L11 giới hạn một bên

Giới hạn một bên
x3 + x + 1
lim
x −1
x →1+

Câu 1. Tính giới hạn sau:

 lim ( x − 1) = 0
 x →1+
x3 + x + 1
x
−
1
>
0
⇒
lim
= +∞
Ta có 
+
x −1
 lim ( x 3 + x + 1) = 3 > 0 x →1
 x →1+
lim−

Câu 2. Tìm giới hạn sau:

x →3

x +3

x −3

 lim(
x − 3) = 0
 x →3−

−
x → 3 ⇔ x − 3 < 0
 lim( x + 3) = 6 > 0
 x →3−
x +3
= −∞
Kết luận được lim−
x →3 x − 3

Câu 3. Tìm giới hạn sau: lim+
x →3

7x − 1
x −3

( x − 3) = 0, lim+ (7 x − 1) = 20 > 0; x − 3 > 0 khi
Ta có: xlim
x → 3+ nên I = +∞
→3+
x →3
7x − 1
x →3 x − 3
( x − 3) = 0, lim+ (7 x − 1) = 20 > 0; x − 3 > 0 khi
Ta có: xlim

x → 3+ nên I = +∞
→3+
x →3

Câu 4. Tìm giới hạn sau: lim+

lim

Câu 5. Tính
I = lim

x →−2

x→ − 2

x2 + 8

x3 + 8
x 2 + 11x + 18

.

x 2 + 11x + 18
 x 2 + 11x + 18 = ( x + 2)( x + 9) < 0,
 2
 x + 11x + 18 = ( x + 2)( x + 9) > 0,
 lim ( x 2 + 8) = 12 > 0
(*)
 x →−2

2

( x + 11x + 18) = 0 ,
Ta có: xlim
→−2

Từ (1) và (*) ⇒ I1 = lim −
x →−2

Từ (2) và (*) ⇒ I 2 = lim +

x2 + 8
x 2 + 11x + 18
x2 + 8

Toán Tuyển Sinh Group

(1)
(2)

= −∞ .

x 2 + 11x + 18
2 x − 11
Câu 6. Tìm giới hạn sau: lim+
5− x
x→ 5
x →−2

khi x < −2

khi x > −2

= +∞

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


 lim ( 5 − x ) = 0
 x →5+
Ta có:  lim+ ( 2 x − 11) = −1 < 0
 x →5
 x > 5 ⇔ 5 − x < 0

⇒ lim+
x →5

lim −

Câu 7. Tính giới hạn sau:

x →−1

2 x − 11
= +∞
5− x

3x + 2
x +1

 lim ( x + 1) = 0

 x →−1−
3x + 2
= +∞
Ta có:  lim − (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒ lim −
x →−1 x + 1
 x →−1
 x < −1 ⇔ x + 1 < 0

Câu 8. Tính giới hạn sau: lim +
x →−1

3x + 2
x +1

 lim ( x + 1) = 0
 x →−1+
3x + 2
3x + 2
lim +
= −∞
. Ta có:  lim + (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒ lim +
x →−1 x + 1
x →−1 x + 1
 x →−1
 x > −1 ⇒ x + 1 > 0



Câu 9. Tính lim+ 
x →2

1

 x2 − 4

1 
÷
x−2

1 
−x −1
= lim+
÷
 x 2 − 4 x − 2  x →2 x 2 − 4
 lim (− x − 1) = −3 < 0
 x →2 +

2
⇒ I = −∞
• Ta có  lim+ ( x − 4) = 0
 x →2
 x > 2 ⇒ x 2 − 4 > 0


Tính I = lim+ 
x →2

1

−

−

Câu 10. Tìm giới hạn sau: lim+
x →1

2x − 3
x −1

 lim(
x − 1) = 0
 x →1+
x − 3) = −1 < 0
Nhận xét được:  xlim(2
→1+

 x → 1+ ⇒ x − 1 > 0
2x − 3
= −∞
Kết luận: lim+
x →1 x − 1

Câu 11. Tính giới hạn sau:
Toán Tuyển Sinh Group

lim +

x →−2

x

2

x + 5x + 6
www.facebook.com/groups/toantuyensinh


lim +

x →−2

x
x 2 + 5x + 6

.

 lim x = −2 < 0
 x →−2+
x

2
= −∞
Vì  lim + ( x + 5 x + 6) = 0 ⇒ lim + 2
2
x →−2 x + 5 x + 6
 x →−
 x 2 + 5 x + 6 > 0, ∀ x > −2

Câu 12. Tìm giới hạn sau:

2 x3 + 3x 2 − 1

x →−1
x +1
lim

2 x3 + 3x 2 − 1
( x + 1)2 (2 x − 1) = lim ( x + 1)(2 x − 1) = 0
lim
= lim
x →−1
x →−1
x →−1
x +1
x +1

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh