Hướng dẫn học sinh THCS giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Hải Lý,
giảng viên khoa Toán - Lý - Tin trường đại học Tây Bắc đã tận tình hướng dẫn, chỉ
bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới phòng KHCN và QHQT, các
thầy cô trong khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.
Đồng thời tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán - Ly đã động
viên, đóng góp ý kiến và đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi
làm khóa luận này.
Vì thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Phạm Thị Thu Phƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn khóa luận .............................................................................................. 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận. ...................................................................... 2
2.1. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ......................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 2
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận.......................................................................... 2
4.2. Phương pháp điều tra quan sát ............................................................................ 2
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm .................................................................... 2
5. Cấu trúc của khóa luận ........................................................................................... 3

CHƢƠNG 1: SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 4
1.1. Quan niệm về bài toán ......................................................................................... 4
1.2. Vị trí chức năng của bài tập toán ........................................................................ 4
1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán ............................................................ 5
1.4. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán ................................................................... 8
1.5. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.
.................................................................................................................................. 10
1.6. Nội dung dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
ở trường THCS ......................................................................................................... 12
1.7. Thực trạng dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương
trình ở trường THCS ................................................................................................ 12
CHƢƠNG 2: HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI BÀI TOÁN BẰNG
CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ............................. 15
2.1. Bài toán chuyển động ........................................................................................ 15
2.2. Bài toán về tìm số và chữ số ............................................................................. 24


2.3. Bài toán về năng suất lao động ......................................................................... 27
2.4. Bài toán có nội dung hình học........................................................................... 36
2.5. Một số dạng toán khác ...................................................................................... 40
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ........................................................ 44
3.1. Mục đích thực nghiệm....................................................................................... 44
3.2. Phương pháp thực nghiệm ................................................................................ 44
3.3. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................... 44
3.4. Tổ chức thực nghiệm......................................................................................... 44
3.5. Kết quả thực nghiệm ......................................................................................... 45
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm .......................................................................... 47
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 49

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Trong chương trình đại số lớp 8, lớp9 dạng toán: “Giải bài toán bằng cách
lậpphướng trình và hệ phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh.
Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen của
nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học,
ngôn ngữ vật lí, ngôn ngữ hóa học…
Trong nhiều bài toán lại có nhiều dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời
văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng
để dẫn đến lập phương trình, rồi lập hệ phương trình
Mặt khác loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế. Chính vì
thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi
giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát li với thực tế dẫn đến quên điều kiện của
ẩn, hặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc học sinh không
khai thác tất cả các mối liên hệ ràng buộc của thực tế. Mặt khác kĩ năng phân tích
tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu. Với những lí do đó mà
học sinh rất sợ và ngại loại toán này. Mặt khác cũng có thể do quá trình giảng dạy
giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách
giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải
cho mỗi dạng. Chính vì thế giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương
trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành
những mối quan hệ toán học. Vì vậy, nhằm góp phần giúp học sinh định hướng cụ
thể từng dạng toán cơ bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự
tin hơn khi gặp một số bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
nên tôi quyết định chọn đề tài “Hƣớng dẫn học sinh THCS giải bài toán bằng
cách lập phƣơng trình và hệ phƣơng trình”

1

2. Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận.
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh trung học cơ sở giải bài toán bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận như:
+ Nghiên cứu các kiến thức về phương trình và hệ phương trình.
+ Nghiên cứu vị trí và vai trò của việc giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình ở trường THCS.
- Tìm hiểu thực trạng kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình ở một số trường THCS
- Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán ở THCS bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để có được kết luận ban đầu cho việc
nghiêm cứu.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
Các bài toán THCS có thể giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu tài liệu liên quan đến khóa luận, đọc và hệ thống các tài liệu có
liên quan đến cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu và tài liệu liên quan đến việc giải
bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường THCS.
4.2. Phƣơng pháp điều tra quan sát
Dùng phiếu điều tra kết hợp với phỏng vấn giáo viên ở một số trường THCS
về khả năng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.
4.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất

2

5. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo và kết luận khóa
luận gồm 3 chương với những nội dung sau:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3


CHƢƠNG 1: SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan niệm về bài toán
Ta có thể hiểu bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp
không có sẵn ở người giải tại thời điểm tình huống đó được đưa ra.
1.2. Vị trí chức năng của bài tập toán
Ở trường THCS, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán, dạy toán là dạy
hoạt động toán học. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học
sinh, các bài toán ở trường THCS là một phương tiênh rất có hiệu quả và không thể
thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình
thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiến. Thông qua việc giải bài tập,
học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhân dạng và thể
hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức
hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ
chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với
mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Chính vì vậy mà vai trò của bài tập
toán học được thể hiện trên cả ba bình diện:
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường THCS là

giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt
mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau
hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán cụ thế là:
- Hình thành, củng có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiến.
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bối dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.

4


Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tâp toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri
thức nhất định và trên cơ sở đó thể hiện những mục tiêu dạy học khác nhau.
Những bài tập toán học còn là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh
hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở thực hiện
mục tiếu dạy học khác. Nghiên cứu sâu lời giải tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ trức cho học sinh học tập trong hoạt động và tự giác, tích cực, chủ động và
sang tạo được thực hiện độc lập và trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý nghĩa khác nhau về
phương pháp dạy học. Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội
dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương diện
đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát
triển của học sinh… Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên,
nhưng cũng có thế bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học bài tập, ta cần chú ý những điểm sau:

- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập SGK dành cho học sinh trung bình
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thúc.
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong SGK là một trường hợp
riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện các bước tìm lòi giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dãn học sinh giải bài tâp theo quy trình bốn bước
của G.Pôlya.
1.3. Phƣơng pháp chung tìm lời giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài
toán. Điều đó là ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có
5


trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng
dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và
cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya
về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên
phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước như sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của
bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi
tiết rắc rối. Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc vùng kiến
thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết
được vấn đề gì?
Sau đó, cần phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát biểu
đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có thể dùng
công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh,

khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và gợi sự “tò mò” muốn tìm lời lời cho
đề toán.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bài
toán. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có
thể đưa ra lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải
được đúng hướng hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn.
Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, càng
nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn; và càng nhiều thành công, càng giải
được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành những “kinh
nghiệm sống” chứ không phải chỉ là những chỉ dẫn khô khan.

6


Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hay một bài toán
nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như
chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ tích,...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan.
Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lí
nhất cho bài toán.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn bản để
đánh giá kết quả hoạt động giải toán.
Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập
luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí

luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi
tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng
đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất
hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học những chi tiết mà ta đã trình bày
trước đó.
Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác
với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải để sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó và
lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bƣớc 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Bao gồm một số việc như sau:
+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng.
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
7


+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Kết luận: Phương pháp chung để giải bài tón không phải là thuật giải bài toán.
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương
pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong
chương trình. Học phương pháp chung để giải toán là học những kinh nghiệm giải
toán mang tính tìm chất tìm tòi, phát hiện.
Nói chung, cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:
- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm
được phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dựng 4 bước này trong quá trình
giải toán.
- Cũng thông qua việc giải nhưngc bài toán cụ thể, cần đặt ra cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dựng câu hỏi này
như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện
từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu do giáo

viện nêu ra để hỗ trợ học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của chính học sin,
được học sinh nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong
quá trình giải toán.
Như vậy trong quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến tri thức tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông
qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi đến các
cách giải cụ thể bài toán còn là một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của
người học sinh, trong đó có yếu tố sáng tạo: “Tìm được cách giải một bài toán là
một phát minh” (theo Pôlya).
1.4. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu
cầu của lời giải bài toán. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Cụ thể là:

8


i) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một
hình vẽ…thỏa mãn các yêu cầu đặt ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng.
Như vậy, lời giải không thể chứ những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức…
2i) Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Lập luận phải nhất quán
- Luận cứ phải đúng
- Luận chứng phải hợp logic
3i) Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là: Lời giải phải không được bỏ xót một trường hợp,
một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là phương trình không đươc thiếu nghiệm, phân
chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào.
4i) Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc
dạy học cũng phải tuân thử yêu cầu này.
5i) Trình bày rõ rang, đảm bảo tính mĩ thuật
Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố
(chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời văn.
6i) Tìm ra nhiều cách giải chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các
cách giải đã tìm được
Trong quá trình dạy học, cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích - tìm lời giải, so sánh để tìm ra lời
giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
7i) Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản: 5i) là các yêu cầu về mặt trình
bày: 6i) 7i) là yêu cầu đề cao.

9


1.5. Phƣơng pháp giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình và hệ
phƣơng trình.
Giải bài toán bằng cách lập phướng trình và hệ phương trình gồm các bước sau:
Bƣớc 1: Lập phương trình
+) Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn ta có hai cách chọn ẩn là chọn ẩn trực
tiếp và chọn ẩn gián tiếp (chú ý ghi rõ đơn vị của ẩn)
+) Biểu thị các số liện chưa biết qua ẩn
+) Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình)
Bƣớc 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
Bƣớc 3: Chọn kết quả thích hợp và kết luận
Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập phương trình phù hợp
với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán đưa ra.
Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình

và hệ phương trình cần chú ý:
+) Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bài toán để hiểu rõ: cái phải tìm các số liệu đã cho,
mô tả hình vẽ nếu cần
+) Thường chọn trực tiếp cái phải tìm là ẩn, chú ý điều kiện của ẩn sao cho
phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế
+) Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết
ngay được
+) Khi đã chọn số chưa biết của một đại lượng trong một tình huống là ẩn khi
lập phương trình (hệ phương trình) phải tìm mối liên quan giữa các số liệu của một
đại lượng khác hoặc trong một tình huống khác. Mối liên hệ này được thể hiện bởi
sự so sánh (bằng, lớn hơn, nhỏ hơn, gấp mấy lần…)
+) Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kĩ năng giải các dạng phương
trình đã học để tìm nghiệm của phương trình
+) Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trinh) với
điều kiện của bài toán và với thực tế để trả lời
10


+) Phân tích - tìm lời giải, biện luận các cách giải, thay đổi các số liệu của bài
toán để tạo thành những bài toán khác nhằm giúp học sinh khá giỏi phát huy tốt tư
duy toán học.
Ví dụ: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4 tuổi. Năm
nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Hỏi tuổi mẹ và tuổi con hiện nay
Phân tích - Tìm lời giải
Đây là bài toán tính tuổi, liên quan đến hai thời điểm là thời điểm trước đây và
thời điểm hiện nay và bài toán yêu cầu tính số tuổi của hai người mẹ và con, biết
mối liên hệ giữa tuổi mẹ và tuổi con hơn kém nhau một số lần nên ta có thể chọn ẩn
là tuổi mẹ hoặc con và biểu diễn tuổi của người còn lại
Lời giải
Gọi tuổi con năm nay là x  tuổi mẹ năm nay là 3x ( x  * , x  7 )

Trước đây 7 năm tuổi con là x  7
Trước đây 7 năm tuổi mẹ là 3x  7
Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có
phương trình:
3x  7  5  x  7   4
 3x  5 x  35  4  7
 2 x  24
 x  12

Vậy năm nay con 12 tuổi và mẹ 36 tuổi
Nghiên cứu sâu lời giải
Ngoài việc giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể giải bài toán
bằng cách lập hệ phương trình như sau:
Gọi tuổi mẹ hiện nay là x điều kiện x  0, x  N
Gọi tuổi con hiện nay là y điều kiện y>0, y  N

11


Theo bài ra ta có:
- Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có phương
trình: x  7  5( y  7)  4 (1)
- Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên ta có phương trình: x  3 y (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 x  7  5( y  7)  4
 x  5 y  24
 x  12




x  3y
x  3y
 y  36

Vậy hiện nay tuổi con là 12, tuổi mẹ là 36
1.6. Nội dung dạy học giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình và hệ
phƣơng trình ở trƣờng THCS
Trong chương trình THCS việc dạy và học giải bài toán bằng cách lập phương
trình và hệ phương trình được trình bày ở lớp 8 và lớp 9 trong đó:
- Lớp 8: Học sinh được học giải bài toán bằng cách lập phương trình trong 4
tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 2 tiết bài tập.
- Lớp 9: Học sinh được học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và
phương trình (bậc hai một ẩn) trong 6 tiết gồm 3 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập.
1.7. Thực trạng dạy học giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình và hệ
phƣơng trình ở trƣờng THCS
- Ta nhận thấy việc dạy và học phương pháp giải bài toán bằng cách lập trình
và hệ phương trình còn hạn chế về thời gian và thời lượng phương giảng dạy nên
học sinh không nắm bắt được cách phân tích - tìm lời giải và phương pháp giải một
số bài toán khó.
- Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học môn toán ở trường THCS, chúng tôi đã
tiến hành điều tra trên hai đối tượng: Giáo viên và học sinh. Tuy nhiên việc giảng
dạy và học tập của giáo viên và học sinh ở hai chuyên đề giải bài toán bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình còn nhiều hạn chế. Qua điều tra chúng tôi thu
được kết quả như sau:
12


Bảng1. Bảng điều tra giáo viên trường: THCS Tân Sơn- Phú Thọ
Họ tên giáo
viên

ST
T
1

2

3

4

Hệ đào tạo

Tuổi
nghề

Thạc
sĩ
Lê Mạnh

Dưới 10

Hùng

năm

Trần Quốc

Trên 10

Đạt

năm

Phạm Thị

Dưới 10

Tình

năm

Nguyễn Thị

Dưới 10

Thùy Dung

năm

Đại
học

Chất lượng
Danh hiệu dạy giỏi cấp
giảng dạy
Cao Giỏi Khá Trung Tỉnh Huyện Trường
đẳng
bình

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy đa số giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề,
chưa có kinh nghiệm, chưa hình thành phương pháp và kĩ năng giải toán cho học
sinh.
Về trình độ đào tạo có 2 giáo viên đạt trình độ đại học và hai giáo viên đạt
trình độ cao đẳng.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi,
tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ
giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy.

Bảng 2. Bảng điều tra học sinh lớp
STT

Lớp

Giới tính
Nam

Nữ

Dân tộc

Xếp loại học tập (môn toán)
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

1

8A

27

13

17

1

24

15

0

2

8B

19

26

20

5

18

25

0

3

9A

24

23

10

5

22

20

0

4

9B

15

25

9

2

18

20

0

13


Nhận xét: Về phía học sinh, qua điều tra và quan sát tôi có một số nhận định
như sau: Đa số các em là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học tập tốt.
Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập, đa số các em còn
phải vừa học vừa giúp đỡ gia đình. Các em chủ yếu là học sinh trung bình nên khả
năng làm một số bài toán có lời văn nhất là những bài toán có những dữ liệu phức
tạp còn nhiều hạn chế. Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh
THCS giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” là cần thiết và
phù hợp với thực tiễn.

14


CHƢƠNG 2: HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Trong chương trình THCS “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Đặc trưng của các bài
toán lập phương trình và hệ phương trình là đề bài cho dưới dạng lời văn có sự đan
xen của nhiều loại ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán
học, ngôn ngữ vật lí..Trong quá trình dạy học ta thường gặp một số bài toán liên
quan đến chuyển động, bài toán liên quan đến năng suất lao động, bài toán tìm số
và chữ số, bài toán có nội dung hình học.
2.1. Bài toán chuyển động
Để giải được những bài toán chuyển động ta có một số công thức sau:
- Quãng đường = vận tốc X thời gian ( s  v.t )

s

- Vận tốc = quãng đường : thời gian  v  
t

s

- Thời gian = quãng đường : thời gian  t  
 v
Trong đó: s là quãng đường thường được đo bằng đơn vị mét (m) hoặc
kilomet (km)

v là vận tốc thường được đo bằng đơn vị m/phút hoặc km/giờ
t là thời gian thường được đo bằng đơn vị phút hoặc giờ
+ Nếu chuyển động cùng chiều trên một quãng đường đến khi gặp nhau thì:
quãng đường xe thứ nhất đi = quãng đường xe thứ hai đi hay ( s1  s2 )
+ Nếu hai xe cùng xuất phát mà xe thứ nhất đến trước xe thứ hai t giờ thì:
thời gian xe thứ hai - thời gian xe thứ nhất = t hay ( t2  t1  t )
+ Nếu hai xe chuyển động ngược chiều trên cùng quãng đường thì: quãng
đường xe thứ nhất đi + quãng đường xe thứ hai đi = cả quãng đường hay s1  s2  s
+ Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB thì: quãng đường xe thứ
nhất đi = quãng đường xe thứ hai đi hay s1  s2
+ Chuyển động trên dòng sông:
15


Vận tốc xuôi dòng= vận tốc của vật + vận tốc dòng
Vận tốc ngược dòng = vận tốc của vật – vận tốc dòng
Vận tốc dòng = (vận tốc xuôi – vận tốc ngược):2
Vận tốc của vật = (vận tốc xuôi – vận tốc ngược):2

Bài 1: Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’.
Nhưng mỗi giờ ôtô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10 km nên mãi đến 11h20’ xe
mới đến Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.
Phân tích:
Đây là bài toán có một chuyển động tham gia, yêu cầu ta phải tính quãng
đường . Muốn tính được quãng đường ta phải sử dụng công thức: s  v.t
Trong bài toán trên ta đã biết thời gian nhưng gồm hai thời gian là thời gian dự
kiến và thời gian thực tế. Nên quãng đường đi được bằng vận tốc dự kiến nhân thời
gian dự kiến hay cũng bằng vận tốc thực tế nhân thời gian thực tế
Lời giải:

1 5
Ta có thời gian dự kiến xe đi là: 10h30’ – 8h = 2h30’ = 2  (giờ)
2 2
1 10
Thời gian thực tế xe đi là: 11h20’ – 8h = 3h20’ = 3 
(giờ)
3 3

Gọi quãng đường từ à Nội đến Hải Phòng là x km ( x  0 )
Vận tốc dự định mà xe dự kiến đi là

Vận tốc thực tế là:

x 2x

 km / h 
5 5
2

x 3x
  km / h 
10 10
3

Vì vận tốc thực tế kém vận tốc dự định là 10km / h nên ta có phương trình:
2 x 3x

 10  4 x  3x  100  x  100
5 10

Vậy quãng đường từ hà nội đến Hải Phòng là 100  km 
16


Nghiên cứu sâu lời giải
Bài tập tƣơng tự: Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng dự kiến đến Thanh
Hóa với vận tốc 40 km/h. Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh Hóa chiếc ô tô đó lại quay ra
Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian đi và nghỉ lại Thanh Hóa và về mất
10h45’. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Thanh Hóa.
Bài 2: Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe
chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h
thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu
Phân tích - tìm lời giải
Đây là bài toán có một chuyển động tham gia, yêu cầu ta phải tính quãng
đường và thời gian dự định đi. Để tính được quãng đường và thời gian ta phải sử
dụng công thức: t 

s
v

Ta đã biết vận tốc của xe vậy để tính quãng đường và thời gian dự định đi ta
sẽ biểu diễn hai đại lượng chưa biết thông qua quãng đường
Lời giải
Gọi x là thời gian dự định đi lúc đầu, điều kiện x  0
Gọi y là độ dài quãng đường AB, điều kiện y  0
Theo đầu bài ta có:
Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được
y
 x  2  35 x  y  70
35

(1)

Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm 1 giờ, ta được
y
 x  1  50 x  y  50
50
35 x  y  70
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
50 x  y  50

17

(2)
(I)


35 x  y  70  x  8
Giải hệ phương trình (I) 

(thỏa mãn đề bài)

50 x  y  50
 y  350

Vậy quãng đường AB dài 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ
Nghiên cứu sâu lời giải
Như vậy trong lời giải của ví dụ trên ta thấy:
a. Chúng ta lựa chọn hai ẩn x, y tương ứng cho hai giá trị cần tìm là độ dài
quãng đường AB và thời gian dự kiên đi.
b. Việc thiết lập các phương trình (1) (2) dựa trên phép so sánh thời gian tới
đích và thời gian dự kiến. Tuy nhiên, cũng có thể lập luận theo cách khác cụ thể là:
+ Nếu xe chạy với vận tộc 35km/h thì đến chậm 2 giờ, tức là số thời gian chạy
bằng x  2 , do đó
35( x  2)  y (vận tốc.thời gian =quãng đường )

+ Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến sớm 1 giờ, tức lá số thời gain chạy
bằng x  1 , do đó
50( x  1)  y (vận tốc.thời gian=quãng đường)

Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian
nhất định nào đó. Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên phải dừng lại để sửa
chữa mất 10 phút. Vì vậy để đến B kịp thời gian dự định xe phải tăng tốc thêm
6km/h. tính vận tốc ban đầu của ô tô.
Phân tích - tìm lời giải
Đây là bài toán chuyển động, để đảm bảo việc đi từ A đến B đúng thời gian
như dự định ta cần thiết lập được phương trình cân bằng giữa thời gian dự định đi
từ A đến B với thời gian thực tế
Lời giải:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x  x  0, km 

Thời gian ô tô đi theo dự định là

120
 h
x

18


Sau 1giờ xe chạy được 1.x  x  km 
Quãng đường còn lại là 120  x  km 
Vận tốc mới của ô tô là x  6
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là:

120  x
x6

Theo đầu bài ta có phương trình:

120
1 120  x
1 
x
6
x6
2
 x  42 x  4320  0
 x  48

 x  90

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 4
Nghiên cứu sâu lời giải
Với cách giải như trê ta cũng có thể làm được bài tập sau:
Một người đi từ A về B rồi trở lại A. Lúc về đi được 30 km người đó nghỉ 20
phút. Sau khi nghỉ xong, người đó đi với vận tốc nhanh hơn trước 6 km/h. Tính vận
tốc lúc đi. Biết quãng đường AB dà 90 km và thời gian đi bằng thời gian về kể cả
lúc nghỉ
Bài 4: Một người đi xe đạp từ nhà ra thành phố với vận tốc trung bình là
12km/h. Sau khi đi được

1
quãng đường với vận tốc đó thì xe bị hỏng do đó phải
3

chờ ôtô mất 20 phút. Quãng đường còn lại người đó đi bằng ôtô với vận tốc 36km/h
vì vậy đến sớm hơn 1 giờ 20 phút so với dự định. Tính quãng đường người đó đi.
Phân tích - tìm lời giải
Đây là bài toán chuyển động trên một quãng đường AB có hai đại lượng tham
gia vào quá trình chuyển động là chuyển động của xe đạp và chuyển động của ôtô.
Bài toán cho ta biết vận tốc của hai chuyển động và yêu cầu ta tính quãng đường

19


người đó đi. Để tính được quãng đường ta chọn thêm một đại lượng nữa làm ẩn ở
đây ta sẽ chọn thời gian dự định làm ẩn thứ hai
Lời giải
Đổi: 1 giờ 20 phút =1 
20 phút =

20 4

60 3

20 1

60 3

Gọi x là thời gian dự định, điều kiện x  0
Gọi y là độ dài quãng đường, điều kiên y  0
Với giả thiết
- Xe đạp đi với vận tốc trung bình là 12km/h ta được 12x  y (1)
- Sau khi đi được
bằng

1
y
quãng đường (bẳng ) với vận tốc 12km/h (thời gian đi
3
3

y
1
giờ) thì xe bị hỏng do đó phải chờ 20 phút ( bằng giờ). Quãng đường
3.12
3

còn lại ( bằng

2y

2y
) người đó đi với vận tốc 36km/h ( thời gian đi bằng
) vì
3.36
3

vậy đến sớm hơn 1 giờ 20 phút ( tổng thời gian đi bằng x 

4
giờ ) so với dự định,
3

ta được
y 1 2y
4
 
 x   108 x  5 y  180 (2)
36 3 108
3

Từ (1) (2) t có hệ phương trình:

 15
12 x  y
x 

4

108 x  5 y  180  y  45


Vậy quãng đường người đó phải đi là 45 km

20


Nghiên cứu sâu lời giải
Ngoài việc thiết lập hệ phương trình hai ẩn, bài toán trên ta có thể giải bằng
cách lập phương trình một ẩn.
Giả sử quãng đường người đó đi là AB và điểm hỏng của xe là C. Gọi quãng
đường AB là x , điều kiện x  0
Suy ra thời gian dự định là

x
12

Từ giả thiết
+ Quãng đương AC bằng

x
x
x
và đi với thời gian bằng

3.12 36
3

+ Quãng đường CB bằng

2x 2x
2x

và đi với thời gian bằng

3.36 54
3

Vì người đó đến sớm hơn 1 giờ 20 phút so với dự định nên ta có phương trình:
x
x 4 1 x
     3x  2 x  108  9 x  x  45
36 54 3 3 12

Vậy quãng đường người đo phải đi là 45km
Bài 5: Hai địa điểm A, B cách nhau 360km. Cùng một lúc, một xe tải khởi
hành tưt A chạy về B và 1 xe con chạy từ B về A. Sau khi gặp nhau xe tải chạy
tiếp 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy 3 giờ 12 phút nữa thì tới A. tính vận tốc
của mỗi xe
Phân tích - tìm lời giải
Đây là bài toán chuyển động trên cùng một quãng đường, có hai đại lương
tham gia vào quá trình chuyển động và hai chuyển động này ngược chiều nhau. Để
làm bài toán trên ta phải chú ý: tổng quãng đường hai xe đi bằng quãng đường ban
đầu và thời gian hai xe đi đến khi gặp nhau là bằng nhau. Từ đó ta thiết lập được
mối liên hệ giữa các đại lượng có trong đề bài.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe tải là x km/h

 x  0
21


Gọi vận tốc của xe con là y km/h  y  0 

Quãng đường xe tải chạy trong 5 giờ là: 5x
Quãng đường xe con chạy trong

16
16
giờ là:
y
5
5

Ta có tổng quãng đường hai xe đi được = quãng đường AB hay
5x 

16
y  360  25 x  16 y  1800 (1)
5

Thời gian xe tải đi cho đến lúc gặp xe con là:

16 y
giờ
5x

Thời gian xe con đi cho đến lúc gặp xe tải là:

5x
giờ
y

Ta được phương trình:

16 y 5 x

 5 x  4 y (2)
5x
y

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
25 x  16 y  1800  x  40


5
x

4
y

0

 y  50

Vậy vận tốc của xe con là 40 km/h, vận tốc của xe tải là 50 km/h
Nghiên cứu sâu lời giải
Với cách giải như trên ta cũng có thể làm được bài toán sau:
Một chiếc xe máy đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường
dài 189km. Sau khi xe tải xuất phát được 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ
thành phố Cần Thơ về thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1
giờ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe
tải 13 km
Bài 6: Hai bến sông A và B cách nhau 140 km. Một ca nô xuôi từ A đến B rồi

quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô đó
khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước

22