Bài giảng Giải tích 12 chương 2 bài 4: Hàm số mũ Hàm số logarit

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO)
Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT

1


NỘI DUNG BÀI HỌC
Kiểm tra bài cũ
TIẾT 1

1. Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit.
2. Một số giới hạn liên quan

TIẾT 2

TIẾT 3

3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit
4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ,
hàm số lôgarit
Củng cố
Bài tập làm thêm
2


KIỂM TRA BÀI CŨ :
Câu hỏi : Viết công thức tính lãi kép .
Aùp dụng : Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân
hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất
7,56% một năm . Hỏi số tiền người đó nhận được (cả
vốn lẫn lãi) sau 2 năm, sau 5 năm là bao nhiêu triệu

đồng .(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )

3


TRẢ LỜI :
Công thức : C= A(1 + r)N
A : Số tiền gửi ban đầu
r : lãi suất
N : Số kì hạn
C : Số tiền thu được ( cả vốn lẫn lãi )
Aùp dụng :

C= 15(1 + 0,0756)N
N=2:

C = 17 triệu 35

N=5:

C = 21 triệu 59

4


PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu 1 : Tính các giá trị cho trong bảng sau
x

-2

0

1

2

2x

1
4

1
2

1

2

4

2

2

4

2

x

log2x

1
2

-1

1

0

1

2

1
2

5


1. Khái niệm hàm số muÕ, hàm số lôgarit :
a)Định nghĩa : Cho a là số thực dương, khác 1.
+ Hàm số y = ax , xác định trên R
được gọi là hàm số mũ cơ số a .
+ Hàm số y = loga x , xác định trên (0; + ∞) được
gọi là hàm số lôgarit cơ số a .
b) Chú ý :
+ Hàm số y = ex kí hiệu y = exp(x).
+ Hàm số y =logx = log10x (hoặc y= lgx) ,

+ Hàm số y = lnx = logex .

6


PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu 2 : Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số
mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số :
x
3

f ) y = log 3 x

−x

g ) y = log 1 x

a) y = 5
b) y = 4

4

c) y = π x
d) y =

( x)

e) y = xx .

3

h) y = log x 5
i) y = lnx

j ) y = log x (2 x + 1)

7


TRẢ LỜI
x
3

a) y = 5 =

( 5)

x

3

Hàm số mũ cơ số a =

3

5

x

b) y = 4 − x

1
= ÷
4

Hàm số mũ cơ số a = π

c) y = π x
d) y =

( x)

e) y =
xx .

Hàm số mũ cơ số a = 1/4

3

Không phải hàm số mũ
Không phải hàm số mũ

8


TRẢ LỜI

f ) y = log 3 x

Hàm số lôgarit cơ số a = 3

g ) y = log 1 x

Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4

4

h) y = log x 5

Không phải hàm số lôgarit

i)

Hàm số lôgarit cơ số a = e

y = lnx

j ) y = log x (2 x + 1)

Không phải hàm số lôgarit

9


2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ, hàm số lôgarit :
a) Tính liên tục
Các hàm số y = ax, y = logax liên tục trên tập xác định của nó :

∀x0 ∈ R, lim a x = a x0
x → x0

∀x0 ∈ (0; +∞) , lim log a x = log a x0
x → x0

10


Ví dụ : Tính các giới hạn sau :

a) lim e

1
x

x →∞

b) lim ( log 2 x )
x →8

 sin x 
c) lim  ln
÷
x →0
x



11

GIẢI
a) Khi x  + ∞ ⇒ 1/x  0 . Do đó :
1
x

lim e = e0 = 1
x →∞

b) lim ( log 2 x ) = log 2 8 = 3
x →8

c) Khi x  0 ⇒

Do đó :

sin x
lim
=1
x →0
x
 sin x 
lim  ln
= ln1 = 0
÷
x →0
x 

12

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
t

t

1) Các em đã biết : lim 1 + 1 ÷ = e ; lim 1 + 1 ÷ = e
x →+∞
x →−∞
 t
 t
1
Đặt : x = 1 . ⇒
lim ( 1 + x ) x = e (1)
x →0
t
1
ln(1 + x)
2)
= ln(1 + x) x
x
Aùp dụng công thức (1) . Do tính liên tục của
hàm số lôgarit , ta có :
1
ln(1 + x)
lim
= lim ln(1 + x) x = ln e = 1
x →0
x →0
x

3)

Đặt t = ex = t => ex = t + 1 => x = ln(1 + t )
Khi x  0 khi và chỉ t  0

e x −1
t
1
lim
= lim
= lim
=1
Do đó : x →0 x
t →0 ln(1 + t )
t →0 ln(1 + t )
t

13


b) ĐỊNH LÝ 1 :

ln(1 + x)
lim
= 1 (2)
x →0
x

e −1
lim

= 1 (3)
x →0
x
x

14


Aùp dụng : Tính các giới hạn sau :

e3 x + 2 − e 2
a ) lim
x
x →0

ln(1 + 3 x)
b) lim
x
x →0

15


GIẢI

a)

lim
x →0

e

3x+2

−e
e .e − e
= lim
x
x
x →0
2

3x

2

2

3x
e 2 (e3 x − 1)
(
e
− 1)
2
= lim
= 3e lim
= 3e
x
3x
x →0

x →0

ln(1 + 3 x)
ln(1 + 3 x)
b) lim
= 3lim
=3
x
3x
x →0
x →0

16


3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôragit :
a) Đạo hàm của hàm số mũ :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
a) Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số :
b) Aùp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= ex
Cho x số gia ∆x
+ ∆y = f(x + ∆x ) – f(x) = ex + ∆x – ex = ex(e∆x – 1).
∆x
∆y
e x (e ∆x − 1)
(
e
− 1)
x
+ lim

= lim
= e lim
= ex
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x

+ Kết luận : (ex)’ = ex .

17


PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
c) Chứng minh (ax)’ = ax. lna .
Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e

a= elna => ax = e(lna)x = ex.lna .
Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp . Ta có :

(a )' = (e
x

x ln a

)' = e

x ln a

( x. ln a)' = a . ln a
x

18


ĐỊNH LÝ 2 :
i) Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và

.

(ax)’ = ax .lna
Đặc biệt :
(ex)’ = ex .
ii) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số
y = au(x) có đạo hàm trên J và
(au(x))’ = u’(x).au(x) .lna
Đặc biệt :
(eu(x))’ =u’(x)eu(x) .

19


Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1) y = (x2 + 2x).ex .

2) y = e .sin x
x

3) y = 2 .( x + 2)

x

3

20


GIẢI :

1)y = (x2 + 2x).ex .

y’= (2x + 2)ex + (x2 + 2x).ex
y’ = (x2 + 4x + 2).ex

2) y = e .sin x
x

y' =

( )

x '.e x .sin x + e x .co s x

 1

y' = e 
sin x + cos x ÷
2 x

x

3) y = 2 .( x + 2)
x

3

y ' = 2 x ln 2.( x 3 + 2) + 2 x.3 x 2
y ' = 2 x [ln 2.( x 3 + 2) + 3 x 2 ]

21


b) Đạo hàm của hàm số loragit :
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
a) Aùp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= lnx
Cho x > 0 số gia ∆x
+ ∆y = f(x + ∆x ) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx
= ln

x + ∆x
 ∆x 
= ln1 +

x
x



 ∆x 
 ∆x 

ln1 +
ln1 +


∆y
x  1
x  1


lim
= lim
= lim
=
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x
∆x
x ∆x →0
x
x
1
Do đó :
(ln x)' =
x

22


PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
b) Chứng minh :

1
( log a x ) ' =
x.ln a

Aùp dụng công thức đổi cơ số a về cơ số e . Ta có :

ln x
log a x =
. Suy ra :
ln a
1
1
( log a x ) ' = (ln x) ' =
ln a
x.ln a

23


ĐỊNH LÝ 3 :
i) Hàm số y =logax có đạo hàm tại mọi điểm x> 0 và

( log a x ) ' =
Đặc biệt :

1
x. ln a

( ln x ) ' =

1
x

ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên tập J
thì hàm số y = logau(x) có đạo hàm trên J và
u '( x)
( log a u ( x) ) ' =
u ( x ).ln a

Đặc biệt :

u '( x)
( ln u ( x) ) ' =
u ( x)

24


Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1) y = (x2 + 1).lnx
2) y = ln(x2 – x + 1)
3) y = log2(2 + sinx).

25