K2pi net vn cuc tri hinh hoc khong gian

THPT Lª Hång Phong-Thanh ho¸

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Cho khối đa diện (T),M là điểm chuyển động trên cạnh AB nào đó của khối đa diện và
(P) là mặt phẳng thay đổi qua M. Xác định vị trí của M để thiết diện tạo bởi (P) và khối đa diện có
diện tích nhỏ nhất hoặc lớn nhất
Phương pháp chung
- Dựng thiết diện(phương pháp giao tuyến gốc)
-Xác định hình dạng thiết diện(dựa vào tính chất của mặt phẳng (P) và hình dạng khối T)
-Tìm cực trị
MA
 x  0;1
Chọn đối số: x 
MB
Lập hàm số: Lập công thức tính diện tích theo x và các kích thước cho trước S= S(x)
Khảo sát chiều biến thiên
1) cho tứ diện ABCD, M là điểm bất kỳ thuộc AB (P) là mặt phẳng bất kỳ qua M và // AC và BD. Xác
định vị trí của M để thiết diện tạo bởi mp(P) và tứ diện có diện tích lớn nhất.
2) Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng (P) đi qua một đường chéo của hình lập pjương. Phải chọn
mp(P) như thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất.
Dạng 2: Cho khối đa diện (T)có một số điểm thay đổi và một số điểm cố định Xác định vị trí hình
học của các đỉnh thay đổi để khối (T) có thể tích nhỏ nhất hoặc lớn nhất
Phương pháp chung
TH1:- Nếu khối đa diện có một kích thước x thay đổi thì biến số chính là kích thước thay đổi đó
-Lập công thức tính thể tích V=V(x)(xem x như đã biết- Tìm tập xác định V(x)  x  D )
-Khảo sát chiều biến thiên
TH2: Nếu sự thay đổi của đối số ít nhất là hai kích thướcthì việc giải toán theo trình tự
-Chọn biến x, y là độ dài cạnh thay đổi
-Tìm mối liên hệ giữa các biến x, y. Có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, có thể dùng tam
giác đồng dạng hoặc dùng phương pháp so sánh (So sánh một đại lượng q thông qua x,y bằng 2 cách

để đưa ra hệ thức f(x,y)=0)
- Lập công thức tính thể tích V=V(x,y)
-Tìm cực trị
1) Cho hình chóp S.ABCD dấy ABCD là một hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy và SA= a 2 , M
và N là hai điểm chuyển động trên BC và CD sao cho góc MAN=450. Xác định vị trí của M,N để chóp
S.ABCD có thể tích lớn nhất hoặc bé nhất.
2) (Đề 16) Cho tam giác nhọn ABC, đường thẳng (d) đi qua A và vương góc với mp(ABC) . Trên (d) lấy
điểm S với SA=x, Gọi I là trực tâm của tam giác SBC, K là trực tâm của tam giác ABC, đường thẳng IK
cắt (d) tại Q.
a) Chứng minh rằng AK cắt SI tại một điểm P, IK  ( SBC ) vµ PQ  SK .
b) Giả sử tam giác ABC đều cạnh a. Tính V của hình chóp S.QBC theo a và x. Xá định x để V nhỏ nhất.
3)(Đề 18) Trong mp(P) cho tam giác ABC có A=900, C=600; BC=2a. Dựng các đường thẳng Bx,Cy
vuông gốc với (P).
a) Xác địng điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy.
b) L là điểm di động trên Bx. Hỏi L ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm được điểm N sao cho tam giác BLN
có góc vuông ở N ?
c) trong các vị trí của L nói ở câu b) Hãy xác định điểm L sao cho hình chóp A.BLNC có thể tích nhỏ
nhất.
4) (Đề 36) CHo hai điểm A, B đối xứng nhau qua mp(P) , I là giao điểm của AB và mp(P), O là điểm nằm
ngoài (P) có hình chiếu vuông góc xuống mp(P) là H. M là một điểm chạy trên đường tròn đường kính HI
vẽ trong (P).
a) Chứng minh IM là đường vuông góc chung của AB và OM.
1


THPT Lª Hång Phong-Thanh ho¸

b) Cho AB= 2a; HM=x; MI=y. Tính thể tích khối tứ diện OMAB. Xác định vị trí của M để thể tích đó lớn
nhất.
c) Chứng minh rằng hai điểm A,B cách đều đường thẳng OM.

5) (Đề 147) Trong mp(P) cho tam giác OAB với OA=OB; AB=2a và đường cao OH=h. Trên đường thẳng
(d) vuông góc với (P) tại O lấy điểm M với OM=x. Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A lên MB và
OB; N là giao điểm của đường thẳng EF và (d) .
a) Chứng minh: MB  NA vµ MA  MB
b) Tính BF, BE và thể tích tứ diện ABEF theo a, h và x.
c) Tìm vị trí của M thuộc (d) sao cho tứ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất.

Dạng 3: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b ( a  b ), AB là đoạn vuông góc
chung, M và N là hai điểm chuyển động trên a và b sao cho giữa M và N thoả mãn một
điều kiện cho trước. Gọi f là một đại lượng hình học liên quan đến tứ diện ABMN. Xác
định vị trí của M và N sao cho f đạt GTLN-GTNN
Phương pháp chung
-CM tứ diện ABMN có các mặt là các tam giác vuông
 x  AM
-Chọn biến 
Từ mối liên hệ hình họcgiữa M,Ntìm mối liên hệ giữa x, y là g(x,y)=0
 y  BN
-Tính f qua x, y
-Tìm cực trị
1) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b a  b , AB là đoạn vuông góc chung, M và N là hai điểm chuyển
động trên a và b sao cho giữa M và N sao cho AM+BN=2k(k là độ dài cho trước).
a) Xác định vị trí của M và N sao cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN đạt GTNN
b) CMR: Khi bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện nhỏ nhấtthì tứ diện ABMN có thể tích lớn nhất
2) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b a  b , AB là đoạn vuông góc chung sao cho AB=2k(k là độ dài
cho trước), M và N là hai điểm chuyển động trên a và b sao cho sao cho AM+BN=MN.
a) Xác định vị trí của M, N sao diện tích toàn phần tứ diện ABMN đạt GTNN
b) Xác định vị trí của M, N sao MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB
r
Dạng 4: Cho hình chóp đều S.A1A2. . .An. Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số đạt max
R

Phương pháp chung
-Gọi O1, O2 là tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp
- Chon biến : a cạnh dáy,  góc tạo bởi mặt bên và đáy
r
-Lập hàm tính r, R dẫn đến f ( ) 
R
-Tìm cực trị ,đặt x  tan


2

 x  0;1

r
đạt max.
R
r
2) Cho hình chóp đều S.ABCD. Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số
đạt max.
R
3) (Đề 14) S.ABC là một hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, đường cao SH= h.
a) Tính theo a và h các bán kính r, R của các hình cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp
r
b) Giả sử a cố định còn h thay đổi, Xác định h để tỉ số
là lớn nhất.
R

1) Cho hình chóp đều S.ABC. Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số

2

THPT Lª Hång Phong-Thanh ho¸

Dạng 5: Trong không gian cho khối đa diện (T) và hai điểm M N chuyển động thoả mãn điều kiện
ràng buộc cho trước. Xác định vị trí của M, N sao cho MN đạt min hoặc max
1) Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh =a, M và N là hai điểm chuyển động trên hai đường chéo
AD' và BD sao cho AM=BN. Xác định vị trí của M, N sao cho MN min, max.
2) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a và M là trung điểm của BC, N là trung điểm
của SD, SA vuông góc vớiđáy và SA= 2a. P và Q là hai điểm chuyển động trên các đoạn thẳng AM và CN
AP CQ

sao cho
. Xác định vị trí của P, Q sao cho PQ min, max.
AM CN
3) (Đề 140) Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trong mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với
(P) dựng tam giác đều ABE. Lấy điểm M thay đổi trên đoạn AB. Đặt BM=x. Từ E kẻ đường vuông góc
với MC(N thuộc MC) . Gọi F và O theo thứ tự là trung điểm của AB và CE.
a) Tìm quỹ tích điểm N khi M chuyển động trên đoạn AB.
b) Tính MO theo a và x.
c) Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của MO.

3