Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG

TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA


§1.
§2.
§3.


§1.
I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN

1.Nguyên hàm:

HÀM:

2.Tính chất của nguyên hàm :

1.Phương pháp đổi biến số:

3.Sự tồn tại nguyên hàm:
4.Bảng nguyên hàm của

2. Phương pháp tính nguyên

một số hàm số thường gặp:

hàm từng phần:

I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Nguyên hàm:
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho
F’(x) = f(x) nếu :
a) f ( x ) = 3x

2

x ∈ ( −∞ ; +∞ )

1
 π π
b) f ( x ) =
x∈ − ; ÷
2
cos x
 2 2

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng
của R .
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K.


Ví dụ 1:
a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2

trên (-∞ ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi
x ∈ (-∞ ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
1
1
 π π
f ( x ) = 2 x ∈  − ; ÷ Vì F ' ( x ) = ( tan x ) ' =
cos x
 2 2
cos 2 x

 π π
x∈  − ; ÷
 2 2

Nêu thêm một số ví dụ khác:
c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm
số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
1
f ( x) =
x

, x ∈( 0; +∞)


Định lý 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng
là một nguyên hàm của f(x) trên K .

Hãy tự chứng minh định lý này.
Định lý 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng
F(x) + C , với C là một hằng số .


Chứng minh:
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là
G’(x) = f(x) mọi x ∈ K . Khi đó :
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ,
x ∈ K.
Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K .
Ta có : G(x) – F(x) = C
Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K .
F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả
các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :

f
x
dx
=
F
x
+
C
(
)
(

)
∫


Chú ý :
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của
f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
Ví dụ 2 :

f
x
dx
=
F
x
+
C
(
)
(
)
∫

a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,

2xdx
=
x
+
C

∫
2

1
b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) , ∫ dx = ln x + C
x

∫

c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) , cos x.dx = sin x + C


2.Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1:

f
'
x
dx
=
f
x
+
C
(
)
(
)
∫
Ví dụ 3:

Suy ra từ định nghĩa
nguyên hàm .

∫ ( cos x ) '.dx = ∫ ( − sin x ) .dx = cos x + C

Tính chất 2:

k
f
x
dx
=
k
f
x
dx
(
)
(
)
∫
∫


k
f
x
dx
=

k
f
x
dx
(
)
(
)
∫
∫
Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :
kf(x) = F’(x)
Vì k ≠ 0 nên

1
1
f ( x ) = F '( x ) = F
k
k

Theo t/c 1 ta có :
'

'


( x) ÷


1

1

k ∫ f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R )
k

k


= F ( x) + C

=∫k . f

( x ) dx


Tính chất 3:

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này.


Ví dụ 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số:

2
f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞)
x

Giải:

Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :


∫  3sin x +

2
1
÷ dx = 3∫ sin xdx + 2∫ dx = − 3cos x + 2ln x + C
x
x


3.Sự tồn tại của nguyên hàm:
Định lý 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K .

Công nhận định lý này .


Ví dụ 5:

2
3

f ( x) = x
a) Hàm số

Có nguyên hàm trên ( 0 ; + ∞ )
2
3

5
3

3
∫x .dx =5 .x +C
1
b) Hàm số g ( x ) =
sin 2 x
Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z

1
∫sin 2 x .dx =−cot x +C


4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
0dx
∫

=
C

∫dx =x +C

x
a
x

a
∫ dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)

∫ cos x.dx = sin x + C

1 α +1
∫ x dx = α + 1 x + C ( α ≠ − 1)

∫ sin x.dx = − cos x + C

1
∫ x dx =ln x +C

1
∫ cos 2 x .dx = tan x + C

∫e

1
∫ sin 2 x .dx = − cot x + C

α

x

dx = e +C
x


Tính:

Ví dụ 6:

 2
1 
a) ∫  2 x +
÷dx , x ∈ ( 0; +∞ )
3
2
x 

2

1
3

2 3
=2 ∫ x dx +∫ x dx = x +3 x +C
3
−
3

2

b)

∫ ( 3cos x − 3 ) dx , x ∈ ( −∞; +∞ )
x −1

1 x

= 3∫ cos xdx − ∫ 3 dx
3

1 3x
=3sin x −
+C
3 ln 3

3x −1
=3sin x −
+C
ln 3

Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số
được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác
định của nó.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG

TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA


II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số :
a) Cho :

∫ ( x −1)

10

dx

Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du

b) Cho :

ln x
∫ x dx

Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu ∫ , theo t
và dt


Định lý 1:
Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục thì :

∫

f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) .dx = F ( u ( x ) ) + C

Chứng minh:
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , ta có :
(F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)
vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))
⇒ (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)


Hệ quả: Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có

1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
Ví dụ 7: Tính:

∫sin ( 3x −1) .dx

Giải: Vì ∫ sin udu = − cos u + C nên theo hệ quả ta có :
1
∫ sin ( 3x − 1) dx = − 3 cos ( 3x − 1) + C
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới
u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở
lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .


x

.dx
Ví dụ 8: Tính : ∫
5
1)
(x +
Giải: Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và x

u −1
dx = 5 du
5
u
( x + 1)

u −1
Khi đó : ∫ x +1 5 dx =∫ u 5 du
(
)
1 
 1
= ∫  4 − 5 ÷du = ∫ u −4 du − ∫ u −5 du
u 
u
x

1 1
1 1
=− . 3 + . 4 +C
3 u
4 u

Thay u = x + 1 vào kết quả , có :
x

∫ ( x +1)

1
1 1
dx =
.
.
− ÷+C
3 
( x +1)  4 x +1 3 

1

5


2.Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x
Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :

∫ ( x.cos x ) '.dx

&

∫ cos x.dx Từ đó

∫

tính : x.sin x.dx

Định lý 2:
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo
hàm liên tục trên K thì :

u
x
.
v
'
x
.

dx
=
u
x
.
v
x
+
u
'
x
.
v
x
.
dx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫

Chứng minh :
Theo công thức đạo hàm của tích , ta có :
(u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :

∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = ∫ ( u ( x ) .v ( x ) ) '.dx − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Vậy: ∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Chú ý : Công thức trên còn được viết dưới dạng :

u
.
dv
=
u
.
v
−
v
.
du
∫
∫


Ví dụ 9 : Tính:
a)

Giải:

xe
dx
b
)
x
.cos
x
.
dx
c
)
∫
∫
x

ln
x
.
dx
∫

a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên
có :
x
x
x
x
x

∫ x.e dx = x.e − ∫ e .dx

= x.e −e +C

b) Đặt u = x và dv = cos x .dx
thì du = dx và v = sin x nên có :

∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx

= x.sin x + cos x +C

1
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì du = dx
x
và v = x . Do đó:

=x. ln x −x +
C
ln
x
.
dx
=
x
.ln
x
−
dx
∫
∫

Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9
hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp
vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần .
x
P
x
.
e
∫ ( ) .dx

u
dv

P ( x)

x

e .dx

∫ P ( x ) .cos x.dx
P(x)
?????

?????
cosx.dx

∫ P ( x ) .ln x.dx
P(x)

?????

?????
lnx.dx