LT HINH HOC (THCS)

1. Điểm - Đng thẳng
- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C, ... để đặt tên cho điểm.
- Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp các điểm. Một điểm cũng là một hình.
- Ngời ta dùng các chữ cái th ng a, b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các đ ng
thẳng (hoặc dùng hai chữ cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái th ng, ví dụ đng
thẳng AB, xy, ... )

- Điểm C thuộc đng thẳng a (điểm C nằm trên đ ng thẳng a hoặc đng
thẳng a đi qua điểm C), kí hiệu là: C a.
- Điểm M không thuộc đng thẳng a (điểm M nằm ngoài đ ng thẳng a hoặc
đng thẳng a không đi qua điểm M), kí hiệu là: M a.

2. Ba điểm thẳng hàng
- Ba điểm cùng thuộc một đng thẳng ta nói chúng thẳng hàng
- Ba điểm không cùng thuộc bất kì đng thẳng nào ta nói chúng không thẳng
hàng.

3. Đng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song
- Hai đng thẳng AB và BC nh hình vẽ bên là hai đng thẳng trùng nhau.
- Hai đng thẳng chỉ có một điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung
đó đợc gọi là giao điểm (điểm E là giao điểm).


- Hai đng thẳng không có điểm chung nào, ta nói chúng song song với
nhau, kí hiệu xy//zt

4. Khái niệm về tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau
- Hình gồm điểm O và một phần đ ng thẳng
bị chia ra bởi điểm O đợc gọi là một tia gốc
O (có hai tia Ox và Oy nh hình vẽ).
- Hai tia chung gốc tạo thành đng thẳng

đợc gọi là hai tia đối nhau (hai tia Ox và Oy
trong hình vẽ là hai tia đối nhau).
- Hai tia chung gốc và tia này nằm trên tia kia
đợc gọi là hai tia trùng nhau.
- Hai tia AB và Ax là hai tia trùng nhau

5. Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng
- Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và
B.

- Hai điểm A và B là hai mút (hoặc hai đầu) của đoạn thẳng AB.
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số d ơng

6. Khi nào thì AM + MB = AB ?
- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB. Ng ợc lại, nếu
AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B


7. Trung điểm của đoạn thẳng
- Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B
(MA = MB).

- Trung điểm M của đoạn thẳng AB còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng
AB.

8. Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau
- Hình gồm đng thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a đ ợc gọi là
một nửa mặt phẳng bờ a.

- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đ ợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau (hai

nửa mặt phẳng (I) và (II) đối nhau)


9. Góc, góc bẹt
- Góc là hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung
của hai tia gọi là đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh
của góc.
ã
à hoặc xOy
- Góc xOy kí hiệu là xOy
hoặc O
- Điểm O là đỉnh của góc
- Hai cạnh của góc : Ox, Oy
- Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau

10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù.
- So sánh hai góc bằng cách so sánh các số đo của chúng.
ã
ả
- Hai góc xOy và uIv bằng nhau đợc kí hiệu là: xOy
= ulv
ã
ả ulv
ả > xOy
ã
- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viết: xOy
< ulv

- Góc có số đo bằng 900 = 1v , là góc vuông.

- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc nhọn.

- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ hơn góc bẹt
là góc tù.


11. Khi nào thì

ã
ã
xOy
+ ãyOz = xOz
?

- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì
ã
ã
.
xOy
+ ãyOz = xOz
ã
ã
- Ngợc lại, nếu xOy
thì tia Oy nằm
+ ãyOz = xOz
giữa hai tia Ox và Oz.

12. Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù
- Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên
hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh chung.

- Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 900 .
- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 1800 .
- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau đợc gọi là hai góc kề bù.

13. Tia phân giác của góc
- Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai
cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng
nhau
ã
ã
ã
ã
- Khi: xOy
v xOz
.
+ ãyOz = xOz
= zOy
=> tia Oz là tia phân giác của góc xOy

- Đng thẳng chứa tia phân giác của một góc là đ ng phân giác của góc đó
(đng thẳng mn là đng phân giác của góc xOy)


14. Đng trung trực của đoạn thẳng
a) Định nghĩa: Đng thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của
nó đợc gọi là đng trung trực của đoạn thẳng ấy

b) Tổng quát:
a là đng trung trực của AB
a AB tiI

IA = IB

15. Các góc tạo bởi một đng thẳng cắt hai đng thẳng
a) Các cặp góc so le trong:
àA v B
à ; ảA v B
ả .
1
3
4
2
b) Các cặp góc đồng vị:
àA v B
à ; ảA v B
ả ;
1
1
2
2
à
à ; ảA v B
ả .
A3 v B
3
4
4

c) Khi a//b thì:
à

ả ; ảA v B
à gọi là các cặp góc trong cùng phía bù nhau
A1 v B
2
4
3

16. Hai đng thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết


- Nếu đng thẳng c cắt hai đng thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một
cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b
song song với nhau.

b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một đng thẳng chỉ có một đng thẳng song song
với đng thẳng đó.

c) Tính chất hai đng thẳng song song
- Nếu một đng thẳng cắt hai đng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;
Hai góc đồng vị bằng nhau;
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
- Hai đng thẳng phân biệt cùng vuông góc
với đng thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau
a c
a / /b

b c

- Một đng thẳng vuông góc với một trong
hai đng thẳng song song thì nó cũng vuông
góc với đng thẳng kia
c b
c a
a / /b

e) Ba đng thẳng song song


- Hai đng thẳng phân biệt cùng song song
với một đng thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau
a / / c v b / / c a / / b

17. Góc ngoài của tam giác
a) Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác là
góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
b) Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam giác
bằng tổng hai góc trong không kề với nó
ãACx = àA + B
à

18. Hai tam giác bằng nhau
a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai
tam giác có các cạnh tơng ứng bằng nhau,
các góc tơng ứng bằng nhau
ABC = A ' B ' C '

AB = A ' B '; AC = A ' C '; BC = B ' C '

à =B
à '; C
à =C
à'
A '; B
àA = à


b) C¸c trường hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Trường hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh (c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng
nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
Nếu ∆ABC và ∆A ' B ' C ' có:
AB = A ' B ' 

AC = A ' C ' ⇒ ∆ABC = ∆A ' B ' C '(c.c.c)
BC = B ' C 

*) Trường hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh (c.g.c)
- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c
nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam
gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu ∆ABC vµ ∆A ' B ' C ' cã:
AB = A ' B '

µ =B
µ'

B
 ⇒ ∆ABC = ∆A ' B ' C '(c.g .c )
BC = B ' C 


*) Trường hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)
- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy
b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia
th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu ∆ABC vµ ∆A ' B ' C ' cã:
µ =B
µ'

B

BC = B ' C ' ⇒ ∆ABC = ∆A ' B ' C '( g.c.g )

µ =C
µ'
C



c) C¸c trường hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
 Trường hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai
c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

 Trường hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña
tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña
tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

 Trường hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy
b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c
vu«ng ®ã b»ng nhau.

 Trường hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng
nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai
tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.


19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
(quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh
lớn hơn là góc lớn hơn
à >C
à
ABC : Nu AC > AB thỡ B

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn
à >C
à thỡ AC > AB
ABC : Nu B

20. Quan hệ giữa đng vuông góc và đng xiên,
đng xiên và hình chiếu
Khái niệm đng vuông góc, đng xiên, hình chiếu của đng xiên
- Lấy Ad, kẻ AHd, lấy Bd và BH.
- Đoạn thẳng AH gọi là đng vuông góc kẻ từ
A đến đng thẳng d
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đng

thẳng d
- Đoạn thẳng AB gọi là một đng xiên kẻ từ A
đến đng thẳng d
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đng
xiên AB trên đ.thẳng d
Quan hệ giữa đng xiên và đng vuông góc: Trong các đng xiên và
đng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đng thẳng đến đng thẳng đó,
đng vuông góc là đng ngắn nhất.


Quan hệ giữa đng xiên và hình chiếu: Trong hai đng xiên kẻ từ một
điểm nằm ngoài một đng thẳng đến đng thẳng đó, thì:
Đng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc
lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đng xiên bằng nhau.

21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.
Bất đẳng thức tam giác
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài
cạnh còn lại.
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài
cạnh còn lại.
AC - BC < AB;
AB - BC < AC;
AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn

hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

22. Tính chất ba đng trung tuyến của tam giác
- Ba đng trung tuyến của một tam giác cùng đi
qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một
khoảng bằng
đỉnh ấy:

2
độ dài đng trung tuyến đi qua
3

GA GB GC 2
=
=
=
DA EB FC 3

G là trọng tâm của tam giác ABC.


23. Tính chất ba đng phân giác của tam giác
- Ba đng phân giác của một tam giác cùng đi
qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của
tam giác đó.
- Điểm O là tâm đng tròn nội tiếp tam giác
ABC.

24. Tính chất ba đng trung trực của tam giác

- Ba đng trung trực của một tam giác cùng đi
qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của
tam giác đó
- Điểm O là tâm đng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC

25. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản
(sử dụng một trong các cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác đó có đng trung tuyến vừa là đng cao
4. Chứng minh tam giác đó có đng cao vừa là đng phân giác ở đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600
c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành
1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành


3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
5. Tứ giác có hai đng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ ng là
hình bình hành
d) Chứng minh một tứ giác là hình thang:
Ta chứng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân
1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

2. Chứng minh hình thang có hai đng chéo bằng nhau
f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật
1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
4. Hình bình hành có hai đng chéo bằng nhau là hình chữ nhật
g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi
1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3. Hình bình hành có hai đng chéo vuông góc với nhau
4. Hình bình hành có một đng chéo là đng phân giác của một góc
h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình chữ nhật có hai đng chéo vuông góc
3. Hình chữ nhật có một đng chéo là đng phân giác của một góc
4. Hình thoi có một góc vuông
5. Hình thoi có hai đng chéo bằng nhau


26. Đng trung bình của tam giác, của hình thang
a) Đng trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh của tam giác
Định lí: Đng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và
bằng nửa cạnh ấy
DE là đng trung bình của tam giác
DE / / BC , DE =

1
BC

2

b) Đng trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh bên của hình thang
Định lí: Đng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng
nửa tổng hai đáy EF là đng trung bình của hình thang ABCD.

EF / / AB, EF//CD,EF=

AB + CD
2


27. Tam giác đồng dạng
a) Định lí Ta_lét trong tam giác:
- Nếu một đng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ:
AB ' AC '
=
;
B ' B AC
AB ' AC ' B ' B C ' C
=
;
=
B ' B C ' C AB
AC

B ' C '/ / BC

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:
- Nếu một đng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đng thẳng đó song song với cạnh
còn lại của tam giác
Ví dụ:

AB ' AC '
=
B ' C '/ BC ; Các trng hợp khác tơng tự
AB
AC

c) Hệ quả của định lí Ta_lét
- Nếu một đng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh
của tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong tr ng hợp đng thẳng song song
với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại
AB ' AC ' B ' C '

=
=
B ' C '/ / BC
ữ
AB
AC
BC

d) Tính chất đng phân giác của tam giác:
- Đng phân giác trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối diện
thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó

DB AB
=
DC AC

D ' B AB
=
D ' C AC

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :
- Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc t ơng ứng bằng nhau và
các cạnh tơng ứng tỉ lệ
à =B
à '; C
à =C
à'
àA = à
A '; B

ABC : A ' B ' C ' AB
, k l tỉ số đồng dạng.
AC
BC
=
=
=k

A ' B ' A 'C ' B 'C '

f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:
- Nếu một đng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho
MN / / BC AMN : ABC

*) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với tr ng hợp
đng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam
giác và song song với cạnh còn lại


g) Các trng hợp đồng dạng của hai tam giác
*)Trng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia
thì hai tam giác đó đồng dạng. Nếu ABC và A'B'C' có:
AB
AC
BC
=
=
ABC : A ' B ' C '(c.c.c )
A ' B ' A 'C ' B 'C

*)Trng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác
kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng
Nếu ABC và A'B'C' có:

AB
BC
=

A ' B ' B ' C ' ABC : A ' B ' C '(c.g .c)

à =B
à'
B


*) Trng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần l ợt bằng hai góc của tam
giác kia thì hai tam giác đồng dạng;

Nếu ABC và A'B'C' có:
àA = à
A '
ABC : A ' B ' C '( g .g )
à =B
à '
B



h) C¸c trường hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng
*)Trường hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng
®ång d¹ng.
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
µA = µ
A ' = 900 
 ⇒ ∆ABC : ∆A ' B ' C '.
µ =C
µ'

C


*)Trường hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi hai
c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

Hai tam gi¸c vu«ng ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB
AC
=
⇒ ∆ABC : ∆A ' B ' C '
A ' B ' A 'C '

*)Trường hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ
lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã
®ång d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB
BC
=
⇒ ∆ABC : ∆A ' B ' C '
A ' B ' B 'C '


28. TØ sè hai ®ường cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai
tam gi¸c ®ång d¹ng
- TØ sè hai ®ường cao tư¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång
d¹ng
- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph ư¬ng tØ sè ®ång d¹ng
- Cô thÓ : A'B'C' ABC theo tØ sè k ∆ ∆ C'

29. DiÖn tÝch c¸c h×nh

S = a.b

S = a2

S=

1
S = ah
2

S=

1
ah
2

S = a.h = a.b.sin α

Chó ý:

S=

1
ah
2

1

( a + b ) h = EF .h
2

S=

1
d1 .d 2
2


1. Diện tích đa giác đều n cạnh, mỗi cạnh có độ dài bằng a đ ợc tính theo công
1
4

thức S = .na 4 R 2 a 2 (R là bán kính đng tròn ngoại tiếp đa giác đều )
2. Diện tích tam giác:
1
1
abc
S ABC = .a.ha = a.b.sin C = p.r =
=
2
2
4R

p ( p a) ( p b) ( p c)

+) a, b, c l di cỏc cnh tng ng
+) ha l di ng cao ng vi cnh a
+) C l ln ca gúc xen gia hai cnh a, b

+) p l na chu vi ca tam giỏc
+) r l di bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc
+) R l di bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc.

30. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình
cơ bản
(dùng thớc thẳng, thớc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke)
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;
b) Dựng một góc bằng một góc cho trớc;
c) Dựng đng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm của
một đoạn thẳng cho trớc;
d) Dựng tia phân giác của một góc cho trớc;
e) Qua một điểm cho trớc, dựng đng thẳng vuông góc với một đng thẳng
cho trớc;
f) Qua một điểm nằm ngoài một đ ng thẳng cho trớc, dựng đng thẳng
song song với một đng thẳng cho trớc;
g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa, hoặc biết
một cạnh và hai góc kề.


31. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9)
a) Một số hệ thức về cạnh và đng cao trong tam giác vuông

b 2 = ab '
c 2 = ac '
a 2 = b 2 + c 2 ( Pytago)
bc = ah
h2 = b ' c '
1 1
1

+
=
b2 c2 b2
b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn
Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn
sin =

cạnh đối
cạnh huyền

tg =

cạnh đối
cạnh kề

cos=

cạnh kề
cạnh huyền

cotg =

cạnh kề
cạnh đối

Một số tính chất của các tỉ số lợng giác
+) Định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
Cho hai góc và phụ nhau. Khi đó:
sin = cos; tg = cotg; cos = sin; cotg = tg.
+) Cho 00 < < 900. Ta có:

0 < sin < 1;0 < cos < 1;sin 2 + cos 2 = 1
sin
cos
tg =
;cot g =
; tg .cot g = 1
cos
sin

So sánh các tỉ số lợng giác

00 < 1 < 2 < 900

sin 1 < sin 2 ;cos 1 > cos 2 ;
tg1 < tg 2 ;cot g1 > cot g 2

c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông


b =  a.sinB;     c =  a.sinC
b =  a.cosC ;    c =  a.cosB
b =  c.tgB;       c =  b.tgC
b =  c.cotgC ;   c =  b.cotgB
⇒a=

b
c
b
c

=
=
=
.
sin B sin C cos cos B

32. §ường trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung
- §ường trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh gåm c¸c
®iÓm c¸ch O mét kho¶ng b»ng R, kÝ hiÖu (O ; R).
- H×nh trßn lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm n»m trªn ®ường
trßn vµ c¸c ®iÓm n»m bªn trong ®ường trßn ®ã.
- Sè ®o cung:
+) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã
0
0
s® ¼
AmB = α ( 0 < α < 180 )
+) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)
¼
AnB = 3600 − α

+) Sè ®o cña nöa ®ường trßn b»ng 1800 , sè ®o cña c¶ ®ường trßn b»ng 3600

33. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®ường kÝnh vµ d©y
- Trong mét ®ường trßn, ®ường kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung
®iÓm cña d©y Êy
AB ⊥ CD t¹i H ⇒ HC = HD
- Trong mét ®ường trßn, ®ường kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i
qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy

34. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y


Định lí 1: Trong một đng tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD OH = OK
OH = OK AB = CD

Định lí 2: Trong hai dây của một đng tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
AB = CD OH > CK
OH > CK AB < CD

35. Vị trí tơng đối của đng thẳng và đng tròn
a) Đng thẳng và đng tròn cắt nhau (có hai điểm chung)
- Đng thẳng a gọi là cát tuyến của (O)
d = OH < R và HA = HB = R 2 OH 2 .
b) Đng thẳng và đng tròn tiếp xúc nhau
(có một điểm chung)
- Đng thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đng thẳng là tiếp tuyến của một đng tròn
thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
a là tiếp tuyến của (O) tại H a OH
c) Đng thẳng và đng tròn không giao nhau (không có điểm chung)
d = OH > R

36. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đng tròn
- Để nhận biết một đng thẳng là tiếp tuyến của một đ ng tròn ta có hai dấu
hiệu sau:


Dấu hiệu 1: Đng thẳng và đng tròn chỉ có một điểm chung (định nghĩa
tiếp tuyến)
Dấu hiệu 2: Đng thẳng đi qua một điểm của đng tròn và vuông góc với
bán kính đi qua điểm đó
H ( O)

a l tip tuyn ca (O)
a OH tiH



37. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đng tròn
nội tiếp, bàng tiếp tam giác
a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đng
tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác
của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác
của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp
điểm.
b) ng tròn nột tiếp tam giác
- Đng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác
đợc gọi là đng tròn nội tiếp tam giác, khi đó

tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đng tròn
- Tâm của đng tròn nội tiếp tam giác là giao
điểm của các đng phân giác các góc trong của
tam giác
c) Đng tròn bàng tiếp tam giác
- Đng tròn tiếp xúc với một cạnh của một
tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai
cạnh kia gọi là đng tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm của đng tròn bàng tiếp là giao điểm
của hai đng phân giác các góc ngoài tại hai
đỉnh nào đó hoặc là giao điểm của một đng

ã
ã
AB = AC ; OAB
= OAC
; ãAOB = ãAOC