Bài giảng Giải tích 12 chương 2 bài 4: Hàm số mũ Hàm số logarit

Chương II : Bài 4
Tiết 2:

Hàm số mũ - Hàm số lôgarit

Giáo viên: Nguyễn Phan Anh Hùng


Kiểm tra bài củ:
Tính các giá trị cho trong bảng sau:
x

1
2

-2

0

1

2

x

1
4

1

2

4

2

x

1
2

1

2

4

2

-1

0

1

2

2

log2x

1
2


HÀM SỐ MŨ.HÀM SỐ LÔGARIT
A.
1.

Mục đích, yêu cầu
Hiểu và biết vận dụng định nghĩa, các công thức tính đạo hàm và
tính chất của hàm số mũ lôgarit.
2.
Biết các dạng đồ thị của hàm lôgarit.
3.
Biết vận dụng được tính chất để giải toán.
B.
Nội dung bài học
II. Hàm số lôgarit.
1.
Định nghĩa.
2.
Đạo hàm của hàm số lôgarit.
3.
Khảo sát hàm số lôgarit y = log a x ( a > o, a ≠ 1) .
C.
Tiến trình bày học


II. HÀM SỐ LÔGARIT:

1.Định nghĩa:
Cho số thực dương a khác 1 :
Hàm số y = logax được gọi là hàm logarit cơ số a
Ví dụ 5 :

Các hàm số

y = log 3 x ; y = log 1 x

; y = log

2

y = ln x ; y = log x
Là những hàm số lôgarit lần lượt có cơ số là :

1
3; ; 7 ; e ;10
2

7

x ;


PHIẾU HỌC TẬP 1
Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số lôgarit.
Khi đó cho biết cơ số :

a ) y = log 2 x

d ) y = log x 5

b) y = log 1 x

c) y = log x (2 x + 1)

4

e) y = lnx

Đáp án:

a ) y = log 2 x

Hàm số lôgarit cơ số a = 2

b) y = log 1 x

Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4

4

c) y = log x (2 x + 1)

Không phải hàm số lôgarit

d ) y = log x 5

Không phải hàm số lôgarit

e) y = lnx

Hàm số lôgarit cơ số a = e


2. Đạo hàm của hàm số lôgarit :
Ta có định lý sau :
Định lý 3 :
Hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại
mọi x > 0

1
( log a x ) =
x.ln a
'

Đặc biệt :

1
( ln x ) =
x
'

Chú ý : Công thức đạo hàm hàm hợp với y = loga u(x) là :

u'
( log a u ) =
u.ln a
'

PHIẾU HỌC TẬP 2 :
Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a / y = log 3 ( x 2 + 2 x)

b / y = log 0,2 (4 − x 2 )
1
c / y = log 2
3− x
2
d/y=
log 4 x − 3


Đáp án:
a/Hàm số xác định khi x 2 + 2 x > 0 hay x<-2 hoặc x>0
Vậy TXĐ : D=(-∞;-2) U (0;+ ∞)
2
b/ Hàm số xác định khi 4 − x > 0 ⇔ −2 < x < 2

Vậy TXĐ : D=(-2;2)
c/ Hàm số xác định khi
Vậy TXĐ : D=(- ∞;3)

1
>0⇔ x<3
3− x

x > 0
d/ Hàm số xác định khi  x > 0
⇔
log
x
≠
3
 x ≠ 64
 4

Vậy TXĐ : D=(0;64) U (64;+ ∞)


Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :
y = log2(2 + sinx).
Giải:

( 2 + sin x )'
cos x
y' =
=
( 2 + sin x ). ln 2 ( 2 + sin x ). ln 2
PHIẾU HỌC TẬP 3:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Nhóm 1: a ) y = log 3 (− x 3 + 2 x + 1)

2
b
)

y
=
ln(
x
− x + 1)
Nhóm 2:
2
c
)
y
=
log
(
x
+1)
Nhóm 3:
2

Nhóm 4: d ) y = ln( 1 + x )
2


PHIẾU HỌC TẬP 3:
Đáp án:

(− x 3 + 2 x + 1) '
−3 x 2 + 2
a) y ' =
=
3

(− x + 2 x + 1).ln 3 ( − x 3 + 2 x + 1).ln 3

( x 2 − x + 1) '
2x −1
b) y ' = 2
= 2
x − x +1
x − x +1
( x 2 +1) '
2x
c) y ' = 2
= 2
( x +1) ln 2 ( x +1) ln 2
( x 2 + 1) '
( x 2 + 1) '

2x

2
2
x
2
x
+
1
2
x
+1 =
d)y ' =
=

=
x + x 2 + 1 x + x 2 + 1 x + x 2 + 1 ( x + x 2 + 1). x 2 + 1


3.Khảo sát hàm số y = logax .

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số logarit y = logax .
+ Tập xác định :

(0 : +∞)

+ Sự biến thiên Đạo hàm :

1
y' =
x.ln a

Nếu a > 1

=> y’ > 0 => hàm số đồng biến trên (0 ; +∞)

Nếu 0 < a < 1

=> y’ < 0 => hàm số nghịch biến trên (0 ; +∞)

+ Tiệm cận :
Khi a > 1

lim+(log a x ) =−∞; lim (log a x ) =+∞

x →0

x →+∞

(log a x ) =+∞; lim (log a x ) =−∞
Khi 0 < a < 1 xlim
+
x →+∞
→0

KL về tiệm cận :
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục tung


+ Bảng biến thiên :
a>1

x
y’
y

0

+∞
+

-∞
+∞

0

x

0

y’
y

+∞

+∞
-∞

+Đồ thị :
Cho x = 1 ==> y = 0
Cho x = a ==> y = 1
Nhận xét : Đồ thị nằm bên phải trục tung Oy.


y
3

a>1
2

1

-1

o

•1

x
2

3

4

5

6

7

-1

-2

0< a < 1


4

y=x

y=3x

y

3

2

y=log3x

1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

NHẬN XÉT :
Đồ thị hàm số mũ y = ax và đồ thị hàm số logarit
y=logax đối xứng nhau qua đường phân giác của
góc phần tư thứ nhất y = x


CỦNG CỐ :
Nhắc lại các công thức đạo hàm đã học trong bài.
Haøm soá logarit

( ln x ) ' =

( log a x ) ' =

1
x

1
x.ln a

Hàm số hợp

(ln

( log

u

a

) ' =uu '

u )'=

u'
u.ln a


Nhc li bng túm tt cỏc tớnh cht ca
hm s lụgarit y = logax
Tp xỏc nh
ẹaùo haứm

(0 ; + )

y' =

1
x ln a

a > 1 : Hm s luụn ng bin
Chiu bin thiờn
0 < a < 1 : Hm s luụn nghch bin
Tieọm caọn

Tim cn ng l trc Oy

th

Luụn i qua im (1;0) , (a;1)
V nm v phớa phi trc tung


Bài tập:

Câu 1 : Tìm mệnh đề sai :
A

B
C

D

( x .e ) ' = (2 x + 2 x)e
( x .ln x ) ' = (2 ln x + 1).x
2

2x

2

2x

2

( 2 .x ) ' = 3x 2 .ln 2
x

3

2

x

2x
( log 2 ( x + 1) ) ' = ( x 2 + 1).ln 2
2


A. ( x .e
2

2x

) ' = 2 x.e

2x

+ x .2e
2

2x

= (2 x + 2 x)e
2

2x

1
B. ( x .ln x ) ' = 2 x.ln x + x . = (2 ln x + 1).x
x
x 3
x
3
x
2
x 2
C. ( 2 .x ) ' = 2 .ln 2.x + 2 3 x = 2 x ( x ln 2 + 3)
2

2

( x + 1) '
2x
D. ( log 2 ( x + 1) ) ' = 2
= 2
( x + 1).ln 2 ( x + 1).ln 2
2

2

Vậy : Mệnh đề C là mệnh đề sai
Câu 2


Câu 2 : Hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó ?

A

y = 2-x

B

e x − e− x
y=
2

C
D

S

y = log 2 x
3

1 
y = log 2  ÷
x

S
S


A) y = 2-x =(1/2)x => Hàm số nghịch biến trên R
e x − e− x
e x + e− x
B) y =
⇒ y' =

> 0 ∀x ∈ R
2
2

=> Hàm số đồng biến R

C ) y = log 2 x
3

=> Hàm số nghịch biến (0; + ∞ )

1 
D ) y = log 2  ÷=−log 2 x
x 
=> Hàm số nghịch biến (0; + ∞ )


HƯỚNG DẪN TỰ HỌC Ở NHÀ :
+ Làm bài tập : từ bài 1 đến bài 5 SGK trang 77-78 .
+ Bài tập làm thêm :
Bài 1 : Tìm tập xác định của hàm số :
 1 
2
b
)
y
=
log
a) y = ln( - x + 5x – 6)
÷

5 
6− x 

Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau :
a) y = e

(

cos 2 x

b) y = 2

d ) y = ln x + x 2 + 1

x −1
x +1

c) y = ( x + 1)
2

x

)

Bài 3 : Cho hàm số y = esinx . CMR : y’.cosx – y.sinx – y” = 0 .
Bài 4 : Cho hàm số y = x[cos(lnx)+ sin(lnx)] với x > 0 .
CMR : x2.y” – x.y’ + 2y = 0 .


EM CÓ BIẾT ?

John Napier (1550 – 1617)
Ôâng đã bỏ ra 20 năm ròng rã
mới phát minh được hệ thống
logarittme. . .
Việc phát minh ra logarithme đã
giúp cho Toán học Tính toán
tiến một bước dài, nhất là trong
các phép tính Thiên văn .