Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Các Thầy giáo, Cô giáo về dự giờ lên lớp

Lớp: 12A7 - Trường THPT Nguyễn Trãi



Kiểm tra bài cũ:

CH1:

Trình bày định nghĩa nguyên hàm?

∫( x

Tính
Đáp số:

∫( x

3

3

+ 2 x 2 - 7 ) dx

trên (-∞;+∞)

+ 2 x 2 - 7 ) dx = ∫ x 3 dx + 2∫ x 2 dx − 7 ∫ dx

x 4 2 x3
= +

− 7x + C
4
3

CH2:

Đáp số:

Trình bày các tính chất của nguyên hàm?

x3 + 1 
Tính
∫  5.cosx + x + 1 ÷ dx trên (-1;+ ∞)



x3 + 1 
(x+1)(x 2 -x+1) 
÷dx
∫  5.cosx + x + 1 ÷ dx = ∫  5.cosx+
x+1

= 5∫ cos xdx + ∫ x 2 dx − ∫ xdx + ∫ dx
x3 1 2
= 5sin x + − x + x + C
3 2


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1. Nguyên hàm:

2. Tính chất:
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
ĐL: Mọi hàm số f(x) liên tục trên
K đều có nguyên hàm trên K

VD1: Hàm số f(x)= x3+2x2-7 liên tục trên R
và f(x) có nguyên hàm trên R là:
1 4 2 3
3
2
x
+
2
x
7
d
x
=
x + x − 7x + C
)
∫(
4
3

x3 + 1
VD2: Hàm sốf(x) = 5.cosx +
liên tục
x+1
trên từng khoảng xác định (-∞;-1) và (-1;+∞)
và f(x) có nguyên hàm trờn từng khoảng xác

3
định là:5.cosx + x + 1  dx
÷
∫ 
x+1 

x3
1
= 5 sin x +
− x2 + x + C
3
2


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: Hoạt động nhóm
1. Nguyên hàm:
CH: Điền hàm số thích hợp vào cột bên phải.
2. Tính chất:
f '(x)
f(x)+C
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm
số thường gặp:

0
(α +1) xα

1
x

ex

ax lna (a>0, a≠1)
cosx
-sinx

1
cos 2 x
-

1
sin 2 x


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: Hoạt động nhóm
1. Nguyên hàm:
CH: Điền hàm số thích hợp vào cột bên phải.
2. Tính chất:
f '(x)
f(x)+C
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm
số thường gặp:

0

C

(α +1) xα

xα +1

1
x

ln | x | +C

ex

ex

ax lna (a>0, a≠1)

ax (a>0, a≠1)

cosx

sinx

-sinx

cosx

1
cos 2 x
1
sin 2 x

tanx
cotx

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: Hoạt động nhóm
CH: Tính các nguyên hàm sau:
1. Nguyên hàm:
2. Tính chất:
∫ 0dx =
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
dx =
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm
số thường gặp:

∫
α
x
∫ dx =
1
∫ x dx =

x
a
∫ dx =
x
e
∫ dx =

∫ cos xdx =
∫ sin xdx =
1
∫ cos 2 x dx =

1
∫ sin 2 x dx =


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1. Nguyên hàm:
2. Tính chất:
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm
số thường gặp:
VD: Tính các nguyên hàm sau:

x4 - 5 x3 + 2 x2 - 4 x + 3
1. ∫
dx
2
x
1


2. ∫  3sinx - + 5 x ÷dx
x


x x+ x
3. ∫ 
dx
÷
2
÷

x


4.

x+1
 3
2x 
+
e
÷dx
∫  sin2 x x 2


Nhóm I và III: Làm câu 1 và 2
Nhóm II và IV: Làm câu 3 và 4

BẢNG NGUYÊN HÀM:

∫ 0dx = C
∫ dx = x + C
α
x
∫ dx =

1
xα +1 + C (α ≠ −1)
α +1

1

∫ x dx = ln x + C
ax
x
∫ a dx = ln a + C (a > 0, a ≠ 1)
x
x
e
dx
=
e
+C
∫

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos 2 x dx = tan x + C
1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C


x x+ x
x4 - 5 x3 + 2 x2 - 4 x + 3
3. ∫ 
dx
÷
1. ∫
dx
2
÷

2
x
x


3
1
4
 2
−2 


1
3
= ∫  x − 5 x + 2 − + 3 x ÷dx
2
2
−
− 

x
+
x
÷dx = x 2 + x 2 dx
x


= ∫

÷

2
∫

÷


 x
÷
x3 5 2
3


=
− x + 2 x − 4.ln | x | − + C
3 2
x
1
3
− +1
− +1
x 2
x 2
2
=
+
+C = 2 x −
+C
1
3
x

− +1 − +1
2
2

1

x 
2. ∫  3sinx - + 5 ÷dx
x


dx
= 3∫ sin xdx − ∫
+ ∫ 5 x dx
x
5x
= −3cos x − ln | x | +
+C
ln 5

x+1
 3
2x 
+
e
÷dx
∫  sin2 x x 2

dx
dx

−2
2 x
= 3∫
−
−
x
dx
+
(
e
) dx
2
∫
∫
∫
sin x
x
1 e2 x
= −3.cot x − ln | x | + +
+C
x
2
4.


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: Hoạt động nhóm
CH: Tính đạo hàm của các hàm số từ đó tính
1. Nguyên hàm:
các nguyên hàm:
2. Tính chất:

3. Sự tồn tại nguyên hàm:
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm
số thường gặp:

(ekx)'=

∫e

(sin kx)'=

∫ cos kxdx =

(cos kx)'=

∫ sin kxdx =

kx

dx =

Với k là hằng số khác 0


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1. Nguyên hàm:
2. Tính chất:
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm
số thường gặp:
VD: Tính các nguyên hàm sau:

NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG:

e kx
∫ e dx = k + C (a > 0, a ≠ 1)
kx

∫ cos kxdx =

sin kx
+C
k

∫ sin kxdx = −

1.

∫ cos xdx

2.

 2x − e2 x
∫  e 3x -1

3.

4
sin
∫ xdx

4.

 e 2 −5 x + 1 
∫  e x ÷ dx

2


÷dx


Nhóm I và III: Làm câu 1 và 2
Nhóm II và IV: Làm câu 3 và 4

cos kx
+C
k

Với k là hằng số khác 0


1.

1 + cos 2 x
cos
xdx
=
dx
∫
∫

2
2

(

)

1
dx + ∫ cos 2 xdx
2 ∫
1
1

=  x + sin 2 x ÷+ C
2
2

=

  2 x

− x +1
= ∫  e.  3 ÷ − e
 dx


 e 

  2 x


−x
= e  ∫  3 ÷ dx − ∫ e dx 


 e 

2

3.

 1 − cos 2 x 
sin 4 x = 
÷
2



1
1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x 
4
1
1 + cos 4 x 
= 1 − 2 cos 2 x +

4
2
1
= [ 3 − 4 cos 2 x + cos 4 x ]
8
1

1

⇒ ∫ sin 4 xdx = 3 x − 2 sin 2 x + sin 4 x 
8
4

=

2.

 ( 2) x − e2 x 
dx
∫  e 3x -1 ÷


  2 x

 3 ÷

e


−
x
= e. 
+e +C =
2


ln

3


e


x

1
 2 
= e 3 ÷ .
+ e − x +1 + C
 e  ln 2 − 3

 e 2 −5 x + 1 
2−6 x
−x
4. ∫ 
dx
=
e
+
e
dx
(
)
÷
x
∫
 e


−6 x
e
= e 2 ∫ e −6 x dx + ∫ e − x dx = −e 2 .
− e− x + C
6


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

1. Nguyên hàm:
2. Tính chất:
3. Sự tồn tại nguyên hàm:
4. Bảng nguyên hàm của một
số hàm số thường gặp:
Bài tập: Tính các nguyên hàm
sau: ( x + 1 ) 2

1.

∫

2.

2
2
sin
x.cos
x.dx
∫

dx

x x
3

3.

4.

cos x
∫ 1 + sinx dx

∫

(3

)

x 2

x

−e

e

3x+1

dx

BẢNG NGUYÊN HÀM:

∫ 0dx = C
α
x
∫ dx =

∫ dx = x + C

1
xα +1 + C (α ≠ −1)
α +1

1
x
x
e
dx
=
e
+C
dx
=
ln
x
+
C
∫
∫x

x
a
x
a
∫ dx = ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C
1
∫ cos2 x dx = tan x + C

1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C

sin kx
∫ cos kxdx = k + C

∫ sin kxdx = −

e kx
∫ e dx = k + C
kx

cos kx
+C
k


Hạnh phúc - Thành đạt !