.
Bài tập tương tự:
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  2 x3  2 x2  4 .

2. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3mx2   3m2  1 x  m2  1 có
phương trình y  
A. m  2.

14

10
x
khi
3
3
B. m  1.

C. m  1.
Trang 21

D. m  0.

/>
Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
 x1  0
 y1  1
2

Ta có: y  6 x  2 x  0 
.

 x2   1  y2   26
3 
27

 Bước 2: Tìm hệ số A và B.
1
A.0  B  1

Ax1  B  y1


A  
A và B là nghiệm của hệ phương trình: 
 1
9
26  
 AB
Ax2  B  y2


27
 3
B  1
1
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là: y   x  1 .
9


Cao Văn Tuấn – 0975306275
3. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3mx2   3m  1 x  m2  1 đi qua
điểm M  0;1 khi

/>
m  0
m  0
1

A.
B. m  0.
C. m   .

D. 
.
.
m  1
m   1
6
6
6


3
2
4. Tìm m để đồ thị hàm số y  x  3x  mx  2 có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB
song song với đường thẳng d : y  4 x  1 .
A. m  0.
B. m  1.
C. m  3.
D. m  2.
KĨ TồU T 6: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ TờỚộỒ ”ÀI TỚỦộ
TÌỘ ỒIỦ Tờ L ộ ộồ T, ỒIỦ Tờ ộồỎ ộồ T
Cơ sở lí thuyết:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Nếu hàm số y  f  x luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên  a , b thì:
max f  x  max  f  a  , f  b 
 a ,b 

 a ,b 

và

min f  x  min  f  a  , f  b 
 a ,b 

 a ,b 

Nếu hàm số y  f  x liên tục trên  a , b và có đạo hàm trong kho ng  a , b  thì luôn có GTLN,
GTNN trên đoạn  a , b và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau:

 Bước 1: Hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  a , b .

 Bước 2: Tính y và tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc  a , b  (tức là tìm các điểm
x1 , x2 ,..., xn mà tại đó y  0 hoặc hàm số không có đạo hàm.

Bước 3: Tính f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b  .
Khi đó:
max f  x  max  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b 
 a ,b 

min f  x  min  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b 
 a ,b 

Ví dụ 19: Giá trị lớn nh t của hàm số y  x3  3x2  9 x  35 trên đoạn  1;1 là
A. 40.

B. 21.

C. 50.
Lời giải:
Với loại bài toán này ta sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).
Cụ thể theo dõi quy trình sau:

 Bước 1: MODE 7

D. 35.

Start  1

 Bước 2: Nhập f  x  X  3X  9X  35 n phím = sau đó nhập End  1 .
Step  0.2

 Bước 3: Tra b ng nhận được và tìm GTLN:
3

2

X

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2

Trang 22

f X
40
39.768
39.104

38.056
36.672
35
33.088


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
0.4
30.984
0.6
28.736
0.8
26.392
1
24
Dựa vào b ng giá trị ở trên, ta th y GTLN của hàm số là 40  Chọn A.

Ví dụ 20: Giá trị nhỏ nh t của hàm số y   x  6  x2  4 trên đoạn  0;3 là
A. 5.
 Bước 1: MODE 7

B. 15.

C. 12.
Lời gi i:

D. 5.

Start  0


 Bước 2: Nhập f  x   X  6  X  4 n phím = sau đó nhập End  3 .
Step  0.4

 Bước 3: Tra b ng nhận được và tìm GTNN:
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3

f X

12
11.65
11.42
11.27
11.2
11.18

11.19
11.23
11.26
11.3
11.31
11.29
11.24
11.15
11.01
10.81

Dựa vào b ng giá trị, ta th y giá trị của hàm số trên đoạn  0;3 dao động giữa 10 đến 12

Vậy GTNN của hàm số là 12  Chọn C.
Ví dụ 21: Giá trị nhỏ nh t của hàm số y  x 
A. 8.
 Bước 1: MODE 7

B. 2.

9
trên đoạn  1; 2 là
x 2
C. 6.
Lời giải:

D. 4.

Start  1
9


n phím = sau đó nhập End  2 .
 Bước 2: Nhập f  x  X 
X2
Step  0.2

 Bước 3: Tra b ng nhận được và tìm GTLN:
X

1
0.8

Trang 23

f X
8
6.7

/>
2


Cao Văn Tuấn – 0975306275

/>
Dựa vào b ng giá trị ở trên, ta th y GTLN của hàm số là 8  Chọn A.

0.6
0.4
0.2

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2

5.8285
5.225
4.8
4.5
4.2909
4.15
4.0615
4.0142
4
4.0125
4.047
4.1
4.1684
4.25

Trong ba ví dụ trình bày ở trên ta sử dụng được công cụ TABLE để tìm được GTLN, GTNN của
hàm số trên một đoạn. Vậy khi đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN của một hàm số không cho miền xác
định của x thì ta phải làm nhanh như thế nào? Để trả lời được câu hỏi này thì các em theo dõi ví dụ

sau:
Ví dụ 22: Giá trị lớn nh t của hàm số y 
A. 2.

B.

2
.
3

6  8x
là
x2  1

C. 8.

D. 10.

Lời giải:
Sử dụng máy tính để tìm đạo hàm của hàm phân thức (đã được trình bày trong Ví dụ 3 – Kĩ thuật
2):
2
d  6  8x 
2
Nhập
 2
 x  1000 x 1000  1 .
dx  x  1 
Sau đó CALC với x  100 ta thu được kết qu 7987992.

Phân tích kết qu : 7987992  8000000  12000  8  8.10002  12.1000  8  8x2  12 x  8 .
x  2
8 x2  12 x  8
2
. Do đó y  0  8 x  12 x  8  0  
.
Vậy y 
2
2
x   1
 x  1

2
6  8x
Nhập 2
sau đó:
x 1
 CALC với X  2  y  2 .
1
Min = 2 và Max = 8
Chọn C.
 CALC với X    y  8 .
2

Trang 24


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
KĨ TồU T 7: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ TờỚộỒ ”ÀI TỚỦộ
L ớ ớồ ƠộỒ TờÌộồ TI ớ TUỤ ộ C Ọ Đ Tồ ồÀỘ S

Ví dụ 23: Cho hàm số y 
hoành độ bằng 2 là
1
2
A. y  x  .
3
3

2x 1
có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có
x 1
1
B. y  x  .
3

1
C. y   x  1.
3
Lời giải:

1
1
D. y  x  .
3
3

Cơ sở lí thuyết:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  f  x tại điểm M  x0 , f  x0   là:

y  y  x0  x  x0   y  x0 

A
 y  Ax  B

B

 Tìm A: Nhập A  y  2  

1
d  2x 1 

 x2 .
3
dx  x  1 

2x 1
d  2x 1 

 x  2 .  2  
dx  x  1 
x 1
1
và b m CALC với x  2 ta được: B  .
3
1
1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  x   Chọn D.
3
3
 Tìm B: Nhập B 

Bài tập tương tự: Cho hàm số y  x3  3x2 có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại
điểm có hoành độ bằng 12 là
A. y  3x  1.
B. y  3x  1.
C. y   x  1.
D. y  x  3.

Ví dụ 24: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  x3  3x2  mx tại điểm có hoành độ bằng 1 song
song với đường thẳng d : y  7 x  2017 .

Lời giải:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  7 x  2017  hệ số góc của tiếp tuyến là y  1  7 .

Ta có: y  3x2  6 x  m .
Vì mục tiêu của ta tìm m nên ta gán x  Y, m  X và thực hành quy trình b m náy như sau:
 Bước 1: Nhập 3Y2  6Y  X  7 .
 Bước 2: B m tổ hợp phím SHIFT + CALC.
Khi đó, màn hình hỏi Y? Thì nhập 1  do x  Y  1 .
Sau đó n phím = thu được kết qu m  2 .

Trang 25

/>
 y  y  x0  .x  y  x0  .   x0   y  x0 


Cao Văn Tuấn – 0975306275
KĨ TồU T 8: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ TờỚộỒ ”ÀI TỚỦộ T ƠộỒ ỒIỌỚ
Cơ sở lí thuyết:

Cho hai đồ thị:  C1  : y  f  x và  C2  : y  g  x .

Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  là: f  x  g  x

 * .

/>
Do đó, số nghiệm của phương trình * chính là số giao điểm của  C1  và  C2  .

Ví dụ 25: Cho phương trình x3  3x  m2  m có ba nghiệm thực phân biệt khi
A. m  21.
B. 2  m  1.
C. m  1.
D. 1  m  2.
Lời giải:
Khi giải bài toán này thoe hướng tự luận, chắc chắn rằng ta sẽ chuyển bài toán này về bài toán mới:
Tìm điều kiện của m để hai đồ thị hàm số y  x3  3x và y  m2  m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Khi đó ta sẽ giải nó bằng cách lập bảng biến thiên,... khá mất thời gian nếu thi trắc nghiệm.
Do đó, để giải nhanh tỏng bài toán mới ta phải nghĩ ra một cách xử lí mới để bài toán được nhanh
gọn. Rất may cho chúng ta đối với bài toán trắc nghiệm ta còn có thể sử dụng các đáp án A, B, C, D
mà đề bài cho để suy luận chọn được đáp án chuẩn.
Cụ thể với ví dụ 25 ta làm như sau:
 Đầu tiên ta thử với m  10 khi đó, nếu phương trình có ba nghiệm phân biệt thì đáp A đúng
ngược lại thì loại A.
Khi thay m  10 ta được phương trình x3  3x  110  0 . Gi i bằng chế độ MODE 5 4 ta được
1 nghiệm thực

Như vậy ta loại đáp án A.
 Tiếp theo ta thử với m  3 khi đó, nếu phương trình có ba nghiệm phân biệt thì đáp C đúng
ngược lại thì loại C.

Khi thay m  1000 ta được phương trình x3  3x  6  0 . Gi i bằng chế độ MODE 5 4 ta
được 1 nghiệm thực

Như vậy ta loại đáp án C.
 Tương tự thử với m  1,5 thì phương trình cũng có 1 nghiệm thực  loại D.
Vậy đáp án của bài toán là B.

Ví dụ 26: Tìm m để  C  : y  2 x3  6 x2  1 và d : y  mx  1 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
9

m  
C. 
2.
m  0
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d là:
9

m 
A. 
2.
m  0

9

m  
D. 
2.
m  0

9

m 
B. 
2.
m  0

2 x3  6 x2  1  mx  1  2 x3  6 x2  mx  0

Trang 26

x  0

1  

2
2 x  6 x  m  0

 2


Rèn luyện kỹ năng giải TR C NGHI M môn TOÁN Theo chuyên đề
Ta có số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của  C  và d .

Do đó,  C  và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt  phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt.
Cách 1: Dựa vào điều kiện có 2 nghiệm phân biệt của phương trình bậc 2.
Phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt

9


   9  2 m  0
m 
 2

2  Chọn A.
2.0  6.0  m  0

m  0
Nhược điểm của cách làm này là là ta phải nhẩm được một nghiệm đẹp của phương trình 1 để
chuyển bài toán về biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai. Vậy nếu không nhẩm được nghiệm
đẹp như mong muốn thì sao hoặc có nhẩm được nghiệm đẹp (nghiệm này khác 0) thì ta cũng phải
thực hiện phép phân tích đa thức thành nhân tử hoặc chia đa thức để tìm phương trình  2  khá phức
tạp. Vì bài toán này là trắc nghiệm nên ta có cách giải khác dựa vào 4 đáp án đề bài cho như sau:
Cách 2:
Nhận th y rằng c 4 đáp án đều có điều kiện m  0 nên ta bỏ qua điều kiện này trong quá trình thử.
 Đầu tiên ta thử với m  5 , ta được phương trình 1 có 1 nghiệm thực  loại B, D.

 Thử tiếp với m  0 , ta được phương trình 1 có 3 nghiệm thực  loại C và nhận A.
Vậy đáp án của bài toán là A.
KĨ TồU T 9: KĨ TồU T ỒI I ộồỌộồ
TờỚộỒ Ộ T S ”ÀI TỚỦộ LIÊộ ỜUỌộ Đ ộ Đ Tồ ồÀỘ S

x 2
có đồ thị  C  . Tìm điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị  C 
x 2
sao cho tổng kho ng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nh t.
A. M 1; 3 .
B. M  2; 2  .
C. M  4;3 .
D. M  0; 1 .

Ví dụ 27: Cho hàm số y 

Lời giải:
Đồ thị có tiệm cận đứng x  2 và tiệm cận ngang y  1 .

 Tổng kho ng cách từ M đến 2 tiệm cận là S  x  2  y  1 .

x  ?
Yêu cầu bài toán là ta ph i tìm 
sao cho S đạt giá trị nhỏ nh t.
y  ?
Nhập x  2  y  1 và CALC với từng đáp án ta nhận được các kết qu :
 Với đáp án A ra 5.
 Với đáp án B ra 1.
Đáp án của bài toán là B.

 Với đáp án C ra 4.
 Với đáp án D ra 4.

(chú ý b m d u trị tuyệt đối bằng cách dùng tổ hợp phím SHIFT + HYP)
Trang 27

/>
 phương trình  2  có 2 nghiệm phân biệt khác 0