Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG

Bài 1: NGUYÊN HÀM

10/04/16

1


Bài 1: NGUYÊN HÀM
1./ Khái niệm nguyên hàm
2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

10/04/16

2


1./ Khái niệm nguyên hàm
VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu
a) f(x) = 2x
b) f(x) = cosx
Giải :
2 '
a)Ta có
(x ) = 2x
2
nên F(x) = x

'
b) Ta thấy (sin x ) = cos x
nên F(x) = sinx
khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x)
10/04/16

3


1./ Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa
khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x)
được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.
Câu hỏi :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?
Trả lời :
1
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2

cos x

1
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =
x ln 10
10/04/16

4

1./ Khái niệm nguyên hàm

Chú ý:

• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a)
= f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là

F ( x) − F (a)
= f (a)
lim
x−a
x→a +

hay

F ( x) − F (b)
= f (b)
lim
x−b
x →b −

• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b].
Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể
chứng minh được rằng
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].
10/04/16

5

1./ Khái niệm nguyên hàm
ĐỊNH LÝ 1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của
hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao
cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

10/04/16

6


1./ Khái niệm nguyên hàm
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu
là

∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ,C ∈ ¡

.

trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).
Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất
kỳ của hàm số f
( ∫ f ( x )dx )' = f ( x )

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.
10/04/16

7


2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

∫ 0dx = C
∫ dx = ∫ 1dx = x +C
α +1

x
∫ x dx = α + 1 + C (α ≠ −1)
α

1
∫ x dx = ln x + C
10/04/16

8


2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

cos( kx + b )
+ C ,k ≠ 0.
∫ sin( kx + b )dx = −

k
sin( kx + b )
+C
∫ cos( kx + b )dx =
k
x
kx
a
e
x
kx
a dx =
+ C( 0 < α ≠ 1 )
e
dx
=
+
C
∫
∫
ln a
k
1
∫ cos 2 x dx = tan x + C
10/04/16

∫

1
dx = − cot x + C

2
sin x
9


3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K ,
với a là số thực khác 0 thì:

∫ [f ( x ) + g( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx
∫ af ( x )dx = a ∫ f ( x )dx
Chú ý:

10/04/16

[ ∫ f ( x )dx ] ' = f ( x )

∫ f ( t )dt = F ( t ) + C
⇒ ∫ f [u( x )]u'( x )dx = F [u( x )] + C
∫ f ( u )du = F ( u ) + C
10


3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Chú ý:
Nêu ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C thì

∫

1

f ( ax + b )dx = ∫ f ( ax + b )d( ax + b )
a
1
= F ( ax + b ) + C
a

u ' ( x)
∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C

∫

dx
= 2 x +C
x
10/04/16

n n n +1
∫ xdx = n + 1 x + C
dx
n n n −1
∫ n x = n −1 x + C
n

dx
−1
∫ x n = (n − 1) x n−1 + C

11

Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:

A.

B.

e
dx
=
e
+
C
∫
x

x

2
dx
=
2
x
+
C
∫

sin
xdx
=
cos

x
+
C
∫
2
x
D. ∫ xdx =
+C
2
C.

10/04/16

12


Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số:

f( x)=
Giải

x + 3 3x + 3 5x
1
3

1
2

f ( x) = x + 3 3 x + 3 5 x = x + (3 x) + (5 x)

∫ f ( x)dx = ∫ [ x
3
2

1
2

1
3

1
3

1
3

+ (3 x) + (5 x) ]dx
1
3

4
3

1
3

4
3

2x

3
3
=
+3 ⋅ x +5 ⋅ x +C
3
4
4
3

4

3

2 3
3 3 4
5 3 4
=
x +
⋅ x + 3⋅
⋅ x +C
3
4
4
10/04/16

13


Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số:

f( x)=(3 +2 )
x

Giải

x

2

f ( x) = (3 + 2 ) = (3 ) + 2.3 .2 + (2 )
x
x
x
= 9 + 2.6 + 4
x

Vậy

∫

10/04/16

x 2

x

x 2

x

x

x

x 2

x

9
6
4
f ( x)dx =
+ 2.
+
+C
ln 9
ln 6 ln 4

14


Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:

sin x − 2
f( x)=
2
3 sin x
3

Giải

sin x − 2 sin x 2  1 
f ( x) =
=
−  2 
2
3 sin x
3
3  sin x 
3

Vậy

2 
1
2
 sin x
∫  3 − 3 sin 2 x dx = − 3 cos x + 3 cot x + C
10/04/16

15


Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:

x
x
f ( x ) = 8 sin
− 6 sin
3

3
Giải
x
3 x
f ( x) = 8 sin − 6 sin
3
3
3

Vậy

x
3 x
= −2(3 sin − 4 sin ) = −2 sin x
3
3
f
(
x
)
dx
=
(
−
2
sin
x
)
dx
∫

∫

= −2(− cos x) + C
= 2 cos x + C

10/04/16

16


Bảng các nguyên hàm mở rộng
∀a ≠ 0
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

dx
1
∫ ax + b = a ln ax + b + C

1
∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
1
1
∫ cos 2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C

∫e

ax + b

1 ax +b

dx = e
+C
a

α +1
1
(
ax
+
b
)
α
(
ax
+
b
)
dx = ⋅
+ C (α ≠ −1)
∫
a
α +1

1
1
∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C
10/04/16

17

Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải

1
f(x)=
2 x2 + x − 3

1
1
1
f ( x) = 2
= ⋅
2 x + x − 3 2 ( x − 1)( x + 3 )
2
2
3
[( x + ) − ( x − 1)]
1 5
1 1
1
2
= ⋅
= (
−
)
3
3
2
5

x
−
1
( x − 1)( x + )
x+
2
2
1
1
1
dx − ∫
dx]
Vậy ∫ f ( x)dx = [ ∫
3
5 x −1
x+
2
1
= [ln x − 1 − ln x + 3 / 2 + C ]
5
1
x −1
= ln
+C
10/04/16
5 x + 3/ 2

18

Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số:

f( x)=
Giải

f ( x) =

1
=
2 + sin x − cos x

1
2 + sin x − cos x

1

π
2 − 2 cos( x + )
4
1
1
=
=
π
π
2 x
2[1 − cos( x + )] 2 2 sin ( + )
4
2 8

Vậy

10/04/16

∫

dx
−1
x π
f ( x)dx =
=
cot( + ) + C
∫
2 8
2 2 sin 2 ( x + π )
2
2 8
1

19


Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số:

f(x)= e +e
x

Giải

−x

x
2

− 2dx
−x
2 2

x
2

f ( x) = e x + e − x − 2 = (e − e ) =| e − e
x
2

Xét e − e
x
2

−x
2

−x
2

|

x −x
≥0⇔ ≥
⇔ x≥0

2
2

−x
2

x
2

−x
2

−x
2

x
2

f ( x) = e − e ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (e − e )dx = 2(e + e ) + C
Xét

x
2

e −e
x
2

f ( x ) = −e + e
10/04/16

−x
2

−x
2

<0⇔ x<0
−x
2

x
2

−x
2

x
2

⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (e − e )dx = −2(e + e ) + C
20


Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải

x3 − 3 x + 2
f( x)=
x( x 2 +2 x + 1 )

x − 3x + 2
2
4
f ( x) =
= 1− +
2
2
x( x +2 x + 1)
x x( x + 1)

Ta có

3

1
a
b
c
= +
+
2
x( x + 1)
x x + 1 ( x + 1) 2

⇒ 1 = a ( x + 1) 2 + bx( x + 1) + cx
Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1
Do đó
x 3 − 3x + 2
2 1

1
1 

= 1 − + 4 −
−
2
2 
x( x +2 x + 1)
x
 x x + 1 ( x + 1) 

x
4
⇒ ∫ f ( x)dx = x − 2 ln | x | +4 ln
+
+C
10/04/16
x + 1 x + 1 21