Bài 1 các dạng phương trình thường gặp

TOANHOC24H

Khóa học phương trình – Thầy Phạm Tuấn Khải

Tài liệu bài giảng

Bài 1. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải

Việc giải một phương trình là kỹ năng cơ bản nhất mà chúng ta cần phải có. Bởi vì đa số các bài toán đều
đòi hỏi chúng ta tìm ra đáp số cuối cùng, không những trong Toán Học mà ngay cả những môn khoa học
khác như Vật Lý, Hóa Học, Sinh Học,… đều cần đến nó. Do đó kỹ năng giải phương trình rất quan trọng.
1) Phương trình đại số
a) Phương trình bậc ba
- Mặc dù phương trình bậc ba đã có công thức nghiệm do Cardano tìm ra nhưng công thức này rất phức
tạp, chương trình THPT không được học. Phương trình bậc ba thường có nghiệm đẹp nên ta sẽ sử dụng
sơ đồ Hooc-ne để phân tích.
Tổng quát: Chia đa thức an x n  an 1x n 1  an 2x n 2  ...  a1x  a 0 cho x   .



an

an 1

an 2

…

a1

a0

bn 1  an

bn 2  bn 1  an 1

bn 3  bn 2  an 2

…

b0  b1  a1

br  b0  a 0

Nếu br  0 thì phép chia hết và ta phân tích ra được

an x n  an 1x n 1  an 2x n 2  ...  a1x  a 0  (x  )(bn 1x n 1  bn 2x n 2  bn 3x n 3  ...  b0 ) .
Ví dụ: Giải phương trình x 3  4x  x  2  0 . Dễ dàng nhẩm được nghiệm x  1 nên ta chia đa thức
x 3  4x 2  x  2 cho x  1 .
4
1
1
2
1

1

3

2

0

x  1


.
x  3  17

2

- Đôi khi chúng ta gặp một số phương trình bậc ba có nghiệm rất lẻ đòi hỏi chúng ta phải biến đổi thật
khéo léo mới giải được.
x  1
Phương trình đã cho tương đương với (x  1)(x 2  3x  2)  0   2

x  3x  2  0

Ví dụ: Giải các phương trình sau
a) 3x 3  3x 2  3x  1  0
b) 8x 3  6x 2  12x  8  0

c) x 3  6x 2  6x  2  0
d) 10x 3  9x 2  9x  3  0

b) Phương trình bậc bốn
Ta sẽ gặp một số dạng phương trình bậc bốn quy về phương trình bậc hai như sau:
- Phương trình trùng phương: ax 4  bx 2  c  0 .
- Phương trình dạng: ax 4  bx 3  cx 2  bkx  ak 2  0 ; ax 4  kb 2x 2  2kbcx  kc2  0 .
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH

Trang | 1


TOANHOC24H

Khóa học phương trình – Thầy Phạm Tuấn Khải

Ví dụ: Giải các phương trình sau
a) x 4  x 3  4x 2  x  1  0
b) x 4  x 3  2x 2  2x  4  0

c) x 4  4x 2  8x  4  0
d) 4x 4  4x 2  4x  1  0

Với phương trình bậc bốn có các hệ số nguyên thì ta cần chú ý:
- Nếu có nghiệm đẹp thì chia theo sơ đồ Hooc-ne.
- Nếu có nghiệm xấu thì chắc chắn còn một nghiệm xấu nữa và hai nghiệm này là liên hợp của nhau, khi
lấy tổng và tích của hai nghiệm này sẽ được các số hữu tỉ (tìm bằng MTBT, kết cặp và lấy tổng tích thử).
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a) x 4  2x 3  5x 2  8x  4  0
b) 3x 4  6x 2  4x  1  0

c) x 4  x 3  2x 2  x  3  0
d) x 4  x 3  16x 2  5x  3  0

2) Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
Ta cần nhớ các công thức sau:





A  B  A  B .

B  0
A  B  
.
A  B

A  B  A  B  A.B  0 .

3) Phương trình vô tỷ
Ta cần nhớ các công thức sau:







A, khi A  0
A2  A  
.

 A, khi A  0
B  0
A  B  
.
A  B


B  0
A  B  
.
A  B 2

A  B  A  B2 .

Ví dụ: Giải các phương trình sau
a) x  2x 2  7x  2

f)

b) x 2  9  (x  3) 9  2x

g) 2x 2  3x  1  3x 3x  1  0

c)
d)

x  8  6 x  1  3x  4
x 2  22 3x

e) 2 x  1  x 2  1  3x  3
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH

x2  x  2  x2  4  x  2



h)

x2 1  2 x 1  x  1  2 x 1

i)

x  3  4 x 1  x  2 x 1  3



k) 4x  1  x 2x  1  2 2x  1  0
Trang | 2