Chương 1 lượng giác

Chương 1

LƯỢNG GIÁC
Biên soạn: Thân Văn Cương - Gv: THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang. ĐT: 0983.515825

1.1. Một số dạng phương trình thường gặp
1.1.1. Phương trình cơ bản
1.1. Giải các phương trình lượng giác sau
√
1. sin(x − π6 ) = 21
2. sin(2x − 300 ) =√− 33
3. sin(2x − π4 ) = 31
4. cos(2x − π3 ) = 23
1
π
5. cos(3x + 6 ) = − 2
6. −cos3x = cos(2x + π4 )
π
7. sin3x = −sin(x
8. cos4x + cos(x + π6 )√= 0
√ + 6)
π
9. tan(x + 4 ) = 3
10. tan(x − 150 ) = − 3
π
11.tan(3x − 4 ) = cotx
12. tan(2x + π3 ) = −tan(3x + π4 )
2π
13. tan2x + cot3x = 0
14. sin(3x + π4 ) − cos(x +
)=0

3
π
π
15. cos(3x − 6 ) = −cos(x + 3 ) 16. sin(πcosx) = 1
1
π
17. cos(8sinx) = 1
18. sin(x − ) =
6
2

1.2. Giải các phương trình lượng giác trên các khoảng đã chỉ ra.
1. sin(x + π4 ) − sin2x = 0 trên [− π4 ; 3π
2. cos(2x + π6 ) = cos3x trên [− π3 ; 2π]
2 ]
√
π
π
π
π 3π
3. tan(2x + ) = 3 trên [− ; 2π]
4.tan(2x + ) = tanx trên [− ;
]
4
4
6
4 2
√
√
3

3
trên [0; 1800]
trên [−2000; 1800 ]
5. sin(3x − 300 ) =
6. cot(450 − x) =
2
3

1.3. Tìm a > 0 nhỏ nhất thỏa mãn phương trình: cos[π(a2 + 2a − 21 )] − sinπ.a2 = 0

1.4. Giải và biện luận các phương trình sau.
a. (4m − 1)sinx + 2 = msinx − 3
b. (2m + 3)cosx − 1 = mcosx − 2(m − 1).
Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

1


1.1.2.

Phương trình bậc hai, bậc ba với một hàm số lượng giác

1.5. Giải các phương trình lượng giác sau.
1) 9cos2 x − 5sin2 x − 5cosx + 4 = 0
2) cos2x + sin2 x + 2cosx + 1 = 0
1
4
4
3) sin x + cos x = sin2x − 2
4) sin4 2x + cos4 2x = sin2x.cos2x

2
5) 6cos x + 5sinx − 7 = 0
6) 5(1 + cosx) = 2 + sin4 x − cos4 x
4
7) cos2x + sin2 x − 2cosx + 1 = 0
8)
+ tanx = 7
cos2 x
5
9) cos2x − 4cosx + = 0
10) sin4 x + cos4 x = cos2x
2
1
11) 3cos4 x + 8cos2x.sin2x − 4 = 0
12) sin4 x + cos4 x = sin2x
2
4
2
2
13) 4tan2 x + 5 −
14)
=0
+
2tan
x
+
5(tanx + cotx) + 4 = 0
cosx
sin2 x
√

2
√
=3
15) sinx + 3cosx +
16) cotx − cot2x = tanx + 1
sinx + 3cosx
4
1
2
1
5
17) 2(
+ cos2 x) + 9(
− cosx) = 1 18) cosx + cos2x + tan2 x +
=
cos2 x
cosx
2
cosx
2
1.6. Cho phương trình: cos2 x + 2(1 − m)cosx + 2m − 1 = 0
a. Giải phương trình với m = 21
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [0; 2π]
1.7. Cho phương trình: cos2x − (2m + 1).cosx + m + 1 = 0
a. Giải phương trình khi m = 23
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ π2 ; 3π
2 ]
1.8. Giải các phương trình sau.
a. 4sin3 x − 8sin2 x + sinx + 3 = 0
b. 4(sin3x − cos2x) = 5(sinx − 1)

c. cos3x + 3cos2x =
√
√
√ 2(1 + cosx)
d. 6tan3 x + (3 − 2 3)tan2 x − (3 + 3)tanx + 3 = 0

1.9. Cho phương trình (cosx + 1)(cos2x − mcosx) = m.sin2 x
a. Giải phương trình khi m = −2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [0; 2π
3 ]

1.1.3.

Phương trình dạng acosx + bsinx = c

1.10.
√ Giải các phương
√ trình lượng giác sau.
√
1) 3sinx − cosx + 2 = 0
2) 3sinx − 1 = 4sin3 x + 3cos3x
√
√
9
4) 3cosx + 2 3sinx =
3) 2(cos4 x + sin4 x) + 3sin4x = 2
2
√
√
5) cos5x − sin3x

√ = 3(cos3x − sin5x) 6) tanx − 3cotx = 4(sinx + 3cosx)
7) 2sin3x + √3cos7x + sin7x = 0
8) 1 + cosx + sin3x√+ cos3x − sin2x − sinx
3
9) 3sin3x − 3cos9x = √
1 + 4sin 3x
10) cos7x.cos5x − 3sin2x
√= 1 − sin7x.sin5x
4
3
11) 4(sin4 x +
cos
x)
+
x
−
1
=
3sinx
−
3sin4x
=
2
12)
4sin
3cos3x
√
13) cos2 x − 3sin2x = 1 + sin2 x
14) sinx(1 − sinx) = cosx(cosx − 1)
1.11. Giải và biện luận phương trình 2m(sinx + cosx) = 2m2 + cosx − sinx +

1.1.4.

3
2

Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba

1.12. Giải các phương trình lượng giác sau.
1) 2sin2 x − 5sinxcox − cos2 x + 2 = 0
√
π
3) sin3 (x − ) = 2sinx
4
√
1
5) 3sinx + cosx =
cosx
7) 6sinx − 2cos3 x = 5cosxsin2x
9) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3 x
11) 4sin3 x + 3cos3 x − 3sinx − sin2 x.cosx = 0
13) cos3 x + sinx − 3sin2 x.cosx = 0
15) sinx + cosx − 4sin3 x = 0
17) sin3x + cos3x + 2cosx = 0
Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

2) 4cos3 x − cosx − sinx = 0
4) sin2 x + 2sinx.cosx + 3cos2 x − 3 = 0
6) 6sin2 x − sinx.cosx − cos2 x = 3

8) sin3x + cos3x + 2cosx = 0
10) sinx − cosx = 4sinx.cos2 x
12) cos3 x − 4sin3 x − 3cosx.sin2 x + sinx = 0
14) cos3 x − sin3 x = sinx − cosx
16) sin2 (1 + tanx) = 3sinx(cosx − sinx) + 3
18) sinx − 4sin3 x + cosx = 0
2


π
3π
− x) + 4sin(x + π).cosx + 2sin(
− x)cos(x + π) = 1
2
2
3π
π
20) 2sinx.cos(
+ x) − 3sin(π − x).cosx + sin( + x).cosx = 0
2
2
19) 4sinx.cos(

1.13. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [− π4 ; π4 ].
2sin2 x − sinx.cosx − cos2 x = m

1.1.5. Phương trình đối xứng với sinx và cosx
1.14. Giải các phương trình sau.
1) sinx.cosx + 2(sinx + cosx) = 2
√

√
3) (1 + 2)(sinx − cosx) + 2sinx.cosx = 1 + 2

5) 1 − sin2x = cosx − sinx

7) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0

9) sinx + cosx = cotx − tanx
.

√
2
2) sin x + cos x =
2π
√
4) sin2x + 2sin(x − ) = 1
4
6) 6(sinx − cosx) − sinx.cosx = 6
3
8) 1 + sin3 x + cos3 x = sin2x
2
10) sin3 x + cos3 x = cos2x
3

3

1.15. Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2x + 4(cosx − sinx) = m
1.16. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sinx.cosx + 6(sinx + cosx + m) = 0

1.1.6. Phương trình đối xứng với tanx và cotx

1.17. Giải các phương trình sau.
1) 3(tanx + cotx) − 2(tan2 x + cot2 x) − 2 = 0
2) tanx + cotx + tan2 x + cot2 x + tan3 x + cot3 x = 6
3) 3(tanx − cotx) + tan2 x + cot2 x = 6
4) tan7 x + cot7 x = tanx + cotx
5) 9(tanx + cotx)4 = 48(tan2 x + cot2 x) + 96
6) 3(tanx + cotx)4 − 8(tan2 x + cot2 x) = 32
1.18. Cho phương trình: tan2 x + cot2 x + 2(m + 2)(tanx + cotx) = m − m2 Tìm m để phương trình trên
có nghiệm.

1.1.7. Phương trình có chứa sin2n x + cos2n x
Trong dạng này ta thường sử dụng hai công thức lượng giác sau.
3
1
sin x + cos4 x = 1 − sin2 2x và sin6 x + cos6 x = 1 − sin2 2x
2
4
4

1.19. Giải các phương trình sau.
a. sin4 x + cos4 x = cos2x
b. sin6 x + cos6 x = 41 .sin2 2x
c. 16(sin6x + cos6 x − 1) + 3sin6x = 0
sin6 x+cos6 x
d. cos
2 x−sin2 x = m.tan2x. Tìm m để phương trình có nghiệm.
√
e. 4sin3 x.cos3x + 4cos3 xsin3x + 3 3cos4x = 3
1.20. Cho phương trình: 4(sin4 x + cos4 x) − 4(sin6 x + cos6 x) − sin2 4x = m.
Tìm m để phương trình có nghiệm.

1.21. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.
6
x+sin6 x
a. cos
cos2 x−sin2 x = m.tan2x
b. sin6 x + cos6 x = m.sin2x
c. sin4 x + cos4 x − cos2x + 41 sin2 2x + m = 0
d. 4(sin4 x + cos4 x) − 4(sin6 x + cos6 x) − sin2 4x = m
Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

3


1.1.8.

Sử dụng công thức hạ bậc

1.22. Giải các phương trình sau.
3
a. cos2 x + cos2 2x + cos2 3x =
2
b. sin2 3x − sin2 2x − sin2 x = 0
c. sin2 x = cos2 2x + cos2 3x
d. sin2 2x + sin2 4x = sin2 6x
e. sin2 x = cos2 2x + cos2 3x

1.1.9.

Sử dụng công thức nhân đôi

1.23. Giải các phương trình
a. cos4 x + sin6 x = cos2x
b. 2sin3 x − cos2x + cosx = 0
c.cos4 x − cos2x + 2sin6 x = 0
d. sin3 x + cos3 x = cos2x
e. sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x)

5
f.sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + coss2x
4

1.1.10.

Sử dụng công thức biến đổi tổng, tích

1.24. Giải các phương trình
a. sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
b.1 + cosx + cos2x + cos3x = 0
c.cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
d.cos11x.cos3x = cos17x.cos9x
π
π
e.4cosx.sin( + x).sin( − x) = cos2x
6
6
f. sin6x.sin2x = sin5x.sin3x
g. sin5x.cos6x + sinx = sin7x.cos4x

1.1.11.

Mũ+lượng giác

1.25. Giải các phương trình
1 sin2 x
)
+ 4.5cos2x = 25sinx.cosx
a.5( 25
2
b.2cos2x = 3.2cos x − 4
2
2
c.9sin x + √
9cos x = 10
√
4 3)cosx + ( 7 −
4 3)cosx = 4
d.( 7 +√
√
e. (3 + 2 2)tanx + ((3 − 2 2)tanx = 6
1.26. Giải các phương trình sau.
√
√
−π π
a. (3 + 2 2)tanx + ((3 − 2 2)tanx = m có 2 nghiệm x ∈ (
, )
2 2
√ tanx
√ tanx
+ (5 − 2 6)
= m Giải và biện luận theo m

b. (5 + 2 6)
2
2
2
c. 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin x có nghiệm.

1.1.12.

Phương pháp tổng bình phương

1.27. Giải các phương
√ trình sau.
√
a. 4cosx + 3tan2 x − 4 3cosx + 2 3tanx + 4 = 0
b. sin2 x + 41 sin2 3x = sinx.sin2 3x
1
1
1
HD: Pt⇔ sin2 x − sinx.sin2 3x + sin4 3x − sin4 3x + sin2 3x = 0
4
4
4
c. cos2x − cos6x + 4(3sinx − 4sin3 x + 1) = 0
HD: pt ⇔ (1 − cos2x) + (1 − cos6x) + 4sin3x + 2 = 0
d. x2 + 2xsinx − 2cosx + 2 = 0
Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

4

e.

sin2 x − sinx +

17
+
4

cos2 x −

√
39
3cosx +
=5
4

1 √
1 √
+ 2cosx − cos2 x +
+ 2sinx − sin2 x = 2
2
2
g. x√2 + 4xcosxy + 4 = 0
h. 3sin2x − 2sin2 x √
− 4cosx + 6 = 0
i. 2sin2x +√
cos2x + 2 2sinx − 4 = 0
√
k. cos2x − 3sin2x + 4sin2 x − 2sinx + 4 = 2 3cosx
f.

1.28. Giải
√ các phương trình sau.
a. cos3x +√ 2 − cos2 3x = 2(1√+ sin2 2x)
b. sinx + 2 − sin2 x + sinx. 2 − sin2 x = 3
3
1
+ cos2 x +
+ cos2 x = 2
c.
4
4
5
2
d.
y
y = 9 + 2x − x
| sin cos |
x
x

1.1.13. Đặt ẩn phụ
1.29. Giải các phương trình.
√
π
a. sin3 (x + ) = 2sinx
4
√
π
b. sin3 (x − ) = 2sinx

4
π
c. 8cos3 (x + ) = cos3x
3
π
x
d. tanx = tan3 ( − )
4
2
3x
π
3π x
e. sin(
+ ) = 3sin(
− )
2
10
10
2
3π
π x
f. sin(
+ x) = 2sin( − )
5
5
5

1.30. Giải các phương trình sau.
sin4 2x + cos4 2x
a.

= cos4 4x
tan( π4 − x).tan( π4 + x)
b. Tìm b để phương trình sau có nghiệm cos2x + sin2 x + bcosx + 1 = 0
c. sin3 x + cos3 x = 1 − 21 sin2x
π
π
d. sin4 x + cos4 x = 2cos(2x + ).cos(2x − )
4
4
e. sinx + 3sin2x = sin3x
1 − sin2x
f. 1 + tan2x =
cos2 2x
sin4x
g. cosx.sin2x.cos3x =
4

1.2. Các bài tập tổng hợp
Phần này là tổng hợp các bài toán lượng giác có trong các đề thi ĐH, CĐ cũng như các đề thi thử ĐH,
CĐ của các trường THPT các năm.

1.31. Giải các phương trình lượng giác sau.
Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

5


1) cos2 x −

√

2) cos3 x − 4sin3 x − 3cosxsin2 x + sinx = 0

3sin2x = 1 + sin2 x
cos2x
1
3) cotx − 1 =
+ sin2 x − sin2x
1 + tanx
2
5) sinx − 4sin3 x + cosx = 0
7) tanxsin2 x − 2sin2 x = 3(cos2x + sinxcosx)

4) sin3x + cos3x + 2cosx = 0

6) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
8) sin3 x.cos3x + cos3 x.sin3x = sin3 4x
sinx + sin2x + sin3x √
10)
= 3
cosx + cos2x + cos3x
12) 1 + sin3x = sinx + cos2x
14) cos3x + cos2x − cosx − 1 = 0
1
16) cosx − cos2x + cos3x =
2
18) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

9) 4cosx − 2cos2x − cos4x = 1

√
11) sinx.sin4x = 2cos( π6 − x) − 3cosxsin4x
13) 1 + sin x2 sinx − cos x2 sin2 x = 2cos2 ( π4 − x2 )
15) 2cos2x − sin2x = 2(sinx + cosx)
√
17) sin3 (x + π4 ) = 2sinx
cosx + sin3x
19) 5(sinx +
) = cos2x + 3
1 + 2sin2x
2
21) cotx − tanx + 4sin2x =
sin2x
√
23) (sin x2 + cos x2 )2 + 3cosx = 2
cos2x
1
25) cotx − 1 =
+ sin2 x − sin2x
1 + tanx
2
27) sin3 xcos3x + cos3 xsin3x = sin3 4x

20) cos3x − 4cos2x + 3cosx − 4 = 0
22) sin2 ( x2 − π4 )tan2 x − cos2 x2 = 0

24) (2cosx − 1)(2sinx + cosx) = sin2x − sinx

29) 2(tanx − sinx) + 3(cotx − cosx) + 5 = 0
√

π
31) sinx.sin4x = 2cos( − x) − 3cosx.sin4x
6
33) 1 + sin x2 sinx − cos x2 sin2 x = 2cos2 ( π4 − x2 )
7
35) sin4 x + cos4 x = cot(x + π3 ).cot( π6 − x)
8
37) (sinx + sin2x + sin3x)3 = sin3 x + sin3 2x + sin3 3x
39) sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x
41) 2sin3x(1 − 4sin2 x) = 1

2
sin2x
45) cotx − sinx(1 + tanxtan x2 ) = 4
43) cotx − tanx + 4sin2x =

1.3.

26) (2cosx − 1)(2sinx + cosx) = sin2x − sinx
1
28) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
16
sinx + sin2x + sin3x √
= 3
30)
cosx + cos2x + cos3x
32) 1 + sin3x = sinx + cos2x
1
34) sin4 x + cos4 (x + π4 ) =
4

√
π
)
=
2cos(
36) 2sin3 (x + 9π
4
2 − x)
2
2
cot x − tan x
= 16(1 + cos4x)
38)
cos2x
40) cos(1 − tanx)(sinx + cosx) = sinx
(1 + cos2x)2
= 2cos2x
42) sin2 x +
2sin2x
44) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
√
46) 3sin2x + cos2x = 2cosx − 1

Các bài toán phương trình lượng giác trong đề thi

Phần này là tuyển chọn các đề thi thử Đại học phần lượng giác của các trường chuyên trong toàn quốc
năm 2012.
1.32. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình sau.
(1 − tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

Gợi ý. Đặt t = tanx và biến đổi sin2x theo t
1.33. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: sinx − 4sin3 x + cosx = 0.

Gợi ý. Phương trình đẳng cấp bậc 3.
1.34. (TT vn.math.com) Giải phương trình: sin2x − (sinx + cosx + 1)(2sinx − 3) = 0.

Gợi ý. Biến đổi về phương trình tích (sinx + cosx + 1)(−sinx + cosx + 2) = 0.
1.35. (THPT Nguyễn Đức Mậu) Giải phương trình: cotx −

Gợi ý. Chú ý cotx − tanx =

= tanx.

2cos2x
sin2x

1.36. (THTT) Giải phương trình: 16cos4 (x +

Gợi ý. Chú ý rằng cosx − sinx =
tích.

2cos4x
sin2x

√

2cos(x +

1 − tan2 x
π

)=4
− 2sin4x.
4
1 + tan2 x

π
) và 1 − sin2x = (cosx − sinx)2 . Biến đổi về phương trình
4

Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

6


1.37. (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình
3π
π
3sin2 x.cos(
+ x) − sin2 ( + x).cosx = sinx.cos2 x − 3sin2 x.cosx
2
2

Gợi ý. Có thể chuyển về phương trình đẳng cấp bậc 3, hoặc chuyển về phương trình tích.
3π
) + cos2x = 0
1.38. (Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình 2(1 − sin2x).sin(x +
4
3π
1
Gợi ý. Chú ý sin(x +

) = √ (cosx − sinx).
4
2
x π
1.39. (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình 1 + sinx + cosx = 2cos( − )
2
4
x 2
x π
x
2x
2x
Gợi ý. Phương trình tương đương với (sin( ) + cos( )) + cos − sin − 2cos( − ) = 0
2
2
2
2
2
4
√
π
π
1.40. Giải phương trình: 2(2sinx − 1) = 4(sinx − 1) − cos(2x + ) − sin(2x + ).
4
4
√
π
Gợi ý. Chú ý công thức sinx + cosx = 2sin(x + )
4
2

1.41. Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos2 3x
√
1.42. Giải phương trình: 5(sinx + cosx) + sin3x − cos3x = 2 2(2 + sin2x)

Gợi ý. Chuyển về phương trình tích
* Các bài toán sau đây dùng hàm số để khảo sát hàm f (t), tìm giá trị của tham số để phương trình có
nghiệm.
1.43. Biện luận số nghiệm của phương trình sau them tham số m
cos2 x + (1 − m)cosx + m − 1 = 0
Với 0 < x < π
π
1.44. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ (0; )
2
1
1
1
sinx + cosx + 1 + (tanx + cotx +
+
)=m
2
sinx cosx
Gợi ý. Đặt t = sinx + cosx
1.45. Biện luận phương trình sau theo m
a. sin2x + 4(cosx − sinx) = m
b. sin6 x + cos6 x = m(sin4 x + cos4 x)
c. cos4 x + (m − 2)sin2 x + 4 = 0

d. mcos2x − 4(m − 2)cosx + 3(m − 2) = 0 có đúng 2 nghiệm x ∈ (

−π π

; )
2 2

π
1.46. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ (0; )
2
1
1
1
sinx + cosx + 1 + (tanx + cotx +
+
)=m
2
sinx cosx
Gợi ý. Đặt t = sinx + cosx
2
1.47. Cho phương trình
+ 2tan2 x + (2m + 3)(tanx + cotx) + 4 = 0
sin2 x
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
1
+ cot2 x + m(tanx + cotx) + 2 = 0
cos2 x
5
a) Giải phương trình khi m =
2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
1.48. Cho phương trình

sin6 x + cos6 x
π =m
π
tan(x + ).tan(x − )
4
4
a) Giải phương trình khi m = − 41
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
1.49. Cho phương trình

Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG

7