Bài giảng Giải tích 12 chương 2 bài 4: Hàm số mũ Hàm số logarit

Tiết 53: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

Giáo viên :

Nguyễn Duy Mạnh


II - HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa :
Cho số thực dương a khác 1 :
Hàm số y = logax được gọi là hàm logarit cơ số a
Ví dụ1: Chän hµm sè L«garit?
A

y = log3 x

B

C

D

y = log − 3 ( x − 5) y = log1 ( x − 5) y = log 2 ( x − 2)


2. Đạo hàm của hàm số lôgarit :
Ta có định lý sau :
Định lý 3 :
Hàm số: y = logax (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x>0
( log a x )

'

1
=
x.ln a

Đặc biệt :

( ln x ) =
'

1
x

Chú ý : Công thức đạo hàm
'
log
U
(
)
a
hàm hợp với y = loga U(x) là:

U'
=
U .ln a

Ví dụ 2 : Cho hàm số: y = log 2 ( 2 x +1)

với 2x+1>0

Có đạo hàm là:

2 x +1)
(
2
y ' = ( log 2 ( 2 x +1) ) =
=
( 2 x +1) .ln 2 ( 2 x +1) .ln 2
'

'


Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số: y = ln(2+sin2x)
Lời giải: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số
hợp ta có:
y’=(ln(2+sin2x))’
(2+sin2x)’
=
(2+sin2x)
2cos2x
=
(2+sin2x)


3. Khảo sát hàm số lôgarit : y = loga x ( 0 < a ≠ 1)
y = log a x
1. Tập xác định :

, a >1

(0 ; + ∞)

∀x > 0

lim log a x =−∞ ; lim log a x =+∞

x →0+

y'=

x →+∞

Tiệm cận : Oy là tiệm cận đứng

y
-∞

+∞

a

+
0

x →+∞

Tiệm cận : Oy là tiệm cận đứng
3. Bảng biến thiên :

1

+

∀x > 0

lim log a x =+∞ ; lim log a x =−∞

x →0+

3. Bảng biến thiên :

y’

1
<0
x.ln a

Giới hạn đặc biệt

Giới hạn đặc biệt

0

(0 ; + ∞)

2. Sự biến thiên :

1

>0
x.ln a

x

, 0 < a <1

1. Tập xác định :

2. Sự biến thiên :

y'=

y = log a x

+
1

x

0

─

y’
+∞

y

a

+∞

─
1

+∞

1

─
0

-∞


4. Đồ thị :

4. Đồ thị :
y

y
y = logax ( a > 1)
1

1

0

1 a

0

x

y = logax ( 0
a 1

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm lôgarit : y = logax ( 0 < a ≠ 1)
Tập xác định :

(0; + ∞)

Đạo hàm

y’ = 1 : x lna

Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị

a > 1 : hàm số luôn đồng biến
0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến
Oy : là đường tiệm cận đứng
Đồ thị luôn đi qua điểm ( 1 ; 0) và ( a ; 1)
Đồ thị luôn nằm bên phải trục tung

x

Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị các hàm số có hình vẽ sau :
y

y

3

y=

y=x

1 
y = ÷
3 

1
3
-1

0
-1

1
3

1

y = log

0

1

2

y = log 1 x
3

Nhận xét :

2

x

1
x

3

x

2

x

1

( 2)

y=x

Đồ thị hàm số y = a x và y = loga x (0 < a ≠ 1) đối xứng nhau qua
đường thẳng y = x

x


Bảng đạo hàm các hàm số lũy thừa , mũ , lôgarit :

Hàm số sơ cấp

(x

)

α '

α −1

= α .x

'

1
1
=
−
 ÷
x2

x
'
1
x =
2 x

( )

( ex ) = ex

(a

)

= a .ln a

( log

'

=

x) =
'

a

= α .u α −1.u '
'

u'
1
=
−
 ÷
u2
u
'
u'
u =
2 u

( )
'

x

( ln x )

(u )

α '

( eu ) = eu .u '

'

x '

Hàm hợp ( u = u(x))

1
x
1
x.ln a

(a )

u '

= a u .ln a.u '

( ln u )
( log

a

u)

'

'

u'
u
u'
=
u.ln a

=

Ví dụ trắc nghiệm về hàm số lôgarit :
Dùng mũi tên của chuột chỉ vào các ô A ; B ; C ; D để tìm đáp án
Bài 1: Cho hàm số f(x) = ln (4x – x2) . Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định :
A

B

4 −4 x
f '( x ) =
4 x − x2

C

4 −2 x
f '( x) =
4 x −x2

f '( x) =

D
1
4 x − x2

f '( x) =

Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số:

là hàm số logarit

A

m < 0

 2
 m > 3

B

m < 0

m > 2

3

m ≠ 1

1
m ≠ −
3




C

m > 0
 2


m <
 3
 m ≠ 1

D

4
4x −x2

y = log (3m2 − 2 m) x
m < 0

 2
 m>
 3
 m ≠ 1


Củng cố:
1. Biết định nghĩa hàm số Lôgarit
2. Biết tính đạo hàm của hàm số logarit
và vận dụng vào giải bài tập
3. Biết khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Lôgarit và mối quan hệ với hàm số luỹ
thừa
Bài tập về nhà:
Bài số 1, 2, 3, 4, 5 trang 77 + 78 sách giáo khoa