Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

BÀI CŨ
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
•
•
•
•

a) F(x) = x2
b) F(x) = cosx
c) F(x) = C (C là hằng số)
d) F(x) = ex

Câu 2: Hàm số nào sau đây có đạo hàm là 2x
• a) F(x) = 2
• b) F(x) = 2x
• c) F(x) = x2 + 4
• d) F(x) = x2 + 3x


Ta đã học:

Tính đạo hàm của hàm số F(x)
(F(x))’=?

Bài toán mới:

Hàm số nào có đạo hàm là f(x)
trên khoảng K
( ? )’=f(x)
(hay Tìm F(x) để F’(x)=f(x))

F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên khoảng K


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
•1. Nguyên hàm :
•Định nghĩa:
•Cho hàm số f(x) xác
định trên K
•Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x)
với mọi x∈K

Ví dụ:
1. Hàm số nào sau đây là một
nguyên hàm của hàm số
f(x)=3x2 trên R?
A. F(x) = 3x
B. F(x) = 6x
C. F(x) = x3 – 5
D. F(x) = x3 + 2x


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Ví dụ:

•1. Nguyên hàm :

•Định nghĩa:
•Cho hàm số f(x) xác
định trên K
•Hàm số F(x) được gọi
là nguyên hàm của f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x) với
mọi x∈K

2. Hàm số nào sau đây là một
nguyên hàm của hàm số
f(x)=2cosx trên R?
A. F(x) = 1 – 2sinx
B. F(x) = 2sinx
C. F(x) = cos2x
D. F(x) = sin2x


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
•1. Nguyên hàm :
•Định nghĩa:
•Cho hàm số f(x) xác
định trên K
•Hàm số F(x) được gọi
là nguyên hàm của f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x)
với mọi x∈K

Ví dụ:
3. Hàm số nào sau đây là một

nguyên hàm của hàm số
1
 π π
f (x) =
treân  − ; 
2
cos x
 2 2

A. F(x) = tgx
B. F(x) = -tgx
C. F(x) = cosx
D. F(x) = sinx


PHIẾU HỌC TẬP
Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm
của hàm số f(x) = 2x trên R?
A.

F(x) = x2

B.

F(x) = x2 + 5

C.

F(x) = x2 - 2

D.

F(x) = x2 + 2x

Câu 2: Hãy tìm 3 nguyên hàm khác của hàm số f(x) = 2x trên
R.


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
Ví dụ:

•1. Nguyên hàm :
•Định lý :
•Nếu F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên K
•a)Hàm số G(x)= F(x)+C
cũng là một nguyên hàm
của f(x) trên K
•b) Mọi nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K đều có
dạng F(x)+C , vơi C là
hằng số

4. Hàm số nào sau đây không
phải là một nguyên hàm của
hàm số f(x) = 2x trên R?
A. F(x) = x2
B. F(x) = x2 + 5
C. F(x) = x2 - 2

D. F(x) = x2 + 2x

?


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :

Họ nguyên hàm (tích phân
bất định) của f(x):

• 1. Nguyên hàm :
•Định lý:
•F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên K
•a)Hàm số G(x)= F(x)+C
cũng là một nguyên hàm
Ví dụ:
của f(x) trên K
•b) Mọi nguyên hàm của
2 xdx
hàm số f(x) trên K đều có
dạng F(x)+C , vơi C là
1
hằng số

f
(
x
)

dx
=
F
(
x
)
+
C
∫

∫

∫ cos

2

x

= x +C
2

dx = tgx + C


Sắp xếp các mảnh ghép sau để được một
mệnh đề đúng.

4 + x dx
4

=

C x ∫
3

∫ 4 x dx = x + C
3

4


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
•2. Tính chất :
•Tính chất 1:

∫ f ' ( x)dx = f ( x) + C

•Tính chất 2:

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

•(k là hằng số khác 0
•Tính chất 3:

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

Ví dụ:

1.Tìm nguyên hàm

của hàm số sau
a) f(x) =(cosx)’
2
b)f(x) = 3sinx+

x

trên khoảng (0;+∞ )


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
•3. Sự tồn tại của nguyên hàm :

•Định lí 3:
•Mọi hàm số f(x) liên tục trên K
đều có nguyên hàm trên K
•HS thừa nhận không chứng minh

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm của hàm
số sau

a) f ( x) = x

2
3

trên khoảng (0;+∞ )

1
b) g ( x) = 2
sin x
treân khoaûng (kπ ; (k + 1)π )
k∈Z


PHIẾU HỌC TẬP
Điền các hàm số thích hợp vào cột bên phải
f’(x)
0

αxα −1
1
x

ex
a x ln a ( a > 0; a ≠ 1)
cosx
-sinx
1
cos 2 x

1
− 2
sin x

f(x)+C

NGUYÊN HÀM
I/ 4.Nguyên
hàm
và
tính
chất
:
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :

∫ 0dx = C
∫ dx = x + C

x
a
x
a
∫ dx = ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ cos xdx = sin x + C

1 α +1
∫ x dx = α + 1 x + C (α ≠ −1)

∫ sin xdx = − cos x + C

1
∫ x dx = ln x + C

1
∫ cos 2 x dx = tan x + C

α

x
x
e
dx
=
e
+C
∫

1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C


NGUYÊN HÀM
I/ Nguyên hàm và tính chất :
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
Ví dụ: Tính

a ) ∫ (2 x +

1

2

3

x2

)dx treân khoaûng (0;+∞)

b) ∫ (3cosx - 3x-1 )dxv treân khoaûng (-∞;+∞)
Chú ý :Từ đây ,yêu cầu tìm nguyên hàm của 1 hàm số
được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác
định của nó


NGUYấN HM
II/ Phng phỏp tỡm nguyờn hm :
2. Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn :

Hẹ6 :
a)Cho (x - 1) dx.ẹaởt u = x - 1
10

10

Haừy vieỏt (x - 1) dx theo u vaứ du
lnx
t
b) Cho
dx.ẹaởt x = e
x
lnx
Haừy vieỏt
dx theo t vaứ dt
x

NGUN HÀM
II/ Phương pháp tìm ngun hàm :
•1. Phương pháp đổi biến số :
•Định lí 1:

Nếáu ∫ f(u)du = F(u) + C

và u = u(x)là hàm số có
đạo hàm liên tục thì :

∫ f(u(x))u' (x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả :
Với u = ax + b (a khác 0), ta có

∫ f (ax + b)dx =

1

F (ax + b) + C

Ví dụ:

x
Tính ∫
dx
5
(x + 5)

NGUYÊN HÀM
II/ Phương pháp tìm nguyên hàm :
•2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :

Ta coù (xcosx)' = cosx - xsinx
⇒ -xsinx = (xcosx)'-cosx
Haõy tính ∫ (xcosx)' dx vaø ∫ cosxdx
Töø ñoù ∫ x sin xdx


NGUN HÀM
II/ Phương pháp tìm ngun hàm :
•2. Phương pháp tính ngun hàm từng phần :
•Định lí 2:

Nếáu hai hàm số u = u(x) và v = v(x)
có đạo hàm liên tục trên K thì :

∫ u(x)v' (x)dx = u(x)v(x) - ∫ u' (x)v(x)dx

Ví dụ:
Tính

a)∫ xe x dx
b) ∫ x cos xdx

Chú ý :
c
)

ln
dx
∫
Vì v' (x)dx = dv, u' (x)dx = du nên ta có

∫ udu = uv − ∫ vdu


Điền u và dv thích hợp vào ô trống theo
phương pháp tính nguyên hàm từng
phần

P
(
x
)
e
dx
P ( x) ln xdx
P
(
x
)
cos
xdx
∫
∫
∫
x

u
dv

P(x)

x

e dx


Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

B.

e
dx
=
e
+
C
∫
x

x

2
dx
=

2
x
+
C
∫

sin
xdx
=
cos
x
+
C
∫
2
x
D. ∫ xdx =
+C
2
C.


VỀ NHÀ
Học bài
Làm bài 1,2,3,4 trang 100,101 SGK
TIẾT HỌC KẾT THÚC