PHẦN 4 TÍCH PHÂN

www.TOANTUYENSINH.com

PHẦN 4. TÍCH PHÂN
4.1. Tích phân hàm phân thức
1
Câu 1. Tính tích phân: I   6x+7 dx .
0

1

3x  2

1

1

6x+7
(6x+4)+3
3
I
dx  
dx   (2 
)dx
3x

2
3x

2
3x


2
0
0
0
1

1

1

1

3
1
 2  dx  
dx  2  dx  
d(3x+2)
3x

2
3x

2
0
0
0
0
1

1

0

0

 2x  ln 3x  2
5
 2  ln .
2

Câu 2. Tìm họ nguyên hàm 

2x  3
dx
2 x2  x 1

2x  3
2x  3
5 1 
 4 1
dx  
dx     .
 .
dx
2
 x 1
(2 x  1)( x  1)
 3 2 x  1 3 x  1 
4
1

5 1
 
dx  
dx
3 2x 1
3 x 1
2 d (2 x  1) 5 d ( x  1)
 
 
3
2x 1
3
x 1
2
5
  ln 2 x  1  ln x  1  C
3
3

Ta có:

 2x

2

Câu 3. Tính tích phân I

x2

1

Biến đổi hàm số thành dạng
2

Khi đó: I

x2

1

3x 1
dx .
x
x
2

3x 1
dx
2
x
x

x2

3x 1
x
x
2

2

2

dx
1

1

1

2x 1
x2 x

2x 1
dx
x2 x

2

dx

2

x1

1

1

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
2

1

Vậy I

2x 1
dx
x2 x

2

ln x 2

x

ln 3

1

ln 3 .

1

1

x 1

Câu 4. Tính tích phân I

x2

0

x 1

Khi đó: I

x

0

2

x

2

1

2

2

x2

1

dx
0

0

2x 1
x 1
2

1

1

dx

dx .

1

x 1

Biến đổi hàm số thành dạng
1

2

2x
x

2

1

1

2x
x

2

1

dx

1
1

dx

x0

1

0
1

0

Vậy I

1

2x
x

2

1

dx

ln x 2

1

1

ln 2

0

ln 2 .

2



Câu 5. Tính tích phân sau: I    x 2 

1  x2 
 dx
x  x3 


 2 1 x 
1  x2
2
I   x 
dx
 dx   x dx  
2
x  x3 
1
1
1 xx
2

2

2

1
2

2

2

1
7
Tính I1   x dx  x3 
3 1 3
1
2

1

1
d
 x

1
2

2
1 x
x
   ln 1  x
I2  
dx   x
dx    
3
1
1
x

1 x x
1
1
x
x
x
x
7
4
Vậy I  I1  I 2   ln
3
5
2

Nguyễn Văn Lực

2

2

Ninh Kiều – Cần Thơ

2

 ln
1

4
5

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

4.2. Tích phân hàm chứa căn thức
dx

2

Câu 1. Tính tích phân I  

x x 1
3

1

I 

dx

2

1

x x 1
3



2

x dx

2

1

.

x

x 1

3

3

.
2
3

Đặt t  x3  1  x3  t 2  1  x 2 dx  t.dt .
x 1 t  2 ; x  2  t  3
3 2
t.dt
1 3  1
1 
I 




 dt
2 3 (t 2  1)t
3  2  t 1 t 1 
3

1 x 1
I  ln
3 x 1

2

1 1
2 1  1 3  2 2
  ln  ln
  ln
3 2
2
2 1 3
3

Câu 2. Tính tích phân I 

x
1

3

I

x
1

3

1
x2  1

dx 

x

x
x2  1

2

1

1
x2  1

dx

dx

Đặt u  x 2  1  u 2  x2  1  udu  xdx ,  x2  u 2 1
2

I



1
2

1
u
  u 2  1 u du  2
2
2


2

2

u  1   u  1

  u  1 u  1 du
2

1 u 1
1 
 1


 du  2 ln u  1
 u 1 u  1 

1

Câu 3. Tính tích phân I

0

dx
 Đặt t 1 x dt
 Đổi cận:
x 0
t 1 0

 Vậy, I

1
0

x 1

xdx



2

1
  ln 3 3  2 2
2

2

x 1

dx



xdx
dt

và x

1

t

1
0
1

(1

t ) t ( dt )

1
0

1

(t 2

3

t 2 )dt

3
2

2t
3

5
2

2t
5

1

0

4
15

2x  1
dx
0 1  3x  1
t2 1
2
 dx  tdt

Đặt 3x  1  t ta được x 
3
3
Đổi cận x  0  t  1; x  1  t  2
1

Câu 4. Tính tích phân sau

Nguyễn Văn Lực

I 

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
2 2t 3  t
2 
3 
28 2 3
dt    2t 2  2t  3 
 ln
Khi đó I  
dt 
9 1 1 t
9 1
t 1
27 3 2

2

2

3

 3.

Câu 5. Tính tích phân sau:

0

x 3
dx
x 1  x  3

x  0  u  1
x  3  u  2

Đặt u = x  1  u 2  1  x  2udu  dx ; đổi cận: 

x 3
2u 3  8u
1
dx

0 3 x  1  x  3 1 u 2  3u  2du  1 (2u  6)du  61 u  1du
3

Ta có:



 u 2  6u

2

2

2

 1  6ln u  1 1  3  6 ln 2
2

2

3

9

Câu 6. Tính tích phân:

xdx
x 1


4

Đặt t  x  t  x  2tdt  dx
Đổi cận: x = 4  t  2

x =9 t 3
2

3 3

3

t dt
1 

I  2
 2  t 2  t  1 
 dt
t

1
t

1


2
2
3

 t3 t 2

59
 2    t  ln t  1  
 2ln 2

3 2
2 3
0

Câu 7. Tính tích phân: I 

 ( x  1)



0

I

 ( x  1)

1

2

0

dx
3  2x  x

2

1
2

0

 ( x  1)



1

2

dx
3  2x  x 2

1
( x  1)( x  3)

dx

1

=

dx

x

3
( x  1) 2
x 1
 x3

 x3
4
 t2 
Đặt t 
 2tdt 
dx
x 1
x 1
( x  1) 2
1

2

3

I 

1
1
dt  ( 7  3 )

2 7
2
3

x2

Câu 8. Tính tích phân

x

1 xdx .

0

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
3

3

Ta có I

x

2

x

1 xdx

x dx

0

0

3

Đă ̣t J

3
3

3
3

x dx và K

1 dx .
3

3

1
81
1 dx ; ta có J   x dx  x 4 
4 0
4
0
3

x x

0

x x
0

0

3

K   x x  1 dx . Đặt t

x

t2

1

x

1

dx và x  t 2  1

2tdt

0

Ta có x  0  t  1; x  3  t  2 .
2

1
1 
116
K  2  t (t  1)dt  2  (t  t )dt  2  t 5  t 3  
3 1
15
5
1
1
2

Khi đó

2

2

2

4

2

1679
60

Vậy I  J  K 

1





Câu 9. Tính tích phân: I   x 2 1  x 1  x 2 dx
0
1





1

1

I   x 1  x 1  x dx   x dx   x 3 1  x 2 dx
2

0

2

1

1

x3
I1   x dx 
3

0



2

0

2

0

0

1
3

1

I 2   x 3 1  x 2 dx
0

Đặt t  1  x 2  x 2  1  t 2  xdx  tdt
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0
1
 t3 t5 
2
 I 2    1  t  t dt    t  t dt     
 3 5  0 15
1

0
0

1

2

Vậy I  I1  I 2 

2

2

4

7
15

Câu 10. Tính nguyên hàm sau: I   x x 2  3dx
Đặt t  x 2  3  t 2  x 2  3  2tdt  2xdx  xdx  tdt .

t3
( x 2  3)3
C
Suy ra I   t.tdt   t dt   C 
3
3
2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
dx

Câu 11. Tính nguyên hàm: I  

2x  1  4



Đặt t  2x  1  t 2  2x  1  tdt  dx
I


tdt
4 
  1 
 dt  t  4 ln t  4  C
t4
 t4

 2x  1  4 ln





2x  1  4  C

Câu 12. Tính I =







I=



1

0

1

0





x3 x  x 2  1 dx
1

1

1

x x  x  1 dx   x dx   x
3

2

4

0

1

J   x3 x2  1dx  ...  
0

2

1

3

0

t

4

x5
1
J  J
x  1dx 
5 0
5
2

 t 2  dt

22 2
15
1
1 2 2
I = J 
5
15
J  ... 

6

I   x x  3dx

Câu 13. Tính tích phân sau:

1
2

 Đặt x  3  t ta được x  3  t  dx  2tdt

 Đổi cận: x  1  t  2; x  6  t  3
3

232
2

Khi đó I    2t  6t  dt   t 5  2t 3  
5
5
2
2
3

4

2

1

Câu 14. Tính tích phân I

x 2

x 2 dx .

2tdt

2 xdx

0

Đặt t

2

Đổi cận:

x

2

t

2

x

1

x

1

t

x

0

t

2
2

Suy ra: I

t dt
1

Vậy I

2

2

tdt

xdx

2
t3
3

2

1

2 2 1
3

2 2 1
.
3

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

4.3. Tích phân hàm số mũ, hàm số logarith
1

Câu 1. Tính tích phân I   1  x   2  e2 x  dx
0

 du   dx
=> 
1 2x
v  2 x  2 e
2
1 2x 1
1
I  (1  x)(2 x  e )   (2  e2 x )dx
0 1
2
2

1
1
e2  1
1
1

= (1  x)(2 x  e2 x )  ( x 2  e2 x )
4
0
0
2
4

u  1  x
Đặt 
2x
dv  (2  e )dx

2

Câu 2. Tính tích phân I  
1

2

2 2

2

ln x

x
dx 
2
x
2
1

I   xdx  2
1

x3  2 ln x
dx .
x2

2

2

ln x
3
ln x
dx   2 2 dx
2
x
2 1 x
1

2

1

2

ln x
dx
2
x
1

Tính J  

1
1
1
dx . Khi đó du  dx, v  
2
x
x
x

Đặt u  ln x, dv 

2

2

1
1
Do đó J   ln x   2 dx
x

x
1
1
2

1
1
1
1
J   ln 2 
  ln 2 
2
x1
2
2
1
Vậy I   ln 2
2
1

(1 + x)e x dx

Câu 3. Tính tích phân I =
0

1

I

(1

x )e xdx

u

1

0

 Đặt

dv

I

x

du

e xdx

(1

Nguyễn Văn Lực

v

x )e x

1

0

dx
ex
1
0

. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:

e xdx

(1

1)e1

(1

0)e 0

ex

Ninh Kiều – Cần Thơ

1
0

2e

1

(e1

e0)

e

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1

 Vậy, I

x )e xdx

(1

e

0

ln 2

Câu 4. Tính tích phân: I 


0

e2 x

ex 1

dx

Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx
x  0  t  2, x  ln 2  t  3

(t 2  1)2tdt
 2  (t 2  1)dt

t
2
2
3

I

3

 t3 
 2  t 
3 

3


2

2 2
3

1

Câu 5. Tính: I  0 ( x  2)e x dx.
1

I   ( x  2)e x dx.
0

u  x2
du  dx
 
x
x
dv  e dx
 ve

Đặt 

1

Khi đó I= ( x  2)e x 0   e x dx
1

0

x 1

1

= ( x  2)e 0  e x 0  2e  1
e

Câu 6. Tính: I  1
I 

e

1

1  3ln x ln x
dx.
x

1  3ln x ln x
dx.
x

Đặt u= 1  3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu=

3
dx
x

Đổi cận: x=e => u=2
x=1 => u=1
u2 1 2
Khi đó I=  u.
. udu
3 3

1
2

2

2

2 2 2
2 u5 u3
116
=  u (u  1)du  (  ) 
91
9 5 3 1 135

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1

Câu 7. Tính tích phân I
u

 Đặt

0

du

x

dv

(x

e x )dx

Ta có I

x (x

dx
x2
2

v

1

e x )dx

x (x

ex
1

x2
x(
2

x

e )dx

0

1

x

e )

0

0

x2
(
2

e )dx

1
2
e

Câu 8. Tính tích phân I  

x

2

x ln x  1

1

e

I 
1

 1 ln x  x  1

1
2

x

e

e

(

1
6

1

x3
(
6

e)

x

e )
0

(0

1)

4
3

dx.

e
e
x  x ln x  1   ln x  1
d  x ln x  1
.
dx   xdx  
x ln x  1

x
ln
x

1
1
1

x2
I
2

e

e2 1
  ln  e  1
2 2

e

 ln x ln x  1 1 
1

e

1
Câu 9. Tính tích phân I    x   ln xdx.
1

e



x

e

e

1

1

1
1
Ta có: I    x   ln xdx   x ln xdx   ln xdx.
1



x

x

e

 Tính  x ln xdx . Đặt u  ln x và dv  xdx . Suy ra du 
1

e

e

1
x2
dx và v 
x
2

2

e

x2
x
e2 x 2
e2 1
 
Do đó,  x ln xdx  ln x   dx  
2
2
2 4 1 4 4
1
1
1
e

1
1
t


ln
x

dt

dx . Khi x  1 thì t  0 , khi x  e thì t  1 .
ln
x
d
x
.
Đặt
1 x
x

 Tính
e

1

1
t2
Ta có:  ln xdx   tdt 
x
2
1
0

Vậy, I 

1

0

1
 .
2

e2  3
.
4

4

Câu 10. Tính tích phân: I =


0

Nguyễn Văn Lực

tan x .ln(cos x )
dx
cos x

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309

www.TOANTUYENSINH.com
*Đặt t=cosx
Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , x 
1
2

Từ đó I   
1

1

ln t
dt 
t2



1
2

1
dt
t2
1
1
Suy ra I   ln t 1 
t
2
I  2 1 

ln t
dt
t2
1
1
 du  dt ; v  
t
t

*Đặt u  ln t ;dv 

*Kết quả


1
thì t 
4
2

1
1
2
1
1 t 2 dt   2 ln 2  t 1
2
2
1

2

ln 2
2
e

Câu 11. Tính tích phân sau:

x
1

log 23 x
1  3ln x
2

dx

Đặt
Từ
Đổi cận: với

1
2

I  

u4

 (1u 2 )

1
2



du   ( 1
2

0

*)

2 u 2 1
u  2 u 1
4

2

0



2 u 2 1
u 4  2 u 2 1

2( u 2 1) 1
( u 1)
2

2



2
u 1
2

du )



1
( u 1) 2
2

1 [( u 1) ( u 1)]2
 2
 .
u 1 4
( u 2 1) 2
2





2
u 2 1
1
4



1
4

 1
2
1 



 ( u 1) 2 ( u 1)( u 1) ( u 1) 2 



 1
1  3  1
1 


 ( u 1) 2 ( u 1) 2   4  u 1  u 1 



Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309

www.TOANTUYENSINH.com
1
2



I   ( 1
0

1
2

 1 1
1  3 1
1 
du )   1 

 


 du
2
2
 4 ( u 1) ( u 1)
u  2 u 1

 4  u 1 u 1  
0
2 u 2 1

4



2

1


3
5
1 1
1  3 |u 1| 2
  ln 3 
   u  

  ln
4
6
4  u 1 u 1  4 |u 1| 

0

1  x 2 ln x
Câu 12. Tính tích phân I  
dx
x
1
e

1  x 2 ln x
1
I 
dx   dx   x ln xdx
x
x
1
1
1
e
e
1
A   dx  ln x  1
1
x
1
e

e

e

1

du

dx

u  ln x
x

B   x ln xdx
Dat 

2
dv

xdx

1
v  x

2
e
2
2
2
e
e x e e2 1
e2 5
x
x
x
 B  .ln x   dx  .ln x 
  I 
4 4
1 12
1 4 1 4 4
2
2
e

ln x  1
dx
x 2  ln 2 x
e
ln x
1  ln x
1
ln x  1
 du 
dx : u(1)=0; u(e)=
I
. Đặt u 
2
2
1
x
x
e
  ln x  
x 2 1  
 
  x  
e

Câu 13. Tính tích phân: I  1

1

1

e
0

I

1
1  u 1  e 1 e 1
du

ln
 ln
u2 1
2  u  1  0 2 e  1
1

(x

Câu 14. Tính tích phân

3e x )e 2xdx .

0
1

Ta có I

(x
0

1

1

0

0

3e )e dx   xe 2xdx  3 e 3xdx .
x

2x

1

1

1

0

0

0

1

Đă ̣t J  3 e 3xdx và K   xe 2xdx ; ta có J  3 e 3xdx  e 3x  e 3  1

Nguyễn Văn Lực

0

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
du  dx

1
u  x

K   xe dx . Đặt 
; khi đó K  xe 2x

1
2x
2x
dv  e dx
2
0

v  e


2
1

1

1



2x

0

1 2x
e dx
2 0

1

1
1
1
1
1 1
1
1
3
 K  e 2  e 2x  e 2  e 2   e 2  . Vậy I  e 3  e 2 
2
4
2
4
4 4
4

4
4
0
e

Câu 15. Tính tích phân I  

3x  2 ln x  1
x 2  x ln x

1
e

I 

Phân tích

3x  2 ln x  1

1

e

Tính

x 2  x ln x

2( x  ln x)

2( x  ln x)

 x2  x ln x

e

dx 

1

e

x 1

 x 2  x ln x dx
1

1

 x2  x ln x dx  2  x dx  2.
1

1

1
x 1
x
 x 2  x ln x dx =  x  ln x dx 
1
1
e

e

Tính

e

dx =

dx

1

e


1

d ( x  ln x)
x  ln x

ln( x  ln x) 1  ln(e  1)
e



Vậy I = 2 + ln(e+1).
Câu 16. Tính nguyên hàm sau: 

dx

e 1
x

dx
ex

(
1

 e x  1  e x  1)dx
d (e x  1)
=  dx   x
= x – ln( e x  1 ) + C
e 1

Ta có:

1

Câu 17. Tính tích phân: I   (1  e x ) xdx
0

u  x

du  dx


x
x
dv  (1  e )dx v  x  e

Đặt: 

1

Khi đó: I  x( x  e )   ( x  e x )dx  I  1  e  (
x

1
0

0

x2
 ex )
2

1
0



3
2

e

Câu 18. Tính tích phân I   x3 ln xdx.
1

1
ln x  u  x   x dx  u '  x  dx
Đặt  3

v  x   1 x 4
 x  v '  x 

4

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1 4
1 4 1
e4 1 4 e 3e4  1
I  x .ln x   x . dx   x 
4
4
x
4 16 1
16
1
1
e

e

e

Câu 19. Tính tích phân: I  
1

4  x ln 3 x
dx
x2

e

e
1
ln 3 x
4e
4
I  4 2 dx   2 dx  
 I1    4  I1
x
x
x1
e
1
1
e

ln 3 x
Tính I1   2 dx

x
1

Đặt t  ln x  dt 

1
dx
x

Đổi cận: x  1  t  0; x  e  t  1
1

t4 1 1
I1   t dt 

0
4
4
0
3

y

5

Vậy

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-5

1

Câu 20. Tính tích phân sau I   (2x+e x )dx
0

1

1

1

0

0

0

I    2 x  e x  dx   2 xdx   e x dx  x 2  e x  1  0  e  1  e
1

1

0

0

1

Câu 21. Tính tích phân sau I   2 x  e x  3 dx
0

1

1

1

I   2  e  3 dx    2e  dx 3 2 dx 
x

x

x

0

0

x

0

 2e 

x 1

ln 2e
0

1

2x
 2e  1  3
3


ln 2 0  ln 2e  ln 2

 1
2 ln x  1 
I  

dx
 x x  ln x  1 

1

e

Câu 22. Tính các tích phân sau

e
 1
2 ln x  1 
I  

dx
 x x  ln x  1 
1

e
1
 Tính I1   dx ta được kết quả I1  2
x
1

Nguyễn Văn Lực





e 1

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
dx
x
 Đổi cận x  1  t  0; x  e  t  1

 Đặt ln x  t ta được dt 

1
2t  1
dt   2t  ln  t  1   2  ln 2
0
t 1
0

1

 Khi đó K 2  

 Vậy ta được I  I1  I 2  2 e  ln 2
ln 2

I

Câu 23. Tính các tích phân sau



0

ln 2

I


0

1 

x x
 dx
2e  1 


1 

x x
 dx
2e  1 


 Tính I1 
 Tính I 2 

ln 2

 xdx

0
ln 2

 2e
0

1
2

ta được kết quả I1  ln 2 2

1
x

1

dx

 Đặt e x  t ta được e x dx  dt
 Đổi cận x  0  t  1; x  ln 2  t  2
2

2
dt
5
6
  ln t  ln  2t  1   ln 2  ln  ln
1
3
5

1 t  2t  1
1
6
Vậy ta được L  L1  L2  ln 2 2  ln
2
5

 Khi đó I 2  

e

Câu 24. Tính các tích phân I   x ln xdx
1

1

du

dx

u  ln x
x


2
 dv  xdx v  x

2
e

e

e

x2
x
x2
x2
I  ln x   dx  ln x 
2
2
2
4
1
1
1

e


1

e2  1
4

1

Câu 25. Tính các tích phân I   xe x dx
0

1
1
u  x
du  dx
x 1
. I  xe 0   e x dx  e  e x 0  1


x
x
dv  e dx v  e
0

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
ln 2

2

e x 1 e x dx .

Câu 26. Tính tích phân I
0

Đặt t

e

x

Đổi cận:

x

1

dt

e dx

x

ln 2

t

1

x

0

t

0

1

Suy ra: I

1

t3
3

2

t dt
0

1
3

0

1
.
3

Vậy I

e

4

Câu 27. Tính tích phân I
1

Đặt t

5ln x

t2

x

e

t

3

x

1

t

2

4

Đổi cận:

2
5

Suy ra: I

4

5ln x

3

3

2 3
t
15 2

2

t dt
2

5ln x
dx .
x

2tdt

2 3
3

15

23

5
dx
x

38
15

38
.
15

Vậy I

2

Câu 28. Tính tích phân I

x2

1
2

Ta có: I

2

xdx

2

1

1

2

x2
2

xdx
0

2

Tính
1

2 ln x
dx .
x

ln x
dx
x
2

1

3
2

ln x
dx
x

Đặt t

ln x

Đổi cận:

Nguyễn Văn Lực

dt

1
dx
x

x

2

t

ln 2

x

1

t

0

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
2

Suy ra:
1

3
2

Vậy I

ln 2

ln x
dx
x

tdt
0

ln 2

0

ln 2 2
2

ln 2 2 .
1

(2e
I = 0

Câu 29. Tính tích phân
1

Ta có: I =

t2
2

0

x2

 ex )xdx

.

1

2

2xex dx   xex dx
0

.
1

 e x2 
2xe
dx

e
d
(
x
)
0
I1 = 0
=   0 = e – 1.
1

1

1 x2

x2

2

xe dx
I2 = 0
x

Đặt u = x  du = exdx
dv = exdx  v = ex.
1

1

1

 xex   ex dx
e  ex 
0 = 1.
Suy ra: I2 =   0 0
=

Vậy I = e – 1 + 1 = e.
2

Câu 30. Tính tích phân I
1

u

Đặt

ln x

du

x2 1
dx
x2

dv

v
2

Suy ra: I

x

1
ln x
x
1

1
dx
x
1
x

x
2

x

5
ln 2
2

Vậy I

5
ln 2
2

Nguyễn Văn Lực

1 1
dx
x x

x
1

2

1
ln x
x
1

x2 1
ln xdx .
x2

x

1
x

2

1

3
2

3
.
2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

4.4. Tích phân hàm lượng giác


2

Câu 1. Tính tích phân I   ( x  sin 2 x ) cos xdx.
0







2

2

2

0

0

I   ( x  sin x ) cos xdx   x cos xdx   sin 2 x cos xdx .
2

0

M

N

Tính M
u  x
du  dx

dv  cos xdx v  sin x

Đặt 







2





M  x sin x 2   sin xdx   cos x 2   1.
2
2
0 0
0

Tính N
Đặt t  sin x  dt  cos xdx


 t 1
2
x0t 0
1
3
t 1 1
N   t 2 dt 
 .
3 0 3
0

Đổi cận

x

Vậy I  M  N 



2
 .
2 3

2

Câu 2. .Tính tích phân: I   2 x cos 2 xdx
0





2

2

0

0

I   xdx   x cos 2 xdx




x2
+  xdx 
2
0
2

2



2

0

8


2






2
1
12
+ J   xcos2 xdx  x sin 2 x 02   sin 2 xdx  cos2 x  0
4
20
0
0

I

2
8

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309

www.TOANTUYENSINH.com

2

Câu 3. Tính tích phân I =  ( x  cos2 x) sin xdx .
0








2

2

2

2

0

0

0

I   x sin xdx   cos2 x sin xdx . Đặt I1   x sin xdx, I 2   cos 2 x sin xdx
0



u  x
du  dx

 I1   x cos x
dv  sin xdx v   cos x



Đặt 




2

2

0

0

2

  cos xdx  sin x


2

0

1

0


3

cos x 2 1
 .
3 0 3

I 2   cos2 x sin xdx    cos2 xd (cos x)  
1
3

2
0

4
3

Vậy I  1   .

Câu 4. Tính tích phân: I

cos x )xdx

(1

0

I

cos x )xdx

(1

xdx

0

x cos xdx

0

 Với I 1

x2
2

xdx
0

 Với I 2

0

2

02
2

2

0

2

2

x cos xdx
0

 Đặt

u

x

dv

cos xdx

du

dx

v

sin x

. Thay vào công thức tích phân từng phần ta

được:
I2

x sin x 0

 Vậy, I

0

sin xdx

0

( cos x ) 0

cos x 0

cos

cos 0

2

2

I1

I2

2

2


2

Câu 5. Tính Tích phân I   x cos xdx
0


2

I   x cos xdx ,
0

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
u  x
du  dx


dv  cos xdx v  sin x

Đặt 




2

I  x sin x 02   sin xdx 
0


2



 cos x 02 


2

Câu 6 . Tính tích phân sau: I  


3





2

1



cot  x  
6

3 cos x  sin x



2

dx

 3

1


cos x  sin x   2cos  x  
2
6

 2


+ Ta có: 3 cos x  sinx  2 





cot  x  
2
1

1

6



2 1

+ Do đó: I  
dx  
d tan  x    ln tan  x    ln 3


6 4
6 4

2





4
cos
x

4
tan
x

3




3
3
6
6




2


2

Câu 7. Tính các tích phân: I   sin 2 x. sin 3 x.dx
0



2

Tính các tích phân: I   sin 2 x. sin 3 x.dx
0


2

I =  2 sin 4 x. cos x.dx .
0

Đặt t=sinx => dt=cosxdx
1

1

2
t5
▪ I   2t dt = 2
= .
5 0 5
0
4

Câu 8. Cho hàm số f ( x)  tan x2 cot x  2 cos x  2 cos 2 x  có nguyên hàm là F (x ) và
  
F    . Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số đã cho.
4 2
Tìm nguyên hàm F (x )









F ( x)   tan x 2 cot x  2 cos x  2 cos 2 x dx =  2  2 sin x  sin 2 x dx
 2 x  2 cos x 

cos 2 x
C
2


2

 
F    2.  2.
 0  C   C  1
4
2
2
4
cos 2 x
1
Vậy F ( x)  2 x  2 cos x 
2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

2

Câu 9. Tính tích phân I   2x  1  sin x  dx .
0

I 









2

2

2

2

0

0

0

0

 2x  1  sin x  dx   2x.dx   dx   sin xdx  A  B  C

2

A   2x .dx  x 2
0




2
0



2
4

0


2



C   sin xdx  cosx
0

Vậy I  A  B  C 



2

; B   dx  x 02 




2



1

2
0

2



4


2

1


4

 x tan

Câu 10. Tính tích phân I =

2

xdx

0





4

4



4
1
1
dx   xdx
I =  x( 2  1)dx   x.
cos x
cos 2 x
0
0
0





x2
xdx

0
2

4

4



0

2
32


4

. x
0

1
dx  I1
cos 2 x

u  x
du  dx
Đặt 
dx  
dv 
v  tan x

cos 2 x





4

I1 = x tan x 04   tanxdx 

0

Vậy

I=


4


4

 ln 2 

 ln cos x

2
32


4
0




4

 ln 2 .

.

Câu 11. Tính nguyên hàm I    x  2  sin 3xdx
Tính nguyên hàm I    x  2  sin 3xdx
du  dx

cos 3 x

v

3

 x  2  cos 3x  1 cos 3xdx    x  2  cos 3x  1 sin 3x  C
Do đó: I  
3
3
3
9

u  x  2
Đặt 
, ta được
dv  sin 3xdx

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309

www.TOANTUYENSINH.com


Câu 12. Tính tích phân sau:

I    s inx+ cos x  dx
0







0

0

0

I    s inx  cos x  dx   s inxdx   cos xdx   cos x 0  sin x 0  2






Câu 13. Tính tích phân sau: I    x  sin 2 x  dx
0







1
I    x  sin 2 x  dx   xdx   sin 2 xdx  x 2
2
0
0
0



0



1
2
 cos 2 x 
2
2
0



Câu 14. Tính tích phân sau:

I   1  sin 3 x  cos xdx
0


2

I   1  sin 3 x  cos xdx
0

 Đặt sin x  t  dt  cos xdx

 Đổi cận x  0  t  0; x   t  1
2

1

 t4 
3
 Khi đó I   1  t dt   t   
4 0 4

0
1

3


4

1
dx
sin x cos 4 x

Câu 15. Tính tích phân sau I  

2



6


4

I


1
dx
sin x cos 4 x
2

6

 Đặt cot x  t  dt 
 Đổi cận x 


6

 t  3; x 
2

1

Khi đó I   1  2  dt 
t 
1 
3

1
dx
sin 2 x


4

 t 1
3

2 1
8 3 4

 2 1 
1 1  t 2  t 4 dt   t  t  3t 3  1  27  3
3



Câu 16. Tính tích phân sau: I    s inx  x  sin xdx
0

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com






I    s inx  x  sin xdx   sin xdx   x sin xdx
2

0

0



0



1  cos 2 x
1
dx  
2
2
0

 Đặt I1   sin 2 xdx  
0



 I 2   x sin xdx
0

u  x
du  dx

dv  sin xdx v   cos x

 







 I 2   x cos x 0   cos xdx    s inx 0  
0

3
2

Khi đó I  

2

Câu 17. Tính các tích phân I   x sin xdx
0

u  x
du  dx

dv  sin xdx v   cos x

Đặt 






2

I   x cos x 02   cos xdx  0  0  sinx 02  1
0

4

Câu 18. Tính tích phân I

x 1 sin 2 xdx .
0

Đặt

u
dv

x 1
sin 2 xdx

Suy ra: I

du

dx

v

1
cos 2 x
2

4
1
x 1 cos 2 x
2
0

4
1
x 1 cos 2 x
2
0

Vậy I

4
1
sin 2 x
4
0

4
1
sin 2 x
4
0

3
4

3
.
4

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
4

Câu 19. Tính tích phân I

x 1 sin 2 x dx .
0

4

4

Ta có: I

xdx
0

Đặt

u

0

x

dv

sin 2 xdx

4

Suy ra:

x sin 2 xdx
0

Vậy I

x2
2

x sin 2 xdx

2

32

Nguyễn Văn Lực

4

4

0

du

dx

v

1
cos 2 x
2
4
1
x cos 2 x
2
0

0

1
2

4

2

x sin 2 xdx

4

cos 2 xdx
0

x sin 2 xdx

32

1
2

0

4

cos 2 xdx
0

4
1
sin 2 x
4
0

1
4

1
.
4

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

4.5. Ứng dụng của tích phân
Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x  1 ,trục hoành,
x = ln3 và x = ln8.
Diện tích S 

ln8



e x  1dx ; Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  e x  t 2  1

ln 3

Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx  dx 
3

2t
dt
t 1
2

3

2t 2
2 


dt    2  2
 dt 
2
t

1
t

1


2
2

Do đó S  

t 1  3



 
=  2t  ln
 2  ln   (đvdt)

t 1  2
2

3

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

x 1
và các trục tọa
x2

độ.
0

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (-1; 0). Do đó S  

1

x 1
Ta có S  
dx =
x2
1
0

0

 ( x  3ln x  2 )|

1

0

x 1
dx

x2

3

 (1  x  2 )dx

1

 1  3ln

2
3
 3ln  1
3
2

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  ( x  1) ln x và đường thẳng
y  x  1.

+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1
+ Diện tích cần tìm là:

y

5

x
-8

-6

-4

-2

2

-5

4

6

8

x = 1 hoặc x = e.

e

e

e

1

1

1

S   ( x  1)(ln x  1) dx   ( x  1)(ln x  1)dx   (ln x  1)d (

x2
 x) 
2

e

(

x2
x
1 1

 x )(ln x  1) |1e   (  1)dx     x 2  x  |1e
2
2
2 4

1



2

e  4e  5
(đvdt).
4

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  x2 , trục hoành và
hai đường thẳng x=0, x=2.
y  x2 , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.
Trên [0; 2] ta có x2  0  x  0  [0;2]
Diện tích của hình phẳng đã cho:
2

S
0

2

1
8
x dx  x 3 
3 0 3
2

Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  x2 , y  2 x  3 và
hai đường thẳng x =0, x=2.
Đặt f1 ( x)  x 2 , f 2 ( x)  2 x  3
 x  1 [0;2]
 x  3  [0;2]

Ta có: f1 ( x)  f 2 ( x)  0  x 2  (2 x  3)  0  x 2  2 x  3  0  
Diện tích hình phẳng đã cho
2

S   | x 2  2 x  3 | dx
0

1

2

  ( x  2 x  3)dx   ( x 2  2 x  3)dx
2

0

1
1

2

 x3

 x3

2
   x  3x     x 2  3x 
 3
0  3
1



1
8
1
5 7
 2   4  6  1 3    4
3
3
3
3 3

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  x 2 , y  x  2
 x  1
x  2

Ta có: x 2  ( x  2)  0  x 2  x  2  0  
Diện tích hình phẳng
2

 x3 x 2

8
1 1
9
S   | x  x  2 | dx     2x    2  4    2 
3 2
2
 3 2
 1 3

1
2

2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309