Khóa luận tốt nghiệp Đại học Xây dựng chương trình mô phỏng vận chuyển Photon Electron bằng phương pháp Monte Carlo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ
BỘ MÔN VẬT LÝ HẠT NHÂN
------------------------------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đề tài:

XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG
VẬN CHUYỂN PHOTON-ELECTRON BẰNG
PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO

SVTH :

Nguyễn Thanh Tân

CBHD :

ThS. Trƣơng Thị Hồng Loan
CN. Đặng Nguyên Phƣơng

CBPB :

ThS. Trần Thiện Thanh

TP HỒ CHÍ MINH – 2009


1

LỜI CẢM ƠN
Vậy là bốn năm đại học cũng sắp qua. Khi hoàn thành khóa luận này tôi cũng
đã sắp bƣớc qua ngƣỡng của đại học, bốn năm qua tôi đã học hỏi đƣợc nhiều điều nhờ
sự tận tình dạy bảo và giúp đỡ của thầy cô và bạn bè. Đặc biệt trong khóa luận vừa rồi
tôi thật sự biết ơn sự chỉ dẫn của thầy cô và các bạn đã giúp tôi không những hoàn
thành luận văn mà còn giúp tôi hiểu biết lên nhiều.
Trƣớc hết tôi chân thành cảm ơn cô Trƣơng Thị Hồng Loan đã gợi mở đề tài
và cũng nhƣ cung cấp tài liệu và nhiệt tình hƣớng dẫn tôi hoàn thành khóa luận
Tôi chân thành cảm ơn anh Đặng Nguyên Phƣơng cũng là ngƣời đã trực tiếp
cung cấp tài liệu và hƣớng dẫn tôi từng bƣớc hoàn thành khóa luận, là ngƣời thƣờng
xuyên đốc thúc nhiệt tình, góp ý sửa sai và giúp tôi hoàn chỉnh khóa luận cũng nhƣ
chƣơng trình.
Cảm ơn các anh chị trong nhóm lập trình đã chia sẻ, góp ý động viên tôi hoàn
thành khóa luận.
Cảm ơn các bạn tôi đặc biệt là Bùi Trung Thuận và Nguyễn Anh Khoa đã
nhiệt tình góp ý, động viên tôi hoàn tất khóa luận.
Cuối cùng cảm ơn em trai và ba mẹ đã thƣờng xuyên quan tâm và đốc thúc
con hoàn thành khóa luận.
TP. HCM, tháng 5 năm 2009
NGUYỄN THANH TÂN


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC

Trang

Danh mục các ký hiệu sử dụng trong khóa luận ............................................................. 4
Danh mục các hình vẽ và bảng số liệu ........................................................................... 4
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5
CHƢƠNG 1: MÔ PHỎNG MỘT SỐ TƢƠNG TÁC CỦA PHOTON VỚI VẬT
CHẤT ........................................................................................................................... 7
1.1. Hiệu ứng quang điện ............................................................................................... 7
1.1.1. Khái niệm ......................................................................................................... 7
1.1.2. Mô phỏng hiệu ứng quang điện .................................................................................8

1.2. Va chạm Rayleigh .................................................................................................. 9
1.2.1. Khái niệm ......................................................................................................... 9
1.2.2. Mô phỏng va chạm Rayleigh .......................................................................... 10
1.3. Va chạm Compton ................................................................................................ 12
1.3.1. Khái niệm ....................................................................................................... 12
1.3.2. Mô phỏng va chạm Compton .......................................................................... 13
1.4. Hiện tƣợng tạo cặp................................................................................................ 17
1.4.1. Khái niệm ....................................................................................................... 17
1.4.2. Mô phỏng hiện tƣợng tạo cặp .......................................................................... 18
CHƢƠNG 2: TƢƠNG TÁC CỦA ELECTRON VỚI VÂT CHẤT ............................ .23
2.1. Va chạm đàn hồi ................................................................................................... 23
2.1.1. Khái niệm ....................................................................................................... 23
2.1.2. Mô phỏng va chạm đàn hồi ......................................................................................24
2.1.2.1. Phƣơng pháp sóng riêng phần ............................................................................27
2.1.2.2. Mô hình Wenzel (MW) ......................................................................................28

2.2. Va chạm không đàn hồi ........................................................................................ 32


3

2.2.1. Khái niệm ....................................................................................................... 32
2.2.2. Mô phỏng va chạm không đàn hồi ...........................................................................32

2.3. Hiện tƣợng phát bức xạ hãm ................................................................................. 33
2.3.1. Khái niệm ....................................................................................................... 33
2.3.2. Mô phỏng hiện tƣợng hiện tƣợng phát bức xạ hãm ......................................... 34
2.3.2.1. Mô phỏng năng lƣợng photon phát ra ................................................................35
......................................................................36

2.4. Va chạm mềm ....................................................................................................... 37
2.4.1. Khái niệm ....................................................................................................... 37
2.4.2. Mô phỏng va chạm mềm ................................................................................ 37
2.4.2.1. Góc lệch trong va chạm mềm .................................................................... 38
2.4.2.2. Sự mất năng lƣợng mềm ........................................................................... 41
CHƢƠNG 3: MÔ PHỎNG VẬN CHUYỂN PHOTON VÀ ELECTRON ................... 44
3.1. Tiết diện tƣơng tác ................................................................................................ 44
3.2. Mô phỏng kết hợp electron / photon ..............................................................................45
3.2.1.Thƣ viện tiết diện .....................................................................................................45

3.2.2. Vận chuyển kết hợp electron photon ............................................................... 46
3.2.3. Mô phỏng electron .......................................................................................... 47
3.3. Xây dựng chƣơng trình mô phỏng electron / photon ............................................. 47
3.3.1. Mô phỏng photon ............................................................................................ 47
3.3.2. Mô phỏng electron .......................................................................................... 47
3.3.3. Xây đựng chƣơng trình ................................................................................... 47
3.2.4. Mô phỏng photon ............................................................................................ 50
CHƢƠNG 4: KẾT QUẢ CHẠY CHƢƠNG TRÌNH TRONG MỘT SỐ VẬT LIỆU .. 51
4.1. Hình học mô phỏng và detector ............................................................................ 51
4.2. Kết quả mô phỏng photon ..................................................................................... 52
4.3. Kết quả mô phỏng electron ................................................................................... 54

4

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................................ 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 59
PHỤ LỤC 1: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ HỖ TRỢ MÔ PHỎNG ......................... 60
PHỤ LỤC 2: PHẦN LẬP TRÌNH CỦA CHƢƠNG TRÌNH ....................................... 64


5

CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

re

hằng số bán kính cổ điển của electron có giá trị 2.817940325.10-13 cm

α

hệ số cấu trúc có giá trị 1/137.0359991

c

vận tốc ánh sáng trong chân không có giá trị 2.99792458 108 ms-1

me

khối lƣợng của electron có giá trị 9.1093826 108ms



hằng số Planck thu gọn 

1

h/ 2π có giá trị bằng 6.58211 10-16ev s


6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ BẢNG SỐ LIỆU
Hình 1.1: Năng lƣợng ion hóa các lớp electron bên trong của nguyên tử tự do .............. 7
Hình 1.2: Thừa số dạng của nguyên tử C và Pb ........................................................... 10
Hình 1.3: Biểu đồ Feynman về hiện tƣợng Compton ................................................... 13
Hình 1.4: Biểu đồ của Feynman về hiện tƣợng tạo cặp ............................................... 18
Hình 1.5: Tiết diện vi phân của hiện tƣợng tạo cặp theo hàm của năng lƣợng của
electron ....................................................................................................................... 22
Hình 2.1: Tiết diện của va chạm đàn hồi vi phân của electron trong một số chất theo
góc va chạm của electron bay ra .................................................................................. 26
Hình 2.2: Tiết diện của hiện tƣợng va chạm đàn hồi vi phân của electron lên phân tử
nƣớc ............................................................................................................................ 28
Hình 3.1: Sự lệch góc do va chạm mềm ở electron ...................................................... 48
Hình 3.2: Sơ đồ khối quá trình mô phỏng photon ....................................................... .50
Hình 3.3: Sơ đồ khối quá trình mô phỏng electron ....................................................... 49
Hình 3.4: Sơ đồ khối quá trình chạy của chƣơng trình ................................................. 49
Hình 4.1: Bố trí hình học của nguồn và detector trong quá trình mô phỏng................. .51
Hình 4.2: Phổ photon 0.1 MeV mô phỏng với detector Ge (Z = 32)............................. 52
Hình 4.3: Phổ photon 1.0 MeV mô phỏng với detector Ge (Z = 32)............................. 52

Hình 4.4: Đƣờng cong hiệu suất đỉnh của chƣơng trình so sánh với MCNP ............... .51
Hình 4.5: Vết của photon 1.0 MeV tƣơng tác trong Ge ................................................ 53
Hình 4.6: Vết của photon 1.0 MeV tƣơng tác trong môi trƣờng khí hidro (Z = 1)……54
Hình 4.7: Vết quỹ đạo của electron 2.0 MeV trong Ge (Z=32), khuếch đại ở vùng quan
tâm

....................................................................................................................... 55

Hình 4.8: Phổ của electron năng lƣợng 1.0 MeV trong Es (Z=99) .............................. 55
Bảng 4.1: Hiệu suất của đỉnh của chƣơng trình và MCNP khi mô phỏng photon vận
chuyển trong môi trƣơng Ge(Z=32) ở các năng lƣợng khác nhau ............................... 55


7

LỜI MỞ ĐẦU
Phƣơng pháp Monte Carlo là một trong phƣơng pháp tính toán phổ biến nhất
trong việc giải quyết các bài toán vật lý và toán học. Phƣơng pháp này là một kĩ thuật
giải tích số dựa trên việc sử dụng một chuỗi các số ngẫu nhiên để thu đƣợc giá trị gieo
lấy mẫu của các thông số trong bài toán.
Trong bài toán vận chuyển hạt, phƣơng pháp Monte Carlo đƣợc sử dụng rất
rộng rãi để mô phỏng các vận chuyển cũng nhƣ tƣơng tác của các hạt (neutron, photon,
electron, positron, alpha, . . .). Trong vòng khoảng 50 năm trở lại đây kể từ khi phƣơng
pháp mô phỏng Monte Carlo bằng máy tính ra đời tại Phòng Thí nghiệm Los Alamos
với sự đóng góp của Ulam, von Neuman, Fermi, Metropolis, Richtmyer [1]; hàng loạt
chƣơng trình mô phỏng vận chuyển bức xạ đƣợc ra đời: MCNP (Los Alamos 1977),
EGS (SLAC 1978), GEANT (CERN 1974), PENELOPE (U. Barcelona 1996),
TRIPOLI (NEA 1976), . . . Mỗi chƣơng trình đều có những ƣu khuyết điểm riêng
nhƣng tất cả đều dựa trên nền tảng của phƣơng pháp Monte Carlo.
Trong thời gian qua, một số chƣơng trình mô phỏng Monte Carlo đặc biệt là

chƣơng trình MCNP đã và đang đƣợc sử dụng để mô phỏng tính toán cho hệ phổ kế
gamma HPGe tại Bộ môn Vật lý Hạt nhân. Khóa luận này đƣợc thực hiện nhằm mục
đích tìm hiểu sâu hơn về các thuật toán đƣợc sử dụng trong các chƣơng trình mô phỏng
đồng thời góp phần nâng cao kiến thức, nghiên cứu phát triển các thuật toán mô phỏng
Monte Carlo cho bài toán vận chuyển hạt. Đây cũng là bƣớc đầu cho việc xây dựng
một chƣơng trình mô phỏng Monte Carlo hoàn chỉnh có thể so sánh với các chƣơng
trình khác hiện nay trên thế giới.


8

CHƢƠNG 1
LÝ THUYẾT VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ TƢƠNG TÁC CỦA
PHOTON VỚI VẬT CHẤT
1.1. HIỆU ỨNG QUANG ĐIỆN
1.1.1. Khái niệm
Hiệu ứng quang điện là hiện tƣợng photon bị các electron của nguyên tử vật
chất hấp thụ hoàn toàn và phát ra các electron quang điện.
Photon tƣơng tác quang điện chủ yếu xảy ra ở các lớp electron bên trong của
nguyên tử vật chất đặc biệt là lớp K,các lớp phía ngoài cũng xảy ra hiện tƣợng quang
điện nhƣng với xác suất nhỏ hơn. Khi tƣơng tác quang điện xảy ra photon bị hấp thụ
bởi electron của nguyên tử, khi đó electron này bị kích thích thoát khỏi vỏ nguyên tử
với động năng Ee=E-Ui tạo thành các electron quang điện. Với E là năng lƣợng
photon, Ui là năng lƣợng ion hóa của electron lớp i bị tƣơng tác quang điện.

Hình 1.1: Năng lƣợng ion hóa các lớp electron bên trong của nguyên tử tự do


9

Hiện tƣợng quang điện xảy ra chủ yếu với photon năng lƣợng thấp và có xác
suất tỉ lệ với lũy thừa bậc năm của Z môi trƣờng.
1.1.2. Mô phỏng hiệu ứng quang điện
Khi electron tƣơng tác quang điện với vật chất, xác suất photon đó tƣơng tác với
eletron thứ i đƣợc cho bởi

pi =ζ ph,i Z,E /ζph Z,E

(1.1)

Trong đó p i là sác xuất sảy ra hiệu ứng quang điện đối với electron lớp thứ i.

ζ ph,i Z,E là tiết diện tƣơng tác quang điện của photon với electron thứ i
ζ ph Z,E là tiết diện tƣơng tác quang điện toàn phần
Photon tƣơng tác quang điện có xác suất xảy ra lớn ở các lớp electron trong
cùng của nguyên tử đặc biệt là lớp K, các lớp phía ngoài cũng xảy ra hiện tƣợng quang
điện nhƣng với xác suất nhỏ hơn. Gọi xác suất xảy ra hiện tƣợng quang điện ở các lớp
trong là pK , pL1 … khi đó xác suất xảy ra quang điện ở lớp ngoài là

pout =1-pK -pL1 -...-pM5

(1.2)

Sau tƣơng tác quang điện electron quang điện tạo ra có động năng

Ee =E-Ui

(1.3)

Để mô phỏng hiện tƣơng quang điện ta đi từ công thức tiết diện vi phân của hiện

tƣợng quang điện theo góc khối Ωe là góc mà electron quang điện phát ra

dζ ph
dΩe
Trong đó:

và

=r α
2
e

4

Z
E

5

β3 sin 2θe
γ 1-βcosθe

4

1
1+ γ γ-1 γ-2 1-βcosθ e
2

γ=1+E e / mec2

β=

E e E e +2m ec 2
E e +m ec 2

(1.4)
(1.5)

(1.6)


10

Đặt v=1-cosθe từ công thức tiết diện vi phân trên ta có công thức xác suất của
v là

p v = 2-v

1
1
+ βγ γ-1 γ-2
A+v 2

v
A+v

3

1
β

với A= -1

(1.7)

Từ (1.7) hàm p(v) có thể ghi lại dƣới dạng

p v =g v .π v

(1.8)

1
1
+ βγ. γ-1 . γ-2
A+v 2

Trong đó

g v = 2-v .

và

A A+2
v
π v =
.
2
A+v

(1.9)

2

3

(1.10)

Khi mô phỏng ta dùng hàm π v để mô phỏng v còn hàm g(v) làm hàm kiểm
tra. Hàm π v là hàm xác suất đã chuẩn hóa dùng mô phỏng v theo phƣơng pháp hàm
ngƣợc.
v
0

π v' dv'=ξ

(1.11)

Nhờ các tính toán ta có công thức mô phỏng v

v=

2A
2

A+2 -4ξ

2ξ+ A+2 ξ1/2

(1.12)

1.2. TÁN XẠ RAYLEIGH
1.2.1. Khái niệm
Va chạm Rayleigh là hiện tƣợng photon bị va chạm bởi thành nguyên tử, hƣớng
tới của photon bị thay đổi nhƣng năng lƣợng không đổi. Trong các công thức phổ biến
tính tiết diện tƣơng tác và mô phỏng va chạm Rayleigh thƣờng sử dụng các thừa số
dạng F q,Z .


11

Hiện tƣợng va chạm Rayleigh chỉ xảy ra với photon năng lƣợng thấp với xác
suất thấp. Trong va chạm Rayleigh, phƣơng của photon thay đổi còn năng lƣợng không
đổi vì vậy ta chỉ mô phỏng hƣớng của photon. Trong chƣơng trình này chỉ mô phỏng
va chạm Rayleigh cho photon có năng lƣợng dƣới 2 MeV.

Hình 1.2: Thừa số dạng của nguyên tử C va Pb.
Trong biểu đồ trên q là độ biến thiên động năng của photon trong va chạm
Rayleigh.
1.2.2. Mô phỏng va chạm Rayleigh
Tiết diện của va chạm Rayleigh vi phận theo góc khối của photon bay ra có
dạng

dζ Ra dζT
=
F q,Z
dΩ dΩ

2

(1.13)

Trong đó

dζT 2 1+cos 2θ
=re
dΩ
2
là tiết diện va chạm Rayleigh vi phận đối với electron tự do của Thomson.

(1.14)


12

F q,Z =4π ρ r

và

0

sin qr/h 2
r dr
qr/h

(1.15)

là thừa số dạng của môi trƣờng. ρ r là mật độ môi trƣờng. Thừa số dạng F q,Z là
hàm giảm theo q với F 0,Z =Z và F

,Z =0 . Theo phân tích gần đúng của Baro

(1994)

f x,Z =Z.
Fk q,Z

1+a1x 2 +a 2 x 3 +a 3x 4

=

1+a 4 x 2 +a 5 x 4

max f x,Z ,Fk q,Z
Fk q,Z

với

=

2

(1.16)

nê'u Z>10 và f x,Z <2

sin 2barctanQ
bQ 1+Q

(1.17)

2 b

q10-8cm
q
x=
=20.6074.
4πh
mec

(1.18)

Ta thấy

x max =20.6074×2E/mec2

(1.19)

và

Q=

q
2meca

b = 1-a 2

a=α Z-5/16

q= p-p' =2. E/c .sin θ/2 =2. E/c . 1-cosθ
với

(1.20)

1/2

(1.21)

p =E/c là động năng của photon tới.
p’ là động năng của photon sau khi bay ra.
là góc của photon bay ra.
Hàm Fk q,Z đóng góp vào thừa số dạng của nguyên tử do hai electron lớp K.
Suy ra tiết diện vi mô của hiện tƣợng va chạm Rayleigh có công thức nhƣ sau


13

ζ Ra =

1
dζ Ra
2
dΩ=π.re 1+cos 2θ F q,Z
dΩ
-1

2

d cosθ

(1.22)

Trong chƣơng trình này F(q,Z) đƣợc tính sẵn và lƣu vào file số liệu. Ta có hàm
phân phối của cosθ

1+cos 2θ
cosθ =
. F x,Z
2

pRa

2

(1.23)

Từ (1.23) Có thể ghi lại hàm phân phối dƣới dạng

pRa cosθ =f cosθ π x 2

(1.24)

Trong đó
Hàm kiểm tra

1+cos 2θ
f cosθ =
2

Hàm để mô phỏng

π x 2 = F x,Z

Trong hợp chất

F x,Z

2

2

(1.25)
(1.26)

đƣợc thay thế bằng tổng bình phƣơng các thừa số

dạng của các đơn nguyên tố.
1.3 TÁN XẠ COMPTON
1.3.1. Khái niệm
Va chạm Compton là tƣơng tác của photon với các electron tự do trong đó
photon truyền một phần năng lƣợng cho electron và lệch hƣớng so với ban đầu. Trong
các chƣơng trình lớn hiện tƣợng tán xạ Compton đƣợc mô phỏng kèm trong tán xạ
không đàn hồi của photon trong đó, photon không chỉ tán xạ với electron tự do mà còn
tán xạ với các electron liên kết.


14

Hình 1.3: Biểu đồ Feynman về hiện tƣợng Compton
1.3.2. Mô phỏng va chạm Compton



Xét photon trƣớc va chạm có đặc trƣng bởi (E/c, p ) sau va chạm đặc trƣng bởi


(E/c’, p' ).
Trƣờng hợp va chạm Compton xảy ra đối với electron tự do có tiết diên vi phân
theo Klein-Nishina nhƣ sau

dζ KN
=πre2 ZX KN
dcosθ

(1.27)

Trong đó

E
X KN = c
E
với

2

.

Ec E
+ -sin 2θ
E Ec

(1.28)

là góc bay ra của photon sau va chạm

Ec =

E
1+E 1-cosθ /m ec 2

(1.29)

Trƣờng hợp tổng quát tiết diện vi phân của va chạm Compton tại năng lƣợng
nhất định có dạng

d 2ζcomp

re2
= . 1+p 2z
dE'dΩ 2

-1/2

.X.J p z

(1.30)


15

Trong đó

R R'
1 1
1 1
X= + +2
+
R' R
R R'
R R'
với

E
R=
.
mec2
R'=R-

pz
1+
m ec

EE'
mec2

2

2

+

2

E-E'cosθ
pz
qm ec 2

. 1-cosθ

(1.31)

(1.32)

(1.33)

Khi pz<<1

R=

E
. 1+O p z
mec2

(1.34)

R'=

E
E
. 1- c 2 1-cosθ . 1+O pz
2

me c
mec

(1.35)

Khi đó suy ra

X=X KN . 1+O p z
Zi J i (p z )Θ E-E'-U i

J(p z )=

và

(1.36)
(1.37)

với O pz là vô cùng bé của Pz, và Θ E-E'-Ui là hàm bậc thang.


J(pz ) = dpx dp y ψ p

Trong đó

2

(1.38)



Với q là vector chỉ độ thay đổi động năng của photon sau tƣơng tác quang điện.
Khi đó

  
q=p'-p
q= p2 +p'2 -2pp'cosθ =

1 2 2
E +E' -2EE'cosθ
c


pZ là hình chiếu của động lƣợng tới của electron lên phƣơng của vector q

(1.39)
(1.40)


16

pp' 1-cosθ - p-p' mec EE' 1-cosθ -mec 2 E-E'
pz =
=
q
qc2
Ta thấy pz

(1.41)

1. Kết hợp các tính toán ta có

d 2ζ comp

r02
= X KNS E,cosθ
dE'dΩ 2

(1.42)

S E,cosθ =

(1.43)

Trong đó

ZiΘ E-U i Si

Hàm Si có công thức nhƣ sau
pi

Si = dpz Ji pz F E,cosθ,pz

(1.44)

-¥

1-αp , p Z
với

F E,cosθ,p z = 1+αp ,

-p

p Z
(1.45)

1+αp , p Z ³p
Hệ số α có công thức

α=

E E -Ecosθ
qc
1+ c c 2 2
me E
qc c

(1.46)

1 2 2
E +Ec -2EEccosθ
c

(1.47)

Trong đó

qc =

Thế hàm F E,cosθ,pz vào công thức S E,cosθ ta có

pi

S E,cosθ

SA E,cosθ =

Zi dpz J i pz Θ k-Ui
-

Vì công thức J i pz có dạng

(1.48)


17

1 1
- 1+2J i,0 pz
2 2

J i p z =J i,0 1+J i,0 p z exp

2

(1.49)

Suy ra hàm S E,cosθ có công thức chi tiết

Si E,cosθ
e-b

1-αp
, pi
2

=

-p

e-b α
1+αpi
2 4J i,0
e-b α
1- 1+αpi
2 4J i,0

1+2J i,0 p
1+2J i,0 pi
π 1/2
e Erf
-Erf
2
2
2
1+2J i,0 p
1+2J i,0 pi
π 1/2
e Erf
-Erf
2
2

2

, pi

0
(1.50)

,pi <1

e-b
1- 1+αp
, còn lai
2
Trong đó

b=

1
1+2J i,0 pi
2

2

-

1
2

(1.51)

Tiết diện vi phân bậc hai của va chạm Compton có thể ghi lại dƣới dạng

d 2ζ comp
ζ

tot
KN

=

Zi
Θ E-Ui ζidΩdpz
Z

(1.52)

Trong đó

ζidΩdp z =Si

J p F E,cosθ,p z Θ pi -p z dp z
dθ X KN cosθ dcosθ
. 1
. i pzi
2π
X KN cosθ dcosθ
dp z J i p z F E,cosθ,pz
-1

(1.53)

-

Ta lấy ta lấy phần tử trong đấu ngoặc đầu trong công thức [1.53] làm hàm phân
phối của cosθ , khi đó hàm phân phối của cosθ có dạng.


18

X cosθ dcosθ
p1 cosθ = 1 KN
X KN cosθ dcosθ

(1.54)

-1

Trong đó θ là góc va chạm so với phƣơng Z của photon tới của photon sau tán sạ.
Đặt ε=Ec/E là tỉ số giữa năng lƣợng sau va chạm và năng lƣợng trƣớc va chạm
của photon. Khi đó hàm phân phối của ε có dạng

p1 ε =p1 ε

dε
1
=N +ε-sin 2θ
dcosθ
ε

(1.55)

P1 có thể viết lại dƣới dạng

1
ε

p1 ε =N α1 +α 2 ε+ - sin 2θ

(1.56)

Trong đó N(α1+α2) là hằng số không thích hợp không cần mô phỏng ta chỉ mô phỏng
với với hàm mật độ sác xuất chƣa chuẩn hóa của ε là hàm.

1
ε

p ε = ε+a+b +c
Trong đó

a=

1
1+
k

2

-1

b=1-2. 1+

1
ε2

1 1
k k

(1.57)

b=

1
k2

(1.58)

1.4. HIỆN TƢỢNG TẠO CẶP
1.4.1. Khái niệm
Hiện tƣợng tạo cặp chỉ xảy khi photon bị hấp thụ ở lân cận hạt nhân hoặc
eletron. Nếu photon bị hấp thụ ở lân cận hạt nhân thì năng lƣợng ngƣỡng của của
photon là 1.022 MeV. Nếu hiện tƣợng tạo cặp xảy ra ở lân cận electron thì năng lƣợng
ngƣỡng của photon là 4 MeV, trong quá trình này electron tại nơi mà xảy ra hiện tƣợng
tạo cặp bị bật lại nên trong quá trình có ba hạt bay ra do đó gọi là hiện tƣợng “triplet
produce”.


19

Hình 1.4: Biểu đồ của Feynman về hiện tƣợng tạo cặp.
1.4.2. Mô phỏng hiện tƣợng tạo cặp

Công thức Bethe-Heitler của tiết diện vi phân của hiện tƣợng tạo cặp
BH

dζ pp
dε

=re2αZ Z+η

ε 2 + 1-ε

2

2
Φ1 -4f C + ε 1-ε Φ 2 -4f C
3

với

ε= E - +mec2 /E

Trong đó

E_ là năng lƣợng của electron đƣợc tạo ra

(1.59)
(1.60)

E là năng lƣợng của photon tới
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ε

ε min =mec2 /E=k -1
và

ε max =1-mec2 /E=1-k -1

(1.61)

Φ1 =2-2ln 1+b 2 -4b arctan b -1 +4ln Rmec/

4
Φ2 = -2ln 1+b2 -2b2 4-4b arctan b-1 -3ln 1+b-2
3

(1.62)

+4ln Rmec/

(1.63)

Các hàm Φ1 , Φ 2 là các hàm Green, kết quả của các tích phân liên quan đến thừa
số dạng của nguyên tử, đƣợc tính bằng các phƣơng pháp số khi dựa vào các thừa số
dạng tƣơng đối tính.


20

Để tính các hàm này ngƣời ta coi trƣờng thế của hạt nhân bị chắn bởi electron
của nguyên tử do đó thế của nguyên tử đƣợc nhận từ sự cộng gộp có dạng

.w r =

Ze
exp -r/R
r

(1.64)

Hệ số R là bán kính chắn của trƣờng nguyên tử và đƣợc điều chỉnh sao cho
khớp với thực nghiệm. Mật độ electron trong nguyên tử đƣợc coi có dạng

ρw r =

1 1 d2
Z
r.j
r
=
exp -r/R
4πe r dr 2
4πR 2r

(1.65)

Khi đó thừa số dạng của nguyên tử có công thức

Fw q,Z =4π

với

b=

0

ρ.w r .

sin qr/h 2
Z
.r dr=
qr/h
1+ Rq/h

(1.66)

2

Rm ec 1
1
. .
h 2k ε 1-ε

(1.67)

Hàm fc là hàm hiệu chỉnh trƣờng Coulomb của Davies, Bethe, Maximom

f C Z =a 2 [ 1+a 2

-1

+0,202059-0,03693a 2 +0,00835a 4
6

8

10

(1.68)
12

-0,00201a +0,00049a -0,00012a +0,00003a ]
với a=αZ và hàm fC đƣợc tính và lƣu sẵn trong các file dữ liệu.
Hệ số η= 1-exp -υ

η

tính cho hiện tƣợng “triplet produce” trong trƣờng

của electron. Hệ số η đặc trƣng cho hiện tƣợng “triplet produce” ở mỗi nguyên tố và
đƣợc cho sẵn trong các file số liệu.

η

5
HGO
5
Zζ HGO
triplet 10 MeV /ζ pair 10 MeV

(1.69)

HGO

HGO
Trong đó ζ triplet và ζ pair là tiết diện của hiện tƣợng “triplet produce” và hiện tƣợng tạo cặp.

Và


21

υ= 0,2840-0,1909a ln 4/k + 0,1095+0,2206a ln 2 4/k
+ 0,02888-0,04269a ln 3 4/k + 0,002527+0,002623a ln 4 4/k

(1.70)

k là năng lƣợng của photon tới đo theo đơn vị là năng lƣợng nghỉ của electron.
Để mô phỏng hiện tƣợng tạo cặp, công thức tiết diện vi phân của hiện tƣợng này
đƣợc viết lại nhƣ sau

dζ pp

2
1
=r αZ Z+η Cr 2 -ε
dε
3
2
2
e

2

θ1 ε +θ 2 ε

(1.71)

Trong đó

θ1 ε =g1 b +g0 k

(1.72)

θ2 ε =g 2 b +g0 k

(1.73)

Và

g1 b =

1
7
3θ1 -θ 2 -4ln Rmec/h = -2ln 1+b 2 -6b arctan b -1
2
3
2

-b 4-4b arctan b
g2 b =

-1

-3ln 1+b

(1.74)

-2

1
11
3θ1 +θ 2 -4ln Rm ec/h = -2ln 1+b 2 -3b arctan b -1
4
6
1
+ b 2 4-4b arctan b -1 -3ln 1+b -2
2

g0 k =4ln Rmec/h -4fC Z +F0 k,Z

(1.75)

(1.76)

Với

F0 k,Z = -0,1774 - 12,10a + 11,18a 2 2/k

1/2

+ 8,523 + 73,26a - 44,41a 2 2/k
- 13,52 + 121,1a - 96,41a 2 2/k

3/2

+ 8,946 + 62,05a - 63,41a 2 2/k

2

(1.77)


22

Đa thức F0 k,Z là hệ số hiệu chỉnh ở năng lƣợng thấp khi tiết diện của hiện
tƣợng tạo cặp khá nhỏ, có dạng giống nhƣ hệ số hiệu chỉnh Coulomb. Hệ số F0 k,Z
đƣợc tính với điều kiện công thức tiết diện hiện tƣợng tạo cặp dùng để mô phỏng ở trên
phải cho ra kết quả phù hợp với bảng tiết diện tạo cặp trong trƣờng hạt nhân của
Hubbell. Các hệ số của đa thức F0 k,Z đƣợc tính trƣớc và lƣu sẵn trong các file dữ
liệu.
Hệ số Cr =1,0093 là giới hạn ở năng lƣợng cao của hệ số hiệu chỉnh bức xạ
của Mork và Olsen.
Từ công thức tiết diện vi phân của hiện tƣợng tạo cặp rút ra hàm phân phối
chuẩn hóa của ε

p pp

1
ε =2 -ε
2

2

θ1 ε +θ 2 ε

(1.78)

Hình 1.5: Tiết diện vi phân của hiện tƣợng tạo cặp theo hàm của năng lƣợng của
electron ra ε= E - +mec 2 /E .
Hàm phân phối [1.78] có thể viết lại nhƣ sau


23

ppp ε =u1U1 ε π1 ε +u 2 U 2 ε π 2 ε

(1.79)

Trong đó

2 1 1
u1 =
3 2 k
với

2

θ1 1/2

u 2 =θ2 1/2

(1.80)

hàm phân phối

3 1 1
π1 ε =
2 2 k

-3

1
-ε
2

2

1 1 1
π2 ε =
2 2 k

-1

(1.81)

Hàm kiểm tra

U1 ε =θ1 ε /θ1

1
2

U 2 ε =θ 2 ε /θ 2

1
2

(1.82)


24

CHƢƠNG 2
MÔ PHỎNG MỘT SỐ TƢƠNG TÁC CỦA ELECTRON VỚI
VẬT CHẤT
2.1. TÁN XẠ ĐÀN HỒI
2.1.1. Khái niệm
Trong va chạm đàn hồi electron không mất năng lƣợng mà chỉ thay đổi hƣớng
di chuyển, vậy trong mô phỏng ta chỉ mô phỏng góc lệch, còn trạng thái của hạt nhân
bia hầu nhƣ không đổi. Do động lƣợng cửa electron thay đổi sau va chạm nên hạt nhân
bia phải có giật lùi và thay đổi năng lƣợng nhƣng do hạt nhân bia quá nặng sao với
electron nên sự giật lùi và thay đổi năng lƣợng này rất nhỏ, có thể bỏ qua. Vậy trong va
chạm đàn hồi hạt nhân bia coi nhu có khối lƣợng vô hạn.
2.1.2. Mô phỏng va chạm đàn hồi
Để tính toán các tiết diện của hiện tƣợng va chàm đàn hồi của electron trong
môi trƣờng đơn nguyên tử, đặc biệt là vai trò của hạt nhân có khối lƣợng “vô hạn”
trong va chạm đang hồi ngƣời ta xem xét hạt nhân có mật độ proton nhƣ sau
ρn r =

ρ0
exp r-R n

Trong đó R n =1.07×10-15A1/3

mm

4ln3/t

+1

(2.1)

là bán kính trung bình, với Am (g/mol) là khối lƣợng

nguyên tử của đơn chất, t=2.4×10-15m là bề dày bề mặt hạt nhân.
Ta có

Z=4π

0

ρ n r r 2dr

Trƣờng thế của nguyên tử bia có dạng

(2.2)