Bài toán vật lý
• Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có
phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm
• Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
• Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết
vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t)
Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định
trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên
khoảng đó: F’(x)=f(x)
&1. NGUYÊN HÀM
I.
Nguyên hàm và tính chất :
II.
1. Nguyên hàm :
a. Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) xác định trên K
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những
hàm số nào
a. F(x) = x2
b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên
Hãy chọn phương án đúng
Nhận xét
• Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều
là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R
• Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là
nguyên hàm của hàm số
trªn các khoảng x¸c ®Þnh.
1
g( x ) = 2
cos x
Tổng quát ta có định lý
b.Định lý:
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng K thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với
C là một hằng số.
F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x)
kí hiệu :
f ( x).dx = F ( x) + C
∫
2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1 :
∫
Tính chất 2 :
kf
(
x
)
dx
=
k
f
(
x
)
+
C
..(
k
≠
0)
∫
∫
Tính chất 3 :
f ( x)dx = f ( x) + C
/
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)]
dx
=
f
(
x
)
dx
±
g
(
x
)
dx
∫
∫
∫
3.Sự tồn tại nguyên hàm
Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều
có nguyên hàm trên K
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
x
1. 0 dx = C
a
x
∫
+C
5.∫ a dx =
ln a
2.∫ dx = X + C
6.∫ cos x.dx = Sinx + C
1 α +1
α
3.∫ x dx = x + C 7. sin x.dx = - Cosx + C
∫
α +1
4.∫
1
1
dx = Tanx + C
dx =ln x + C 8.∫
2
cos x
x
5.∫ e dx = e + C
x
x
1
9.∫
dx =- cotx + C
2
sin x
VD:Tính nguyên hàm
1
−
2
1
3
1.∫ (3 x +
)dx = 3∫ x dx + ∫ x dx
1
x
3 4
= x + 2x 2 + C
4
3
2, ∫ (2sin x −2 )dx = 2 ∫ sin xdx − 2 ∫ 2 dx
x +1
x
x
2
= −2 cos x − 2
+C
ln 2
1
3, ∫ 2sin 2 x.cos xdx = .2( ∫ sin xdx + ∫ sin 3 xdx)
2
1
= − cos x − cos 3 x + C
3
Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1
hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước
- Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên
hàm rồi cộng thêm hằng số C
VD 2
Chứng minh Rằng :
tan
x
−
x
+
C
tan
x
.
dx
=
∫
2
Ta có :
tan
x
.
dx
=
∫
2
(1
+
tan
x
−
1)
dx
∫
2
1
= ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C
cos x
1
π
Hàm số F( x ) = cos − 2 x ÷là nguyên
2 3
hàm của hàm số nào sau đây?
a.
b.
π
f1 ( x ) = sin 2 x − ÷
3
1 π
f2 ( x ) = − sin − 2 x ÷
2 3
c.
d.
1 π
f3 ( x ) = sin − 2 x ÷
2 3
π
f4 ( x ) = sin − 2 x ÷
3
2. Xác định a để hàm số
ax + 1
F( x) =
x −1
f ( x) =
a số 1
một nguyên hàm của hàm
R \ { 1}
÷
Ta có
trên
1
( x − 1)
là
2
1
−
1
−a − 1
/
F ( x) =
=
2
2
( x − 1)
( x − 1)
Suy ra : - a – 1 = 1
Vậy a = - 2
3. Cho f ( x ) =
x +1
2x + 1
và F ( x ) = ( ax + b ) 2. x + 1
Xác định a, b để F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên − 1 ; +∞
2
GIẢI:
÷
1
F ( x) = a. 2 x + 1 + (ax + b).
2
x
+
1
a(2 x + 1) + ax + b 3ax + a + b
=
=
1
2x +1
2x +1
a=
/
Suy ra :
3a = 1
a + b = 1
3
⇒
b = 2
3
4. Xác định a, b, c sao cho hàm số
F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm
của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R
1
Hàm số F ( x ) = 2 x là một nguyên
hàm của hàm số nào sau đây?
a. f1 ( x ) = x
b.
f2 ( x ) =
1
2x
x
c.
d.
f3 ( x ) = −
f4 ( x ) =
1
4x x
1
4x x
Bài tập
Tìm F(x) biết F ( x ) = ∫ 2 xdx và F(1)=3
Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 ⇒ 1+C=3⇒C=2
Vậy F(x)=x2+2
II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến
số:
a. Định lý 1 : nếu
và u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục thì :
b.Phương pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính
∫
∫
∫ f (u )dx = F (u ) + C
f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C
/
f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C
/
VD: tính các nguyên hàm sau
1.
(2
x
+
1)
dx
∫
5
B1: đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:
du
(2
x
+
1)
dx
=
u
.
∫
∫ 2
1
1 6
1
6
5
= ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C
12
2
12
5
5
VD: tính các nguyên hàm sau
2.
x
∫
B1: đặt
B2:
B3:
x + 5.dx
2
3
u = x +5
3
du = 3x dx
2
du
⇒ x dx =
3
2
du
x
x
+
5.
dx
=
u
.
∫
∫
3
3
1
3
2 3
2
2 2
2
= ∫ u .du = u + C = ( x + 5) 2 + C
9
9
9
2
3
Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau
2.
x
∫
B1: đặt
B2:
B3:
x + 5.dx
2
3
u = x +5
3
⇒u = x +5
2
3
2u.du
2u.du = 3 x dx ⇒ x dx =
3
2
2
2u.du
∫ x x + 5.dx = ∫ u. 3
3
2
2 3
2 3
2
= ∫ u .du = u + C = ( x + 5) 2 + C
3
9
9
2
3
VD: tính các nguyên hàm sau
sin
x
.cos
x
.
dx
∫
2
3.
B1: đặt
B2:
3
u = sin x
du = cos x.dx
B3:
∫ sin
2
x.(1 − sin x) cos x.dx
2
= ∫ u (1 − u ).du = ∫ (u − u )du
2
3
2
5
2
4
u
u
sin x sin x
=
−
+C =
−
+C
3
5
3
5
3
5