MỘT số vấn đề về TIẾP TUYẾN của đồ THỊ hàm số

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho (Cm) : y =

(m − 1)x + m
. Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì
x−m

song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

−m 2
y = f (x) =
(x − m)2
Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác (Δ 2 ) : y = − x , ta phải có:
|

|
m

fm| = −1 ⇔

−m 2
= −1 ⇔ m 2 = (4 − m)2 ⇔ m = 2
2
(4 − m)

(3m + 1)x − m 2 + m
, m ≠ 0. Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành
x+m
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho (C) : y =

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
m2 − m
1 ⎫
⎧
x0 =
, m ∉ ⎨0, − ,1⎬
3m + 1
3 ⎭
⎩
2
4m
y| =
(x + m)2
Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
4m 2
= 1 ⇔ 4m 2 = (x 0 + m)2 ⇔ x 0 = m ∨ x 0 = −3m
2
(x 0 + m)

⎡
m2 − m
m
=
⎡ m = −1
⎢
3m
1
+
⇔⎢
⇔⎢

2
⎢m = − 1
m −m
⎢
5
⎣
⎢⎣ −3m = 3m + 1
• m = −1 tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1
1
3
⎛3 ⎞
• m = − tiếp tuyến tại ⎜ , 0 ⎟ có pt : y = x −
5
5
⎝5 ⎠
m
Cho (C) : y = x − 1 +
.Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau
x +1
Gọi M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm cần tìm ⇒ y = k(x − x 0 ) + y 0 là đường thẳng (d) qua M0
m
⎧
⎪⎪x − 1 + x + 1 = k(x − x 0 ) + y 0 = kx + k − k − kx 0 + y 0
(d) là t2 ⇔ ⎨
1
⎪1 −
=k
⎪⎩ (x 0 + 1)2
m
⎧

⎪⎪x − 1 + x + 1 = k(x + 1) − (1 + x 0 )k + y 0
⇔⎨
⎪x + 1 − 1 = k(x + 1)
⎪⎩
x +1


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
m
1
⎧
⎪⎪x − 1 + x + 1 = x + 1 − x + 1 − (1 − x 0 )k + y 0
⇔⎨
⎪ 1 = 1− k
2
⎩⎪ (x + 1)
⎧ m +1
y0 + 2
⎧
= y 0 + 2 − (x 0 + 1)k
⎪
⎪k ≠ x + 1
⎪ x +1
⇔⎨
⇔⎨
0
2
⎪⎛ m + 1 ⎞ = (1 − k)(m + 1)2
⎪ y + 2 − (x + 1)k 2 = (1 − k)(m + 1)2
]

0
⎩[ 0
⎪⎩⎜⎝ x + 1 ⎟⎠
y0 + 2
⎧
⎪k ≠
x0 + 1
⇔⎨
⎪(x + 1)2 k 2 + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = 0 (*)
0
0
0
0
0
⎩ 0

Từ M0 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau ⇔ pt (*) có 2 nghiệm thỏa k1k2 = -1 và khác

y0 + 2
x0 + 1

y0 + 2
⎧
⎪k ≠
x0 + 1
⇔⎨
⇒m>0
⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m
0
⎩ 0

Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò y =
vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

x +1
với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó
x −3

4
, ∀x ≠ 3
(x − 3)2
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là KT = -1
⎡x = 5
4
⇒⎢ 0
. Gọi (x0,y0) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có K T = y| ⇔ −1 = −
2
(x 0 − 3)
⎣ x0 = 1
• x 0 = 1 ⇒ y 0 = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x
• x 0 = 5 ⇒ y 0 = 3 ⇒ (T2 ) : y = −x + 8
y| = −

(T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)}

Cho hàm số y = f(x) =

x+2
; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp
x −1

tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox
Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại M 0 (x 0 , y 0 ) : y − y 0 = f(x| 0 ) (x − x 0 )

⎛x +2⎞
⎛x +2⎞
3
3
⇔ y −⎜ 0
(x − x 0 ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ 0
(− x 0 )
⎟=−
⎟=−
2
(x 0 − 1)
(x 0 − 1)2
⎝ x0 − 1 ⎠
⎝ x0 − 1 ⎠
⎧x − 1 ≠ 0
⎪⎧x 0 ≠ 1
⇔⎨ 0
⇔
⎨g
2
= (a − 1)x 20 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0
(x
)
⎩(a − 1)x 0 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0
⎪⎩ 0

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi g(x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0
⎧a − 1 ≠ 0
⎪
và ⎨Δ|g = (a + 2)2 − (a + 2)(a − 1) > 0
⇔ −2 < a ≠ 1
⎪
2
⎩g(1) = (a − 1)1 − 2(a + 2)1 + a + 2 ≠ 0
Khi đó gọi M1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox

⎛ x + 2 ⎞⎛ x 2 + 2 ⎞
x1x 2 + 2(x1 + x 2 ) + 4
⇔ y1y 2 < 0 ⇔ ⎜ 1
< 0 (1)
⎟⎜
⎟<0⇔
x1x 2 − (x1 + x 2 ) + 1
⎝ x1 − 1 ⎠⎝ x 2 − 1 ⎠
2(a + 2)
⎧
⎪⎪x1 + x 2 = a − 1
Trong đó x1,x2 là nghiệm của g(x 0 ) = 0 có ⎨
⎪x x = a + 2
⎪⎩ 1 2 a − 1
a + 2 + 4(a + 2) + 4(a − 1)
9a + 6
<0⇔

(1) ⇔
<0
−3
a + 2 − 2(a + 2) + a − 1
2⎫
⇔0⇔a>− ⎪
2
3 ⎬⇒ − < a ≠1
3
Đk − 2 < a ≠ 1 ⎪⎭

Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 − 12x − 1 có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
Ta có y| = 6x 2 + 6x − 12 , M(x 0 , y 0 ) ⇒ tiếp tuyến tại M ∈ (C)
y = y|(x ) (x − x 0 ) + y 0 = (6x 20 + 6x 0 − 12)(x − x 0 ) + 2x 30 + 3x 20 − 12x 0 − 1 (T)
0

(T) qua gốc toạ độ O(0,0) : 4x 30 + 3x 20 + 1 = 0 ⇔ (x 0 + 1)(4x 20 − x 0 + 1) = 0
⇔ x 0 = −1 ⇒ y 0 = 12
⇒ M(−1,12)
1
3

2
có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C)
3
1
2
vuông góc với đường thẳng y = − x +
3

3

Cho hàm số y = x 3 − x +

2⎞
⎛ 1
Gọi A ⎜ x 0 , x 30 − x 0 + ⎟ là điểm bất kỳ thộc (C) .
3
3⎠
⎝
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc k = y|(x ) = (x 20 − 1) (1)
0

1
2
Do (T) vuông góc với đường thẳng y = − x +
3
3
2
Khi đó x 0 − 1 = 3 ⇔ x 0 = ± 2
⎛ 4⎞
Vậy A1 ⎜ 2, ⎟ , A 2 (−2, 0)
⎝ 3⎠

⇒k =3


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho hàm số y =

x 2 − 3x + 6
, đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số
x −1

(C) , tìm toạ độ tiếp điểm

⎧QuaO
Gọi (T) ⎨
⇔ (T) : y = kx là tiếp tuyến của (C)
⎩Hệ số góc k
⎧ x 2 − 3x + 6
= kx
⎪
⎧(x − 1)(x 2 − 3x + 6) = (x 2 − 2x − 3)x
⎪ x −1
có nghiệm ⇔ ⎨
⇔⎨ 2
⎩x ≠ 1
⎪ x − 2x − 3 = k
2
⎪⎩ (x − 1)

⎧x 2 − 6x + 3 = 0
⇔⎨
⇔ x = 3± 6
⎩x ≠ 1
Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
⎡ M = (3 + 6,3 6 − 3)
⎡x = 3 + 6
⎡y = 3 6 − 3

⇒⎢
⇒⎢ 1
⎢
⎣⎢ x = 3 − 6
⎣⎢ y = −3 6 − 3 ⎢⎣ M 2 = (3 − 6, −3 6 − 3)

Cho hàm số y = mx 3 − (m − 1)x 2 − (m + 2)x + m − 1 , (Cm)
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
1.m =1
2. (C) : y = x 3 − 3x ; A(a,2) ∈ (d) : y = 2 ⇒ (d) : y = k(x − a) + 2

⎧x 3 − 3x = k(x − a) + 2
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ ⎨ 2
⎩3x − 3 = k
⎡ x = −1
⇔⎢
2
⎣ f(x) = 2x − (3a + 2)x + 3a + 2 = 0
Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) ⇔ f(x) = 0 có 2 nghiệm khác 1
2
⎧
⎧Δ f > 0
⎧(3a + 2) − 8(3a + 2) > 0
⎪a < − ∨ a > 2
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
3
⎩f ( −1) ≠ 0

⎩ 2 + 3a + 2 + 3a + 2 ≠ 0
⎪⎩a ≠ −1
2
Vậy điểm cần tìm là A(a,2) ; a < − ∨ a > 2 ∧ a ≠ −1
3

Cho hàm số y = −x 4 + 2x 2 − 1 , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
Gọi A(0,a) ∈ Oy , (d) là đường thẳng qua A dạng : y = kx + a
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
⎧−x 4 + 2x 2 − 1 = kx + a
⇔ 3x 4 − 2x 2 − 1 − a = 0 (1)
⎨
3
4x
4x
k
−
+
=
⎩
Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⇔ −1 − a = 0 ⇔ a = −1 . Khi đó 3x 4 − 2x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±

2
3

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)

Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 ; đồ thò (C)
1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên
1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y = k(x − 1) là tiếp tuyến của (C) khi hệ

⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − 1)
có nghiệm ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ k = −3
⎨ 2
⎩3x − 6x = k
Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : y = −3x + 3 kẻ đến (C)
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y = −3x + b
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = −3x + b
⎧ b = x 3 − 3x 2 + 2
⇔⎨
⇒ b = 3 ⇒ (T) : y = −3x + 3
⎨ 2
⎩3x − 6 = −3
⎩x = 1
(T) ≡ (d) vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số y =

x4
5
− 3x 2 + , có đồ thò (C)
2
2

1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ x M = a .CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình (x − a)2 (x 2 + 2ax + 3a2 − 6) = 0
2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ
⎛ a4
5⎞
a4
5
2
1.Gọi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3)
2⎠
2
2
⎝ 2
3
5
Tiếp tuyến tại M có phương trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 +
2
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là :
x4
5
3
5
− 3x 2 + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 +
2
2
2
2

2
2
2
⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 0
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : x 2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 có
⎧⎪ a < 3
⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > 0
⇔
2 nghiệm khác a ⎨ 2
⎨
2
2
⎩ a + 2a + 3a − 6 ≠ 0
⎩⎪ a ≠ 1


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ 1
⎪
Khi đó K ⎨
7 4
5
2
⎪ y K = − x K + 9x K +
⎩
2
2

7

5
Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong y = − x 4 + 9x 2 + và giới hạn bởi 1 ≠ x ≤ 3
2
2

Cho hàm số y = −x 4 + 2mx 2 − 2m +1 có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và
B điểm cố đònh vuông góc nhau
Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và y| = −4x 3 + 4mx
⇒ y|A = 4 − 4m ; y|B = −4 + 4m
Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau ⇔ y |A .y|B = −1
3
5
⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m =
4
4
x +1
Cho hàm số y =
có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ
x −1

được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A có phương trình y = kx + a
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
⎧x +1
⎪⎪ x − 1 = kx + a x + 1
−2x
⇒
=
+ a ⇔ (a − 1)x 2 − 2(a + 1)x + a + 1 = 0 (1)

⎨
2
2
−
x − 1 (x − 1)
⎪
=k
2
⎩⎪ (x − 1)
Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ (1) có 1 nghệm
1
(1)
™ Xét a − 1 = 0 ⇔ a = 1 ⎯⎯→
−4x + 2 = 0 ⇒ x = ⇒ A(0,1)
2
⎧a − 1 ≠ 0
⎧a ≠ 1
⇔⎨
⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1)
™ ⎨
⎩2a + 2 = 0
⎩Δ ' = 0

Cho hàm số y =

x −1
có đồ thò (C)
x +1

Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2

tiếp tuyến đó bằng

π
4

Gọi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x 0 , x 0 ) ⇒ tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng y = k(x − x 0 ) + x 0 (d)
x −1
Phương trình hoành độ của (d) và (C) kx − kx 0 + x 0 =
(1)
x +1
Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép ⇔ kx 2 + (k − kx 0 + x 0 − 1)x + x 0 − kx 0 + 1 = 0

⎧k ≠ 0
có nghiệm kép ⇔ ⎨
2 2
2
2
⎩Δ = (1 + x 0 ) k − 2(x 0 + 3)k + (x 0 − 1) = 0

(2)


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc

π
4
2

⎛ k − k2 ⎞

k − k2
π
= tan = 1 ⇔ ⎜ 1
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa 1
⎟ =1
1 + k1 .k 2
4
⎝ 1 + k1 .k 2 ⎠
⎧x 0 ≠ 1
⎧x 0 + 1 ≠ 0
⎪
⎪
2
2
⇔ ⎨Δ k = 8(x 20 + 1) > 0
⇔ ⎨ ⎡ 2(x 20 + 3) ⎤
⎡ x0 − 1⎤
⎥ −5⎢
⎥ −1 = 0
⎪(k + k ) − 5k .k − 1 = 0
⎪⎢
2
1 2
⎩ 1
⎣ x0 + 1⎦
⎩ ⎣ (1 + x 0 ) ⎦
⎧⎪M(− 7, − 7)
⎧x ≠ −1
⇔ ⎨ 20
⇔ x0 = ± 7 ⇒ ⎨

⎩x 0 + 1 = 8
⎪⎩M( 7, 7)

Cho Parabol (P) : y = 2x 2 + x − 3 . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 450
Gọi M(0,m) ∈ Oy . Phương trình qua M có hệ số góc k là y = kx + m (d)
Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
2x 2 + x − 3 = kx + m ⇔ 2x 2 + (1 − k)x − m − 3 = 0 (1)
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
⇔ k 2 − 2k + 8m + 25 = 0 (2)
Có k1 + k 2 = 2 ; k1 .k 2 = 8m + 25
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 450 khi tan 450 = 1 =

k 2 − k1
1 + k1 .k 2

⇔ (k1 + k 2 )2 − 4k1 k 2 = (1 + k1 k 2 )2 (3)

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 450 khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3)
⎧Δ| = 1 − 8m − 25 = 0
⎧m < −3
⇔⎨ k
⇔⎨
2
2
⎩16m + 112m + 193 = 0
⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26)
3 + 14
3 − 14
⇔m=−

∨m=
4
4
⎛
⎛
3 + 14 ⎞
3 − 14 ⎞
Vậy M1 ⎜ 0, −
, M 2 ⎜ 0,
⎟
⎟
⎜
⎜
4 ⎟⎠
4 ⎟⎠
⎝
⎝

Cho hàm số y =

x2
gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể
x −1

kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 450

Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4
⎧Qua A(a, 4)
có dạng: y = k(x − a) + 4
Gọi (T) là đường thẳng ⎨

⎩Có hệ số góc là k
Và mọi đường thẳng (T1) và (T2) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :
y = k1 (x − a) + 4 và y = k 2 (x − a) + 4


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Do (T1) và (T2) tạo nhau 1 góc 450 khi tan 450 =

k1 − k 2
1 + k1 .k 2

⇔ (1 + k1k 2 )2 = (k1 − k 2 )2 ⇔ (1 + k1k 2 )2 − (k1 + k 2 )2 + 4k1k 2 = 0 (1)

x2
= k(x − a) + 4 có nghiệm kép
x −1
⇔ (1 − k)x 2 − (4 − ka − k)x + 4 − ka = 0 có nghiệm kép khác

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C) ⇔

⎧⎪1 − k ≠ 0
⎪⎧ k ≠ 1
⇔
1⇔ ⎨
⎨
2
⎡
⎤
Δ = (a − 1)2 k 2 − 4(a − 2)k = 0
⎩⎪ k ⎣(a − 1) − 4(a − 2) ⎦ = 0 (2)

⎩⎪

Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 450 khi phương trình (2) có 2 nghiệm k1,k2 (k ≠ 1)
⎧k = 0
⎪
và thỏa mãn hệ thức (1) ⎨
4(a − 2) thỏa mãn (1) khi
⎪ k = (a − 1)2
⎩
4(a − 2)
⎧
⎪ k = (a − 1)2 ≠ 1
⎪
⇔
⎨
2
4(a
−
2)
⎡
⎤
2
⎪ k = 0.(1 + 0) − 0 +
+ 4.0 = 0
⎢
⎪
(a − 1)2 ⎥⎦
⎣
⎩
⎡ a = −1 − 2 2

⇔⎢
⎢⎣a = −1 + 2 2
Vậy A1 (−1 − 2 2, 4) , A 2 (−1 + 2 2, 4)

⎧a ≠ 3
⎪
⎨a ≠ 1
⎪a2 + 2a − 7 = 0
⎩

x2 + x + 2
Cho hàm số y =
có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông
x −1

góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò

⎛
4 ⎞
Giả sử A ⎜ x 0 , x 0 + 2 +
⎟ là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận
x0 − 1 ⎠
⎝
uur ⎛
4 ⎞
⇒ AI = ⎜ 1 − x 0 ,1 − x 0 −
⎟
x0 − 1 ⎠
⎝
uur

Như vậy AI là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc
r ⎛
r uur
⎞
4
4
k = y|(x ) = 1 −
⇒
a
=
1,1
−
là
vectơ
chỉ
phương
củ
a
(d)
;
do
đó
(d)
⊥
(AI)
⇔
a.AI
=0
⎟

⎜
0
(x 0 − 1)2
(x 0 − 1)2 ⎠
⎝

⇒ x0 = 1 ± 4 8
⎛
⎛ 4 4 + 34 8 + 8 ⎞
4 − 34 8 + 8 ⎞
Vậy có 2 điểm A1 ⎜ 1 − 4 8,
,
A
1 + 8,
⎟
⎟⎟
2⎜
4
4
⎜
⎟
⎜
8
8
⎝
⎠
⎝
⎠

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho hàm số y =

x 2 − 3x + 2
.Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp
x

tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) ∈ x = 1 .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − 1) + m
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
⎧ x 2 − 3x + 2
= k(x − 1) + m
⎪⎪
⎧ (x , k )
x
( I ) có 2 nghiệm ⎨ 1 1 thỏa mãn k1 .k 2 = −1
⎨ 2
⎩(x 2 , k 2 )
⎪x − 2 = k
2
⎪⎩ x
Từ ( I ) ⇒ (m + 2)x 2 − 4x + 2 = 0 (*) , x ≠ 0
⎧
⎪
⎧m ≠ −2
⎪⎪m + 2 ≠ 0
⎪⎪
Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = 4 − 2(m + 2) > 0 ⇔ ⎨m < 0
⎪ (x 2 − 2) (x 2 − 2)

⎪
2
2
2
⎪⎩(x1x 2 ) − 2 ⎣⎡(x1 + x 2 ) − 2x1x 2 ⎦⎤ + 4 = −(x1x 2 )
⎪ 1
.
1
=
−
x 22
⎪⎩ x12

⎧−2 ≠ m < 0
⎪
2
⎡⎛ 4 ⎞ 2
⇔ ⎨⎛ 2 ⎞2
4 ⎤
⎛ 2 ⎞
⎪⎜ m + 2 ⎟ − 2 ⎢⎜ m + 2 ⎟ − m + 2 ⎥ + 4 = − ⎜ m + 2 ⎟
⎠
⎠
⎝
⎠
⎣⎢⎝
⎦⎥
⎩⎝
⎧ −2 ≠ m < 0
⎪⎧ −2 ≠ m < 0

⇔⎨ 2
⇔⎨
⇔ m = −3 ± 7
⎪⎩m = −3 ± 7
⎩m + 6m + 2 = 0
Vậy M1 (1, −3 − 7) , M 2 (1, −3 + 7)

Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : y = k(x − m)

⎧x 3 + 3x 2 = k(x − m)
(I)
(d) là tiếp tuyến (C) khi ⎨ 2
3x
+
6x
=
k
⎩
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k
sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1
Khi đó ( I ) ⇔ x 3 + 3x 2 = (3x 2 + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡⎣2x 2 + 3(1 − m)x − 6m ⎤⎦ = 0
⎡x = 0
⇔⎢ 2
⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = 0 (*)
⎡ m < −3
⎧Δ = 3m 2 + 10m + > 0
Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ⎨

⇔⎢ 1
⎢− < m ≠ 0
≠
m
0
⎩
⎣ 3


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
⎧
⎪x1 + x 2 = (m − 1)
Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và ⎨
3
⎪⎩x1x 2 = −3m
Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì k1 = 3x12 + 6x1 , k 2 = 3x 22 + 6x 2 , k 3 = 0

Theo bài toán : k1k 2 = −1 ⇔ (3x12 + 6x1 )(3x 22 + 6x 2 ) = −1
1
1
thỏa m < −3 hoặc − < m ≠ 0
⇒m=
27
3
⎛ 1 ⎞
Vậy M ⎜ , 0 ⎟
⎝ 27 ⎠
2x 2 − x + 1
Cho hàm số y =

có đồ thò (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp
x −1

với Ox góc 450 . Viết phương trình tiếp tuyến đó

Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 là tiếp tuyến có hệ số góc k = ± 1
2
TH1: k = y| = 1 ⇔ 2 −
= 1 ⇒ x = 1± 2
(x − 1)2
⎡ (T ) : y = x + 2 − 2 2
⎡x = 1 − 2
⎡y = 3 − 3 2
⇒⎢
⇒⎢
⇒⎢ 1
⎢⎣(T2 ) : y = x + 2 + 2 2
⎢⎣ x = 1 + 2
⎢⎣ y = 3 + 3 2
2
2
TH2: k = y| = −1 ⇔ 2 −
= −1 ⇔ x = 1 ±
2
(x − 1)
3
⎡
⎡
2
2

⎢x = 1 −
⎢y = 3 − 5
⎡ (T ) : y = − x − 4 − 2 6
3
3
⇒⎢
⇒⎢
⇒⎢ 3
⎢
⎢
2
2
⎢⎣(T4 ) : y = −x + 4 + 2 6
⎢x = 1 +
⎢y = 3 + 5
3
3
⎣
⎣

Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thò (C)
⎛ 23

⎞

1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua A ⎜ , −2 ⎟
⎝ 9
⎠
2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò (C) 2 tiếp tuyến vuông góc
23 ⎞

⎛
1.Tiếp tuyến (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − 2
9 ⎠
⎝
⎧ 3
23 ⎞
⎛
2
⎪x − 3x + 2 = k ⎜ x − ⎟ − 2
Ta có : ⎨
⇒ (x − 2)(3x 2 − 10x + 3) = 0
9 ⎠
⎝
⎪3x 2 − 6x = k
⎩

⎡
⎢ x = 2, k = 0
⎢
⇔ ⎢ x = 3, k = 9
⎢
1
5
⎢x = , k = −
⎣
3
3

⎡
⎢(d) : y = −2

⎢
⇒ tiếp tuyến ⎢(d) : y = 9x − 25
⎢
5
61
⎢(d) : y = − x +
⎣
3
27


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2.Gọi A(a,-2) ∈ y = −2
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình y = k(x − a) − 2
Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là:
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − a) − 2
⇒ (x − 2) ⎣⎡2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎦⎤ = 0
⎨ 2
⎩3x − 6x = k
⎡ x = 2 ; k = 0 ⇒ y = −2
⇔⎢
⎢g(x) = 2x 2 − (3a − 1)x + 2 = 0 có x1 + x 2 = 3a − 1 ; x1 .x 2 = 1
⎣
2
Để từ A dựng 2 tiếp tuyến vuông góc khi g(x) = 0 có 2 nghiệm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1
5
⎧
a < −1 ∨ a >
2
⎪

⎧Δ g > 0
⎧(3a − 1) − 16 > 0
3
⎪
⎪
⎪ 2
⇔ ⎨ k1 .k 2 = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x 22 − 6x 2 ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55
⎪g ≠ 0
⎪a ≠ 2
⎪a ≠ 2
⎩
⎩ (2)
⎪
⎩
55
⎛ 55
⎞
⇔a=
⇒ A ⎜ , −2 ⎟
27
⎝ 27
⎠

Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 2 . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó dựng được 3 tiếp tuyến đến
đồ thò
Gọi A(a,2) ∈ y = 2
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) + 2 là tiếp tuyến của (C) khi hệ :

⎧−x 3 + 3x 2 − 2 = k(x − a) + 2
có nghiệm

⎨
2
⎩−3x + 6x = k
⇒ (x − 2) ⎡⎣ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎤⎦ = 0 ⇔ ⎡ x − 2 = 0
⎢2x 2 − (3a − 1)x + 2 = g(x) = 0
⎣
Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 thỏa :
5
⎧
⎧⎪ Δ g > 0
⎧3(a + 1)(3a − 5) > 0
⎪ a < −1 ∨ a >
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
3
⎩a ≠ 2
⎪⎩a ≠ 2
⎩⎪g(2) ≠ 0
5
Vậy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ 2
3

Cho họ đường cong (Cm) : y =

(m − 1)x + m
, m ≠ 0 .Chứng minh rằng (Cm) tiếp xúc 1 đường thẳng cố
x−m

đònh tại 1 điểm cố đònh khi m: thay đổi

Gọi (x0,y0) là điểm cố đònh mà (Cm) đi qua khi y 0 =

(m − 1)x 0 + m
x0 − m

⇔ (x 0 + y 0 − 1)m − x 0 (y 0 + 1) = 0 : có nghiệm ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧⎪x = 0
⎧x + y 0 − 1 = 0
⎧x = 2
⇔⎨ 0
⇔⎨ 0
∨ ⎨ 0
⎩ x 0 (y 0 + 1) = 0
⎩ y 0 = −1
⎩⎪ y 0 = 1
Điều kiện ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m nên A(0,1) thỏa bài toán

Vậy A(0,1) là điểm cố đònh mà (Cm) đi qua
−m 2
−m 2
|
(0)
=
⇒
y
= −1 ; ∀m ≠ 0

Ta lại có y| =
(x − m)2
(0 − m)2
Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là y − y A = y| (0)(x − x A )
⇔ y = x +1

Cho hàm số y = x 3 − 12x + 12 ,đồ thò là (C) . Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
Gọi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − 4

⎧x 3 − 12x + 12 = k(x − a) − 4
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ ⎨ 2
⎩3x − 12 = k
⎡x = 2
⇔⎢
2
⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + 8 − 6a = 0
Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
⎧Δ > 0 ⎧
4
⎪ g
⎪ a < −4 ∨ a >
⇔⎨
⇒⎨
3
⎪g(2) ≠ 0 ⎩⎪a ≠ 2
⎩
Vậy những điểm A(a, −4);a < −4 ∨ a >

4

∧ a ≠ 2 thỏa bài toán
3

Cho hàm số y = x 4 − 4x 3 + 3 , có đồ thò là (C)
1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt
2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể . Cho biết hoành
độ tiếp điểm
3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình :
x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0
1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng y = ax + b (d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: x 4 − 4x 3 + 3 = ax + b
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = 0 (1)
Để (d) tiếp xúc (C) thì phải có đồng thời 2 nghiệm kép
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = (x − α )2 (x − β)2
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = x 4 − 2(α + β)x 3 + (α 2 + β2 + 4αβ)x 2 − 2αβ(α + β)x


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
⎧α + β = 2
⎧α + β = 2
⎪α 2 + β2 + 4αβ = 0
⎪αβ = −2
⎪
⎪
Đồng nhất thức 2 vế ⎨
⇔⎨
⎪2αβ(α + β) = a
⎪ a = −8
2
2

⎪⎩α β = 3 − b
⎪⎩ b = −1
⎧⎪ tiếp tuyến : y = −8x − 1 (d1 )
⇒⎨
⎪⎩ hoành độ tiếp điểm : α = 1 − 3 ; β = 1 + 3
2.Tiếp tuyến song song y = −8x −1
Ta có y| = −8 ⇔ 4x 3 − 12x 2 = −8 ⇔ ⎡ x = 1 ⇒ y = 0
⎢
⎢x = 1 − 3
⎢x = 1 + 3
⎣
Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình y = −8x + 8 (d 2 )
3. x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3
Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa ⎧(C) : y = x 4 − 4x 3 + 3
⎨
⎩(d) : 8x − m + 3
(d1 ) ∩ Oy = {0, −1}

, (d) ∩ Oy = {0,3 − m}

(d 2 ) ∩ Oy = {0,8}

-m + 3
+∞
8
-1
−∞

m
m < -5

m = -5
-5 < m < 4
m=4
m>4

Nghiệm phương trình
2 nghiệm
3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1)
4 nghiệm phân biệt
2 nghiệm kép x = 1 ± 3
Vô nghiệm

(3m + 1)x − m 2 + m
Cho hàm số y =
, m ≠ 0 có đồ thò là (Cm)
x+m

1.Với giá trò nào của m thì giao điểm của đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với
đường thẳng y = x – 20 . Viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh
3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua
1. (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x 0 − m 2 + m = 0 ⇔ x 0 =
Ta có : y| =

m2 − m
1
; m ≠ 0; m ≠ −
3m + 1
3

4m 2
(3m + 1)2
|
y
⇒
=
0
(x + m)2
4m 2

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 ⇔ y|0 = 1 ⇔
⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + 1
⎡ m = −1 , x 0 = −1 , y 0 = 0
⇔⎢
⇔ ⎢ ⎛3 ⎞
1
3
⎢ B , 0 , (T2 ) : y = x − 3
⎢m = − , x0 = , y0 = 0
⎜
⎟
5
⎣
5
5
⎣⎢ ⎝ 5 ⎠

(3m + 1)2
=1
4m 2

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2.Gọi đường thẳng cố đònh là y = ax + b
(3m + 1)x − m 2 + m
Phương trình hoành độ giao điểm :
= ax + b
x+m
⇔ ax 2 + [(a − 3)m + b − 1] x + m 2 + (b − 1)m = 0

⎧a ≠ 0
⎧a ≠ 0
∀m ⇔ ⎨ 2
ĐKTX : ⎨
2
2
⎩Δ = 0
⎩(a − 10a + 9)m + 2 [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = 0
⎧⎡ a = 1
⎧(T ) : y = x + 1
⎪
⇔ ⎨ ⎣⎢a = 9 ⇔ ⎨ 1
⎩(T2 ) : y = 9x + 1
⎪ b =1
⎩
3.Gọi A(1,a) ∈ x = 1
3m + 1 − m 2 + m
Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a =
vô nghiệm m
1+ m

⇔ m 2 + (a − 4)m + a − 1 = 0 vô nghiệm m khi Δm < 0
⇔ a2 − 12a + 20 < 0 ⇔ 2 < a < 10
Những điểm mà (Cm) không qua là A(1,a) ; 2 < a < 10

Cho đường cong y = 3x − 4x 3 ; đồ thò (C)
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3)
2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng
vuông góc nhau
1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x0 là hoành độ tiếp
điểm , khi đó ta có : ⎧3x 0 − 4x 30 = k(x 0 − 1) + 3 ⇔ ⎧ x 0 = 0 ; k = 3 ; y = 3x
⎪
⎨
2
⎨
3
⎩3 − 12x 0 = k
⎪⎩x 0 = 2 ; k = −24 ; y = −24x + 27
2.Gọi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + 8 . Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc là k đều có phương trình :
y = k(x − a) − 9a + 8 và x0 là hoành độ tiếp điểm khi hệ

⎧3x 0 − 4x 30 = k(x − a) − 9a + 8
có nghiệm
⎨
2
⎩3 − 12x 0 = k
⇔ (x 0 − 1) ⎡⎣2x 20 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a ⎤⎦ = 0
⎡x = 1 ; k = 9
⇔⎢ 0
2
⎣ f ( x 0 ) = 2x 0 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a = 0

Theo bài toán ta có f ( x 0 ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > 0 ⇔ a > ∨ a < −2 (*)
3
f ( x 0 ) = 0 thỏa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t12 )(3 − 12t 22 ) = −1
⇔ 9 − 36 ⎡⎣(t1 + t 2 )2 − 2t1t1 ⎤⎦ + 144t12 t 22 = −1 Với t1 t 2 là 2 nghiệm của f(x 0 ) = 0


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Gọi (Cm) là đồ thò y = f (x) =
tiếp tuyến đó vuông góc với

x 2 + (1 − 2m)x − m
. Hãy xác đònh giá trò m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và 2
x −1

Giải

x 2 + 2x + m
m
; y = x − 2m +
;(m ≠ 0)
2
(x + 1)
x +1
(Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : x 2 + (1 − 2m)x − m = 0 (1) có hai nghiệm
y ' = f '(x) =

⎧⎪Δ = (1 − 2m) 2 − 4(− m) > 0
phân biệt khác -1 ⇔ ⎨

2
⎪⎩(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ 0
⎧4m 2 + 1 > 0
đúng.
⇔ ⎨
≠
m
0
⎩
Vậy với m ≠ 0 thì (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) với x1 , x2 là 2 nghiệm của

phương trình (1). Khi đó ta có : x1 + x 2 = 2m − 1 và x1x 2 = −m
Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1
⎛ x 2 + 2x + m ⎞⎛ x 2 + 2x + m ⎞
1
2
⎟⎜ 2
⎟ = −1
⇔⎜ 1
⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟
1
2
⎝
⎠⎝
⎠
⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 2 + 2x 2 + m) = − ( x1 + 1) ( x 2 + 1)
2

2

⇔ (x1x 2 )2 + 2x1x 2 (x1 + x 2 ) + m(x12 + x 2 2 ) + 2m(x1 + x 2 ) + m 2 + 4x1x 2 = −(x1x 2 + x1 + x 2 + 1)2
⇔ 4m 2 + m(2m − 1)2 − 4m = −m 2
⇔ m(4m 2 + m − 3) = 0

⇔ m = 0 (loại) V m = −1 V m =
Vậy

m = −1 V m =

3
4

3
4

Nhận xét :

1) Nếu ko đặt điều kiện m ≠ 0 để tồn tại (Cm) là hàm hữu tỉ hoặc không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai
nghiệm khác mẫu số (nghóa là m ≠ 0 ) thì ắt hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm thì kết quả sai.
2) Thông thường các em quen dùng Viet cho y' . Nhưng yêu cầu bài toán không đề cập y' để
f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 trong Viet của phương trình bậc hai.

1/ Cho hàm số y = x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 5 có đồ thò (C) .Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại hai điểm
phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm.
2/ Chứng minh rằng có 1 tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc (C) : y = x 4 + 4 x3 − 2 x 2 + 7 x + 6 tại hai điểm phân
biệt . Tìm toạ độ tiếp điểm.
3/ Xác đònh a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) : y = x 4 − 6 x3 + x 2 + 26 x + 3 tại hai điểm
phân biệt. Tìm toạ độ tiếp điểm

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1/

Gọi (d) : y = ax + b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) : x ≠ 3 x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = ax + b
⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = 0
Phương trình (1) phải có 2 nghiệm kép x1 , x2 phân biệt.

(1) viết lại ⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = ( x − x1 ) 2 ( x − x2 ) 2 = 0
⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = x 4 − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡⎣( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 x2 ⎤⎦ x 2 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 2 = 0

Đồng nhất thức hai vế ta được:
⎧2( x1 + x2 ) = 2
⎧ x1 + x2 = 1
⎪
⎪ x x = −2
2
⎪ 1 2
⎪( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = −3
⇔
⎨
⎨
⎪a = −4
⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a
2
2
⎪⎩b = 1
⎪x x = 5 − b
⎩ 1 2

⇒ tiếp tuyến của (C) tại hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình
: x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x= -1 V x= 2
Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1,5) ; B (2,-7)
2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)
(m − 1) x 2 − (5m + 2) x + 2m − 14
Cho (C) : y =
và (d) : y = 2mx + 2 .
x−3

1. Xác đònh m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B.
2. Gọi M là giao điểm của (d) và trục Oy. Tính theo m toạ độ của điểm N trên (d) thoả mãn hệ thức
uuur
uuur
NA
MA
uuur = − uuur .
NB
MB
3. Tìm quỹ tích điểm N khi m thay đổi.
1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

(m − 1)x 2 − (5m + 2)x + 2m − 14
=2mx+2; x ≠ 3
x −3

⇔ (m + 1) x 2 + (4 − m) x + 8 − 2m = 0 (1).
(d) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
4
⎧
⎧m + 1 ≠ 0
⎪m < − V m > 4
⇔⎨
9
⎨
2
⎩Δ = 9m − 32m − 16 > 0
⎪⎩ m ≠ -1
uuur
uuur
⎛x −x ⎞
x −x
NA
MA
2. uuur = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟
xB − x N
NB
MB
⎝ xB − xM ⎠
⇔ ( x A + x B ) x N = 2 x A xB ⇔ x N = 4

yN = 2mxN + 2 = 2 − 8m ⇒ N (-4,2-8m).
⎧2 − y
≠ −1
⎪
m
≠

−
1
⎧
⎧ y ≠ 10
8
⎪
⎪
⎪
⎪
4
⎪ ⎡ y < −30
9
⎪⎡ 2 − y
3. xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giới hạn bởi: ⎨ ⎢⎡ m < −
⇔ ⎨⎢
< − ⇔ ⎨⎢
9
4
⎪⎢
⎪ ⎢ y > 50
⎪⎢ 8
⎪⎩ ⎣ m > 4
⎪⎢ 2 − y
⎪⎩ ⎣
9
⎪ ⎢⎣ 8 > 4
⎩
50
Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y >
với y ≠ 10

9

Cho hàm số : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) .Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một
tiếp tuyến tới đồ thò (C).
Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3 x02 − 2 . Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng
y = k ( x − x0 ) + y0
⎧⎪− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0
(t) tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm : ⎨
với y0 = − x03 + 3 x02 − 2
2
⎪⎩−3 x + 6 x = k
⇔ ( x − x0 ) ⎡⎣ −2 x 2 + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤⎦ = 0

⎡ x − x0 = 0
⇔⎢
2
⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3)
⎡ x = x0
⇔⎢
2
⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ 1
⎡ x = x0
⇔⎢
⎢ x = x0 Vx = 3 − x0
⎣
2
⎡ k = −3 x0 2 + 6 x0
⎡ x = x0
⎢
2

⇔⎢
⇒⎢
−
3
x
⎛ 3 − x0 ⎞
⎛ 3 − x0 ⎞
0
⎢x =
+ 6⎜
k = −3 ⎜
⎟
⎟
⎢
⎣
2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎣

3 − x0
. Muốn có 1 và chỉ 1 tiếp tuyến
2
3 − x0
với (C) , điều kiện cần và đủ là 2 tiếp điểm phải trùng nhau ⇔ x0 =
⇔ x0 = 1, y0 = 0 . Khi đó hệ số
2
góc của tiếp tuyến là k = 3.

Vậy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có 2 tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x =

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm M 0 (1, 0)

Cho đường cong y = − x3 + 3x + 2 tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với
đường cong

Gọi M ( x0 , 0) ∈Ox : Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x − x0 ) ;(t)
(t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
3
2
⎪⎧ − x + 3 x − 2 = k ( x − x0 )
⇔ ( x + 1) ⎣⎡ 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎦⎤ = 0;(1)
⎨
2
⎪⎩ −3 x + 6 x = k
Qua M ( x0 , 0) vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong khi : (1) có 3 nghiệm phân biệt
⎧⎪Δ = (3x0 + 2) 2 − 8(3x0 + 2) > 0
; f ( x) = 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2
⇔⎨
⎪⎩ f ( −1) = 6 x0 + 6 > 0
2
⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > 2
3
Viết phương trình tiếp tuyến chung của y = x 2 − 2 x ; y = x3 + 2 x − 4
Gọi y= ax+b là tiếp tuyến chung và giả sử x1 , x2 là hoành độ tiếp điểm. Với y = x 2 − 2 x và
y = x3 + 2 x − 4 . Khi hệ sau có nghiệm
⎧
⎧ x12 − 2 x1 = ax1 + b;(1)

⎪b = x12 − 2 x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12
⎪
⎪
3x 2 + 4
⎪2 x1 − 2 = a;(2)
⎪
⇒ ⎨ x1 − 2 = 3x2 2 + 2 ⇒ x1 = 2
⎨ 3
2
⎪ x2 + 2 x2 − 4 = ax2 + b;(3) ⎪
⎪3 x 2 + 2 = a;(4)
⎪ 3
(3 x2 + 4) 2
2
⎩ 2
2
4
(3
2)
x
x
x
x
+
−
=
+
−
⎪ 2
2

2
2
4
⎩
4
3
⎧9 x2 − 8 x2 + 24 x2 = 0
⎪
2
⎧ x2 = 0
⎪a = 3 x2 + 2
⎪
⎪
⇔⎨
⇒ ⎨a = 2 ⇒ y = 2 x − 4
3 x2 2 + 4
⎪ x1 =
⎪b = −4
2
⎩
⎪
2
⎪⎩b = − x1

Cho hàm số y =

x+2
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số đi qua A (-6,5)
x−2

Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k : y = k ( x + 6) + 5 , (d)
(d) là tiếp tuyến của đồ thò (C)


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
4
4
⎧
⎧
⎪⎪1 + x − 2 = k ( x + 6) + 5 ⎪⎪1 + x − 2 = k ( x − 2) + 8k + 5
⇔⎨
⎨
4
⎪−
⎪− 4 2 = k
=k
2
⎩⎪ ( x − 2)
⎩⎪ ( x − 2)
4
4
⎧
⎪⎪1 + x − 2 = − x − 2 + 8k + 5 ⎪⎧ 2 = 2k + 1
⇔⎨
⇔ ⎨x−2
4
⎪−
⎪−(2k + 1) 2 = k
=k
2

⎩
⎪⎩ ( x − 2)

⎡ k = −1
1
1
7
⇔⎢
với k = -1 :y= -x -1 với k = − : y = − x +
1
⎢k = −
4
4
2
⎣
4

Cho hàm số y =

4 + mx − 3x 2
.Với giá trò nào của m thì tiếp tuyến của đồ thò tại điểm có hoành độ x = 0
4x + m

vuông góc với tiệm cận.
•
•
•

Tiệm cận đứng : 4 x + m = 0 .
3

7
Tiệm cận xiên : y = − x + m.
4
16
2
2
12 x − 6mx + m − 16
y' =
(4 x + m)2

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thò tại x0 = 0 là y '(0) =
tiếp tuyến vuông góc với TCĐ thì k = 0 ⇔

m 2 − 16
=k
m2

m 2 − 16
= 0 ⇔ m = ±4
m2

3
TCX ⇔ − k = −1 vô nghiệm.
4
⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi m = ±4

Cho hàm số ( Hm) : y =

mx − 3
x+m−4

1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
2/ Với m= 2 . Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương 1350 . Viết
phương trình tiếp tuyến.

m 2 − 4m + 3
. Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ⇔ y ' < 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 < 0
2
( x + m − 4)
1< m < 3 ⎫
⇔
⎬⇒ m= 2
gt : m ∈ Ζ ⎭
2x − 3
.
2/ m=2 ⇒ y =
x−2

1/ y ' =


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 =

2 x0 − 3
x0 − 2

⎫
1
⎪

=1
⎬⇒
( x0 − 2) 2
0
⎪
k = y '0 = tan135 = −1⎭
y '0 = −

1
( x0 − 2) 2

⎡ x0 = 3; y0 = 3 ⎡ M 1 (1,1)
⇒⎢
→⎢
⎣ M 2 (3,3)
⎣ x0 = 1; y0 = 1
M : y = −x + 2
phương trình tiếp tuyến tại 1
M 2 : y = −x + 6

Cho hàm số y =

2 x2 − x + 1
x −1

1/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 3 điểm M kẻ được đến (C) chỉ 1 tiếp tuyến // Ox
2/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao từ điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến lập với
nhau 1 góc 450
ĐS: 1/ M 1 (1, 7), M 2 (2, 7), M 3 (3, 7)
2/ M1 (−3 ± 2 6); M 2 (5 ± 2 2)

x 2 + mx + m
Cho hàm số y =
; đồ thò (Cm) ; m tham số .Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại hai
x+2

điểm phân biệt và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

x 2 + mx + m
= 0 có hai nghiệm phân
Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình :
x+2
⎧ Δ = x 2 − 4m > 0
biệt khi x 2 + mx + m =0 có 2 nghiệm phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨
⎩ 4 − 2m + m ≠ 0
⎡m < 0
. Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành
⇔⎢
⎣m > 4
độ xA , xB là nghiệm của phương trình : x 2 + mx + m = 0.

Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau . ⇔ y '( A) y '( B ) = −1
⎛ x 2 + 4 x A + m ⎞ ⎛ xB 2 + 4 xB + m ⎞
⇔⎜ A
⎟⎜
⎟ = −1
2
2
⎝ ( x A + 2)
⎠ ⎝ ( xB + 2)
⎠

2
⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1)

⎧ x A xB = m
Với ⎨
thì (1) ⇔ (4 − m) 2 m + (4 − m 2 ) = 0
⎩ x A + xB = − m
⎡ m= 4 (loai) vì m >4
⎢ m= -1 ( nhân) vì m< 0 ⇔ m = −1
⎣

Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 1 có đồ thò là (Cm). Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) tại 3 điểm
phân biệt A (0,1) , B,C sao cho các tiếp tuyến tại B và C của (Cm) vuông góc


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎡x = 0
Ta có : x3 + mx 2 + 1 = − x + 1 ⇔ ⎢
. Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì f(x) = 0
2
⎢⎣ f ( x ) = x + mx + 1 = 0
buộc có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ Δ ' f = m2 − 4 > 0 ⇔ m< -2 V m > 2

⎧ x1 + x2 = m
(I )
và x1 , x2 là hoành độ của B và C thoả : ⎨
⎩ x1 x2 = 1
Ta có hệ số góc tiếp tuyến tại B là : k1 = y '( x1 ) = (3x12 + 2mx1 )
hệ số góc tiếp tuyến tai C là : k2 = y '( x2 ) = (3x2 2 + 2mx2 )

Để 2 tiếp tuyến tại B và C vuông góc thì: k1k2 = −1
⇔ x1 x2 ⎡⎣9 x1 x2 + 6m( x1 + x2 ) + 4m 2 ⎤⎦ = −1; ( II )

Từ (I) và (II) ⇒ m 2 = 5 ⇒ m = ± 5 thoả m< -2 Vm> 2.
Vậy m = ± 5 thoả bài toán.

Cho đường cong (Cm) : y = − x3 + mx 2 − m và đường thẳng (d k ) : y= k(x+1)+1 . Tìm điều kiện giữa k và m
để (d k ) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt . Tìm k để (d k ) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
(d k ) : y=k(x+ 1)+1 luôn qua A(-1,1) nên (d k ) có điểm chung (Cm) là A. Phương trình hoành độ giao

điểm của (d k ) và (Cm) : − x 3 + mx 2 − m = k(x+1)+1

⇔ ( x + 1) ⎡⎣ x 2 − (1 + m) x + m + k + 1⎤⎦ = 0
⎡x = 1
⇔⎢
2
⎣ g ( x) = x − (1 + m) x + m + k + 1 = 0
Để (d k ) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt khi g(x)= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1

1 2
⎧
⎧⎪Δ g > 0
⎪k < (m − 2m − 3)
⇔⎨
⇔⎨
4
⎪⎩k ≠ −2m − 3
⎩⎪ g ( −1) ≠ 0
Do (d k ) qua A (-1,1) ∈ (Cm) nên (d k ) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau thì (d k ) qua điểm uốn
2

2
⎛m
⎞
⎛m ⎞
I ⎜ , − m + m3 ⎟ của (Cm) khi đó toạ độ I thoả (d k ) : − m + m3 = k ⎜ + 1⎟
27 ⎠
27
⎝3
⎝3
⎠
3
4m
2(m + 1)
⇒k =
−
27(m + 1)
m+2

x 2 + 3x + a
, a là tham số .
x +1
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò khi : a= 3 ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= 5 hoặc S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 .

Xét hàm số y =

2/ Với những giá trò nào của tham số a thì đồ thò của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường
phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ ? CMR khi đó đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu .


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

x2 + 2x + 3 − a
; x ≠ 1 tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ nhất y=x là đường
( x + 1)2
thẳng có phương trình : y= -x +m. (t). với (t) là tiếp tuyến của(C) khi hệ sau cónghiệm
⎧ x 2 + 3x + a
⎪ x + 1 = − x + m, (1)
⎪
⎨ 2
⎪ x + 2 x + 3 − a = −1, (2)
⎪⎩ ( x + 1) 2
y' =

(1) có nghiệm x ≠ 1 ⇔ x 2 + 3x + a = (− x + m)( x +1) có nghiệm x ≠ −1
⎧⎪(4 − m) 2 − 4.2( x − m) ≥ 0
⇔⎨
2
⎪⎩ g ( −1) = 2(−1) + (4 + m)(−1) + a − m ≠ 0
⎧m 2 ≥ 8a + 16
⇔⎨
⎩a ≠ 2
(2) có nghiệm x ≠ −1 ⇔ x 2 + 2 x + 3 − a = −( x + 1) 2 . Có nghiệm x ≠ −1 .
⇔ 2( x + 1) 2 = a − 2 có nghiệm x ≠ −1
⎧⎪a − 2 ≥ 0
⎧a ≥ 2
⇔⎨
⇔⎨
⇔a>2
2
⎪⎩h( −1) = 2(−1 + 1) ≠ a − 2
⎩a ≠ 2

⎧c 2 ≥ 8a − 16
Điều kiện chung của hệ (1),(2) để có nghiệm x ≠ −1 là : ⎨
⎩a > 2

Với a > 2 , y'= 0 ⇔

x2 + 2 x + 3 − a
=0
( x + 1) 2

⎧ x 2 + 2 x + 3 − a = 0; Δ ' = a − 2
⇔⎨
⎩ x ≠ −1
y'= 0 có Δ ' = a − 2 > 0 , do đó có 2 nghiệm phân biệt , nên đổi dấu 2 lần qua nghiệm . Hàm số có cực đại ,
cực tiểu.
Có thể kiểm nghiệm với a = 3 ⇒ C 2 ≥ 8 chọn C 2 = 9 ⇒ C = ±3 . Khi đó có 2 tiếp tuyến :
⎛ 5 4⎞
⎛ 1 10 ⎞
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Lần lượt tiếp xúc với (C) tại M 1 ⎜ − , − ⎟ ; M 2 ⎜ − , ⎟
⎝ 3 3⎠
⎝ 3 3⎠

Cho hàm số : y = x + 1+

4
; có đồ thò là (C)
x −1

Tìm quỹ tích những điểm trong mặt phẳng từ đó dựng được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến này
vuông góc với nhau .

Gọi M(x0 , y0) là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ; x0 ≠ 1
Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x0) + y0 ; (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C) là:
k(x- x0) + y0 = x + 1 +

4
<=> (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – 3 = 0 (*)
x −1


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Để (d) tiếp xúc (C) khi (*) có nghiệm kép

⎧k ≠ 1
⎧k − 1 ≠ 0
<=> ⎨
<=> ⎨
2 2
2
⎩Δ = 0
⎩ g (k ) = ( x0 − 1) k + ( x0 + 2 y0 + 5)k + ( y0 − 2) − 16 = 0
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc thì g(k) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt k1, k2 sao cho k1k2 = -1
và k ≠ 1
⎧ ( y0 − 2) 2 − 16
= −1
⎪
2
⎪ ( x0 − 1)
⎪
<=> ⎨ g (1) ≠ 0

<=>
⎪( x − 1) 2 ≠ 0
⎪ 0
⎪⎩

⎧⎪( x0 − 1) 2 + ( y0 − 2) 2 = 16
⎨
⎪⎩ x0 ≠ 1 => y0 ≠ 6 ∨ y0 ≠ −2

Vậy quỹ tích những điểm M từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thò (C) là đường tròn tâm I(1,2)
, bán kính R = 4 có phương trình : (x -1)2 + (y – 2)2 = 16 trừ đi 2 điểm : (1,-2) và (1, 6)

Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thò là (Cm)
1. Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thò (C) : y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt
A và B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
2. Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E . Tìm m để các
tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
3. Tìm a để mọi x : f(x) = (x -2)2 + 2 x − a ≥ 3
1. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (C) là :
x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +7 <=> f(x) = x2 +mx – 6 = 0
f(x) = 0 luôn có 2nghiệm phân biệt (Vì Δ f = m2 + 24 > 0) A,B thỏa
A(x1, x13 + 2 x12 + 7 ) ; B( x2 , x23 + 2 x22 + 7 ) ; với x1, x2 là nghiệmsố củaf(x) = 0 có x1 + x2 = -m
Gọi I là tọa độ trung điểm của AB thì :
x1 + x2 −m
⎧
⎪⎪ xI = 2 = 2
I⎨
3
3
⎪ y = y1 + y2 = x1 + x2 + ( x 2 + x 2 ) + 7 = −m − 18m + m2 + 19

1
2
⎪⎩ I
2
2
2
m
=
−
2
x
⎧
I
⎪
=>yI = 4 xI3 + 4 xI2 + 18 xI + 19
<=> ⎨
−(−2 xI )3 − 18(−2 xI )
2
+ (−2 xI ) + 19
⎪ yI =
2
⎩
Vậy quỹ tích trung điểm I là đường cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và y = 1 là :
x3 + 3x2 +mx + 1 = 1 <=> x(x2 + 3x + m) = 0
⎡x = 0
<=> ⎢
2
⎣ g ( x) = x + 3x + m = 0(2)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Để (Cm) cắt y = 1 tại 3 điểm C(0,1) ; D và E khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=>
⎧9 − 4m > 0
9
<=> 0 ≠ m <
⎨
4
⎩m ≠ 0

⎧ xD + xE = −3
Khi đó gọi xD , xE là hoành độ của D,E ta có : ⎨
⎩ xD . xE = m
Tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc khi y '( xD ) . y '( xE ) = −1
⇔ (3xD2 + 6 xD + m)(3xE2 + 6 xE + m) = −1
⇔ xD2 .xE2 − m[( xD + xE )2 − 2 xD xE ] + m 2 = −1
<=> 4m2 – 9m + 1 = 0 <=> m =
Vậy m =

9 ± 65
9
;0 ≠ m <
8
4

9 ± 65
8

3. f(x) = (x – 2)2 + 2 x − a ≥ 3, đặt g(x) = (x -2)2 + 2 x − a − 3
ta cần chứng minh f(x) ≥ 3 <=> min g(x) ≥ 0 ; ∀x

* Nếu x – a ≥ 0 <=> x ≥ m ; khiđó g(x) = (x – 2)2 +2(x – a) – 3 có:
g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1

x
g’(x)
g(x

a

1
0

-

+∞

+

-2a

x ≥ a =>a ≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a ≤ 0
*Nếu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2 - 2 x − a − 3 ; g’(x) = 2x – 6
g’(x) =0 <=> x = 3
x
g’(x)
g(x)

−∞

-

3
0

+

a

2a – 8

x ≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 ≥ 0 => a ≥ 4
Vậy a ≤ 0 ∨ a ≥ 4

+∞