Các phương pháp chưng minh bất đẳng thức hay

ABC

www.MATHVN.com

___________ n hữ n g ph ơ n g ph á p c h ứ n g m in h

bĐ T đ ộ c đ á o

___________

1

G LA

g la



n h ữ n g p h ơ n g p h á p c h ứ n g m in h

abc

LI NểI U
Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh
nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc
gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th
thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao
o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht.
Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo
cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong
nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s

mi m v phng phỏp, sõu sc v kin thc. Bờn cnh h l nhng tỏc phm tuyt nh nh : Dn
bin, Only ABC, GLAvi sc sỏt thng khng khip khi ng cnh nhng BT nh cao
Cú l vỡ th m BT khụng cũn ng kiờu hónh nh trc na, gi õy mt a tr 15, 17
tui cú th nhỡn nhng BT ng cp quc t ca nhng nm v trc vi n ci ngo ngh
Nhng cỏi lung linh huyn o ú cha hn ó b chinh phc, bi trong dõn gian õu ú vn cũn m
o búng ca nhng anh ti cha hộ l.

May mn cho tụi bi tụi ớt nht cng ó mt ln c bit n nhng iu mi l ú, cú th
vi tụi mt phỏt minh, 1 sỏng kin quỏ xa vi bi cũn quỏ mờnh mụng nhng BT tụi ch dỏm nhỡn
ngm nú t rtrt xa, cú nhng phng phỏp gii toỏn tụi c hng trm ln m cha hiu ht s
gi gm ca tỏc gi . Nhng cú mt ai ú ó núi rng : ng s hói khi phi i u vi mt i
th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnhtụi thy mỡnh mnh
m hn !!!

- phạm kim chung ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

www.mathvn.com


ABC

www.MATHVN.com

___________ ∑ n h÷ n g ph − ¬ n g ph ¸ p c h ø n g m in h

b§ T ® é c ® ¸ o

___________

2

G LA

I.

1

KĨ THUẬT CÔ – SI NGƯỢC DẤU .

# Bài 1 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức :
a
b
c
3
+
+
≥
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2
a
ab 2 AM − GM
ab 2
ab
=a−
≥ a−
=a−
. Hoàn toàn tương tự ta có :

BG . Ta có :
1 + b2
1 + b2
2b
2

(a + b + c) = 3
a
b
c
1
3
+
+
≥ ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ≥ . Do ab + bc + ca ≤
2
2
2
3
1+ b 1+ c 1+ a
2
2
2

# Bài 2 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = 4 .Chứng minh bất đẳng thức
a
b
c
d
+

+
+
≥2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ d 1+ a2
BG . Hoàn toàn tương tự Bài 1 . Lưu ý rằng :

⎡( a + c ) + ( b + d ) ⎤⎦
ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) ≤ ⎣
=4
AM − GM
4
2

# Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = 4 .Chứng minh bất đẳng thức
a
b
c
d
+
+
+
≥2
2
2
2
1 + b c 1 + c d 1 + d a 1 + a 2b
b ( a + ac )

a
ab 2 c AM − GM
ab 2 c
b a.a.c AM − GM
BG . Ta có :
=a−
≥ a−
=a−
≥ a−
2
2
1+ b c
1+ b c
2
4
2b c
Hoàn toàn tương tự ta có :
a
b
c
d
1
1
+
+
+
≥ ( a + b + c + d ) − ( ab + bc + cd + da ) − ( abc + bcd + cda + dab ) Lại có :
2
2
2

2
1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b
4
4

⎡( a + c ) + ( b + d ) ⎤⎦
ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) ≤ ⎣
=4
AM − GM
4
2
2
AM − GM ( b + c )
(a + d ) c + b =
và abc + bcd + cda + dab = bc ( a + d ) + da ( c + b ) ≤
a
+
d
+
(
)
(
)
4
4
2
AM − GM ( a + b + c + d )
b + c )( a + d )
(
=

(a + b + c + d) ≤
( a + b + c + d ) = 4 . ⇒ đpcm
4
16
2

# Bài 4 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0 .Chứng minh bất đẳng thức :
a3
b3
c3
d3
a+b+c+d
+
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c +d
d +a
2
3

2
2
−
AM
GM
a
ab
ab
b
=a− 2
≥ a−
=a− .
BG . Ta có : 2
2
2
a +b
a +b
2ab
2
Hoàn toàn tương tự ta sẽ giải quyết được BĐT trên .
# Bài 5 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = 3 .Chứng minh bất đẳng thức :
a2
b2
c2
+
+
≥1
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2
a2
2ab 2 AM − GM

2ab 2
2
BG . Ta có :
=a−
≥ a−
= a − 3 a 2 .b 2 . Lại có :
2
2
3
4
a + 2b
a + 2b
3
3 ab
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình

www.mathvn.com


ABC

www.MATHVN.com

___________ n hữ n g ph ơ n g ph á p c h ứ n g m in h

bĐ T đ ộ c đ á o

___________

G LA

a2
2
1 + 2ab
. Do ú :
a (1 + 2ab )
2
a + 2b
9
3
Hon ton tng t ta cú :
a2
b2
c2
4
2
4 2
+
+
( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) 3 = 1 . pcm .
2
2
2
a + 2b
b + 2c
c + 2a
9
3
3 3
3

a 2 .b 2 = 3 1.ab.ab

AM GM



# Bi 6 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = 3 .Chng minh bt ng thc :
a2
b2
c2
+
+
1
a + 2b3 b + 2c3 c + 2a 3
a2
2ab3 AM GM
2ab3
2
BG . Ta cú :
=a
a 2 3 = a b 3 a2
3
3
a + 2b
a + 2b
3
3b a
AM GM
1 + 2a

. n õy tng t Bi 5 .
Li cú : b 3 a 2 = b 3 1.a.a b.
3
# Bi 7 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = 3 .Chng minh bt ng thc :
a +1 b +1 c +1
+
+
3
b2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
BG . Bi toỏn ny cú cỏch lm tng t Bi 1. chng qua tỏc gi ch cng thờm i lng
1
1
1
vo v trỏi ca BT ó CM .
+ 2
+ 2
2
b +1 b +1 c +1
# Bi 8 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = 4 .Chng minh bt ng thc
a +1 b +1 c +1 d +1
+
+
+
4
1 + b2 1 + c2 1 + d 2 1 + a 2
# Bi 9 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = 4 .Chng minh bt ng thc
1
1
1
1

+
+
+
2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ d 1+ a2
# Bi 10 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = 3 .Chng minh bt ng thc :
a2
b2
c2
3
+
+

2
2
2
a+b
b+c
c+a
2

ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

www.mathvn.com

3

www.MATHVN.com

ABC

___________ n hữ n g ph ơ n g ph á p c h ứ n g m in h

bĐ T đ ộ c đ á o

4

___________

G LA

II.

1 S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC

Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi
Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005. Sau ú trờn din n toỏn
hc : www.mathscope.org tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN
Cỏi hay ca phng phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc. Ta i vo mt s
VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú.
# Bi 1. Cho a, b,c R :a + b + c = 6 . Chng minh rng : a 4 + b 4 + c 4 2 ( a 3 + b3 + c3 )
-

BG .
Li gii 1. Thc ra bi toỏn vi bi toỏn ny thỡ gó khng l Cauchy Schwarz (BunhiaCopxki) s
khut phc nú khụng my khú khn.

( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c3 )

CS SCW



( a 2 + b2 + c2 ) ( a 2 + b2 + c2 )
2

CS SCW

T ú ta cú : ( a 2 + b 2 + c 2 )( a 4 + b 4 + c 4 )

(a

3

(a + b + c)

2

3

a 3 + b3 + c3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 )

+ b 3 + c3 ) 2 ( a 2 + b 2 + c 2 )( a 3 + b3 + c3 ) .
2

Li gii 2. S tht thiu sút khi khụng nhc n s sỏt thng kinh hong ca BT AM GM

-

(Cụ-si ) . Ta cú : a 4 + 2a
AM GM

Li cú : a 3 + 2

AM GM



AM GM

3a 3 , b 4 + 2b

AM GM

3a, b3 + 2

AM GM

3b, c3 + 2

AM GM

3b3 ,c 4 + 2c

3c3 .

3c . Do ú :

a + b + c + 2 ( a + b + c ) 2 ( a + b + c ) + 3 ( a + b + c ) 6 pcm
- Li gii 3. Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc :
4

4

4

3

3

3

Ta cú : a 4 2a 3 ( 8a 16 ) = ( a 2 ) ( a 2 2a + 4 ) 0 a 4 2a 3 8a 16 . Tng t ta cú :
2

a 4 + b 4 + c 4 2 ( a 3 + b3 + c3 ) 8 ( a + b + c ) 48 = 0 pcm

Nu nhỡn qua thỡ Li gii 3. cú v thiu t nhiờn khi i lng ( 8a 16 ) xut hin. Nhng ú cng chớnh
l im mu cht ca phng phỏp tip tuyn.
Nhn xột :
Nu y = ax + b l tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti im A(x0 ; y0) ( A khụng phi l im
un) khi ú tn ti mt khong ( ; ) cha im x0 sao cho f ( x ) ax + b, x ( ; ) hoc
f ( x ) ax + b, x ( ; ) .
n

n

f ( x ) a x
i =1

i

i =1

i

ng

thc

+ nb, x i ( ; ) hoc

xy

ra

n

khi
n

f ( x ) a x
i =1

i

i =1

i

x

=

x0

.

T

õy

ta

cú

+ nb, x i ( ; )

Phng trỡnh tip tuyn ti A(x0 ; y0) l : y y0 = f(x0)(x x0)

Nh vy trong li gii 3. phng trỡnh y = 8x 16 chớnh l tip tuyn ca th hm s ti x0 = 2 .
V chng minh x 4 2x 3 ( 8x 16 ) 0 , ta ch vic chia a thc ny cho ( x 2)2 .
# Bi 2 . Cho a, b,c > 0: a + b + c = 1 . Chng minh bt ng thc :
a
b
c

9
+
+

1 + bc 1 + ca 1 + ab 10
BG . Trc khi gii bng phng phỏp tip tuyn nh t tng ca tỏc gi, tụi s gii quyt nú bi mt BT
quen thuc : BT Schwarz .

a2
b2
c 2 Schwarz ( a + b + c ) AM GM
+
+


Ta cú : VT =
a + abc b + bca c + cab
a + b + c + 3abc
2

1
1+

(a + b + c)

3

=

9

10

9
_ Li gii bng phng phỏp tip tuyn : gii c bng phng phỏp tip tuyn, nht thit phi chuyn
BT ó cho v 1 BT cha cỏc biu thc di dng 1bin s.
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

www.mathvn.com


www.MATHVN.com

ABC

___________ n hữ n g ph ơ n g ph á p c h ứ n g m in h

bĐ T đ ộ c đ á o

___________

5

G LA

a AM GM
Ta cú :

1 + bc

a

4a
. Tng t nh vy ta s a BT ó cho v dng tng ng
=
2
2
(b + c)
+

4
1
a
(
)
1+
4
4a
4b
4c
9
4x
, o hm :
nh sau : 2
. Xột hm s f (x) = 2
+ 2
+ 2
x 2x + 5
a 2a + 5 b 2b + 5 c 2c + 5 10
4x 2 + 20
1
99x 3

. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = ( im ri ) l : y =
f '(x) =
.
2
100
3
( x 2 2x + 5)

2
99x 3 (3x 1) (15 11x )
4x

=
0, x ( 0;1) . n õy bi toỏn ó tỡm ra hng i !
100
100(x 2 2x + 5)
x 2 2x + 5
# Bi 3 . Cho a, b,c l di ba cnh tam giỏc . Chng minh bt ng thc :
1 1 1
9
1
1
1
+ + +
4
+
+

a b c a+b+c
a+b b+c c+a

BG. Chun húa : Bt ng thc ó cho thun nht nờn ta ch cn chng minh BT ỳng vi mi s thc
dng tha món : a + b + c =1. Khi ú BT ó cho tr thnh :
1 4
1 4
1
4
+
+
9 f (a ) + f (b) + f (c) 9

1 a a 1 b b 1 c c
5x 1
1
Xột hm s f ( x ) =
, tip tuyn ti im cú honh x0 = l : y = 18x 3
2
xx
3
2
( 3x 1) ( 2x 1) . Do a, b, c l 3 cnh ca tam giỏc nờn :
Xột f(x) (18x 3) =
x x2
1
1
1 = a + b + c > 2a (2b, 2c) do ú x < suy ra : f (x) (18x 3) 0, x 0; . T ú ta gii quyt
2
2
bi toỏn !
3
# Bi 4 ( V Toỏn Ba Lan 1996 ). Cho a, b,c tha món : a+ b+ c =1. Chng minh bt ng thc

4
a
b
c
9
+
+

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 10
x
1
36x + 3
BG . Xột hm s : f (x) = 2
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = l : y =
x +1
50
3
2
( 3x 1) ( 4x + 3) 0, x 3
36x + 3
f (x) =
. T ú ta cú li gii !
Xột
50
4
50 x 2 + 1

Do ú :

(

)

# Bi 5 ( JAPAN MO 2002 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :

( b + c a ) (c + a b) (a + b c)
+
+
2
2
2
( b + c ) + a 2 ( c + a ) + b 2 ( a + b ) + c2
2

2

2



3
5

BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :

(1 2a )

2

(1 2a )

(1 2a )

2

2

3

2a 2 2a + 1 2a 2 2a + 1 2a 2 2a + 1 5
4x 2 4x + 1
54x + 23
1
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = l y =
Xột hm s : f (x) = 2
25
3
2x 2x + 1
2
3
2
2 ( 54x 27x + 1) 2 ( 3x 1) ( 6x + 1)
54x + 23
0, x ( 0;1) .
=
=
Do ú : f(x)
25
25 2x 2 2x + 1
25 ( 2x 2 2x + 1)

+

+

(

)

Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt !
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

www.mathvn.com


www.MATHVN.com

ABC

___________ n hữ n g ph ơ n g ph á p c h ứ n g m in h

bĐ T đ ộ c đ á o

___________

6

G LA

Chỳ ý : Khi chng minh : f (x) (ax + b) 0 nu bn ngi bin i tng ung thỡ o hm v kho
sỏt nú trờn khong thớch hp .

# Bi 6 ( USA MO 2003 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :

( b + c + 2a ) ( c + a + 2b ) ( a + b + 2c )
+
+
2
2
2
( b + c ) + 2a 2 ( c + a ) + 2b 2 ( a + b ) + 2c2
2

2

2

8

BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :

(1 + a )

(1 + b )

2

2

(1 + c )

2

+
+
8
3a 2 2a + 1 3b 2 2b + 1 3c 2 2c + 1
x 2 + 2x + 1
1
12x + 4
Xột hm s : f ( x ) = 2
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = l : y =
3x 2x + 1
3
3
2
( 3x 1) ( 4x + 1)
12x + 4
Lỳc ú : f(x)
=
0, x ( 0;1) . Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt !
3
3 ( 3x 2 2x + 1)
cỏc bi tp 3, 5, 6 ta bt gp mt k thut cú tờn l : K thut chun húa , nú s mang n cho BT
cn chng minh vi 1 cỏch nhỡn d hn. Nhng BT chun húa c l nhng BT thun nht : /n
hm s thun nht : Hm s f(a, b, c) c gi l thun nht vi cỏc bin trờn min I nu nú tha món
iu kin : f(ta, tb, tc) = tkf(a, b, c) vi mi t,a,b,c I v k l mt hng s khụng ph thuc vo a,b,c,t
m ch ph thuc vo bn thõn hm f.
# Bi 7 ( RUSSIA MO 2002 ). Cho a, b,c > 0: a + b + c = 3 . Chng minh bt ng thc :

a + b + c ab + bc + ca
BG . Ta cú : 9 = (a+b+c) = a +b +c2+2(ab+bc+ca) . Do ú BT cn CM tng ng vi BT :

a 2 + b2 + c2 + 2 a + 2 b + 2 c 9
2

2

2

Xột hm s : f(x) = x2 +2 x , tip tuyn ca hm s ti im cú honh x0 = 1 l : y = 3x .

Khi ú f(x) 3x = x2 3x +2 x =

(

) ( x + 2 x ) 0, x ( 0;3) . Bi toỏn ó tỡm thy hng gii !

x 1

2

# Bi 8 . Cho a, b,c > 0 . Chng minh bt ng thc :

1+ 3

1 1 1
+ b2 + c2 ) + + a + b + c + a 2 + b2 + c2
3 3
a b c
BG . Chun húa : a2 + b2 + c2 =1 . BT ó cho tng ng vi BT :
1+ 3 1 1 1
+ + a + b + c +1

3 3 a b c
1 1 1
9
1+ 3 1 1 1
, ta cn CM :
_Li gii 1. BT
+ + ( a + b + c ) 1 0 .Li cú : + +
a b c a+b+c
3 3 a b c

(a

2

3+ 3
3+ 3
x 1, vi 0 < x 3 , hm f(x) nghch bin suy ra
( a + b + c ) 1 0 , xột hm s f ( x ) =
a+b+c
x
pcm .
_ Li gii 2. Bi toỏn ny lm c bng phng phỏp tip tuyn vi vic xột hm :
1
1+ 3 1
1+ 2 3
2+2 3
f (x) =
. x, x ( 0;1) , tip tuyn ca nú ti x0 =
l : y =
x+

3
3
3 3 x
3
# Bi 9 . Cho a, b,c > 0 . Chng minh bt ng thc :
a
b
c
9
+
+

2
2
2
( b + c) (c + a ) (a + b) 4(a + b + c)
BG . _ Li gii 1. S dng BT Cauchy Schwarz ( BunhiaCopxki )
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

www.mathvn.com


www.MATHVN.com

ABC

___________ n hữ n g ph ơ n g ph á p c h ứ n g m in h

bĐ T đ ộ c đ á o

___________

7

G LA

2
a
b
c CSSCW a
b
c Nesbit 9
+
+

+
+

(a + b + c)
2
2
2
b + c c + a a + b 4 , suy ra pcm .


( b + c ) ( c + a ) ( a + b )
_ Li gii 2 . Phng phỏp tip tuyn .
Chun húa : a+b+c=1, BT ó cho tng ng vi BT :
a
b

c
9
x
+
+
. Xột hm s : f ( x ) =
, tip tuyn ca th hm s ti im
2
2
2
2
(1 a ) (1 b ) (1 c ) 4
(1 x )

1
18x 3
l : y =
. Lỳc ú ta cú :
4
3
2
18x 3 18x 3 + 39x 2 20x + 3 ( 3x 1) ( 2x + 3)
f (x)
=
=
, x ( 0;1) . Bi toỏn ó cú hng gii.
2
2
4
4 (1 x )

4 (1 x )

cú honh x0 =

# Bi 10 (CHINA MO 2005) . Cho a, b,c > 0:a + b + c = 1 . Chng minh bt ng thc :

10 ( a 3 + b3 + c3 ) 9 ( a 5 + b5 + c5 ) 1

# Bi 11 (NEWZEALAND MO 1998) . Cho n s thc dng tha món :

n

x
i =1

xi

n

i

= n . Chng minh :

n

1
1
xi
+
i =1

i =1
# Bi 12 (HONGKONG MO 1998) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :

1+ x



2
i

(

xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2

(x

2

+y +z
2

2

) ( xy + yz + zx )

) 3+

3

9

# Bi 13 (Olympic 30-4 nm 2006) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :
a ( b + c)
b (c + a )
c(a + b)
6
+
+

2
2
2
2
2
2
( b + c) + a (c + a ) + b (a + b) + c 5
# Bi 14 . Cho a , b,c,d > 0:ab + bc + cd + da = 1 . Chng minh bt ng thc :

a3
b3
c3
d3
1
+
+
+

b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 3
# Bi 15 . Cho a, b,c > 0:a 2 + b 2 + c2 = 1 . Chng minh bt ng thc :
1

1
1
9
+
+

1 ab 1 bc 1 ca 2
# Bi 16 (BT Nesbit ) . Cho a, b,c > 0 . Chng minh bt ng thc :
a
b
c
3
+
+

b+c c+a a+b 2
_ Tỡm li gii :
Chun húa : a+ b + c =3, BT ó cho tr thnh :
a
b
c
3
x
3x 1
, phng trỡnh tip tuyn ti x0 = 1 l : y =
+
+
. Xột hm s : f ( x ) =
3 x
4

3a 3 b 3c 2
2
3x 1 3 ( x 1)
=
0, x ( 0;3) .succeed !
Ta cú : f (x)
4
4 (3 x )
# Bi 17 (CHINA TST 2004 ) . Cho a, b,c,d > 0: abcd = 1 . Chng minh bt ng thc :
1
1

2
a ,b,c,d (1 + a )
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

www.mathvn.com


www.MATHVN.com

ABC

___________ ∑ n h÷ n g ph − ¬ n g ph ¸ p c h ø n g m in h

___________

b§ T ® é c ® ¸ o

G LA

n

# Bài 18 (UK TST 2004 ) . Cho a i > 0,i = 1, n :∏ a i = 1. Chứng minh bất đẳng thức :
i =1

n

∑
i =1

ai + 3

( a i + 1)

2

≥ 3 ( ∀n > 2, n ∈ N )

# Bài 19 . Cho a, b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

( 3a + b + c ) ( 3b + c + a ) ( 3c + a + b ) 375
≤
+
+
3
3
3
11
3a 3 + ( b + c ) 3b3 + ( c + a ) 3c3 + ( a + b )

3

3

3

# Bài 20 (SERBIA 2005). Cho a, b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a
b+c

b

+

c+a

+

c
a+b

≥

3
(a + b + c)
2

_Lời giải khác :

Chuẩn hóa : a + b + c =6. BĐT đã cho tương đương với BĐT :
Đặt :

6 − a = x,

a
6−a

+

b
6−b

+

c
6−c

≥3

6 − b = y, 6 − c = z ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 12 ⇒ x + y + z ≤ 6 , ta có :

⎛1 1 1⎞
6 − x 2 6 − y2 6 − z2
≥ 3 ⇔ 6 ⎜ + + ⎟ − ( x + y + z ) ≥ 3 (1)
+
+
x
y
z

⎝x y z⎠
SCW
AM − GM
⎛ 1 1 1⎞
54
VT(1) = 6 ⎜ + + ⎟ − ( x + y + z ) ≥
− ( x + y + z ) ≥ 3 =VP(1)
x+y+z
⎝x y z⎠
2x 2

# Bài 21 .Chứng minh bất đẳng thức :

2y 2

+

2x 2 + ( y + z )
2y 2 + ( z + x )
# Bài 22. Cho a, b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
2

a3
a3 + ( b + c)

3

+

b3

b3 + ( c + a )

3

+

2

+

2z 2
2z 2 + ( x + y )

c3
c3 + ( a + b )

3

2

≤1

≥1

# Bài 23. Cho a, b,c là độ dài các cạnh tam giác. Chứng minh bất đẳng thức :
1 1 1
1
1
1
+ + ≤

+
+
a b c a +b−c b+c−a c+a−b

•

Mới nhìn qua chúng ta có thể nghĩ rằng bài 10, bài 15 có thể giải quyết đơn giản bằng phương
pháp tiếp tuyến, nhưng…hãy đặt bút .!!!

Bài 10 (CHINA MO 2005) . Cho a, b,c > 0:a + b + c = 1 . Chứng minh bất đẳng thức :

10 ( a 3 + b3 + c3 ) − 9 ( a 5 + b5 + c5 ) ≥ 1

_ Tìm lời giải bằng p2 tiếp tuyến :
1
75x − 16
là : y =
3
27
2
3
2
3
5
75x − 16 270x − 243x − 75x + 16 ( 3x − 1) ( −27x − 18x + 21x + 16 )
=
=
Do đó : f(x) −
.
27

27
27
Ta cần xét xem hiệu trên có lớn hơn hoặc bằng 0, hay không ? Lúc đó ta chỉ cần kiểm tra xem hàm số :
g(x) = −27x 3 − 18x 2 + 21x + 16 có dương với mọi x ∈ ( 0;1) ?

Xét hàm số : f(x) = 10x3 – 9x5 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 =

Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình

www.mathvn.com

8


www.MATHVN.com

ABC

___________ ∑ n h÷ n g ph − ¬ n g ph ¸ p c h ø n g m in h

b§ T ® é c ® ¸ o

___________

9

G LA

7
⎡

x=−
⎢
9
Đạo hàm : g’(x) = −81x 2 − 36x + 21 ; g '(x) = 0 ⇔ ⎢
⎢ x=1
⎢⎣
3
Ta có bảng BT :
x

1
3

0

g’(x)

+

0

1
−

g(x)
16

−8

Nhìn vào BBT ta thấy : g(x) >0 hay g(x) < 0 , ∀x ∈ (0;1) ….????????????????????

•
•

Rõ ràng phương pháp tiếp tuyến có bán kính sát thương chưa rộng, nó đang bộc lộ điểm yếu…và nhất
thiết phải nâng cấp .
Đây là nguyên văn lời giải của nickname : 2M trên trang web : mathscope.org

Bài giải trên xuất phát từ Bổ đề :
Nếu f(x) lõm trên khoảng (a; b) liên tục trên đoạn [a; b] thì :
f (a ) − f (b)
f (a ) − f ( b)
f ( x ) ≤ f (a ) +
( x − a ) = f (b) +
( x − b ) , ∀x ∈ [a;b]
a−b
a−b

Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình

www.mathvn.com