Bài giảng Đại cương dao động điều hòa - P2

Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -





II. HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(ωt + π/3) cm. Lấy π
2
= 10.
a) Khi vật qua vị trí cân bằng có tốc độ 10π (cm/s). Viết biểu thức vận tốc, gia tốc của vật.
b) Tính tốc độ của vật khi vật có li độ 3 (cm).
c) Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn
5 2
(cm)
2
thì v
ậ
t có t
ố
c
độ
là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
a)
Khi vật qua vị trí cân bằng thì tốc độ của vật đạt cực đại nên

max
max
v
10π
v ωA 10π ω 2π (rad/s).
A 5
= = → = = =
Khi đó
2 2 2
π
v x 10πsin πt cm/s
3
π
x 5cos 2πt cm
3
π π
a ω x 4π .5cos πt 200cos πt cm/s
3 3
 
′
= = − +
 
 
 
= + →
 
 
   
= − = − + = − +
   

   

b) Khi x = 3 cm, áp dụng hệ thức liên hệ ta được
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x v
v ω A x 2π 5 3 8π (cm/s).
A ω A
+ ←→ = − = − =
c)
Khi vật cách vị trí cân bằng một đoạn
5 2
(cm),
2
t
ứ
c là
2
2
5 2 5 2
x (cm) v 2
π
5 5 2
π
(cm/s).
2 2
 
= → = − =
 

 
 

Ví d
ụ
2: M
ộ
t v
ậ
t dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa v
ớ
i biên
độ
A, t
ầ
n s
ố
f. Tìm t
ố
c
độ
c
ủ
a v

ậ
t
ở
nh
ữ
ng th
ờ
i
đ
i
ể
m v
ậ
t có li
độ

a) =
A 2
x .
2

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
b) = −
A 3
x .
2

……………………………………………………………………………………………………………………………
c) =

A
x .
2

……………………………………………………………………………………………………………………………
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm.
b)

Viết biểu thức của vận tốc, gia tốc của vật.

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
c)

Tính vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 0,5 (s) và t = 2 (s).
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
d)

Khi vật có li độ x = 2 cm thì vật có tốc độ là bao nhiều?
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
e)

Tìm những thời điểm vật qua li độ
x 2 2 cm=
theo chiều âm.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - PHẦN 2

(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

III. CHU KỲ, TẦN SỐ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180
dao động. Lấy π
2
= 10.
a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
t 90
t N.T T 0,5 (s).
N 180
∆
∆ = → = = =
Từ đó ta có tần số dao động là f = 1/T = 2 (Hz).
b) Tần số góc dao động của vật là
2π 2π
ω 4π (rad/s).
T 0,5
= = =
Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức

max
2 2 2 2
max
v ωA 40π (cm/s).
a ω A 16π 160 (cm/s ) 1,6 (m/s ).
= =



= = = =



Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có
= =
2
max max
v 16π (cm/s);a 6,4 (m/s ). Lấy π
2
= 10.
a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.
c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ = − =
A A 3
x ; x .
2 2

Hướng dẫn giải:
a)
Ta có

max
max
2 2
max
max
v 16π (cm/s)
a
640 40
ω 4π (rad/s).
v 16π π
a 6,4 (m / s ) 640 (cm/s )
=


→ = = = =

= =



Từ đó ta có chu kỳ và tần số dao động là
2π
T 0,5 (s)
ω
ω
f 2 (Hz)
2π

= =





= =



b)
Biên độ dao động A thỏa mãn
max
v
16
π
A 4 (cm).
ω
4
π
= = =
Độ
dài qu
ỹ

đạ
o chuy
ể
n
độ
ng là 2A = 8 (cm).
c)
Áp d

ụ
ng công th
ứ
c tính t
ố
c
độ
c
ủ
a v
ậ
t ta
đượ
c:

khi
2
2 2 2
A A 4π.A 3
x v ω A x 4π A 8π 3 (cm/s).
2 4 2
= − → = − = − = =

khi
2
2 2 2
A 3 3A 4π.A
x v ω A x 4π A 8π (cm/s).
2 4 2
= → = − = − = =

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa có gia tốc cực đại là a
max
= 18 m/s
2
và khi vật qua vị trí cân bằng có tốc độ là
3 m/s. Tính:
a) tần số dao động của vật.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
b) biên độ dao động của vật.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

IV. CÁC DAO ĐỘNG CÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
1) Dao động có phương trình x = x
o
+ Acos(ωt + φ) với x
o
= const.
Ta có
( ) ( ) ( )
o o
X
x x Acos ωt φ x x Acos ωt φ X Acos ωt φ= + + ←→ − = + ←→ = +


Đặc điểm :

Vị trí cân bằng: x = x
o


Biên độ dao động: A. Các vị trí biên là X =
±
A
⇔
x = x
o

±
A.
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -

 Tần số góc dao động là ω.
 Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng :
( )
( )
2
v ωAsin ωt φ
v x
a x
a ω Acos ωt φ
= − +
′
=

←→
′′
=
= − +


2) Dao động có phương trình
( )
= +
2
x Acos ωt φ
Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có
( )
( )
( )
2
1 cos 2ωt 2φ
A A
x Acos ωt φ A cos 2ωt 2φ
2 2 2
+ +
= + = = + +
Đặc điểm :

Vị trí cân bằng: x = A/2

Biên độ dao động : A/2.

Tần số góc dao động là 2ω.


Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng :
( )
( )
2
v ωAsin ωt φ
v x
a x
a 2ω Acos ωt φ
= − +
′
=
←→
′′
=
= − +

3) Dao động có phương trình
( )
= +
2
x Asin ωt φ
Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có
( )
( )
( )
2
1 cos 2ωt 2φ
A A
x Asin ωt φ A cos 2ωt 2φ
2 2 2

− +
= + = = − +
Đặc điểm :

Vị trí cân bằng: x = A/2

Biên độ dao động: A/2.

Tần số góc dao động là 2ω.

Biểu thức vận tốc và gia tốc tương ứng :
( )
( )
2
v ωAsin ωt φ
v x
a x
a 2ω Acos ωt φ
= +
′
=
←→
′′
=
= +

Ví dụ 1: Một vật dao động với phương trình
( )
= +
2

x 2cos 2πt π/6 cm. Lấy π
2
= 10.
a) Xác định biên độ, chu kỳ, tần số dao động của vật.
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25 (s).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
2
π π
x 2cos 2πt 1 cos 4πt cm.
6 3
   
= + = + +
   
   


Biên độ dao động của vật là A = 1 cm.

Tần số góc là
T 0,5 (s)
ω 4π (rad/s)
f 2 (Hz)
=

= →

=


b)
Biểu thức vận tốc, gia tốc của vật tương ứng là

2
π
v 4πsin 4πt
v x
3
a x
π π
a 16π cos 4πt 160cos 4πt
3 3

 
= − +
 

′
=

  
←→
 
′′
=
   


= − + = − +
   


   


Thay t = 0,25 (s) vào các biểu thức của x, v, a ta được
2
π
x 1 4cos π 1 2 1(cm).
3
π
v 4πsin π 2π 3 (cm/s).
3
π
a 160cos π 80 (cm/s ).
3

 
= + + = − = −
 

 


 
= − + = −

 
 



 
= − + =

 
 


Ví dụ 2: Xác định biên độ, chu kỳ, tần số, li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở t = 0,5 (s).
a)

x = 4cos(2πt + π/2) + 3 cm.
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
Khóa học LTĐH mơn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

b)
2
π
x 2cos 2πt cm.
3
 
= +
 
 

……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
c)

2
π
x 5sin πt cm.
6
 
= +
 
 

……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
V. CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
Giả sử cần lập phương trình dao động điều hòa có dạng x = Acos(ωt + φ). Để viết phương trình dao động chúng ta cần
tìm ba đại lượng A, ω, φ.
Xác
đị
nh A

Xác
đị
nh
ω
Xác

đị
nh
φ

=
chiều dài quỹđạo
A
2


2
2
2
v
A x
ω
= +


max
v
A
ω
=

2π
ω 2πf
T
= =


2 2
v
ω
A x
=
−


max
max
max
v
ω
A
a
ω
v

=



=



Tại t = 0 :
o
o
x Acosφ

v ωAsinφ
=


= −


Giải hệ phương trình trên ta thu được
giá trị của góc φ.

Chú ý:

Với thể loại bài tốn lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài khơng u cầu thì
để cho đơn giản hóa bài tốn chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Khi thả nhẹ để vật dao động điều hòa thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v
o
= 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v
o

≠
0 thì
chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thơng số khác.
Ví d
ụ
1: M
ộ
t v
ậ
t dao

độ
ng
đ
i
ề
u hòa v
ớ
i chu k
ỳ
T = 2 (s) và biên
độ
dao
độ
ng là 2 (cm). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình dao
độ
ng trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau ?
a) Khi t = 0 thì v
ậ
t qua v
ị
trí cân b
ằ

ng theo chi
ề
u d
ươ
ng.
b) Khi t = 0 thì v
ậ
t qua v
ị
trí có li
độ
x = –1 cm theo chi
ề
u âm.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là x = Acos(ωt + φ) cm.
Tần số góc dao động ω = 2π/T = π (rad/s).
a)
Khi t = 0:
o o
o o
x 0 x Acosφ 0
π π
φ (rad) x 2cos πt cm.
v 0 v ωAsinφ 0
2 2
= = =
 
 
⇔ → = − → = −

 
 
> = − >
 
 

b)
Khi t = 0:
o o
o o
1
x 1 x Acosφ 1
cosφ
2π 2π
φ (rad) x 2cos πt cm.
2
v 0 v ωAsinφ 0
3 3
sin φ 0

= − = = −
  = −

 
⇔ ⇔ → = → = +
  
 
< = − <
 
 


>


Ví d
ụ
2: M
ộ
t v
ậ
t dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa v
ớ
i chu k
ỳ
T và biên
độ
dao
độ
ng A. Bi
ế
t r
ằ
ng trong 2 phút v
ậ

t th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c 40 dao
độ
ng tồn ph
ầ
n và chi
ề
u dài qu
ỹ

đạ
o chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t là 10 cm. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình dao
độ

ng
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau?
a) G
ố
c th
ờ
i gian khi v
ậ
t qua li
độ
2,5 cm theo chi
ề
u âm.
b) G
ố
c th
ờ
i gian khi v
ậ
t qua li
độ

= −
5 3
x cm
2

theo chi
ề
u d
ươ
ng c
ủ
a tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là x = Acos(ωt + φ) cm.
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -

Trong hai phút vật thực hiện được 40 dao động nên
t 120 2π 2π
T 3(s) ω (rad/s).
N 40 T 3
∆
= = = → = =
Chiều dài quỹ đạo là 10 (cm) nên biên độ dao động là A = 5 (cm).
a) Khi t = 0:

o o
o o
1
x 2,5 x Acosφ 2,5
cosφ
π 2πt π
φ (rad) x 5cos cm.
2
v 0 v ωAsin φ 0
3 3 3
sin φ 0

= = =
  =

 
⇔ ⇔ → = → = +
  
 
< = − <
 
 

>


b)
Khi t = 0 ta có:
o o
o o

5 3 5 3
3
5π 2πt 5π
x x Acosφ
cosφ
φ (rad) x 5cos cm.
2 2
2
6 3 6
v 0 v ωAsinφ 0
sin φ 0
 

= − = = −
= −
  
 
⇔ ⇔ → = − → = −
  
 
 
  
> = − >
<

 


Ví dụ 3: Lập phương trình dao động của một vật điều hòa trong các trường hợp sau:
a) Vật có biên độ 4 cm, chu kỳ dao động là 2 (s) và thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
b)

Vật có biên độ A = 5 cm, tần số dao động là 10 Hz, gốc thời gian được chọn là lúc vật qua li độ
x 2,5 2 cm= −
theo chi
ề
u âm.
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
c) V
ậ
t th
ự
c hi
ệ
n 60 dao
độ
ng trong 2 phút. Khi v
ậ
t qua li
độ
x = 2 cm thì v
ậ
t có t

ố
c
độ
3
π
cm/s. Ch
ọ
n g
ố
c th
ờ
i
gian là lúc v
ậ
t có li
độ
c
ự
c
đạ
i.

……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
d)

Th
ờ

i
đ
i
ể
m ban
đầ
u v
ậ
t có li
độ

o
x 2 cm= −
, v
ậ
n t
ố
c
o
v π 2 cm/s= −
và gia t
ố
c
2
a π 2=
cm/s
2
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
e)

Chu k
ỳ
dao
độ
ng T = 1 (s). Th
ờ
i
đ
i
ể
m ban
đầ
u v
ậ
t có li
độ

o
x 5 2 cm= −
, v
ậ
n t
ố
c
o

v 10π 2 cm/s= −
.
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………………………...
Ví d
ụ
4: M
ộ
t v
ậ
t dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa v
ớ
i biên
độ
A = 3 cm, chu k
ỳ
dao
độ
ng T = 0,5 (s). T
ạ
i th

ờ
i
đ
i
ể
m t = 0, v
ậ
t
đ
i
qua v
ị
trí cân b
ằ
ng theo chi
ề
u âm.
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình dao
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t.
……………………………………………………………………………………………………………………………...