Bất đẳng thức giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Chun đề LTĐH

Chuyên đề 5:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Số thực dương, số thực âm:
 Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
 Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
 Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu x  0
 Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu x  0
Chú ý:
 Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " a  0 "
 Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " a  0 "
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
a  b  ab  0
 Nếu a>b hoặc a=b, ta viết a  b . Ta có:
a  b  a-b  0
2. Đònh nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A  B
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A  B
được gọi là một bất đẳng thức

Quy ước :
 Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
 Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
a  b
1. Tính chất 1:
ac

b  c
2. Tính chất 2:
Hệ quả 1:
Hệ quả 2:
3. Tính chất 3:
4. Tính chất 4:
Hệ quả 3:

a  b  ac  bc
a  b  ac  bc
ac  b  a  bc
a  b
 ac  bd

c  d

ac  bc nếu c > 0
ab
ac  bc nếu c < 0
a  b   a  b

27


Chun đề LTĐH
Hệ quả 4:

5. Tính chất 5:
6. Tính chất 6:
7. Tính chất 7:
8. Tính chất 8:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
a b
 c  c nếu c > 0
ab
 a  b nếu c < 0
 c c
a  b  0
 ac  bd

c  d  0
1 1
ab00 
a b
*
n
a  b  0, n  N  a  b n
a  b  0, n  N * 

n

a nb

Hệ quả 5:

Nếu a và b là hai số dương thì :
a  b  a2  b2
Nếu a và b là hai số không âm thì :
a  b  a 2  b2
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
 x nếu x  0
( x  R)
1. Đònh nghóa: x  
 x nếu x < 0
2. Tính chất : x  0 ,

2

x  x 2 , x  x , -x  x

3. Với mọi a, b  R ta có :


ab  a  b



ab  a  b



a  b  a  b  a.b  0



a  b  a  b  a.b  0

V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
 a > 0, b > 0, c > 0
 bc  a  bc


ca  bca



ab  c  ab

 a bc A B C
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
ab
 ab
2

Cho hai số không âm a; b ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a1,a2,...an ta có :

a1  a2  ...  an n
 a1 .a2 ...an
n

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
28


Chun đề LTĐH
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

(ax  by )2  (a2  b2 )( x 2  y 2 )
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx

Tổng quát :
Cho hai bộ số (a1 , a2 ,...an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) ta có :
(a1b1  a2 b2  ...  an bn )2  (a12  a2 2  ...  an 2 )(b12  b2 2  ...  bn 2 )

a
a1 a2

 ...  n với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
b1 b2
bn
1
1 1 1

 (  )
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
ab 4 a b
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi

Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1:
Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. a2  b2  c 2  ab  bc  ca với mọi số thực a,b,c
2. a2  b2  1  ab  a  b
với mọi a,b
Ví dụ 2:
a3  b 3
ab 3
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b  0 , chứng tỏ rằng:
(
)
2
2
1 2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì ( x  1) 2 ( 2   1)  16
x
x
2. Phương pháp 2:

Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : a2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)
5
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  . Chứng minh rằng:
4
4 1

5
x 4x
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: 3x  2 y  4 z  xy  3 yz  5 zx
1 1
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: x 2  y 2    2( x  y )
x y
29


Chun đề LTĐH
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
ab(a  b  2c)  bc(b  c  2a )  ca(c  a  2b)  0

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : x 3  y 3  z 3  x  y  z
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : xyx  3 3
abc abc abc


9

Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
a
b
c
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng :
1 1 1
x  y  z     10
x y z
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
bc ca ab


 a  b  c 3
a
b
c

3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức:

sinx < x với mọi x > 0
x2
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x  1 
với mọi x > 0
2
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 4: Với 0  x 


2



sin x  tgx  2 x với mọi x  (0; )
2

, chứng minh 2

2 sin x

2

tgx



3
x 1
22

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
1  x3  y3
1 y3  z3
1  z 3  x3


3 3
xy
yz

zx
Khi đẳng thức xảy ra?
1 1 1
   4 . Chứng minh rằng :
x y z
1
1
1


1
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Bài 2: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn

Bài 3: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab  bc  ca  abc , chứng minh rằng:
b 2  2a 2
c 2  2b 2
a 2  2c 2


 3
ab
bc
ca

30