HDC đề thi học sinh giỏi môn toán ninh bình 2015 2016 đề vòng 1 ngày 1

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG THPT
Năm học 2015 – 2016
MÔN: TOÁN
Ngày thi 06/10/2015
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Nội dung

(1)
 x − 12x − y + 6y − 16 = 0
 2
2
2

4x + 2 4 − x − 5 4y − y + m = 0 (2)
Điều kiện xác định: x ∈ [-2;2], y ∈ [0;4]

Điểm

Ta có (1) ⇔ x − 12x = ( y − 2 ) − 12 ( y − 2 )

0,5

3

3

2

3

3

3
Xét hàm số f (t) = t − 12t, t ∈ [ −2;2]

⇒ f '(t) = 3t 2 − 12 = 3 ( t 2 − 4 ) < 0, ∀t ∈ ( −2;2 )

1
(5,0
điểm)

Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên [ −2;2]
Mặt khác x và y − 2 cùng thuộc đoạn [ −2;2]

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

(1) ⇔ f (x) = f (y − 2) ⇔ x = y − 2

0,25

Thay vào (2) ta có phương trình 3 4 − x 2 − 4x 2 = m (4)

0,5

Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
(4) có nghiệm x ∈ [ −2;2] .

0,5

Đặt g(x) = 3 4 − x 2 − 4x 2 , x ∈ [ − 2;2] .

0,25



3
− 8x = −x 
+8÷
2
4 − x2
 4−x

g '(x) = 0 ⇔ x = 0 .
g(0) = 6; g(−2) = g(2) = −16 .
−3x

g '(x) =

min g(x) = −16; m ax g(x) = 6

x∈[− 2;2]

x∈[− 2;2]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi −16 ≤ m ≤ 6
a.
0
+ 2 u 0 − 2 = 2013 > 0
n
n +1
+ Giả sử 2 u n − 2 > 0 với n ∈ ¥ ,n ≥ 1 . Ta chứng minh 2 u n +1 − 2 > 0
Ta có: 2

n +1

u n +1 − 2 = 2 ( 2 n u n − 1 ) − 2 = 2 ( 2 n u n − 2 + 1 ) − 2

= 2 ( 2n u n − 2 + 1) − 2

0,25
0,25
0,25
0,5
3,0
0,5
0,5
0,5
0,5

= 2 ( 2n u n − 2 ) > 0

0,5

Suy ra: 2 u n − 2 > 0 ∀n ∈ ¥ .
b.

0,5
2,0

n

Trang 1/3


2
(5,0
điểm)
2n u n +1 = 2 n u n − 1 ⇒ u n +1 = u n −

1
2n

0,5

1 
 1
u n = u 0 − 1 + + ... + n −1 ÷
2 
 2
1
1− n
2 = 2013 − 1

= 2015 −
1
2n −1
1−
2
⇒ lim u n = 2013

0,5

0,5
0,5

A
Z
3
(6,0
điểm)

Y

M

T

X
B

N

C

-Ta có các bộ 4 điểm sau đồng viên:
(X,Y,N,B)(Y,M,T,N)(T,N,Z,C)(A,X,N,Z)
Bốn điểm X, Y, Z, T đồng viên hoặc thẳng hàng
⇔ ( YX,YT ) = ( ZX, ZT )
⇔ ( YX,YN ) + ( YN,YT ) = ( ZX, ZN ) + ( ZN, ZT )

⇔ ( BX,BN ) + ( MN,MT ) = ( AX,AN ) + ( CN,CT )

⇔ ( BA,BN ) + ( AN,MC ) = ( AB,AN ) + ( CN,CM )

⇔ ( BA,BN ) + ( AN,AB ) + ( AN,MC ) + ( CM,CN ) = 0
⇔ ( AN,BN ) + ( AN,CN ) = 0

1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

⇔ 2 ( AN,CN ) = 0
π
⇔ ( AN,CN ) =
2
⇔ AN ⊥ BC
4
(4,0
điểm)

1,0

0,5
0,5
0,5

Gọi S n là số cách phát 5 loại đề cho n học sinh sao cho không có 2 học
sinh nào ngồi cạnh nhau có cùng loại đề thi ( n ∈ N,n ≥ 2 ), ta có: S2 = 20,
S3 = 60.
Với n ≥ 4 , giả sử A và C là hai học sinh ngồi cạnh học sinh B. Xảy ra các

Trang 2/3

0,5


trường hợp sau:
+ A và C nhận được hai đề khác nhau: Khi đó ta có 3 cách phát đề cho B,
suy ra số cách phát đề trong trường hợp này là 3Sn-1.
+ A và C nhận được hai đề giống nhau: Khi đó ta có 4 cách phát đề cho B,
suy ra số cách phát đề trong trường hợp này là 4Sn-2.
Do đó ta có hệ thức Sn = 3Sn −1 + 4Sn − 2 ( n ≥ 4 )

1,0
1,0
0,5

⇒ Sn = 4 ( −1) + 4n∀n ∈ N,n ≥ 2

0,5

Vậy S10 = 4 + 410

0,5

n

------ Hết -----Chú ý
1) Điểm bài thi không làm tròn.
2) Học sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

Trang 3/3