Bài giảng Giải tích 12 chương 2 bài 4: Hàm số mũ Hàm số logarit

Giải tích 12
Chương trình chuẩn


HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT

1. Định nghĩa: cho a là một số dương và khác 1
Hàm số dạng y = a x được gọi là hàm số mũ cơ
số a.
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
Hàm số y = e có đạo hàm tại mọi x và
x

(e ) ' = e
x

x

Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi x và
(ax)’ = ax .lna
Đặc biệt :
Đối với hàm hợp y = au(x) ta có:
(au)’ = au .lna. u’

I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:
2. Đạo hàm của hàm số mũ:


HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ

LÔGARIT

3. Khảo sát hàm số mũ:
a>1

I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:

+ TXĐ: D = R , TGT: (0; +∞)
x
+ y’ = a ln a > 0, với mọi x ∈R
+ Hàm số đồng biến trên R

2. Đạo hàm của hàm số mũ:
3. Khảo sát hàm số mũ:

× lim a x = + ∞ ; lim a x = 0
x → +∞

x → −∞

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, qua các điểm
(0; 1), (1; a) và nằm phía trên trục hoành.
+BBT:
x −∞

0

+

y’

+

1

1 a

y

0

y

+Đồ thị:

y = ax

a
1
O

+

1

x

+∞

+∞


3. Khảo sát hàm số mũ:

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT

0
I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:

+ TXĐ: D = R , TGT: (0; +∞)
x
+ y’ = a ln a < 0, với mọi x ∈R
+ Hàm số nghịch biến trên R

2. Đạo hàm của hàm số mũ:

× lim a x = 0 ; lim a x = + ∞
x →+∞

3. Khảo sát hàm số mũ:

x →−∞

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, qua các điểm (0;
1), (1; a) và nằm phía trên trục hoành.
+BBT:

x −∞
1
0

-

y’
y

-

+∞ 1
y

+ Đồ thị:

a
O

y = ax

1
1

x

a

-

+∞
0


HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT

1. Định nghĩa: cho số thực dương a khác 1
Hàm số dạng y = log a x được gọi là hàm số
lôgarit cơ số a
Chú ý:

y = logx (hoặc lgx) : hàm số lôgarit cơ số 10
y = lnx : hàm số lôgarit cơ số e

I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
3. Khảo sát hàm số mũ:
II. Hàm số lôgarit :
1. Định nghĩa


H1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là
? hàm số logarit ? Với cơ số bao nhiêu
a ) y = log
b ) y = log
c) y = 2

log

x

2

x

1
2
2

Là hàm số logarit với cơ
số 2
Là hàm số logarit với cơ
số 1
2

3

x

d ) y = ( 2 )
e ) y = ln x
f ) y = log x

x

Là hàm số logarit với cơ
số e
Là hàm số logarit với cơ

số 10


HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT

2. Đạo hàm của hàm số lôgarit:
Định lý 3:
Hàm số y = logax (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi

1
.
x > 0 và ( log a x ) ' =
x ln a
Chú ý:

1) Đối với hàm số y = logau(x), ta có

u'
( loga u ) ' =
u ln a
2) Đối với hàm số y = ln x, ta có

1
( ln x ) ' = .
x

3) Đối với hàm số y = ln u(x), ta có
'
u

(ln u ) ' =
u

I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
3. Khảo sát hàm số mũ:
II. Hàm số lôgarit :
1. Định nghĩa
2. Đạo hàm hàm lôgarit:


2. Đạo hàm của hàm số lôgarit:

1
.
( loga x ) ' =
x ln a
1
( ln x ) ' = .
x

u'
.
( loga u ) ' =
u ln a
'
u
(ln u ) ' =
u

Ví dụ: Hàm số y = log3(x +1) có đạo hàm là
2

2
(x
+ 1)'
2x
2
y ' = log3 (x + 1) ' = 2
= 2
.
(x + 1) ln 3 (x + 1) ln 3

(

)

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hs y = ln(x 2 + x + 1)

(x 2 + x +1) '
2x +1
y' = 2
= 2
x + x +1
x + x +1

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT
I. Hàm số mũ :

1. Định nghĩa:
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
3. Khảo sát hàm số mũ:
II. Hàm số lôgarit :
1. Định nghĩa
2. Đạo hàm hàm lôgarit:


KHẢO SÁT HÀM SỐ LÔGARIT. 3

y = log a x( a〉0, a ≠ 1)

y =log a x ( a〉1)

y = log a x (0〈a 〈1)

1. Tập xác định: (0;+∞)
2. Sự biến thiên:

1. Tập xác định:(0;+∞)
2. Sự biến thiên:

1
〈0, ∀x ∈ ( 0;+∞ )
y’=
x ln a

1
> 0, ∀x ∈(0;+∞)
y’=

x ln a

Giới hạn đặc biệt:

lim log a x = − ∞

Giới hạn đặc biệt:

+∞
lim log a x =

x →0 +

x→
0+

−∞
lim log a x =

lim log a x =+ ∞

x →+∞

x→
+∞

Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng
3. Bảng biến thiên:
x
+∞

0

y’

+

y

−∞

1

0

a

+

1

Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng
3. Bảng biến thiên
x
+∞
1

0

y’

+
+∞

y

a

- - -

+∞

1

0

−∞


ĐỒ THỊ. 4

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT
I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
3. Khảo sát hàm số mũ:
II. Hàm số lôgarit :
1. Định nghĩa
2. Đạo hàm hàm lôgarit:

Khảo sát hàm số lôgarit.3
Đồ thị. 4


ĐỒ THỊ. 4

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT
I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
3. Khảo sát hàm số mũ:
II. Hàm số lôgarit :
1. Định nghĩa
2. Đạo hàm hàm lôgarit:
khẢo sát hàm sỐ lôgarit. 3
đỒ thỊ. 4


Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số

y = log a x (0 < a ≠1)

Tập xác định
Đạo hàm
Chiều biến thiên

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT
I. Hàm số mũ :

1. Định nghĩa:

(0;+∞)

2. Đạo hàm của hàm số mũ:

1
y' =
x ln a

II. Hàm số lôgarit :

a>1: Hàm số tăng
a>1: Hàm số giảm>0

Tiệm cận

Trục Oy là tiệm cận
đứng

Đồ thị

Qua các điểm (1;0),
(a;1); nằm phía bên
phải trục Oy

3. Khảo sát hàm số mũ:
1. Định nghĩa
2. Đạo hàm hàm lôgarit:
khẢo sát hàm sỐ lôgarit. 3

đỒ thỊ. 4


VẬN DỤNG : khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau

y =log a x ( a〉1)

y = log x
3

y = log 3 x

1. Tập xác định: (0;+∞)
1. Tập xác định: (0;+∞)
2. Sự biến thiên:
2. Sự biến thiên:
y’= 1 > 0, ∀x ∈(0;+∞) y’= 1 > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )
x ln a
x ln 3
Giới hạn đặc biệt:

lim log a x =− ∞

Khảo sát hàm số lôgarit. 3

x→
+∞

y’

1

+ +
0

y

−∞

a +∞
+

1

+∞

3. Khảo sát hàm số mũ:
II. Hàm số lôgarit :

lim log 3 x =+∞

lim log a x = + ∞
x →+∞

0

2. Đạo hàm của hàm số mũ:

1. Định nghĩa

x→
0

x

I. Hàm số mũ :
1. Định nghĩa:

Giới hạn đặc biệt:
lim+ log 3 x =−∞

x →0 +

Tiệm cận: Trục Oy là tc đứng
3. Bảng biến thiên:

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARIT

Tiệm cận: Trục Oy là tc đứng
3. Bảng biến thiên
x

0

y’

+

y

−∞

3

1

+
0

+∞

+
1 +∞

2. Đạo hàm hàm lôgarit:
đỒ thỊ. 4


4

y=x

y=3x

y

3

2

y=log3x

1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

Nhận xét:
Dồ thị hàm số mũ y = ax và đồ thị hàm số logarit y=logax đối

xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x


Củng cố
Câu1 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit
(a) y = logxx +1
(b) y = log2x
(c) y = lnx
(d) y = log-32 (x + 1)
(c)
Câu2 : Tập xỏc định của hàm số y = log0,5x là
(a)
(a) (0; +∞)
(b) (0; 2)
(c) (-∞; 0]
(d) (2; +∞)
Câu 3: Cho hàm số y = log3(x2 +x + 1). Đạo hàm của hàm số đó là
(a ) y ' =

2x + 1
( x 2 + x + 1)log3

2x + 1
(c ) y ' = 2
x + x +1

(b) y ' =
(b)

2x + 1

( x 2 + x + 1)ln 3

(d ) y ' =

2x + 1
( x 2 + x + 1)log 2 3


Củng cố
Câu4 : Hàm số y = log3x
(a) hàm số đồng biến
(a)

(b) hàm số nghịch biến

Câu5 : Hàm số y = log0,5x
(a) hàm số đồng biến

(b) hàm số nghịch biến