Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

GV:Trần Trọng Tiến


Định nghĩa
1. Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng
của R .
ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K.


Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K
Hàm số F(x) được gọi là nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K.


Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì hàm số G(x)
= F(x) + C cũng là một nguyên hàm
của f(x) trên K(với C là hằng số)
Định lí 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên
hàm của f(x) trên K đều có dạng
F(x) + C

( với C là hằng số)


2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1

Suy ra từ định nghĩa
nguyên hàm .

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C
Ví dụ 3. ∫ (cos x)' dx = ∫ ( − sin x) dx = cos x + c

Tính chất 2

∫ kf ( x ) dx = k ∫f ( x ) dx


Tính chất 3:

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này.


I. Lí thuyết

II. Bài tập 3 SGK tr 101. Tính

Các phương pháp tính nguyên

a )∫ ( 1 − x ) dx

hàm
1. Đổi biến số

∫ f (u(x)).u' (x)dx = F(u(x)) + C
2. Công thức nguyên hàm từng
phần

∫ udv = u.v − ∫ vdu

9

đặt u=1-x => du = -dx => dx = -du
9
9
(
)
1
−
x
dx
=
u
∫
∫ (−du ) =

− ∫ u 9du =

u 10
(1 − x )10

−
+C= −
+C
10
10

b ) ∫ x( 1 + x

)

3
2 2

dx

du
đặt u=1+x => du = 2xdx ⇔ xdx =
2
2

∫ x( 1 + x )

3
2 2

5

3

3

2

du 1 2
= ∫ u du =
dx = ∫ u
2 2
5

1 2 2
1
. u + C = (1 + x 2 ) 2 + C
2 5
5


I. Lí thuyết

II. Bài tập 3 SGK tr 101. Tính

Các phương pháp tính nguyên

c)∫ cos 3 x sin xdx

hàm
1. Đổi biến số

∫ f (u(x)).u' (x)dx = F(u(x)) + C
2. Công thức nguyên hàm từng
phần

∫ udv = u.v − ∫ vdu

đặt u=cos x => -du = sin x dx
3
3
3
cos
x
sin
xdx
=
u
(
−
du
)
=
−
u
∫
∫
∫ du =

u4
cos x 4
− +C= −
+C
4
4
e x dx

dx
=∫ x
d)∫ x
−x
(e + 1) 2
e +e +2
đặt u=1+ex => du = exdx

1
du
e x dx
−
∫ (e x + 1)2 = ∫ u 2 = u + C =
1
− x
+C=
e +1


II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính

a )∫ x ln(1 + x )dx

b )∫ ( x 2 + 2x − 1)e x dx

c)∫ x sin( 2x + 1)dx

d )∫ (1 − x) cos xdx

Giải

dx

du =

u
=
ln(
1
+
x
)


1+ x
a) Đặt 
=> 
2
dv
=
xdx
x

v =

2
x2
x 2dx
∫ x ln(1 + x)dx = 2 ln(1 + x) − ∫ 2(1 + x)
x2

1 
1 
= ln(1 + x ) − ∫  x − 1 +
dx
2
2 
1+ x

x2
1 x2

= ln(1 + x ) −  − x + ln | 1 + x |  + C
2
2 2



II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính

a )∫ x ln(1 + x )dx

b )∫ ( x 2 + 2x − 1)e x dx

c)∫ x sin( 2x + 1)dx

d )∫ (1 − x) cos xdx

Giải

u = x 2 + 2 x − 1

du = ( 2x + 2)dx
b) Đặt 
=> 
x
x
v
=
e
dv = e dx

2
x
x
2
x
(
x
+
2
x
−
1
)
e
−
(
2
x
+
2

).
e
dx
(
x
+
2
x
−
1
)
e
dx
=
∫
∫

u' = 2x + 2

x
dv
'
=
e
dx


du' = 2dx
=> 
x

v
'
=
e


(

2
x
x
x
2
x
(
x
+
2
x
−
1
)
e
−
(
2
x
+
2
)

e
−
2
.
e
(
x
+
2
x
−
1
)
e
dx
=
∫ dx
∫

)

= ( x 2 − 3)e x + 2 ∫ e x dx = ( x 2 − 3)e x + 2e x + C = ( x 2 − 1)e x + C


II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính

a )∫ x ln(1 + x )dx

b )∫ ( x 2 + 2x − 1)e x dx

c)∫ x sin( 2x + 1)dx

d )∫ (1 − x) cos xdx

Giải

du = dx
u = x

c) Đặt 
=> 
1
dv
=
sin(
2
x
+
1
)
dx

 v = − 2 cos( 2x + 1)
1
 1

x
(
−
cos(

2
x
+
1
))
−
−
cos(
2
x
+
1
)
x
sin(
2
x
+
1
)
dx
=

dx
∫
∫
2
 2

1

1
= − x cos( 2x + 1) + ∫ cos( 2x + 1)dx
2
2
1
1 sin( 2x + 1)
= − x cos( 2x + 1) +
+C
2
2
2
1
sin( 2x + 1)
= − x cos( 2x + 1) +
+C
2
4


II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính

a )∫ x ln(1 + x )dx

b )∫ ( x 2 + 2x − 1)e x dx

c)∫ x sin( 2x + 1)dx

d )∫ (1 − x) cos xdx

d) Đặt

Giải

u = 1 − x
du = −dx
=> 

dv = cos xdx
 v = sin x

∫ (1 − x) cos xdx =

(1 − x ) sin x − ∫ sin x( −dx )

= (1 − x ) sin x + ∫ sin x.dx = (1 − x ) sin x − cos x + C


Bài tập khác. Tính

a )∫ x 2 x 3 + 1dx

b )∫ sin 4 x cos 3 xdx

c)∫ x 2 sin xdx

d )∫ x 2 ln( x + 1)dx

Giải

a )∫ x 2 x 3 + 1dx

b )∫ sin 4 x cos 3 xdx

3
3
Đặt u = x 3 + 1 ⇔ u = x + 1

= ∫ sin 4 x(1 − sin 2 x ) cos xdx

⇔ 3u 2du = 3x 2dx ⇔ x 2dx = u 2du

Đặt

2
3
x
x
+ 1dx =
∫
4

2
uu
∫ du =

u
u
du
=
+C=

∫
4
3

4

x +1
+C
4
3

u = sin x ⇔ du = cos xdx

4
2
sin
x
(
1
−
sin
x) cos xdx =
∫
4
2
4
6
(
)du =
u

(
1
−
4
)
du
=
u
−
u
∫
∫

u5 u7
sin 5 x sin 7 x
−
+C=
−
+C
5
7
5
7


Bài làm thêm. Tính

a )∫ x 2 x 3 + 1dx

b )∫ sin 4 x cos 3 xdx

c)∫ x 2 sin xdx

d )∫ x 2 ln( x + 1)dx

c)∫ x sin xdx
2

Giải

u = x 2
du = 2xdx
Đặt 
⇒
dv = sin xdx
 v = − cos x

2
2
2
x
(
−
cos
x
)
−
(
−
cos

x
)
2
xdx
=
−
x
cos x + 2 ∫ x cos xdx
x
sin
xdx
=
∫
∫
du' = dx
u' = x
⇒
Đặt 
 v' = sin x
dv' = cos xdx
2
2
−
x
cos x + 2( x sin x − ∫ sin xdx)
x
sin
xdx
=
∫

= − x 2 cos x + 2x sin x − 2 ∫ sin xdx

= − x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C


Bài làm thêm. Tính

a )∫ x 2 x 3 + 1dx

b )∫ sin 4 x cos 3 xdx

c)∫ x 2 sin xdx

d )∫ x 2 ln( x + 1)dx

Giải

dx

du
=

u = ln( x + 1)
x+1
2
d )∫ x ln( x + 1)dx
Đặt 
⇒
3

2
x
dv = x dx
v =

3
x3
x 3 dx
2
∫ x ln( x + 1)dx = 3 ln( x + 1) − ∫ 3 x + 1
x3
1  2
1 
= ln( x + 1) − ∫  x = x + 1 −
dx
3
3 
x + 1
x3
11
1

= ln( x + 1) −  x 3 − x 2 + x − ln | x + 1 |  + C
3
3 3
2



CỦNG CỐ

Qua bài học học sinh cần nắm được
+ Phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến số.
+ Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần.