Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
F’(x) = f(x) =2x
a, F(x) = x2
F’(x) = f(x) = -sinx
b, F(x) = cosx
F’(x) = f(x) = 0
c, F(x) = C ( C là một hằng số )
⇒ F’(x) = f(x) = ex
d, F(x) = ex

⇒
⇒
⇒

Câu 2: Hàm số nào sau đây có đạo hàm là

1
a, F ( x ) = 2
x

b, F ( x) = ln x + x
c, F(x) = lnx
d, F(x) = x2 + 3

1
f ( x) =
x


Ta đã học:

Tính đạo hàm của hàm số F(x):

(F(x))’ = ?

Bài toán mới:
Hàm số nào có đạo hàm là f(x) trên K (với K là
khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn của R.
( ? )’ = f(x)
Hãy tìm F(x) sao cho (F(x))’= f(x)

F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Trên


§1.
§2.
§3.


§ 1.


I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
2. Tính chất của nguyên hàm


I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng

của R .
ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K.


Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên
K
Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K nếu F’(x) = f(x) với
mọi x ∈ K.

Ví dụ: Hàm số nào sau đây
là nguyên hàm của hàm số
f(x) = 2cosx trên R?

A, F(x) = 1 – 2sinx
B, F(x) = 2sinx
C, F(x) = cos2x
D, F(x) = sin2x


Ví dụ 1.
a, Hàm F(x) = x2 nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R
vì F’(x) = (x2)’ = 2x trên R
b, Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số:

f

(

x) =

1
x

, x ∈ ( 0; +∞ )

c, Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số
'
1
1
 π π
f ( x) =
trên  − ;  vì (tan x) =
2
cos x
cos 2 x
 2 2

d,Hàm số F(x) = 2sinx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx
Trên R vì (F’(x)) = (2sinx)’ = 2cosx trên R


Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là
nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R?
a, F(x) = x2

b, F(x) = x2 + 5
c, F(x) = x2 - 2
d, F(x) = x2 + 2x
Câu 2: Hãy tìm 3 nguyên hàm khác của hàm
số f(x) = 2x trên R.


Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) trên K thì
hàm số G(x) = F(x) + C cũng
là một nguyên hàm của f(x)
trên K
Định lí 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K
đều có dạng F(x) + C
( với C là hằng số.)

Ví dụ: Hàm số nào sau đây
không phải là nguyên hàm
của hàm số f(x) = 2x trên
R?
a,
a, F(x)
F(x)==x2
x2
b,
b, F(x)

F(x) == x2
x2 + 5
c,
c, F(x)
F(x) == x2
x2 - 2
d, F(x) = x2 + 2x


Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K
thì hàm số G(x) = F(x) + C
cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K(với C là hằng số)
Định lí 2:
Nếu F(x) là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K
thì mọi nguyên hàm của f(x)
trên K đều có dạng F(x) + C
( với C là hằng số)

Họ nguyên hàm (hay tích
phân bất định) của f(x):

∫ f (x )dx = F( x ) + C
Ví dụ:

∫ 2xdx = x

2

+C

1
∫ cos 2 x dx = tan x + C

Chú ý:


2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1

Suy ra từ định nghĩa
nguyên hàm .

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C
Ví dụ 3. ∫ (cos x)' dx = ∫ ( − sin x) dx = cos x + c

Tính chất 2

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx


∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :
kf(x) = F’(x)
Vì k ≠ 0 nên

f

(

1
1
x) =
F '( x ) = 
F
k
k

(

'


x) ÷


Theo t/c 1 ta có :
'

1

1


k ∫ f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R )

k

k


= F ( x) + C


Tính chất 3:

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này.


Ví dụ 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số:

2
f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞ )
x

Giải:

Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :
2
2

∫  3 sin x + x dx = ∫ 3 sin xdx + ∫ xdx
1
= 3∫ sin xdx + 2∫ dx = −3 cos x + 2 ln x + C

x


Mệnh đề nào sau đây là sai

A.

B.

e
dx
=
e
+
C
∫
x

x

2
dx
=
2
x
+
C
∫

sin

xdx
=
cos
x
+
C
∫
2
x
D. ∫ xdx =
+C
2
C.


QUA BÀI HỌC CẦN NẮM ĐƯỢC

- Định nghĩa nguyên hàm của một hàm số trên K.
- Phân biệt rõ một nguyên hàm và họ nguyên hàm của
một hàm số (F(x) và F(x) + C )
- Nắm được 3 tính chất của nguyên hàm
Về nhà:
- Bài tập 1 sgk
- Đọc trước bài mới