Bài giảng Giải tích 12 chương 2 bài 4: Hàm số mũ Hàm số logarit

Tính các giá trị cho trong bảng sau:
x

1
2

-2

0

1

2

x

1
4

1

2

4

2

x

1
2

1

2

4

2

-1

0

1

2

2

log2x

1
2


II. HÀM SỐ LÔGARIT:

1.Định nghĩa:

Cho số thực dương a khác 1 :
Hàm số y = logax được gọi là hàm logarit cơ số a
Ví dụ 1 :

Các hàm số

y = log 3 x ; y = log 1 x
2

y = ln x ; y = log x

; y = log

7

x ;


VD1
Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số lôgarit.
Khi đó cho biết cơ số :

a ) y = log 2 x

d ) y = log x 5

b) y = log 1 x
4

e) y = lnx

c) y = log x (2 x + 1)


2. Đạo hàm của hàm số lôgarit :
Ta có định lý sau :
Định lý 3 :
Hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại
mọi x > 0

1
( log a x ) =
x.ln a
'

Đặc biệt :

1
( ln x ) =
x
'

Chú ý : Công thức đạo hàm hàm hợp với y = loga u(x) là :

u'
( log a u ) =
u.ln a
'

Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :
a) y= log2 x
b)y = log2(2 + sinx).
Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :

ln( x + x 2 + 1)


Khảo sát hàm số y = log a x
a>1
+ Tập xác định : (0 : +∞)
+ Sự biến thiên Đạo hàm :
1
y' =
x.ln a
=> y’ > 0 => hàm số đồng biến
trên (0 ; +∞)
+ Tiệm cận :
lim (log a x ) = − ∞

x → 0+

lim (log a x ) = + ∞

x →+∞

KL về tiệm cận :
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
là trục tung

0+ Tập xác định : (0 : +∞)
+ Sự biến thiên Đạo hàm :
y' =

1
x.ln a

=> y’ < 0 => hàm số nghịch
biến trên (0 ; +∞)
+ Tiệm cận :

lim+ (log a x ) = + ∞

x →0

lim (log a x ) = − ∞

x →+∞

KL về tiệm cận :
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
là trục tung


+ Bảng biến thiên :
a>1

x
y’

y

0

+∞
+

-∞
+∞

0
x

0

y’
y

+∞

+∞
-∞

+Đồ thị :
Cho x = 1 ==> y = 0
Cho x = a ==> y = 1
Nhận xét : Đồ thị nằm bên phải trục tung Oy.

y
3

a>1
2

1

-1

o

•1

x
2

3

4

5

6

7

-1

-2

0< a < 1


4

y=x

y=3x

y

3

2

y=log3x

1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

NHẬN XÉT :
Đồ thị hàm số mũ y = ax và đồ thị hàm số logarit
y=logax đối xứng nhau qua đường phân giác của
góc phần tư thứ nhất y = x


Nhắc lại các công thức đạo hàm đã học trong bài
Haøm soá logarit

( ln x ) ' =

( log a x ) ' =

1
x

1

x.ln a

Hàm số hợp

( ln

( log

u

a

)

' =

u )'=

u'
u

u'
u.ln a


Nhc li bng túm tt cỏc tớnh cht ca
hm s lụgarit y = logax
Tp xỏc nh

(0 ; + )

ẹaùo haứm

y' =

1
x ln a

a > 1 : Hm s luụn ng bin
Chiu bin thiờn
0 < a < 1 : Hm s luụn nghch bin
Tieọm caọn

Tim cn ng l trc Oy

th

Luụn i qua im (1;0) , (a;1)
V nm v phớa phi trc tung


Bài tập:

Câu 1 : Tìm mệnh đề sai :
A

B
C

D

( x .e ) ' = (2 x + 2 x)e
( x .ln x ) ' = (2 ln x + 1).x
2

2x

2

2x

2

( 2 .x ) ' = 3x 2 .ln 2
x

3

2

x

2x
( log 2 ( x + 1) ) ' = ( x 2 + 1).ln 2
2


A. ( x .e
2

2x

) ' = 2 x.e

2x

+ x .2e
2

2x

= (2 x + 2 x)e
2

2x

1
B. ( x .ln x ) ' = 2 x.ln x + x . = (2 ln x + 1).x
x
x 3
x
3
x
2
x 2
C. ( 2 .x ) ' = 2 .ln 2.x + 2 3 x = 2 x ( x ln 2 + 3)
2

2

( x + 1) '
2x
D. ( log 2 ( x + 1) ) ' = 2
= 2
( x + 1).ln 2 ( x + 1).ln 2
2

2

Vậy : Mệnh đề C là mệnh đề sai
Câu 2


Câu 2 : Hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó ?

A

Y = 2-X

B

e x − e− x
y=
2

C

y = log 2 x

D

1
y = log 2  ÷
x

3


A) y = 2-x =(1/2)x => Hàm số nghịch biến trên R
e x − e− x
e x + e− x
B) y =
⇒ y' =
> 0 ∀x ∈ R
2
2

=> Hàm số đồng biến R

C ) y = log 2 x
3

=> Hàm số nghịch biến (0; + ∞ )

1
D ) y = log 2  ÷ = − log 2 x
x
=> Hàm số nghịch biến (0; + ∞ )

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC Ở NHÀ :
+ Làm bài tập : từ bài 1 đến bài 5 SGK trang 77-78 .
+ Bài tập làm thêm :
Bài 1 : Tìm tập xác định của hàm số :
 1 
2
b
)
y
=
log
a) y = ln( - x + 5x – 6)
÷
5 
6− x 

Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau :
a) y = e

(

cos 2 x

b) y = 2

d ) y = ln x + x 2 + 1

x −1
x +1

c) y = ( x + 1)
2

x

)

Bài 3 : Cho hàm số y = esinx . CMR : y’.cosx – y.sinx – y” = 0 .
Bài 4 : Cho hàm số y = x[cos(lnx)+ sin(lnx)] với x > 0 .
CMR : x2.y” – x.y’ + 2y = 0 .


EM CÓ BIẾT ?

John Napier (1550 – 1617)
Ôâng đã bỏ ra 20 năm ròng rã
mới phát minh được hệ thống
logarittme. . .
Việc phát minh ra logarithme đã
giúp cho Toán học Tính toán
tiến một bước dài, nhất là trong
các phép tính Thiên văn .