Toán 11 đề thi , đáp án học sinh giỏi các trường chuyên, trường chuyên HDC phu tho

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
Câ
u
1

Nội dung chính cần đạt

Điểm

Điều kiện: x ≥ −1.
Nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình.
Xét x > −1. Khi đó phương trình đã cho tương đương với
4

(

) (

x +1 − 2 + 2

1

)

2 x + 3 − 3 = x 3 − x 2 − 2 x − 12

4( x − 3)
4( x − 3)
+
= ( x − 3)( x 2 + 2 x + 4)
x +1 + 2

2x + 3 + 3
4
4


⇔ ( x − 3) 
+
− ( x + 1)2 − 3 ÷ = 0.
(1)
2x + 3 + 3
 x +1 + 2

4
4
+
< 3, vì vậy
Vì x > −1 nên x + 1 > 0 và 2 x + 3 > 1. Suy ra
x +1 + 2
2x + 3 + 3
⇔

4
4
+
− ( x + 1)2 − 3 < 0.
x +1 + 2
2x + 3 + 3
Do đó phương trình (1) ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3.
2

1

1

1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = −1 hoặc x = 3.
Từ cách xác định của dãy ( an ) , dễ dàng suy ra an > 0, ∀n ≥ 1 .
a = L , từ hệ thức truy
Giả sử khi n → +∞ thì dãy ( an ) có giới hạn hữu hạn, đặt lim
n→+∞ n
hồi đã cho, suy ra L là nghiệm không âm của phương trình
2x + 3
x=
⇔ 4 x3 − 2 x − 3 = 0 (1)
2
4x
3
Khảo sát hàm số f ( x ) = 4 x − 2 x − 3 trên ¡ , ta thấy phương trình (1) có đúng một
nghiệm trên ¡ . Vì f ( x ) là một hàm số liên tục trên ¡ và f ( 0 ) f ( 2 ) = −25 < 0 nên
0 < L < 2 (2).
Ta chứng minh a2 n−1 < a2 n+1 , ∀n ≥ 1.
248
= a3 , do đó khẳng định đúng với n = 1 .
Ta có a1 = 2 <
49
Giả sử khẳng định đúng với mọi n từ 1 đến k, ta chứng minh a2 k+1 < a2 k+3 .
1
3
1

3
+ 2 >
+ 2 = a2 k+ 2 .
Thật vậy, ta có a2 k =
2a2 k−1 4a2 k−1 2a2 k+1 4a2 k+1
1
3
1
3
+ 2 <
+ 2 = a2 k+3 .
Suy ra a2 k+1 =
2a2 k 4a2 k 2 a2 k+ 2 4 a2 k+ 2
Do đó theo nguyên lý Quy nạp khẳng định được chứng minh.
1

1

1

1


Như thế ta có 2 = a1 < a3 < L < a2 n+1 < L , chứng tỏ dãy con ( a2 n+1 ) là dãy tăng và bị
chặn dưới bởi 2 , từ đó suy ra L ≥ 2 , mâu thuẫn với (2) .
Vậy khi n → +∞ thì dãy ( an ) không có giới hạn hữu hạn.
3

1

K
A

Q
D
P

H

O

B

4

C

Gọi K là giao điểm của BD và ( O ) , K ≠ B. Q là giao điểm của CK và PD .
Theo định lý con bướm, suy ra D là trung điểm của đoạn PQ.
Mặt khác D là trung điểm của HK , do đó tứ giác PHQK là một hình bình hành. Suy
ra ∠DHP = ∠HKQ.
Mà ∠HKQ = ∠BAC, do vậy ∠DHP = ∠BAC.
Giả thiết đã cho được viết lại dưới dạng
( x2 − x ) ( P ( x + 2 ) + x + 2 ) = ( x 2 + 5 x + 6 ) ( P ( x ) + x ) , ∀x ∈ ¡ .

2

Lần lượt thay x = 0, x = 1, x = −3 vào ( 1) suy ra Q ( 0 ) = 0, Q ( 1) = 0, Q ( −1) = 0.

1

Đặt P ( x ) + x = Q ( x ) , ta có x ( x − 1) Q ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( x + 3) Q ( x ) , ∀x ∈ ¡ .

1
1
1

( 1)

Suy ra Q ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) H ( x ) , với H ( x ) ∈ ¡  x .
Khi đó ( 1) trở thành

1

x ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 3) H ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( x + 3) x ( x − 1) ( x + 1) H ( x ) , ∀x ∈ ¡ .

Suy ra H ( x + 2 ) = H ( x ) , ∀x ≠ −3, −2, −1, 0,1.

Do đó H ( x + 2 ) = H ( x ) , ∀x ∈ ¡ . Suy ra H ( x ) = c, với c là hằng số. Từ đó ta thu

1

3
được P ( x ) = cx ( x − 1) ( x + 1) − x = cx − ( c + 1) x, ∀x ∈ ¡ .
3
Thử lại P ( x ) = cx − ( c + 1) x thỏa mãn bài toán.

5

*) Ta thấy các cặp ( x; y ) = ( 1; t ) , t ∈ ¢ thỏa mãn bài toán.

*) Xét x ≠ 1 . Phương trình được viết lại dưới dạng

1
2


y ( y − 2 ) ( y3 + y 2 + y + 2 ) =

x11 − 1
x −1

( 1) .

x11 − 1
p
Gọi là ước nguyên tố bất kỳ của
, suy ra p| x11 − 1.
x −1
Gọi h = ordp ( x ) , suy ra h|11 ⇒ h ∈ { 1,11} .

1

- Nếu h = 1 thì x ≡ 1( mod 11) . Vì p| x10 + x9 + L + x + 1 nên p|11 suy ra
p = 11. (2)
- Nếu h = 11 thì từ x p−1 − 1Mp suy ra p ≡ 1( mod 11) . (3)
x11 − 1
p
Vì là ước nguyên tố bất kỳ của
nên từ (2), (3) suy ra với mọi ước số d của
x −1

x11 − 1
đều có tính chất d ≡ 0 hoÆc 1( mod 11) . (4)
x −1
x11 − 1
3
2
Từ (1) suy ra y, y − 2 vµ y + y + y + 2 đều là ước số của
. (5)
x −1
x11 − 1
Vì y, y − 2|
nên suy ra y ≡ 0,1, 2 hoÆc 3 ( mod 11) .
x −1
3
2
- Nếu y ≡ 0 ( mod 11) thì y + y + y + 2 ≡ 2 ( mod 11) , trái với (4), (5).
3
2
- Nếu y ≡ 1( mod 11) thì y + y + y + 2 ≡ 5 ( mod 11) , trái với (4), (5).

3
2
- Nếu y ≡ 2 ( mod 11) thì y + y + y + 2 ≡ 5 ( mod 11) , trái với (4), (5).

3
2
- Nếu y ≡ 3 ( mod 11) thì y + y + y + 2 ≡ 8 ( mod 11) , trái với (4), (5).
Từ các trường hơp trên, suy ra phương trình (1) vô nghiệm.
Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là ( x; y ) = ( 1; t ) víi t ∈ ¢ .

Giáo viên làm đáp án

Đào Mạnh Thắng
SĐT: 0919 686 359

3

1

1