Đề thi-Đáp án học sinh giỏi Bình Thuận09

Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4
Bình Thuận Năm học 2008-2009
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Cho A =
2
332
x12
)x1()x1(.x11
−−






−++−−
1. Rút gọn A
2. Tìm x biết A ≥
2
1
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải hệ phương trình:





+=
+=

+=
)xz(8zx7
)zy(6yz5
)yx(4xy3
2. Giải phương trình: x
4
+ 9 = 5x(3 – x
2
)
Bài 3: (4 điểm)
1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
ab
2
ba
≥
+
2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy
tích các số trong mỗi nhóm. Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ
nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất.
Bài 4: (5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến
tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần
lượt tại C và D.
1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD.
2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng
28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O).
Bài 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai
lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi.
---------------------- HẾT-------------------------

HƯỚNG DẪN
Bài 1: (4 điểm)
1. A xác định khi: –1 ≤ x ≤ 1
A =
( )
( )
2
2
2
x12
x12x1x1.
2
x1x1
−−












−−−++
+−−
=
( )

2
x1x1.x1x1
−+++−−
=





≤≤−−
≤≤
0x1khix2
1x0khix2
2. A ≥
2
1
Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì
2
1
x2
≥
⇔
22
1
x
≥
Khi –1 ≤ x ≤ 0 thì
2
1
x2

≥−
⇔
22
1
x
−≤
Vậy A ≥
2
1
⇔
22
1
x1
−≤≤−
hoặc
1x
22
1
≤≤
Bài 2: (4 điểm)
1. Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x ≠ 0 thì y và z ≠ 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho
xy; yz; zx, ta được:





+=
+=

+=
)xz(8zx7
)zy(6yz5
)yx(4xy3
⇔









+=
+=
+=
x
1
z
1
8
7
z
1
y
1
6
5
y

1
x
1
4
3
⇔













++=
+=
+=
+=
z
1
y
1
x
1
48

59
x
1
z
1
8
7
z
1
y
1
6
5
y
1
x
1
4
3
⇔









=

=
=
z
1
48
23
y
1
48
17
x
1
48
19
⇔









=
=
=
23
48
z

17
48
y
19
48
x
2. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình
cho x
2
, ta được:
x
4
+ 9 = 5x(3 – x
2
) ⇔
06
x
3
x5
x
3
x
2
=+







−+






−
⇔






−=−
−=−
3
x
3
x
2
x
3
x
⇔





=−+
=−+
03x3x
03x2x
2
2
⇔







±−
=
−=
=
2
213
x
3x
1x
(có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích)
Bài 3: (4 điểm)
1. a, b > 0, ta có:
( )
0ab2baba
2
≥−+=−

⇔
ab
2
ba
≥
+
2. Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì:
ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 2
10
.3
4
.5
2
.7
2
M = a + b ≥ 2
ab
= 2.2
5
.3
2
.5.7 = 20160
Min
M
= 20160 ⇔ a = b = 10080
Và có ít nhất 4 cách chia như sau:
Nhóm 1 Nhóm 2
2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14
8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12
2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12

2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9
Bài 4: (5 điểm)
1. ∆OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù)
I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO ⊥ AB tại O
Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD
2. Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm)
C
ABDC
= AB + 2(AC + BD) ⇒ x + y = 10
Mặt khác : OM
2
= MC.MD ⇒ xy = 16
Giải hệ:



=
=+
16xy
10yx
ta được



=
=
∨




=
=
2y
8x
8y
2x
Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm
hoặc AC = 8cm và BD = 2cm
Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích:
S
1
= 40 (cm
2
)
Diện tích nửa hình tròn (O):
S
2
= 8π (cm
2
)
Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn:
S = S
1
– S
2
= 40 – 8π (cm
2
)
Bài 5: (3 điểm)
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của ∆ vuông.

Khi đó: a, b, c ∈ N và a ≥ 5; b, c ≥ 3
Ta có hệ phương trình:





++=
+=
)2()cba(3bc
)1(cba
222
(1): a
2
= b
2
+ c
2
= (b + c)
2
– 2bc = (b + c)
2
– 6(a + b + c)
⇔ a
2
+ 6a + 9 = (b + c)
2
– 6(b + c) + 9
⇔ (a + 3)
2

= (b + c – 3)
2
⇔ a + 3 = b + c – 3
⇔ a = b + c – 6
(2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
⇔ (b – 6)(c – 6) = 18
Nên ta có các trường hợp sau:
1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15
----------------------------------------------