Bài giảng Giải tích 12 chương 2 bài 4: Hàm số mũ Hàm số logarit

TRƯỜNG THCS – THPT LƯƠNG HÒA

Tuần 12: Tiết 34
S4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
S
LÔGARIT


● Tính các giá trị cho trong bảng sau:
x

-2
y = 2x

1
4

0

1

1

1

2

2

2

2

4

Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định
x
được một giá trị 2 (duy nhất)
Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định
x
được một giá trị y = a (duy nhất)


I. Hàm số mũ
Cho a là số thực dương khác 1

1. Định nghĩa:

x

Hàm số mũ cơ số a là hàm số có dạng: y = a
Ví dụ: Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số
mũ. Khi đó xcho biết cơ số :

a) y = 5 3 =
b) y = 4

−x

c) y = π
d) y =

x

( x)

( 5)
3

1
= 
4
3

x

Hàm số mũ cơ số a =

3

5

x

Hàm số mũ cơ số a = 1/4
Hàm số mũ cơ số a = π
Không phải hàm số mũ


2. Đạo hàm của hàm số mũ
t

► Chú ý:
► Định lí 1:

e −1
lim
=1
t →0
t

Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và

(ex)’ = ex
Nêu các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = f(x) tại
điểm x?
* Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bước 1 : Giả sử ∆x là số gia của x, tính ∆y=f(x+∆x)-f(x)
∆y
Bước 2 : Lập tỉ số
∆x

∆y
lim
Bước 3 : Tính ∆→
x 0 ∆x


2. Đạo hàm của hàm số mũ
► Định lí 1:
Chú ý:

(e )' = e (∀x ∈ ¡ )
u
u
( e ) ' = u '.e (u = u( x))
x

x

● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

a ) y = x.e
b) y = e

x

x 2 −2 x


2. Đạo hàm của hàm số mũ
► Định lí 1:
Chú ý:

(e )' = e (∀x ∈ ¡ )
u
u
( e ) ' = u '.e (u = u( x))
x

x

● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a ) y = x.e x

( ) = e x + x.e x

⇒ y ' = ( x ) '.e + e '.x
x

b) y = e

(

x

x 2 −2 x

)

⇒ y ' = x − 2 x '.e
2

x2 −2 x

= ( 2 x − 2).e

x 2 −2 x


2. Đạo hàm của hàm số mũ

► Định lí 2:

Hàm số y = ax ( a > 0, a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và
(ax) ’ = ax . lna
Chứng minh:
Ta cĩ: a = elna
⇒ax = (elna) x = ex.lna .
Do đĩ theo cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp:

( a ) ' = (e
x

x ln a

)' = e

x ln a

( x.ln a) ' = a .ln a
x


2. Đạo hàm của hàm số mũ

(a )'=a
x

► Định lí 2:
Chú ý:

x

ln a (a > 0, a ≠ 1, ∀x ∈ ¡ )

( a ) ' =a
u

u

.u '.ln a

( a > 0, a ≠1, u = u ( x ))
● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
x 2 + x +1
x
b) y = 8
a) y = 2
⇒ y ' = 2 . ln 2
x

⇒ y' = 8

x 2 + x +1

=8

(

)

. ln 8. x + x + 1 '
2

.( 2 x + 1). ln 8

x 2 + x +1


Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax (a >0, a khác 1)
a>1

0
B1:TXĐ
B2:SBT
*Đạo hàm
*CBT
*Giới hạn
đặc biệt

•D = R

• y’ = ax lna >0 với mọi x
• Hàm số ĐB trên R
lim a x = +∞; lim a x = 0

• y’ = ax lna < 0 với mọi x
• Hàm số NB trên R
lim a x = +∞ , lim a x = 0

*Tiệm cận

•ĐTHS nhận trục Ox làm tiệm
cận ngang

•ĐTHS nhận trục Ox làm tiệm
cận ngang

*BBT

D=R

x →+∞

x →−∞

B3: Đồ thị

y

O

1

x →+∞

y

y = ax

a
1

x →−∞

y = ax
x

a
O

1
1

x


y = ax (0
y = ax (a>1)
y

6
5
4

•

3

•

2

•

1

x
-4

-3

-2

-1

O

1

2

-1
-2

y=a

x

3

4

5

6

7


Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = ax (a>0, a khác 1)
Tập xác định
Đạo hàm
Chiều biến thiên

( − ∞;+∞ )
y ' = a . ln a
x

a>1: Hàm số luôn đồng biến
0
Tiệm cận

Trục Ox là tiệm cận ngang

Đồ thị

Đi qua các điểm (0;1) và (1;a),

nằm phía trên trục hoành

(y = a

x

> 0, ∀x ∈ R

)


CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Hàm số mũ cơ số a là hàm số có dạng
1)
Một số qui tắc tính đạo hàm

x

y = a (a dương và khác

et −1
lim
=1
t →0
t
(e x ) ' = e x (∀x ∈¡ )

u
u
e

'
=
u
'.
e
( )

(u = u ( x ))

x
x
a
'
=
a
ln a (a > 0, a ≠ 1, ∀x ∈¡ )
( )
u
u
a
'
=
u
'.
a
ln a (u = u ( x ))
( )

Về nhà học các công thức và làm bài tập 2 trang 77 SGK

Thân chào các em học sinh !