bài giảng tich phan mat

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

1 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Định nghĩa

Tích phân mặt loại I là tích phân có dạng
f (x, y , z)dS,
S

S là mặt cong lấy tích phân, f (x, y , z) gọi là hàm
lấy tích phân.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

2 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Mặt cong S cho bởi phương trình z = z(x, y )

Nếu mặt cong S có phương trình z = z(x, y ), Dxy
là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy . Khi đó
f (x, y , z)dS =
S

=

f (x, y , z(x, y )) 1 +

∂z
∂x

2

+

∂z
∂x

2

dxdy

Dxy

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

3 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Mặt cong S cho bởi phương trình y = y (x, z)

Nếu mặt cong S có phương trình y = y (x, z), Dxz
là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxz. Khi đó
f (x, y , z)dS =
S

=

f (x, y (x, z), z) 1 +

∂y
∂x

2

+

∂y
∂z

2

dxdz

Dxz

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

4 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Mặt cong S cho bởi phương trình x = x(y , z)

Nếu mặt cong S có phương trình x = x(y , z), Dyz
là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oyz. Khi đó
f (x, y , z)dS =
S

=

f (x(y , z), y , z) 1 +

∂x
∂y

2

+

∂x
∂z

2

dydz

Dyz

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

5 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Ví dụ
Tính tích phân

Ví dụ

xyzdS, trong đó S là phần mặt
S

phẳng x + y + z = 1 nằm trong góc
x 0, y 0, z 0.
Ví dụ
1
dS, trong đó S là
2
(1
+
x
+
y
)
S
mặt xung quanh của tứ diện
x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
Tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

6 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Ví dụ
Tính tích phân
2

Ví dụ

|xyz|dS, trong đó S là phần
S
2

mặt z = x + y nằm giữa 2 mặt phẳng
z = 0, z = 1.
Ví dụ
x
dS, trong đó S là 1
2 + y2
x
S
phần tám mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 trong góc
x 0, y 0, z 0.
Tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

7 / 18


Công thức tính tích phân mặt loại một

Ví dụ
Tính tích phân

Ví dụ

(x + y + z)dS, trong đó S là
S

phần mặt phẳng 2x + 2y + z = 2 trong góc
x 0, y 0, z 0.
Ví dụ
Tính tích phân

(xy + yz + zx)dS, trong đó S là
S

phần của mặt nón z = x 2 + y 2 bị cắt bởi mặt
trụ x 2 + y 2 = 2ax (a > 0).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

8 / 18


Tích phân mặt loại hai

Định nghĩa tính phân mặt loại hai

Cho những hàm P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z)
xác định trên mặt định hướng S. Pháp véctơ của
→
mặt S là −
n = (cos α, cos β, cos γ). Tích phân
mặt loại một
I =

(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS
S

được gọi là tích phân mặt loại hai của P, Q, R
trên mặt cong S và được ký hiệu
I =

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

9 / 18


Tích phân mặt loại hai

I =

Cách tính tích phân mặt loại hai

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
S

=

Pdydz+
S

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Qdzdx+
S

Rdxdy = I1+I2+I3.
S

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

10 / 18


Tích phân mặt loại hai

Cách tính tích phân mặt loại hai

Tính I3

Gọi Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng
Oxy . Khi đó
R(x, y , z)dxdy = ± R(x, y , z(x, y ))dxdy
S

Dxy

Dấu "+" nếu pháp véctơ tạo với chiều dương
của tia Oz 1 góc nhọn.
Dấu "-" nếu pháp véctơ tạo với chiều dương
của tia Oz 1 góc tù.
Tích phân I3 = 0 nếu pháp véctơ tạo với chiều
dương của tia Oz 1 góc bằng π2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

11 / 18


Tích phân mặt loại hai

Ví dụ
Tính tích phân

Ví dụ

zdxdy , trong đó S mặt phía
S

x2 y2 z2
ngoài của ellipsoid 2 + 2 + 2 = 1.
a
b
c
Ví dụ
Tính tích phân

x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy ,
S

trong đó S mặt phía ngoài của nửa mặt cầu
x 2 + y 2 + z 2 = a2, z 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

12 / 18


Tích phân mặt loại hai

Ví dụ
Tính tích phân

Ví dụ

−x 2zdydz + ydzdx + 2dxdy ,
S

trong đó S mặt phía ngoài của mặt
4x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 nằm trong góc
x 0, y 0, z 0.
Ví dụ
Tính tích phân

z 2dydz + xdzdx − 3zdxdy ,
S

trong đó S mặt phía trong của phần mặt trụ
z = 4 − y 2 giới hạn bởi x = 0, x = 1, z = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

13 / 18


Tích phân mặt loại hai

Công thức Ostrogratxki - Gauss

Cho S là mặt kín, lấy hướng ra phía ngoài. V là
vật thể được bao quanh bởi S. Nếu các hàm
P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) và các đạo hàm
riêng của nó liên tục trên miền V thì
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
S

∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z

=

dxdydz

V

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

14 / 18


Tích phân mặt loại hai

Ví dụ

Ví dụ
Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss tính tích
phân
(y − x)dydz + (z − y )dzdx + (x − z)dxdy ,
S

trong đó S là mặt phía ngoài hình lập phương
−1 x 1, −1 y 1, −1 z 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

15 / 18

Tích phân mặt loại hai

Ví dụ

Ví dụ
Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss tính tích
phân
ydydz + xydzdx − zdxdy , trong đó S là
S

mặt biên phía trong của miền cho bởi
x 2 + y 2 4, 0 z x 2 + y 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

16 / 18


Tích phân mặt loại hai

Công thức Stokes

P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz =
C

∂R ∂Q
−
∂y
∂z

=

dydz +

∂P ∂R
−
∂z
∂x

dzdx+

S

+

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

∂Q ∂P
−
∂x
∂y

dxdy

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

17 / 18


Tích phân mặt loại hai

Ví dụ

Ví dụ
Dùng công thức Stokes tính tích phân
3ydx + 3xdy + zdz, trong đó C là đường giao
C

tuyến của x 2 + y 2 = 1 với mặt z = 1 lấy theo
ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của
trục Oz.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

18 / 18


Tích phân mặt loại hai

Ví dụ

THANK YOU FOR ATTENTION

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT

TP. HCM — 2011.

19 / 18