Phuong trinh mu va logarit

Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1.
1 1 1
X X X
6.9 13.6 6.4 0− + =
ĐK: x ≠ 0. Chia 2 vế cho
1
x
9
. ĐS: x = ±1.
2.
2 2
x 1 x 3
9 36.3 3 0
− −
− + =
ĐS: x = ±1, x = ±
2
.
3.
1 1 1
x x x
2.4 6 3.9
− − −
− =
ĐK: x ≠ 0. Chia 2 vế cho
1
x
9
−

. ĐS: x = 1.
4.
2
1 x 2(1 x)
5 16
4 25
− +
   
=
 ÷  ÷
   
ĐS: x = -1, x = 5.
5.
x 1
x
x 1
3 .2 72
+
−
=
logarit hóa.
6.
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =
Biến đổi PT về
2
2x x x

(2 4)(2 1) 0
−
− − =
.
7. Giải và biện luận phương trình
x 1
1
2m 1
2
−
= −
8.
8
4 2
2
1 1
log (x 3) log (x 1) log (4x)
2 4
+ + − =
Đưa về cơ số 2, chú ý về điều kiên và có giá trị tuyệt đối.
9.
x
5
log (5 4) 1 x− = −
10.
2
5x 5
5
log log x 1
x

+ =
Đổi về cơ số 5.
11.
2 2
3 3
log x log x 1 5 0+ + − =
Đặt
2
3
log x 1 t 0+ = ≥
đưa PT về dạng bậc hai đối với t.
12.
3
3 2 3 2
3 x 1
log log x log log x
x 2
3
 
− = +
 ÷
 
Biến đổi về PT tích
3 2 3 2
1
(log x log x)(log x log x) 0
3
+ − =
.
13.

3 4 12
log x log x log x+ =
Đưa về cùng cơ số 3. ĐS: x = 1.
14.
[ ]
2
log 4(x 1)
3
(x 1) 4(x 3)
−
− = −
logarit cơ số 2 hai vế, rút gọn đặt
2
t log (x 1)= −
được PT bậc hai ẩn t. ĐS: x = 3/2, x = 5.
15.
2
2 2
log x (x 4)log x x 3 0+ − − + =
Tìm được
2 2
log x 1,log x 3 x= = −
(dùng sự biến thiên của hàm số). ĐS: x = 2.
16. Tìm m để
x x
(m 3)16 (2m 1)4 m 1 0+ + − + + =
có hai nghiệm trái dấu.
ĐS: -3 < m < -3/4.
17. Giải và biện luận PT m.3
x

+ m.3
-x
= 8
18. Cho phương trình: m.16
x
+ 2.81
x
= 5.36
x
a) Giải PT với m = 3.
b) Tìm m để PT có nghiệm duy nhất.
GV: ĐÀO DUY NAM
Trang 1
Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit
19. Xác định m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt:
log
m
[x
2
– (6m – 1)x + 9m
2
– 2m – 1] = log
m
(x – 3).
20. Biện luận số nghiệm của PT
2
1
x ln x m 0
2
− − =

Số nghiệm của PT là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số
2
1
y x ln x
2
= −
.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Các trường hợp cơ bản:
i)
f (x) g(x)
a 1
f (x) g(x)
a a
0 a 1
f (x) g(x)
 >



<


< ⇔

< <



>




hoặc
[ ]
a 0
(a 1) f (x) g(x) 0
>



− − <


ii)
f (x)
a b<
(b > 0)
a
b
a 1
f (x) log b
0 a 1
f (x) log b
 >



<




< <



>



iii)
f (x)
a
a
b 0
f (x) XÐ
b 0
a 1
a b
f (x) log b
0 a 1
f (x) log b
 ≤






>





 >
> ⇔






>
 





< <






<







CÁC PHƯƠNG PHÁP
1) Phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa.
1.
2
x 1
x 2x
1
2
2
−
−
≤
ĐS:
x 2≥
.
2.
x x 1 x 2 x x 1 x 2
9 9 9 4 4 4
+ + + +
+ + < + +
ĐS:
9
4
21
x log
91
<

.
2) Phương pháp đặt ẩn số phụ.
3.
1 x x
x
2 2 1
0
2 1
−
− +
≤
−
Đặt
x
2 t 0= >
. ĐS: x < 0 hoặc x > 1.
GV: ĐÀO DUY NAM
Trang 2
Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit
4.
2
3
3
1
log
log x
x
3 18x 3 0− + >
Đặt
t

3
log x t x 3= ⇒ =
đưa BPT về ẩn t. Đặt
2
t
3 u 0= >
đưa BPT về ẩn u. ĐS: x > 3.
3) Phương pháp hàm số.
5.
x 4 2x 4
3 2 13
+ +
+ ≥
ĐK:
x 2≥ −
. Các hàm số
1 2
f (x) x 4,f (x) 2x 4= + = +
đồng biến với
x 2≥ −
x 4 2x 4
f (x) 3 2
+ +
⇒ = +
đồng biến với
x 2≥ −
. Ta có f(0) = 13:
+ Nếu x > 0 thì f(x) > f(0) nên x > 0 là nghiệm.
+ Nếu
2 x 0− ≤ ≤

thì f(x)
≤
f(0) nên
2 x 0− ≤ ≤
không là nghiệm.
Vậy nghiệm của BPT là x > 0.
6.
x x x
2.2 3.3 6 1+ > −
Chia hai vế cho 6
x
> 0 ta được
x x x
2 3 1
1
3 2 6
+ + >
. Hàm số
x x x
2 3 1
f (x)
3 2 6
= + +
nghịch biến.
+ Với
x 2≥
,
f (x) f (2) 1≤ =
, BPT vô nghiệm.
+ Với x < 2, f(x) > f(2) = 1, BPT nghiệm đúng.

Vậy nghiệm của BPT là x < 2.
4) Phương pháp đánh giá.
7.
2 2
sin x cos x
2 2 2(sinx+cosx)+ ≤
Ta có:
VT =
2 2 2 2 2
2
sin x cos x sin x 1 sin x sin x
sin x
2
2 2 2 2 2 2 2
2
−
+ = + = + ≥
(Cauchy)
VP = 2(sinx + cosx)2
2 sin(x ) 2 2
4
π
+ ≥
Vậy BPT có nghiệm
2
2
sin x
sin x
2
2

2
VT VP 2 2 x 2k ,k Z
4
sin(x ) 1
4

=

π

⇔ = = ⇔ ⇔ = + π ∈

π

+ =


.
BÀI TẬP
1.
x 1
x 3
x 3x 1
( 10 3) ( 10 3)
+
−
+−
+ < −
Chú ý:
( 10 3)( 10 3) 1+ − =

. ĐS:
3 x 5
1 x 5

− < < −

< <


.
2.
x x 4
2x 8.3 x 4
3 9.9 0
+ +
− +
− >
ĐK:
x 4≥ −
. Chia hai vế cho
2 x 4
3 0
+
>
ta được
2(x x 4) x x 4
3 8.3 9 0
− + − +
− − >
. Đặt

x x 4
3 t 0
− +
= >
.
ĐS: x > 5.
GV: ĐÀO DUY NAM
Trang 3
Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit
3. Cho BPT
1
x
2
x
1 1
12
3 3
   
+ >
 ÷  ÷
   
(*)
a) Giải BPT (*).
b) Tìm m để mọi nghiệm của (*) cũng là nghiệm của BPT 2x
2
+ (m + 2)x +2 – 3m < 0.
4.
2 x
x
3 3 2x

0
4 2
−
+ −
≥
−
ĐS:
1
x 2.
2
< ≤
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Các trường hợp cơ bản:
i)
[ ]
a a
0 a 1
a 1
f (x) 0
0 f (x) g(x)
log f (x) log g(x)
g(x) 0
0 a 1
(a 1) f (x) g(x) 0
f (x) g(x)
< ≠
 >






>
< <
 

< ⇔ ⇔


>
< <





− − <
>




ii)
b
a
b
a 1
0 f (x) a
log f (x) b
0 a 1

f (x) a
 >



< <


< ⇔

< <




>


iii)
b
a
b
a 1
f (x) a
log f (x) b
0 a 1
0 f (x) a
 >




>


> ⇔

< <




< <


CÁC PHƯƠNG PHÁP
1) Phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa.
1.
2
3 3
(log x) log x
3 x 6+ ≤
ĐK: x > 0
Ta có:
( )
2
3 3 3
2
(log x) log x log x
3 3 x= =
do đó BPT trở thành

3
log x
x 3≤
, logarit cơ số 3 hai vế được
2
3
1
(log x) 1 x 3
3
≤ ⇔ ≤ ≤
.
2.
2
x
log (5x 8x 3) 2− + >
Áp dụng dạng cơ bản iii) ở trên. ĐS: x > 3/1 hoặc 1/2 < x < 3/5.
3.
3
2x 3
log 1
1 x
−
<
−
ĐK:
2x 3
0
1 x
−
>

−
. Mũ hóa
3
2x 3
log
0 1
1 x
3
2x 3 2x 3
0 log 1 3 3 3 1 3
1 x 1 x
−
−
− −
≤ < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ <
− −
.
ĐS:
6 4
x
5 3
< ≤
.
GV: ĐÀO DUY NAM
Trang 4
Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit
2) Phương pháp đặt ẩn số phụ.
4.
x
x

2
3 2
log (3 2) 2log 2 3 0
+
+ + − >
Đặt
x
x
2
3 2
1
log (3 2) t 1 log 2
t
+
+ = > ⇒ =
đưa BPT về t
2
– 3t + 2 > 0. ĐS:
3
x log 2>
.
5.
2
3
3
1
log
log x
x
3 18x 3 0− + >

Đặt
t
3
log x t x 3= ⇒ =
. Biến đổi, đặt
2
t
3 u 0= >
. ĐS: x > 3.
3) Phương pháp hàm số.
6.
2 3
log x 1 log x 9 1+ + + >
ĐK:
x 1> −
. Hàm số
1 2
f (x) x 1,f (x) x 9= + = +
đồng biến với x > -1
2 3
f (x) log x 1 log x 9⇒ = + + +
đồng biến với x > -1 . Mà f(0) = 1 do đó:
+ Nếu x > 0 thì f(x) > f(0) nên x > 0 là nghiệm.
+ Nếu -1 < x
≤
0 thì f(x)
≤
f(0) nên -1 < x
≤
0 không là nghiệm.

Vậy nghiệm của BPT là x > 0.
7.
2
2
3
x x 12
log x 7 x x 12
7 x
− −
+ ≤ − − −
−
ĐK:
4 x 7
x 3
< <


< −

. BPT:
2 2
3 3
log x x 12 x x 12 log (7 x) 7 x− − + − − ≤ − + −
.
Hàm số
3
f (t) log t t= +
đồng biến nên
2 2
f ( x x 12) f (7 x) x x 12 7 x− − ≤ − ⇔ − − ≤ −

giải
BPT này và kết hợp với ĐK ta được kết quả
61
4 x
13
x 3

< <


< −

.
4) Phương pháp đánh giá.
8.
2 3
1
log ( x 2 4) log 8
x 1
 
− + ≤ +
 ÷
−
 
ĐK:
x 2≥
. Ta có:
2 2
x 2 4 4 log ( x 2 4) log 4 2 VT 2− + ≥ ⇔ − + ≥ = ⇔ ≥
.

3 3
1 1 1
x 2 x 1 1 x 1 1 1 8 9 log 8 log 9 2
x 1 x 1 x 1
 
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ =
 ÷
− − −
 
VP 2⇔ ≤
. Vậy BPT có nghiệm khi và chỉ khi VP = VT = 2. ĐS: x = 2.
BÀI TẬP
1.
x
1
log (x ) 2
4
− ≥
Áp dụng dạng cơ bản iii) ở trên. ĐS:
x 1≤
.
2.
2
x
4x 2 1
log
x 2 2
 
−
≥

 ÷
 ÷
−
 
Áp dụng dạng cơ bản iii) ở trên. ĐS:
( )
{ }
1
; 1 3 1;3 7 \ 2
2
 
− + ∪ +
 ÷
 
.
3.
x
1 log 2010 2+ <
BPT
x
3 log 2010 1⇔ − < <
. Áp dụng dạng cơ bản ii), iii) ở trên.
ĐS:
3
1
0 x
2010
< <
hoặc x > 2010.
GV: ĐÀO DUY NAM

Trang 5