Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Chương III :

Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Nguyên hàm
Bài 1

click


I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm :
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :

a) f ( x ) = 3x 2

x ∈( −∞; +∞)

b)

f ( x) =

1
cos 2 x

 π π
x ∈ − ; ÷
 2 2

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa :

Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K

Ví dụ 1 :

a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (-∞ ; +∞) , vì
F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x ∈ (-∞ ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
1
1
 π π
f ( x) =
x
∈
−
;
F
'
x
=
tan
x
'
=
(
)
(
)


÷ Vì
cos 2 x
cos 2 x
 2 2

 π π
x ∈ − ; ÷
 2 2

Nêu thêm một số ví dụ khác :
c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :

f ( x) =

1
x

x ∈( 0; +∞)

click


Định lý 1 :

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số
C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này .

Định lý 2 :

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm
của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số .

Chứng minh :

Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x
∈ K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x ∈ K
Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C
Hay G(x) = F(x) + C mọi x ∈ K

F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
Chú ý ;
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
Ví dụ 2 :

a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,

∫ 2xdx = x

b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ,

1
∫ x dx = ln x +C

c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) ,

∫ cos x.dx = sin x +C

2

+C

click


2. Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1 :

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .

∫( cos x ) '.dx = ∫ ( −sin x ) .dx =cos x +C

Ví dụ 3 :
Tính chất 2 :
Chứng minh :

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)
'

k∫

1
1


Vì k ≠ 0 nên f ( x ) = F '( x ) = 
F
x
(
)

÷ Theo t/c 1 ta có :
k
k

'
1

1

f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k 
F ( x ) +C1 ÷= F ( x ) + kC1

k

k


( C1 ∈R )

= F ( x ) + C = ∫ k . f ( x ) dx
Tính chất 3 :

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này

click


Ví dụ 4 :
Giải :

f ( x ) = 3sin x +

Tìm nguyên hàm của hàm số
Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :

2
x

( 0; +∞)

2
1

3sin
x
+
dx
=
3
sin
xdx
+
2

÷
∫
∫
∫ x dx = −3cos x + 2 ln x +C
x

3. Sự tồn tại của nguyên hàm :
Định lý 3 :

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .

Ví dụ 5 :

a)

Hàm số

f ( x) = x

2
3

Có nguyên hàm trên ( 0 ; + ∞ )

2
3

3 53
∫ x .dx = 5 .x +C

b)

Hàm số

g ( x) =

1
sin 2 x

Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z

1
∫ sin 2 x .dx = −cot x +C

click


4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
ax
∫ a dx = ln a +C ( 0 < a ≠1)

∫ 0dx = C

x

∫ dx = x +C
α
∫ x dx =

1

xα+1 + C
α +1

∫ cos x.dx = sin x +C
( α ≠ −1)

∫sin x.dx = −cos x +C

1
∫ x dx = ln x +C

1
∫ cos2 x .dx = tan x +C
1
∫ sin 2 x .dx = −cot x +C

x
x
e
dx
=
e
+C
∫

Ví dụ 6 :

Tính :

 2

1 
a) ∫ 2 x +
÷dx
3
2
x 


( 0; +∞)

= 2 ∫ x dx + ∫ x
2

−

2
3

dx

1
2 3
= x +3 x 3 +C
3

click


b)

x −1
3cos
x
−
3
(
)dx
∫

( −∞; +∞)

= 3∫ cos xdx −

1
x
3
dx
3∫

1 3x
= 3sin x −
+C
3 ln 3

3x −1
= 3sin x −
+C
ln 3

Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên

từng khoảng xác định của nó.

II - PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số :
a) Cho :

∫( x −1)

10

dx Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du

b) Cho :

ln x
∫ x dx

Định lý 1 :

Nếu . f ( u ) du = F ( u ) +C Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :

Chứng minh :

∫

Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu ∫ , theo t và dt

∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) .dx = F ( u ( x ) ) +C

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)

vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)

click


Hệ quả :

Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có

Ví dụ 7 :

Tính :

Giải :

Vì

∫ f ( ax + b ) dx =

1
F ( ax + b ) + C
a

∫sin ( 3x −1) .dx

∫sin udu = −cos u +C Nên theo hệ quả ta có :
1
sin
3
x

−
1
dx
=
−
cos ( 3 x −1) + C
(
)
∫
3

Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm
ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
Ví dụ 8 :

Giải :

Tính :

x

∫ ( x +1)

5

.dx

Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và

x

∫ ( x +1)

5

dx = ∫

x

( x +1)

5

dx =

u −1
1
1
du = ∫ 
−
5

4
u
u5
u

Thay u = x + 1 vào kết quả , có :

x

∫ ( x +1)

5

u −1
du
5
u

Khi đó :


−4
−5
÷du = ∫ u du − ∫ u du

1 1
1 1
= − . 3 + . 4 +C
3 u
4 u
dx =

1
1 1
.
.
−


÷+ C
3
( x +1)  4 x +1 3 
click
1


2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :

∫( x.cos x ) '.dx
Định lý 2 :

&

∫ cos x.dx

Từ đó tính :

∫ x.sin x.dx

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :

∫u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) + ∫u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Chứng minh :

Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u

Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :
Vậy có :

∫u ( x ) .v ' ( x ) .dx = ∫ ( u ( x ) .v ( x ) ) '.dx − ∫u ' ( x ) .v ( x ) .dx
∫u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫u ' ( x ) .v ( x ) .dx

Chú ý ; Công thức trên còn được viết dưới dạng :

Ví dụ 9 :
Giải :

Tính :

a)

x
xe
∫ dx

b)

∫ u.dv = u.v − ∫ v.du

∫ x.cos x.dx

c)

∫ ln x.dx

a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :

∫ x.e

x

dx = x.e x − ∫ e x .dx

= x.e x −e x +C

click


b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :

∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx

= x.sin x + cos x +C

1
dx và v = x . Do đó :
x
= x.ln x + x +C

c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì du =

∫ ln x.dx = x.ln x − ∫ dx

Bài củng cố ; Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và
điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần .
x
P
x

.
e
.dx
(
)
∫

∫ P ( x ) .ln x.dx

u

P ( x)

?????
P(x)

?????
P(x)

dv

e x .dx

cosx.dx
?????

?????
lnx.dx

Ví dụ trắc nghiệm :

A

∫ P ( x ) .cos x.dx

C
1−x

3. Bài tập về nhà :

Tính :

B

∫

c 1−x

dx
1−x

C

Kết quả là :

− 2 1 − x +C

D

Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008

2
+C
1−x