bài giảng tich phan dường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (479.36 KB, 33 trang )
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
1 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Định nghĩa
Tích phân đường loại I là tích phân có dạng
f (x, y )dl ,
C
f (x, y , z)dl
C
C là đường cong lấy tích phân (trong Oxy hoặc
Oxyz), dl được gọi là vi phân cung ,
f (x, y ), f (x, y , z) gọi là hàm lấy tích phân.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
2 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Tính phân đường loại một trên mặt phẳng
Cho cung trơn AB có phương trình tham số
x = x(t)
y = y (t)
a t b.
Hàm số f (x, y ) liên tục trên cung AB. Khi đó
b
f (x(t), y (t)). (x (t))2 + (y (t))2 dt.
f (x, y )dl =
a
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
3 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Trường hợp cung AB có phương trình y = y (x), a
x
b.
b
f (x, y (x)). 1 + (y (x))2dx.
f (x, y )dl =
a
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
4 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Trường hợp cung AB cho trong hệ tọa độ cực
x = r (ϕ) cos ϕ
y = r (ϕ) sin ϕ
α ϕ β.
Hàm số f (x, y ) liên tục trên cung AB. Khi đó
f (x, y )dl =
AB
β
f (r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ) sin ϕ). (r (ϕ))2 + (r (ϕ))2 dϕ.
=
α
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
5 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Tính phân đường loại một trong không gian
Cho cung trơn AB có phương trình tham số
x = x(t)
y = y (t)
z = z(t)
a t b.
Hàm số f (x, y , z) liên tục trên cung AB. Khi đó
f (x, y , z)dl =
AB
=
b
a
f (x(t), y (t), z(t)). (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt.
Chú ý. Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào
chiều lấy tích phân trên cung AB.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
6 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Bài
Tính
2
Tính phân đường loại một trong không gian
x 2 + y 2dl trong đó C là nửa đường tròn
C
x + y 2 = 2x, x
1.
Bài
Tính
x 3dl trong đó C là cung
C
√
x2
y = 2 ,0 x
3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
7 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Tính phân đường loại một trong không gian
Bài
Tính (x + y )dl trong đó C là chu vi tam giác
C
OAB với O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1).
Bài
Tính (x + z)dl trong đó C là đường cong
C
x = t, y =
2
3t
√ ,z
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
= t 3, 0
t
1.
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
8 / 32
Công thức tính tích phân đường loại một
Bài
Tính
Tính phân đường loại một trong không gian
xyzdl trong đó C là giao tuyến của 2 mặt
C
2
x + y 2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 =
x 0, y 0, z 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1
4
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
lấy phần
TP. HCM — 2011.
9 / 32
Tích phân đường loại hai
Tính phân đường loại hai trên mặt phẳng
Cho cung trơn AB có phương trình tham số
x = x(t)
y = y (t)
t = a ứng với điểm đầu của C , t = b ứng với
điểm cuối của C . Hàm số P(x, y ), Q(x, y ) liên tục
trong miền mở D chứa cung trơn AB. Khi đó
P(x, y )dx + Q(x, y )dy =
AB
=
b
a [P(x(t), y (t))x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
(t) + Q(x(t), y (t))y (t)]dt.
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
10 / 32
Tích phân đường loại hai
Trường hợp cung AB có phương trình y = y (x)
Trường hợp cung AB có phương trình y = y (x), x = a là
hoành độ điểm đầu, x = b là hoành độ điểm cuối
P(x, y )dx + Q(x, y )dy =
AB
b
=
[P(x, y (x)) + Q(x, y (x))y (x)]dx.
a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
11 / 32
Tích phân đường loại hai
Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y )
Trường hợp cung AB có phương trình x = x(y ), y = a là
tung độ điểm đầu, y = b là tung độ điểm cuối
P(x, y )dx + Q(x, y )dy =
AB
b
=
[P(x(y ), y )x (y ) + Q(x(y ), y )]dy .
a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
12 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Ví dụ
Tính tích phân đường I =
ydx + xdy theo
C
đường cong C với điểm đầu O(0, 0) và điểm cuối
A(1, 1) nếu như
C là đoạn thẳng OA. (ĐS. 1)
C là cung parabol y = x 2. (ĐS. 1)
C là cung của đường tròn tâm (1, 0) bán kính
bằng 1. (ĐS. 1)
1
2
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
13 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
xydx theo đường cong C ,
C
được xác định bởi y = sin x, 0
x
π
Ví dụ
1
Tính tích phân I = (x − )dy theo đường cong
y
C
C , được xác định bởi y = x 2, 1 x 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
14 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
xdy − ydx theo đường cong
C
C , được xác định bởi y = x 3, 0
x
2
Ví dụ
y
dx + dy theo đường cong
x
C
C , được xác định bởi y = ln x, 1 x e
Tính tích phân I =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
15 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
2xydx + x 2dy theo đường
C
x2
cong C , được xác định bởi y = , 0
4
Ví dụ
Tính tích phân I =
x
2.
2xydx − x 2dy theo đường
C
cong C , được xác định bởi y =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
x
,0
2
x
TP. HCM — 2011.
2.
16 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
cos ydx − sin ydy theo đường
C
cong C , được xác định bởi y = −x, −2
x
2.
Ví dụ
Tính tích phân I = (xy − y 2)dx + xdy theo
C
đường cong C , được xác định bởi
√
y = 2 x, 0 x 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
17 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Ví dụ
Tính tích phân
I = (x 2 − 2xy )dx + (y 2 − 2xy )dy theo đường
C
cong C , được xác định bởi y = x 2, −1
x
1.
Ví dụ
Tính tích phân I = (x 2 + y 2)dx + (x 2 − y 2)dy
C
theo đường cong C , được xác định bởi
y = 1 − |x − 1|, 0 x 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
18 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
xdy − ydx theo đường cong
C
C , đi từ A(0, 0) đến B(1, 2).
C là đoạn thẳng AB
C là cung parabol y = 2x 2
C là đường thẳng gấp khúc nối 3 điểm A, B, D
với D(0, 1).
1
2
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
19 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
xydx − y 2dy theo đường
C
cong C , được xác định bởi y 2 = 2x đi từ A(0, 0)
đến B(2, 2).
Ví dụ
3x
2y 3
Tính tích phân I =
dx −
dy theo đường
y
x
C
cong C , được xác định bởi y 2 = x đi từ A(4, 2)
đến B(1, 1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
20 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Ví dụ
x
y −x
dx −
dy theo đường
y
x
C
cong C , được xác định bởi y = x 2 đi từ A(2, 4)
đến B(1, 1).
Tính tích phân I =
Ví dụ
Tính tích phân I =
xdy theo đường cong C , là
C
nửa đường tròn được xác định bởi
x 2 + y 2 = a2, x 0, đi từ A(0, −a) đến B(0, a).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
21 / 32
Tích phân đường loại hai
Ví dụ
Tính tích phân I =
Ví dụ
x 3dy − xydx theo đường
C
cong C , là đoạn thẳng nối A(0, −2) đến B(1, 3).
Ví dụ
Tính tích phân I =
−3x 2dx + y 3dy theo đường
C
cong C , là đoạn thẳng nối A(0, 0) đến B(2, 4).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
22 / 32
Tích phân đường loại hai
Tính phân đường loại hai trong không gian
Cho cung trơn AB có phương trình tham số
x = x(t)
y = y (t)
z = z(t)
a t b.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
23 / 32
Tích phân đường loại hai
Tính phân đường loại hai trong không gian
Hàm số P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) liên tục
trong miền mở D chứa cung AB. Khi đó
P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz =
AB
b
=
[P(x(t), y (t), z(t))x (t)+
a
+Q(x(t), y (t), z(t))y (t)
+R(x(t), y (t), z(t))z (t)]dt.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
24 / 32
Tích phân đường loại hai
Công thức Green
Định lý
Cho D là miền đóng có biên là đường cong C . Các
hàm P(x, y ), Q(x, y ) và các đạo hàm riêng cấp
một liên tục trong D. Khi đó
P(x, y )dx+Q(x, y )dy = +
C
(
∂Q ∂P
− )dxdy
∂x ∂y
D
Dấu "+" nếu chiều lấy tích phân trùng với chiều
dương quy ước. Ngược lại, ta lấy dấu "-".
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TP. HCM — 2011.
25 / 32
