Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Năm học 2012 – 2013


Kiểm tra bài cũ:
• Câu hỏi 1: Tìm đạo hàm của các hàm số:
1. y = x 2
y' = 2x
2
3x
-1
2. y =
3

y' = 2x

3. y = x 2 + 5

y' = 2x

Nhận xét: Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm.


Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi 2:

Cho hàm số:

y = f(x) = 3x

Hãy tìm ba hàm số khác nhau: g1(x),

2

g2(x), g3(x)

sao cho: g1' (x) = g'2(x) = g3' (x) = f(x)


Nhận xét: Có vô số hàm số thỏa mãn
yêu cầu của câu hỏi 2.
Các hàm số đó gọi là các nguyên
hàm của hàm số f(x).


Chương III:

Nguyên hàm và tích phân

§1 .


1. Định nghĩa.
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a; b) nếu: ∀x∈(a; b) ta có:
F’(x) = f(x).
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên đoạn [a; b] nếu: F(x) là nguyên hàm
của f(x) trên khoảng (a; b) và:
F'(a+) = f(a), F'(b -) = f(b)

Giả sử trên khoảng (a; b), hàm số y = f(x)
có các nguyên hàm là: g1 (x), g 2 (x).
Tìm mối liên hệ giữa các hàm số g1 (x)
và g 2 (x)


∀x∈(a; b): g1' ( x ) = g'2 ( x ) = f ( x )
⇔

g'2 ( x ) - g1' ( x ) = 0

⇔  g 2 ( x ) - g1 ( x ) 





'

=0

Bài toán: Chứng minh rằng, nếu hàm
số y = F(x) có F’(x) = 0 với ∀x ∈ (a;b) thì
F(x) = c, ∀x ∈ (a;b) (ở đó, c là hằng số).


' ( x ) = g' ( x ) = f ( x )
∀
x
∈

(a;
b):
g
1
2
Định lý:

Nếu G(x) ⇔
làTừ
một
g'2kết
x ) -quả
g1' ( hàm
xđó,
0 hàm số f(x)
( nguyên
) =của
trên khoảng (a; b) nêu
thì: kết luận
'
⇔ hằng
x ) c,-quát
gF(x)
x ) + c cũng là một
 gtổng
1/ Với mọi
số
(
(
2

1


nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).

=0

g
x ) - g1 ( x ) = c
(
2
2/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên
⇔

khoảng (a; b) đều có dạng F(x) + c, với c là một
⇔ g2 ( x ) = g1 ( x ) + c
hằng số.


- Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số là một bài
Như vậy:
toán đa trị.
F(x) +
c
- Mỗi hàm số có một
họ các =
nguyên
hàm.
∫ f(x)dx
F(x)

là một
- Họ các nguyênVới
hàm
của
hàmnguyên
số f(x) hàm
ký hiệu là:
của f(x), c là hằng số

f(x)dx
∫
:
∫

Dấu tích phân.

f(x): Hàm số dưới dấu tích phân.
f(x)dx: Biểu thức dưới dấu tích phân.
(Đây chính là vi phân của F(x): f(x)dx = dF(x))


Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ

nguyên hàm của các hàm số:
1/

2xdx
∫

x
e
2/ ∫ dx

1
3/ ∫ 2 dx
x
4/

sinx.dx
∫

∫ 2xdx = x + c
∫ e dx = e + c
2

x

x

1
1
∫ x 2 dx = - x + c
sinx.dx
=
cosx
+
c
∫

Một số ví dụ:
Ví dụ 2: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ

nguyên hàm của các hàm số:
1/

3
dx
∫
x

1
dx
2/ ∫
2
sin x

x
3
x
∫ 3 dx = ln3 + c
1
dx
=
cotgx
+
c
2
∫ sin x

Một số ví dụ:
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số:

y = f(x) = x 2
Thỏa mãn: đồ thị của F(x) cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng -1.

x3 - 4
Đáp số: F(x) =
3


Tóm tắt bài học.
1/ Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu:
F’(x) = f(x).
2/ Một hàm số có vô số nguyên hàm (gọi là họ
các nguyên hàm). Mỗi nguyên hàm sai khác nhau một
hằng số.
3/ Họ các nguyên hàm của f(x), với F(x) là một
nguyên hàm, là:
∫ f (x)dx = F(x) + c


Trân trọng cám ơn các thầy
giáo, cô giáo cùng toàn thể
các em học sinh đã chú ý
lắng nghe.
Kính chúc các thầy cô và

các em sức khỏe, hạnh
phúc.