công thức ôn thi đại học toán

PHẦN I: GIẢI TÍCH
I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm :
Hàm số sơ cấp cơ bản
Hàm hợp ( Hàm mở rộng)
1) (C)’ = 0 ( C: hằng số )
2) (x)’ = 1

(x )

α /

3)

= αx α −1 ; (α ∈ R )

( x )/ =
4)

α /

*

1
2 x

(u )

( u)

= α .u α −1 .u '

/

*

=

1
2 u

.u ' (=

u'
2 u

) ; (u > 0)

/

/

−1
1
 ÷ = 2
x
x

5)
6) (sinx)’ = cosx
7) ( cosx)’ = - sinx
1

= 1 + tan 2 x
2
cos x
7) (tanx)’ =
−1
( cot x ) ' = 2 = −(1 + cot 2 x )
sin x
8)
9) (ex)’ = ex
10) (ax)’ = axlna ; (a: hằng số; a> 0)
( ln x ) ' = 1 ; ( x > 0)
x
11)
( log a x ) ' = 1 ; (1 ≠ a > 0; x > 0)
x ln a
12)

−1
− u'
1
  = 2 .u ' (= 2 ) ; ( u ≠ 0 )
u
u
u

*
* ( sinu)’ = u’.cosu
* ( cosu)’ = - u’.sinu
1
( tan u ) ' = 2 .u '

cos u
*
−1
/
( cot u ) = 2 .u '
sin u
*
* (eu)’= eu.u’
* ( au)’ = aulna.u’
1
.u ' ; ( u > 0 )
u
* (lnu)’=
1
.u '
u ln a
* ( logau)’ =
1 ≠ a > 0; u > 0)
(

* Ghi Chú: Các hàm số đều có nghĩa

( u ± v ± .....

± w) = u '±v '±.... ± w'
/

II) Qui tắc tính đạo hàm:
/

u '.v − u.v'
u
  =
v2
v≠0
v
4)
(
)

1)
2) (u.v)’ = u’.v + u.v’
( uvz ) / = u ' vz + v' uz + z ' uv
3)
III) Đơn điệu – cực trò . GTLN- GTNN . Lồi – lõm – điểm uốn
A) Đơn điệu:
Hàm số (C) : y = f(x) xác đònh trên D


•

Hàm số tăng (đồng biến) trên D <=> y’

≥0

;

∀x ∈ D
y / ≤ 0 ; ∀x ∈ D

Hàm số giảm ( nghòch biến) trên D <=>
B) Cực trò: Hàm số (C) : y = f(x)
•
Hàm số có cực trò <=> y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó
•
Hàm số không có cực trò <=> y’ không đổi dấu
•
Hàm số có 1 cực trò <=> y’ đổi dấu 1 lần
•
Hàm số có n cực trò <=> y’ đổi dấu n lần
•
Hàm số đạt cực trò x= x0 <=> f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x 0
 f ' ( x0 ) = 0

 f " ( x0 ) < 0
•
Hàm số đạt cực đại tại x = x0 <=>
 f ' ( x0 ) = 0

 f " ( x0 ) > 0
•
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 <=>
* Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc
dạo hàm không xác đònh.
C) GTLN-GTNN:
* Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Từ đó xác đònh GTLN-GTNN
•
Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm y’. Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x 1 ; x2 ; ...........;xi thuộc [a;b]
Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ........; f(xi) ; f(a) ; f(b)

Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm
IV) Các bước khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
A)
Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương)
Bước 1 : MXĐ : D = R
Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = ...)
Bước 5 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’)
Bước 6 : Điểm đặc biệt
Bước 7 : Vẽ đồ thò và kết luận tính đối xứng
B)
Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 )
Bước 1: MXĐ : D = ...
Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= ...)
Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận
Bước 4 : Bảng biến thiên
Bước 5 : Điểm đặc biệt
Bước 6 : Vẽ đồ thò và kết luận tính đối xứng
V) Sự tương giao ( Vò trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)
 y = f ( x)

 y = g ( x)
• Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ :

•


•

Biện luận sự tương giao của (C) và (D) :
Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x)

Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình
Số giao điểm của (C) và (D). ( Số
nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D)).
VI) Tiếp tuyến:
Dạng 1: Biết tiếp điểm
∈ (C )
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y0)
là :
y – y0 = f’(x0)(x – x0)
Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là:
 f ' ( x0 ) = k

 y 0 = f ( x0 )
y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) là toạ độ tiếp điểm xác đònh bởi :
* Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1)
VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thò. Cho hàm số (C) : y = f(x)
Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m)
@ Phương pháp:
* Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng)
* Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thò:
(C) : y = f(x) ( Đã được vẽ)
(D) : y = g(m) ( đường thẳng cùng phương Ox và cắt Oy tại g(m)
* Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình
VII) Nguyên hàm – Tích phân
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I) Bảng nguyên hàm :
Hàm sơ cấp
Hàm hợp

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

xα +1
∫ x dx = α + 1 + C; ( α ≠ −1)
dx
∫ x = ln x + C; ( x ≠ 0 )

uα +1
∫ u du = α + 1 + C; ( α ≠ −1)
du
∫ u = ln u + C; ( x ≠ 0 )

∫ e dx = e

∫ e du = e

α

x

x
∫ a dx =

x

α

+C

u

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

u
∫ a du =

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

u

+C

au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

∫ cos udu = sin u + C
∫ sin udu = − cos u + C
1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

2

1
2

du = tan u + C

u
u

du = − cot u + C

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Diện tích hình phẳng:
 (C ) : y = f ( x)

b
 (C ') : y = g ( x)
S
=
 x = a; x = b (a < b)
∫a f ( x) − g ( x) dx

(H) :
Khi đó : Diện tích hình (H) là :
Vấn đề 2: Công thức thể tích khối tròn xoay :
(C ) : y = f ( x )
b
( H ) :  y = 0
π
( f ( x) ) 2 dx
∫
 x = a; x = b (a < b)

a
Xoay quanh Ox :
Thể tích là : V =

•

•

VIII./ SỐ PHỨC
2

Số i : i = -1

Số phức dạng : z = a + bi Với :

 a : Phan thuc

 b : phan ao

z = a2 + b2
•

Môđun của số phức :

•

Số phức liên hợp của z = a + bi là

z = a − bi

( a, b ∈ R )


a = c
⇔
b = d

•
•
•
•

a+ bi = c + di
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
a + bi ( a + bi ) ( c − di )
=
c + di
c2 + d 2

•

±i a
•

Các căn bậc hai của số thực a < 0 là :

•
Đặt

o

o

o

•
•
•
•

a , b, c ∈ R

2

Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = 0 ( a khác 0 ;
∆ = b 2 − 4ac

Nếu

Nếu

∆

∆

∆

)

= 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =

x1,2 =
> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực :

x1,2 =

−b
2a

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆

2a
< 0 thì phương trình có hai nghiệm phức :
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1
Bh.
3
Thể tích khối chóp : V =
( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ : V = Bh . ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c là : V = abc
Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a 3
 Chú ý :Trong các bài toán ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chóp OABC,trên các đoạn thẳng OA,OB,OC lần
VO. A'B 'C ' OA' OB' OC '
=
.
.
VO. ABC
OA OB OC
lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đó :
.

Công thức về hình nón:Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón,h là đường cao,r là bán kính đáy.
S = π rl
xq
a/ Diện tích xung quanh:
Stp = Sxq +
b/ Diện tích toàn phần :
Sđáy.
Nếu


1
V = π r2h
3

c/ Thể tích khối nón:
Cơng thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.
Sxq = 2π rl
a/ Diện tích xung quanh:
Stp = Sxq +
b/ Diện tích tồn phần :
2Sđáy.
2
V=πr h
c/ Thể tích khối trụ:
; (h = l)
Cơng thức của hình cầu:
S = 4π r 2
a/ Diện tích mặt cầu:
.
4 3

V = πr
3
c/ Thể tích khối cầu:
.
CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 )
r
b = ( b1 ; b2 ; b3 )
Cho hai vectơ :
r
 a1 = b1
a = a12 +a22 +a32
r r 
a = b ⇔ a2 = b2
d)
a = b
e)
Góc giữa hai vectơ :
 3 3
a)

c)

b)

r r
a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )

Tích vô hướng của hai vectơ:
rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

r
k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 )

ϕ = a; b

Gọi
r r
r r.Khi đó :
a ⊥ b ⇔ a.b = 0
f)

;( k ∈ R)

d)
 Cho hai điểm A(x
uuurA;yA; ZA) ; B(xB ; yB ; ZB )
AB = ( xB − x A ; y B − y A ; Z B − Z A )
o
uuur
AB =

o

( )

cos ϕ =

Độ dài : AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( Z B − Z A )
2

2

a.b

a .b


I là trung điểm AB.Ta có:

o

x A + xB + xC

 xG =
3

y A + yB + yC

 yG =
3


z A + z B + zc

 zG =
3


o

Cho hai vectơ :



x A + xB

 xI = 2
 2 xI = x A + x B


y A + yB

⇔ 2 yI = y A + y B
 yI =
2


2 zI = z A + zB

z A + zB
 Z I = 2

G là trọng tâm tam giác ABC <=>
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) va b = ( b1 ; b2 ; b3 )

rr a a a a a a 
 a; b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 ÷
r r
 
a va b la :
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

Tích có hướng của
MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:
*
(x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1)
*
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)

Chú ý :
•
(2) là phương trình mặt cầu  a2 + b2 + c2 – d > 0



a2 + b2 + c2 − d

•

(2) có tâm I(a,b,c) ,bK R =
KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp

1)
CZ + D = 0 (A + B + C > 0) có :
r
n = ( A; B; C )
VTPT :
2

2

2

(α)

>0

: Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M0;
MẶT PHẲNG

Ax0 + By0 + Cz0 + D

(α)

A2 + B 2 + C 2

)=

Phương trình tổng quát của mp

(α)

có dạng : Ax + By +


2)

3)

(α)

Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT

r
n = ( A; B; C )

thì mp

có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) thì mp (ABC) là :

x y z
+ + =1
a b c

( Gọi là phương trình theo đoạn chắn)

4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) và có cặp VTCF

Đường thẳng

 Qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
r
∆:
VTCF
a
= ( a1 ; a2 ; a3 )




PTTS của



PTCT của

∆

∆

:

:

rr
a; b

thì VTPT là:
ĐƯỜNG THẲNG

thì :

 x = x0 + a1t

 y = y0 + a 2 t ; ( t ∈ R )
z = z +a t

0
3
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

.(a1,a2,a3

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC
CẦN NHỚ MÔN TOÁN

I/ ĐẠI SỐ:

a; b; c ≠ 0

(
)
r rr
n =  a; b  = ( A; B; C )

≠0

)

là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0


1.

Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
f ( x) = ax 2 + bx + c
b
(a ≠ 0; α , β ∈ R; α < β ; S = − ; ∆ = b 2 − 4ac )
a



∆ > 0

 af (α ) > 0

k / α < x1 < x2 < β ⇔  af ( β ) > 0
S
 −α > 0
2

S
 −β <0
2

∆ ≤ 0
a / f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a > 0
∆ ≤ 0
b / f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a < 0
c / x1 < α < x2 ⇔ af (α ) < 0

∆ > 0

d / α < x1 < x2 ⇔ af (α ) > 0
S
 −α > 0
2

∆ > 0

e / x1 < x2 < α ⇔  af (α ) > 0
S
 −α < 0
2
α < x1 < x2
∆ > 0
f /
⇔
af (α ) > 0

 x1 < x2 < α
 af (α ) < 0
g / x1 < α < x2 < β ⇔ 
 af ( β ) > 0
 af (α ) < 0
h / x1 < α < β < x2 ⇔ 
 af ( β ) < 0
 af (α ) > 0
i / α < x1 < β < x2 ⇔ 
 af ( β ) < 0
 x < α < x2 < β
j/ 1
⇔ f (α ). f (β ) < 0
α < x1 < β < x2

2.

Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
a > b
*
⇔a>c
b > c
*a > b ⇔ a + c > b + c
c > 0
*
⇔ ac > bc
a > b
c < 0
*

⇔ ac < bc
a > b
a > b
*
⇒ a+c > b+d
c > d
*a + c > b ⇔ a > b − c
a > b ≥ 0
*
⇒ ac > bd
c > d ≥ 0
a > b ≥ 0
*
⇒ an > bn
*
n ∈ N
*a > b ≥ 0 ⇔ a > b
*a > b ⇔ 3 a > 3 b
Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:
− a ≤ a ≤ a ∀a ∈ R
x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

( a > 0)

x > a ⇔ x < −a ∪ x > a
a − b < a+b < a + b

(a, b ∈ R )

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không âm):

*

a+b
≥ ab
2

5.

dấu “=” xảy ra khi a = b
a+b+c 3
≥ abc
3

B ≥ 0
* A =B⇔
 A = ±B
A < B
* A  A > −B

*
dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực):
*ab + cd ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

* A < B ⇔ A2 < B 2
A > B
* A >B⇔

 A < −B

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
*a1b1 + a2b2 + c3b3 ≤

(a

2
1

+ a22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32 )

a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3

u “=” xảy ra khi
3.
Cấp số cộng:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
un = un −1 + d
un = u1 + (n − 1)d

b/Số hạng thứ n:
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
n
n
Sn = (u1 + un ) = [2u1 + ( n−) d ]

2
2
4.

Cấp số nhân:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
un = un −1.q
un = u1.q n −1

b/Số hạng thứ n:
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1 − qn
S n = u1
(q ≠ 1)
1− q
−1 < q < 1 ⇒ lim Sn =
n →∞

Nếu

u1
1− q

Phương trình, bất phương trình chứa giá
trò tuyệt đối:
* A = B ⇔ A = ±B

Dấ

6.

Phương trình , bất phương trình chứa
căn thức:
( B ≥ 0)
A ≥ 0
* A= B⇔
A = B
B ≥ 0
* A=B⇔
2
A = B
A ≥ 0
* A< B⇔
A < B
A ≥ 0

* A < B ⇔ B > 0
 A < B2

 B < 0

A ≥ 0
* A > B ⇔ 
B ≥ 0

  A > B 2


7.

Phương trình, bất phương trình logarit:
0 < a ≠ 1

*log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  f ( x ) > 0
( g ( x) > 0)
f(x)=g(x)


10.

*log a a M = M
*a log a N = N

0 < a ≠ 1
 f ( x) > 0

*log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 
 g ( x) > 0
( a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] > 0


*N1loga N 2 = N 2 log a N1
*log a ( N1 N 2 ) = log a N1 + log a N 2
N 
*log a  1 ÷ = log a N1 − log a N 2
 N2 
*log a N α = α log a N

hoctoancapba.com

8.
Phương trình , bất phương trình mũ:
 0 < a ≠ 1

 f ( x) = g ( x)
f (x)
g (x)
*a
=a
⇔
 a = 1

  / ∃f ( x), g ( x)
a > 0
*a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ 
(a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] > 0
9.

Lũy thừa:
α
β γ
*a .a .a = aα + β +γ
aα
* β = aα − β
a
*(aα ) β = aαβ
α

β

* aα = a β
α

aα  a 
* α = ÷
b
b
α α
*a b = (a.b)α
1
*a −α = α
a
k

*

n m

a =
k

n .m

a =a
k

n.m

Logarit:0*log a N = M ⇔ N = a M

0 < a, b ≠ 1

1
log a N
α
log b N
*log a N =
log b a
*log aα N =

*log a b =

1
log b a

II. LƯNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1.
Hệ thức cơ bản:
2
sin x + cos 2 x = 1
sin x
tgx =
cos x
cos x
cot gx =
sin x
tgx.cot gx = 1
1

1 + tg 2 x =
cos 2 x
1
1 + cot g 2 x =
sin 2 x
2.

Cung liên kết:
Cung đối:
cos( − x) = cos x
sin( − x) = − sin x
tg (− x) = −tgx
cot g ( − x) = − cot gx

ta có:


Cung bù:
sin(π − x ) = sin x
cos(π − x) = − cos x
tg (π − x) = −tgx
cot g (π − x ) = −tgx
Cung phụ:
π
sin( − x ) = cos x
2
π
cos( − x) = sin x
2
π

tg ( − x) = cot gx
2
π
cot g ( − x ) = tgx
2

4.

cos 2 x = 2 cos 2 x − 1
= 1 − 2sin 2 x = cos 2 x − sin 2 x
2tgx
tg 2 x =
1 − tg 2 x
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2
1 − cos 2 x
sin 2 x =
2
5.

Cung hơn kém
π
sin( + x) = cos x
2
π
cos( + x) = − sin x
2
π
tg ( + x) = − cot gx

2
π
cot g ( + x ) = −tgx
2
3.

Công thức cộng:
sin( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x
cox( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y
tgx ± tgy
tg ( x ± y ) =
1 mtgxtgy

Công thức nhân ba:
sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x
cos 3x = 4 cos3 x − 3cos x
3tgx − tg 3 x
1 − 3tg 2 x
3cos x + cos 3 x
cos3 x =
4
3sin x − sin 3 x
sin 3 x =
4
tg 3 x =

π
Cung hơn kém :
sin(π + x ) = − sin x
cos(π + x) = − cos x

tg (π + x) = tgx
cot g (π + x ) = cot gx
π
2

Công thức nhân đôi:
sin 2 x = 2sin x cos x

6.
theo

Công thức biểu diễn theo sinx, cosx
x
t = tg
2

2t
1+ t2
1− t2
cos x =
1+ t2
2t
tgx =
1− t2
sin x =

7. Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
1
cos x.cos y = [ cos( x − y ) + cos( x + y ) ]

2
1
sin x sin y = [ cos( x − y ) − cos( x + y) ]
2
1
sin x cos y = [ sin( x − y ) + sin( x + y ) ]
2


b/Tổng thành tích:

x+ y
x−y
cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sin
sin
2
2
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2sin
cos
2
2
x+ y

x− y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
sin( x + y )
tgx + tgy =
cos x cos y
sin( x − y )
tgx − tgy =
cos x cos y
sin( x + y )
cot gx + cot gy =
sin x sin y
sin( x − y )
cot gx − cot gy =
sin x sin y

1.

Phương trình cơ bản:
 x = u + k 2π
a / sin x = sin u ⇔ 
 x = π − x + k 2π

( k ∈ Z)

π
+ k 2π
2

π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π
2
sin x = 0 ⇔ x = kπ
sin x = 1 ⇔ x =

 x = u + k 2π
b / cos x = cos u ⇔ 
(k ∈ Z)
 x = −u + k 2π
cos x = 1 ⇔ x = + k 2π
cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π

π
kπ
2
c / tgx = tgu ⇔ x = u + kπ (k ∈ Z )
d / cot gx = cot gu ⇔ x = u + kπ (k ∈ Z )
cos x = 0 ⇔ x =

Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta
chuyển về phương trình:
ant n + an −1t n −1 + ...... + a0 = 0

Đặc biệt:

2.

II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:

Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú ý điều
−1 ≤ t ≤ 1
kiện
3.
Phương trình bậc nhất theo sinx và
cosx:
a sin x + b cos x = c

π
π
sin x + cos x = 2 sin( x + ) = 2 cos( x − )
4
4
π
π
sin x − cos x = 2 sin( x − ) = − 2 cos( x + )
4
4
2
1 ± sin 2 x = (sin x ± cos x)

Điều kiện để có nghiệm:

a 2 + b2 ≥ c2
a 2 + b2

Cách giải: Chia hai vế cho
và sau đó

đưa về phương trình lượng giác cơ bản
4.
Phương trình đẳng cấp bậc hai đối
với sinx và cosx:
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d = 0
Cách giải:


cos x = 0 ⇔ x =
*Xét
*Xét

π
+ kπ
2

cos x ≠ 0

tuyến:
b2 + c2 a 2
2
ma =
−
2
4
2
2
a + c b2
mb2 =
−

2
4
2
2
a + b c2
mc2 =
−
2
4

có là nghiệmkhông?

chia 2 vế chia cho cos2x và đặt t=
1
d
= d (1 + tg 2 x)
2
cos x

tgx Chú ý:
5. Phương trình dạng:
a.(sin x ± cos x) + b sin x.cos x + c = 0

π
t = sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2
4
2
t −1
1− t2
⇒ sin x.cos x =

(sin x.cos x =
)
2
2

trong:
la =
và

lb =

giải phương trình bậc hai theo t
III. Hệ thức lượng trong tam giác:
1.
Đònh lý cosin:
2
2
a = b + c 2 − 2bc cos A
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
b2 + c2 − a 2
2bc
2
a + c2 − b2
cos B =
2ac
2
a + b2 − c 2
cos C =
2ab
cos A =

2.

Đònh lý hàm số sin:
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

Công thức độ dài đường phân giác

4.

Cách giải: Đặt

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B

Công thức tính độ dài đường trung

3.

lc =
5.
S
S
S
S

2bc cos
b+c
2ac cos
a+c
2ab cos
a+b

A
2
B
2
C
2

Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
= a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
= bc.sin A = ab.sin C = ac.sin B
2
2
2

abc
= p.r =
4R
= p ( p − a )( p − b)( p − c)

III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1. Đạo hàm các hàm số thường gặp:


1/( xα ) ' = α .xα −1 12 /(uα ) ' = α .u α −1.u '
1
u'
2 /( x ) ' =
13 /( u ) ' =
2 x
2 u
1
u'
1
1
3 /  ÷' = − 2 14 /  ÷' = − 2
x
u
 x
u
4 /(sin x) ' = cos x 15 /(sin u ) ' = u '.cos u
5 /(cos x) ' = − sin 16
x /(cos u ) ' = −u '.sin u
1
u'

6 /(tgx) ' =
17 /(tgu ) ' =
2
cos x
cos 2 u
1
u'
7 /(cot gx) ' = − 18
/(cot gu ) ' = − 2
2
sin x
sin u
x
x
u
u
8 /(e ) ' = e
19 /(e ) ' = u ' e

a

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
b
a

S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
b

-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:

a

V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
b

*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
a

V = π ∫ f 2 ( y) − g 2 ( y ) dy
b

9 /(a x ) ' = a x ln a 20 /(a u ) ' = u ' a u ln a
1
u'
10 /(ln x) ' =
21/(ln u ) ' =
x
u
1
u'
11/(log a x ) ' =
22 /(log a u ) ' =
x.ln a
u.ln a

-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao
điểm.
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao
điểm.

Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

2.

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

ax
a
dx
=
+C
∫
ln a
x

xα +1
+ C (α ≠ 1)
α +1

dx
= ln x + C
x
dx
1
∫ x2 = − x + C

∫

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
dx

∫ cos

2

x

dx

∫ sin

x
x
∫ e dx = e + C

•

2

x

= tgx + C

•

= − cot gx + C

1

3.

Chú ý:

∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C

Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể
tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:

•

IV. HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH
Phép biến hình: Phép biến hình ( trong
mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác đònh được một điểm duy
nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh
của điểm M qua phép biến hình đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến
r
u
theo vectơ là một phép biến hình biến điểm M
uuuuur r
MM ' = u.
thành điểm M’ sao cho

r
u
Phép tònh tiến theo vectơ thường được ký hiệu
r
Tur
u
là T hoặc . Vectơ được gọi là vectơ tònh
tiến.
Tính chất của phép tònh tiến:
Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai điểm M và
N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ =
MN


•

•

•

•
•

Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm
thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành
tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường

tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng
nó.
Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho
r
u
phép tònh tiến theo vectơ .
r
u
Biết tọa độ của là (a,b). Giả sử điểm M(x;y)
biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có:
x ' = x + a

y' = y +b
Phép dời hình: Phép dời hình là phép
phép biến hình không là thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng
thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam
giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn
có cùng bán kính , biến góc thành góc bằng nó.
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép đối
xứng qua đường thẳng a là phép phép biến hình
mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a
Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép
dời hình

Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox
biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:

x ' = x

y' = −y
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy
biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:
x ' = −x

y' = y
•

•

•
•

Trục đối xứng của một hình: Đường
thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép
đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H
PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Đònh nghóa phép quay: Trong mặt phẳng
ϕ
cho điểm O cố đònh và góc lượng giác không
đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O,
biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
(OM , OM ') = ϕ
OM = OM’ và

được gọi là phép
ϕ
quay tâm O góc quay .
Đònh lý: Phép quay là một phép dời hình
Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua
điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M
thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghóa là
uuuur uuuuur r
OM + OM ' = 0

•

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho
phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm M(x;y)
biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có:
 x ' = 2a − x

 y ' = 2b − y

•

Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi
là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối
xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức là Đo
(H) = H
HAI HÌNH BẰNG NHAU:


•

Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam
giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác
ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác
bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến
tam giác này thành tam giác kia.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
uuur
AB = ( xB − xA , yB − yA )
*
uuur
MA
=k
MB
*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:
(
k ≠1
)
Tọa độ điểm M được xác đònh bởi:
x A − kxB

 xM = 1 − k
M
 y = y A − kyB
M

1− k

*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:
x A + xB

 xI = 2
I
 y = y A + yB
 I
2
*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
x A + xB + xC

x
=
G

3
G
 y = y A + y B + yC
 G
3
*Cho tam giác ABC có

uuur
uuur
AB = (a1 ; a2 ), AC = (b1 ; b2 )
⇒ S ∆ABC =

1
a1b2 − a2b1
2

2/ Đường thẳng:

∆
a/Phương trình đường thẳng :
Ax + By + C = 0
-Phương trình tổng quát:
r
n = ( A; B );
A2 + B 2 ≠ 0
Vectơ pháp tuyến
 x = x0 + at
t∈R

 y = y0 + bt
-Phương trình tham số:
r
u = ( a; b)
Vectơ chỉ phương
và qua điểm M(x0; y0)
x − x0 y − y0
=
a
b
-Phương trình chính tắc:
x y

+ =1
a b
-Phương trình đoạn chắn:
∆
qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Ax + By + C = 0
A' x + B ' y + C ' = 0

Cosϕ =

A. A '+ B.B '
A2 + B 2 . A '2 + B '2

c/Khoảng cách từ một điểm
đường thẳng:
Ax0 + By 0 +C
dM / ∆ =
A2 + B 2

M ( x0 ; y0 )

đến

d/Phương trình đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường thẳng:
AX + By + C
A' x + B ' y + C '
=±
2

2
A +B
A '2 + B '2


e/Xác đònh phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía
∆ ⇔ t1.t2 > 0
so với
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía
∆ ⇔ t1.t2 < 0
so với
Ax + By1 + C
A ' x2 + B ' y2 + C '
(t1 = 1
; t2 =
)
2
2
A +B
A '2 + B '2
3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b)
và bán kính R
2
2
( x − a ) + ( y − b) = R2
-Dạng 2: Phương trình có dạng

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

x=±
-Phương trình đường chuẩn:
-Bán kính qua tiêu:
MF1 = a + exM
MF2 = a − exM

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
∈ (E)
x0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b

-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y 2
+
=1
a2 b2
∆ Ax + By + C = 0
(E):
và :
là:
2 2
2 2
2
A a +B b =C
5/Hypebol:

a +b −c > 0
2

2

Với điều kiện
là phương trình
đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính
R = a +b −c
2

2

-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với
một đường tròn:
PM /(C ) = x02 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c
4/Elip:

-Phương trình chinh tắc Elip (E)
( a > b); c 2 = a 2 − b 2

a
e

x2 y 2
+
=1
a2 b2

-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)

-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
e = <1
a
-Tâm sai :

a/ Phương trình chinh tắc Elip (E)
c 2 = a 2 + b2

x2 y 2
−
=1
a2 b2

-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
c
e = >1
a
-Tâm sai :
x=±

-Phương trình đường chuẩn:
y=±

-Phương trình tiệm cận:
-Bán kính qua tiêu:
MF1 = exM + a
MF2 = exM − a

b
x
a

a
e


-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
∈ (E)
x0 x y0 y
− 2 =1
a2
b

-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y 2
−
=1
a2 b2
∆ Ax + By + C = 0
(E):
và :
là:
2 2
2 2
2
A a −B b =C
6/ Parabol:

-Phương trình chính tắc của Parabol:
( P) : y 2 = 2 px

-Tiêu điểm:

p
F ( ; 0)
2
x=−

p
2

-Phương trình đường chuẩn:
-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ; y0)
∈ ( P)
:
y0 y = p( x0 + x)
-Điều kiện tiếp xúc của (P) và
Ax + By + C = 0

( ∆)

:

2AC = B 2 p
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN:
1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Đònh nghóa: cho hai vectơ

r
u = ( x; y; z )
r
v = ( x '; y '; z ')
rr  y z z x x
u , v  = 
;
;
 
 y' z' z' x' x'

y 
÷
y' 

Các ứng dụng:
rr r
rr
⇔ u, v  = 0
u, v
cùng phương
r r ur
r r ur
⇔ u , v  .w = 0
u , v, w
đồng phẳng
1 uuur uuur
S ∆ABC =  AB, AC 
2
uuur uuur uuur

⇔  AB, AC  . AD = m ≠ 0
-ABCD là tứ diện
1
VABCD = m
6
b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
Ax + By + Cz + D = 0
r
n = ( A; B; C )
( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0)
Dạng 2:
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
r
n = ( A, B, C ), M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
-Phương trình mặt phẳng chắn:
x y z
+ + =1
a b c

α

(( ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2
mặt phẳng khác:
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0
(β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
là
λ ( Ax + By + Cz + D) + µ ( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 0

λ2 + µ2 ≠ 0

Trong đó
-Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt
phẳng:


( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D = 0
a / ( α ) ∩ ( β ) = d ⇔ A: B : C ≠ A': B ': C '
A B C
D
=
=
=
A' B ' B ' D '
A B C
D
c / ( α ) // ( β ) ⇔
=
=
≠
A' B ' C ' D '

b/(α) ≡ ( β ) ⇔

3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
 Ax + By + Cz + D = 0


A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
b/ Phương trình tham số:
 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0

Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
r
u = ( a; b; c)
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c
2
2
2
( a + b + c ≠ 0)
4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Giả sử đường thẳng d qua
và có
r
u = (a; b; c)

vectơ chỉ phương là
và đường thẳng d’
M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 )
qua
và có vectơ chỉ phương là
ur
u ' = ( a '; b '; c ')

r ur uuuuuuur
a / d , d ' ⊂ α ⇔ u.u ' .M 0 M '0 = 0
r ur uuuuuuur
 u.u ' .M 0 M '0 = 0

b / d ∩ d ' = I ⇔ 
 a : b : c ≠ a : b ' : c '
c / d Pd ' ⇔ a : b : c = a ' : b ' : c ' ≠ ( x − x0 ) : ( y − y0 ) : ( z − z0 )

d / d ≡ d ' ⇔ a : b : c = a ' : b ' : c ' = ( x − x0 ) : ( y − y0 ) : ( z − z0 )
r ur uuuuuuur
e / d , d ' ∉ α ⇔ u.u ' .M 0 M '0 ≠ 0

5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian: trong không gian cho :
x − x0 y − y0 z − z0
d:
=
=
a
b
c

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
a / d ∩ ( α ) = I ⇔ aA + bB + cC ≠ 0

aA + bB + cC = 0
b / d P( α ) ⇔ 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
 aA + bB + cC = 0
c / d ∈( α ) ⇔ 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
⇒ d( M / α ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
d:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

⇒ dM / d

uuuuuur r
 M 0 M .u 


=
r
u

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:


x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c
x − x '0 y − y '0 z − z '0
∆':
=
=
a'
b'
c'
r ur uuuuuuuur
u.u ' .M 0 .M '0



⇒ d∆ / ∆' =
r ur
u.u '


∆:

7/ Góc : hoctoancapba.com
- Góc giữa hai đường thẳng:
ϕ
Gọi là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
r
d : u = ( a; b; c)
ur
d ' : u ' = (a ', b ', c ')
r ur
u.u '
aa '+ bb '+ cc '
cos ϕ = r ur =
2
u . u'
a + b 2 + c 2 a '2 + b '2 + c '2
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
ϕ
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
r
d : u = ( a; b; c)
r
( α ) : n = ( A; B; C )

00 < ϕ < 900
sin ϕ =

Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2 a 2 + b 2 + c 2

- Góc giữa hai mặt phẳng:
( α ) : AX + By + Cz + D = 0

( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
cos ϕ =

AA '+ BB '+ CC '
A2 + B 2 + C 2 A '2 + B '2 + C '2

8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R
2
2
2
( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2
Dạng 2:

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính
R = a2 + b2 + c2 − d
III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
-Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:

.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt
A = a∩b
nhau
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong
các điều kiện sau:
(α ) = ( ABC )
a/ Ba điểm không thẳng hàng
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
(α ) = (a, A)
thẳng
(α ) = (a, b)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau
(α ) = (a, a ')
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm
trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
α

thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng thì d song song
α
với mặt phẳng


α

3/ Nếu d// , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d
α
và cắt
theo một giao tuyến thì giao tuyến đó
cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng
d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song
song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng
nào song song với đường thẳng này thì cũng song
song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của
2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao
tuyến mới song song nhau
α // β
α
8/ Nếu
thì song song với mọi đường
β
thẳng nằm trong

α
9/ Nếu chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng
β
α // β
song với
thì
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào
cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ
hai và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng
thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt
phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì
cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng
nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng
vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc
chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một
mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba
thì song song nhau.

7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông
góc với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông

góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc
với một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không
chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường
thẳng khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song
song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng
nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng
kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào
cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ
hai và hai giao tuyến song song
16/ Đònh lý ba đường vuông góc
OH ⊥ ( α )

OA là đường xiên
 A ∈ d nằm trong α
( )

Giả sử
OA ⊥ D ⇔ HA ⊥ D

Ta có
hoctoancapba.com
O

d
H

A


α

Khoảng cách – góc – đường vông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH ⊥ d
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với
các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
α
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng là độ dài
OH ⊥ α
đoạn
α
4/ Khoảng cách từ O đến
là ngắn nhất so với
α
các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên
d // α
5/ Khoảng cách giữa
là khoảng cách từ một

α
điểm bất kỳ trên d đến
α // β
6/Khoảng cách giữa
là khoảng cách từ một
β
α
điểm bất kỳ trên
đến
7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là
độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường
thẳng
α
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng là góc
α
nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc
nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai
đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi
hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường
thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng
vông góc với giao tuyến.

12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d1 và d2:
α
- Dựng mặt phẳng

chứa d2 và song song với d1
α
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên , d’ cắt d2 tại N
α
- Từ N vẽ đường vuông góc với
cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
1
1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy .h
3
2/ Thể tích chóp cụt:
 B,B' là diện tích 2 đáy
1
B + B '+ B.B ' .h 
3
 h là chiều cao hình chóp
3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c
4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π Rh
V=

(

)

5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2 Sđáy
6/ Thể tích hình trụ: V=π R 2 h
7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π Ra
1
8/Thể tích hình nón V= π R 2 h

3
9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq =

π
( R + R ') a
2

1 2
R + R '2 + RR ' ) h
(
3
11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq = 4π R 2
10/ Thể tích hình nón cụt: V=

4
12 / Thể tích mặt cầu: V= π R 3
3
V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
Pn = n ! = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1
-Hoán vò:
n!
Ank =
( 0 ≤ k ≤ n)
( n−k)!
-Chỉnh hợp:
n!
Cnk =
( n − k ) !k !
-Tổ hợp:
-Các hệ thức cần nhớ:

n ! = ( n − 1) !n

( 0 < k < n)
k
k
k −1
Cn = Cn −1 + Cn −1
( 0 < k < n)
Cnk = Cnn − k

-Nhò thöùc Newton:

(a + b) n = Cn0 a nb 0 + Cn1a n −1b + ... + Cnk a n− k b k + ... + Cnnb n
k =0

= ∑ Cnk a n− k b k
n

-Caùc coâng thöùc caàn nhôù:


Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n
Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + (−1) k Cnk + ... + (−1) n Cnn = 0